Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
∫ a b ∫ c d f ( x , y ) d y d x = ∫ c d ∫ a b f ( x , y ) d y d x ∫ a b ∫ c d f ( x , y ) d y d x = ∫ c d ∫ a b f ( x , y ) d y d x
Fubini’s theorem can be extended to three dimensions, as long as ff is continuous in all variables.
The integral ∫02π∫01∫r1dzdrdθ∫02π∫01∫r1dzdrdθ represents the volume of a right cone.
The Jacobian of the transformation x=u2−2v,y=3v−2uvx=u2−2v,y=3v−2uv is given by −4u2+6u+4v.−4u2+6u+4v.
Evaluate the following integrals.
∬ R ( 5 x 3 y 2 − y 2 ) d A , R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 4 } ∬ R ( 5 x 3 y 2 − y 2 ) d A , R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 4 }
∬ D y 3 x 2 + 1 d A , D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 , − x ≤ y ≤ x } ∬ D y 3 x 2 + 1 d A , D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 , − x ≤ y ≤ x }
∬Dsin(x2+y2)dA∬Dsin(x2+y2)dA where DD is a disk of radius 22 centered at the origin
∫ 0 1 ∫ y 1 x y e x 2 d x d y ∫ 0 1 ∫ y 1 x y e x 2 d x d y
∫ −1 1 ∫ 0 z ∫ 0 x − z 6 d y d x d z ∫ −1 1 ∫ 0 z ∫ 0 x − z 6 d y d x d z
∭R3ydV,∭R3ydV, where R={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤9−y2}R={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤9−y2}
∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ r 1 r d z d θ d r ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ r 1 r d z d θ d r
∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 1 3 ρ 2 sin ( φ ) d ρ d φ d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 1 3 ρ 2 sin ( φ ) d ρ d φ d θ
∫ 0 1 ∫ − 1 − x 2 1 − x 2 ∫ − 1 − x 2 − y 2 1 − x 2 − y 2 d z d y d x ∫ 0 1 ∫ − 1 − x 2 1 − x 2 ∫ − 1 − x 2 − y 2 1 − x 2 − y 2 d z d y d x
For the following problems, find the specified area or volume.
The area of region enclosed by one petal of r=cos(4θ).r=cos(4θ).
The volume of the solid that lies between the paraboloid z=2x2+2y2z=2x2+2y2 and the plane z=8.z=8.
The volume of the solid bounded by the cylinder x2+y2=16x2+y2=16 and from z=1z=1 and z+x=2.z+x=2.
The volume of the intersection between two spheres of radius 1, the top whose center is (0,0,0.25)(0,0,0.25) and the bottom, which is centered at (0,0,0).(0,0,0).
For the following problems, find the center of mass of the region.
ρ(x,y)=xyρ(x,y)=xy on the circle with radius 11 in the first quadrant only.
ρ(x,y)=(y+1)xρ(x,y)=(y+1)x in the region bounded by y=ex,y=ex, y=0,y=0, and x=1.x=1.
ρ(x,y,z)=zρ(x,y,z)=z ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਉੱਤੇ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 22 ਅਤੇ ਉਚਾਈ 2.2 ਹੈ।
ਬਰਫ਼ੀ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ ਜੋ ਕਿ ਉੱਪਰ z=(x2+y2) ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ z2+x2+y2=z ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਮਿਸ਼ੀਗਨ ਰਾਜ ਵਿੱਚ ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਇੱਕ ਕੂੜਾ-ਕਰਕਟ ਦਾ ਢੇਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਕੀ ਰਿਜ਼ੋਰਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਦਾ ਆਕਾਰ 11001100 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ 60006000 ਫੁੱਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜੇ ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੂੜੇ ਦੀ ਔਸਤ ਘਣਤਾ 400lb/ft³ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਾੜ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਕਾਰਜ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਬਹੁਤ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਦੇ ਤਲ 'ਤੇ ਪਏ ਕੂੜੇ ਦਾ ਭਾਰ ਉੱਪਰਲੇ ਕੂੜੇ ਦੇ ਭਾਰ ਕਾਰਨ ਹੋਰ ਸੰਘਣਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਉਚਾਈ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਪਹਾੜ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਘਣਤਾ ਅਜੇ ਵੀ 400lb/ft3 ਹੈ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਹਰ 100 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ, ਘਣਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮਾਊਂਟ ਹੋਲੀ ਦਾ ਕੁੱਲ ਭਾਰ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਧਰਤੀ ਦੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਘਣਤਾ ਬਾਰੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿਚਾਰਦੇ ਹਨ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਧਰਤੀ ਦੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ 33 ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਧਰਤੀ ਦਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੋਰ ਵਿੱਚ 00 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਤ੍ਹਾ ਵੱਲ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਵਧੋ)
1. ਪੰਗਤੀ: ਪਰਤ | ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਡੂੰਘਾਈ (ਕਿ.ਮੀ.) | ਤਾਪਮਾਨ °C
1. ਚਟਾਨੀ ਪਰਤ | 0 ਤੋਂ 40 | 0
1. ਉਪਰਲਾ ਪਰਤ | 40 ਤੋਂ 150 | 870
1. ਪਰਤ: ਮਾਨਟਲ | 400 ਤੋਂ 650 | 870
1. ਅੰਦਰੂਨੀ ਛਿੱਲੜ | 650 ਤੋਂ 2700 | 870
1. ਪਿਘਲੀ ਹੋਈ ਬਾਹਰੀ ਗਰਭ | 2890 ਤੋਂ 5150 | 4300
1. ਅੰਦਰੂਨੀ ਗਰਭ | 5150 ਤੋਂ 6378 | 7200
1. ਧਰਤੀ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸੇ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਭੂਚਾਲ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਧਰਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੇਸਮਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤਰੰਗਾਂ ਧਰਤੀ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੇਟਾਂ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੇਸਮਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਗਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਧਰਤੀ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸੇ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਰਤਾਂ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਧਰਤੀ ਦੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਦਾ ਘਣਤਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਘਣਤਾ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਧਰਤੀ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਪਰਤ: ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਡੂੰਘਾਈ (ਕਿ.ਮੀ.) | ਘਣਤਾ (ਗ੍ਰਾਮ/ਸੈ.ਮੀ.3)
1. ਅੰਦਰੂਨੀ ਗਰਭ | 00 | 12.9512.95
1. ਪੰਗਤੀ: ਬਾਹਰੀ ਕੋਰ | 12281228 | 11.0511.05
1. ਪਹਿਰਾਵਾ | 34883488 | 5.005.00
1. ਉਪਰਲਾ ਪਰਤ | 63386338 | 3.903.90
1. ਭੂ-ਪਰਤ | 63786378 | 2.552.55
1. : ਧਰਤੀ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਪਰਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ: ਧਰਤੀ ਦੀ ਪੇਪੜੀ, ਧਰਤੀ ਦਾ ਮੈਂਟਲ, ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦਾ ਕੋਰ। ਇਹ ਪਰਤਾਂ ਰਸਾਇਣਕ ਰਚਨਾ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ। ਧਰਤੀ ਦੀ ਪੇਪੜੀ ਸਭ ਤੋਂ ਬਾਹਰੀ, ਪਤਲੀ ਪਰਤ ਹੈ, ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਅਸੀਂ ਰਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਧਰਤੀ ਦਾ ਮੈਂਟਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹਿੱਸਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰ ਧਰਤੀ ਦਾ ਕੋਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੋਹੇ ਅਤੇ ਨਿੱਕਲ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ (ਪੁੰਜ ਦੇ ਘੁੰਮਣ-ਘੇਰਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਤਾਜ਼ਾ ਯਾਦ) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਸੈਂਟਰੌਇਡਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਆਇਤਨ Vx=2πAy– ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਆਇਤਨ Vy=2πAx– ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ A, R ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। x2+y2=1 ਅਤੇ y=x+1 ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।