ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਬੰਦ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ; ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਪਰਖਣਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਸ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਪਰਖਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰ
ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੇ ਸਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਥਿਊਰਮਸ ਸਾਰੇ ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਏਕੀਕਰਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਬੰਦ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕੋ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਅਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ। ਇੱਕ ਵਕਰ ਜੋ ਬੰਦ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.25)।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਵਕਰ C ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t), a ≤ t ≤ b ਹੈ ਜੋ C ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ r(a) = r(b)। ਵਕਰ C ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰ ਹੈ ਜੇਕਰ C ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ। ਭਾਵ, C ਸਧਾਰਨ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t), a ≤ t ≤ b ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ r (a, b) ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ r(a) = r(b), ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰ ਵੀ ਬੰਦ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.25: ਵਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.27
ਇੱਕ ਵਕਰ ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t) = 〈cos(t), sin(2t)/2〉, 0 ≤ t ≤ 2π ਵਾਲੀ ਵਕਰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r(0) = 〈1, 0〉 = r(2π); ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰ ਬੰਦ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਵਕਰ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r(π/2) = 〈0, 0〉 = r(3π/2), ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਵਕਰ ਮੂਲ (ਚਿੱਤਰ 6.26) 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.26: ਇੱਕ ਵਕਰ ਜੋ ਬੰਦ ਹੈ ਪਰ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.24
ਕੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t) = 〈2cos(t), 3sin(t)〉, 0 ≤ t ≤ 6π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਵਕਰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ?
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਜਾਂ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਸੰਘ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਦੋ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: ਇੱਕ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਦੀ। ਇੱਕ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੋਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਸੰਕਲਪ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਦੇ ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਕਈ ਸਧਾਰਨਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਵੈਧ ਹਨ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਦੋ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਖੇਤਰ D ਇੱਕ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੇਕਰ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ P1 ਅਤੇ P2 ਲਈ, P1 ਤੋਂ P2 ਤੱਕ ਇੱਕ ਮਾਰਗ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਟ੍ਰੇਸ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ D ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੇਤਰ D ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੇਕਰ D ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ D ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਥਿਤ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ C ਲਈ, ਵਕਰ C ਨੂੰ D ਦੇ ਅੰਦਰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰਹਿੰਦੇ ਹੋਏ ਨਿਰੰਤਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੋਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸਾਰੇ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਸਾਰੇ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ (ਚਿੱਤਰ 6.27)।
6.27 ਅੰਕ: ਸਾਰੇ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। (ੳ) ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮੋਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। (ਅ) ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਮੋਰੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਤੁਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਕਿਸੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਰਗ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ। (ੲ) ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਜੋ ਜੁੜਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਰਗ ਦੁਆਰਾ ਨਹੀਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.25
ਕੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ? ਕੀ ਖੇਤਰ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ?
ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝ ਲਿਆ ਹੈ, ਆਓ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਤੱਕ ਵਧਾਈਏ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫਲਨ ff ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ F ਹੈ, ਤਾਂ ff ਦਾ a ਤੋਂ b ਤੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਸਿਰਫ਼ a ਅਤੇ b 'ਤੇ F ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ—ਭਾਵ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚੀਏ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਵੀ ਉਹੀ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਪ੍ਰੇਰਣਾਦਾਇਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.28
ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ-ਨਿਰਧਾਰਨ
ਮੰਨ ਲਓ F(x,y)=〈2x,4y〉। ∫CF·dr, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C (0,0) ਤੋਂ (2,2) ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ (ਅੰਕ 6.28)।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ∫CF·dr ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਕਰ C ਨੂੰ r(t)=〈2t,2t〉, 0≤t≤1 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, F(r(t))=〈4t,8t〉 ਅਤੇ r′(t)=〈2,2〉, ਜਿਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ
6.28 ਅੰਕ: ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ∫CF·dr ਦਾ ਮੁੱਲ, ਵਕਰ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ F=∇f, ਜਿੱਥੇ f(x,y)=x²+2y²। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚੀਏ, ਤਾਂ ff, F ਦਾ ਇੱਕ "ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ" ਹੈ। ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ g′(x) ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ g(b)−g(a) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਸਮਾਕਲਨ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ b ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਮਾਕਲਨ ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਸਮਾਕਲਨ F, f(P₁)-f(P₀) ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ P₁ ਸਮਾਕਲਨ ਵਕਰ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ P₀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ:
ਅਤੇ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ "ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ" ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਕਰ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ "ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ" ਦਾ ਮੁੱਲ-ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਘਟਾ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ, ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ, ਜੋ ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਹੋਇਆ ਸੀ, ਉਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਹੀ ਥਿਊਰਮ ਵੈਕਟਰ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.7
ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਲਈ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ
ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ-ਵਾਰ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t), a≤t≤b ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ff ਦੋ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ C 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਅਤੇ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹਨ। ਫਿਰ,
ਸਿੱਧ
ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਅਨੁਸਾਰ,
ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੁਆਰਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਮੌਲਿਕ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ,
□
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ F ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ∇f=F। ਇਸ ਲਈ ∫CF·dr=∫C∇f·dr=f(r(b))−f(r(a))। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਵਾਂਗ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr, ਜਿੱਥੇ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਦੋ-ਪੜਾਅ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ: (1) F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (“ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ”) ff ਲੱਭੋ ਅਤੇ (2) C ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ff ਦਾ ਮੁੱਲ ਗਿਣੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ f(r(b))−f(r(a)) ਕੱਢੋ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਵੇ, ਕੋਲ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.29
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=〈2xlny,x2y+z2,2yz〉 ਅਤੇ C ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈t2,t,t〉,1≤t≤e ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੈ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਅਤੇ
ਮੂਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ: ∫CF·dr=∫1eF(r(t)).r'(t)dt=∫1e⟨2t2lnt,t4t+t2,2t2⟩.⟨2t,1,1⟩dt=∫1e(4t3lnt+t3+3t2)dt=∫1e4t3lntdt+∫1e(t3+3t2)dt=∫1e4t3lntdt+[t44+t3]1e=2∫1et3lntdt+e44+e3−54। ਇੰਟੀਗਰਲ ∫1et3lntdt ਨੂੰ ਪਾਰਟਸ ਦੁਆਰਾ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u=lnt ਅਤੇ dv=t3। ਫਿਰ u=lnt,dv=t3 ਅਤੇ du=1tdt,v=t44। ਇਸ ਲਈ, ∫1et3lntdt=[t44lnt]1e−14∫1et3dt=e44−14(e44−14)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ∫CF·dr=4∫1et3lntdt+e44+e3−54=4(e44−14(e44−14))+e44+e3−54=e4−e44+14+e44+e3−54=e4+e3−1।
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ f(x,y,z)=x2lny+yz2 F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਆਓ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ∫CF·dr=∫C∇f.dr=f(r(e))−f(r(1))=f(e2,e,e)−f(1,1,1)=e4+e3−1। ਇਹ ਗਣਨਾ (a) ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਗਣਨਾ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸਿੱਧੀ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.29 ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਆਫ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸਿਰਫ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.26
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ f(x,y)=(x−1)2y+(y+1)2x F=〈2xy−2y+(y+1)2,(x−1)2+2yx+2x〉 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr, ਜਿੱਥੇ C ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਹੇਠਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੇ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜੇ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ C ਦੇ ਨਾਲ F ਦਾ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਯਾਨੀ, ∫CF·dr=0। ਇਹ ਕਿਉਂ ਸੱਚ ਹੈ, ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਲਓ। ਕਿਉਂਕਿ C ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ, C ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ r(b) C ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ r(a) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ—ਯਾਨੀ, r(a)=r(b)। ਇਸ ਲਈ, ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੁਆਰਾ,
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਨੂੰ "ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਉਹਨਾਂ ਬਲਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਸੰਭਾਲੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਰੂਤਾ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਬਲ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·dr ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ∫CF·dr=0 ਦਾ ਪਾਲਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਣ ਅਜਿਹੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕੋ ਜਗ੍ਹਾ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਣ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦਾ ਦੂਜਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਾਥ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਭਾਵ, ਉਹ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਕਰ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਾਥ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ D ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F ਪਾਥ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ (ਜਾਂ ਪਾਥ ਸੁਤੰਤਰ) ਹੈ ਜੇ ∫C1F·dr=∫C2F·dr D ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਥ C1 ਅਤੇ C2 ਲਈ ਜਿਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਸਮਾਨ ਹਨ।
ਦੂਜਾ ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.8
ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਪਾਥ ਸੁਤੰਤਰਤਾ
ਜੇ F ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ F ਪਾਥ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮਾਣ
ਮੰਨ ਲਓ D, F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ C1 ਅਤੇ C2, D ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਾਥ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਸਮਾਨ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.29)। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ P1 ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ P2 ਕਹੋ। ਕਿਉਂਕਿ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਹੈ। ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਫਾਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਦੁਆਰਾ,
ਇਸ ਲਈ, ∫C1F·dr=∫C2F·dr ਅਤੇ F ਪਾਥ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।
□
Figure 6.29: The vector field is conservative, and therefore independent of path.
To visualize what independence of path means, imagine three hikers climbing from base camp to the top of a mountain. Hiker 1 takes a steep route directly from camp to the top. Hiker 2 takes a winding route that is not steep from camp to the top. Hiker 3 starts by taking the steep route but halfway to the top decides it is too difficult for him. Therefore he returns to camp and takes the non-steep path to the top. All three hikers are traveling along paths in a gravitational field. Since gravity is a force in which energy is conserved, the gravitational field is conservative. By independence of path, the total amount of work done by gravity on each of the hikers is the same because they all started in the same place and ended in the same place. The work done by the hikers includes other factors such as friction and muscle movement, so the total amount of energy each one expended is not the same, but the net energy expended against gravity is the same for all three hikers.
We have shown that if F is conservative, then F is independent of path. It turns out that if the domain of F is open and connected, then the converse is also true. That is, if F is independent of path and the domain of F is open and connected, then F is conservative. Therefore, the set of conservative vector fields on open and connected domains is precisely the set of vector fields independent of path.
Theorem 6.9
The Path Independence Test for Conservative Fields
If F is a continuous vector field that is independent of path and the domain D of F is open and connected, then F is conservative.
Proof
We prove the theorem for vector fields in ℝ2.ℝ2. The proof for vector fields in ℝ3ℝ3 is similar. To show that F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 is conservative, we must find a potential function ff for F. To that end, let X be a fixed point in D. For any point (x,y)(x,y) in D, let C be a path from X to (x,y).(x,y). Define ff(x,y)(x,y) by f(x,y)=∫CF·dr.f(x,y)=∫CF·dr. (Note that this definition of ff makes sense only because F is independent of path. If F was not independent of path, then it might be possible to find another path C′C′ from X to (x,y)(x,y) such that ∫CF·dr≠∫CF·dr,∫CF·dr≠∫CF·dr, and in such a case ff(x,y)(x,y) would not be a function.) We want to show that ff has the property ∇f=F.∇f=F.
Since domain D is open, it is possible to find a disk centered at (x,y)(x,y) such that the disk is contained entirely inside D. Let (a,y)(a,y) with a<xa<x be a point in that disk. Let C be a path from X to (x,y)(x,y) that consists of two pieces: C1C1 and C2.C2. The first piece, C1,C1, is any path from X to (a,y)(a,y) that stays inside D; C2C2 is the horizontal line segment from (a,y)(a,y) to (x,y)(x,y) (Figure 6.30). Then
The first integral does not depend on x, so
If we parameterize C2C2 by r(t)=〈t,y〉,a≤t≤x,r(t)=〈t,y〉,a≤t≤x, then
By the Fundamental Theorem of Calculus (part 1),
Figure 6.30: Here, C1C1 is any path from X to (a,y)(a,y) that stays inside D, and C2C2 is the horizontal line segment from (a,y)(a,y) to (x,y).(x,y).
A similar argument using a vertical line segment rather than a horizontal line segment shows that fy=Q(x,y).fy=Q(x,y).
Therefore ∇f=F∇f=F and F is conservative.
□
We have spent a lot of time discussing and proving Path Independence of Conservative Fields and The Path Independence Test for Conservative Fields, but we can summarize them simply: a vector field F on an open and connected domain is conservative if and only if it is independent of path. This is important to know because conservative vector fields are extremely important in applications, and these theorems give us a different way of viewing what it means to be conservative using path independence.
Example 6.30
Showing That a Vector Field Is Not Conservative
Use path independence to show that vector field F(x,y)=〈x2y,y+5〉F(x,y)=〈x2y,y+5〉 is not conservative.
Solution
We can indicate that F is not conservative by showing that F is not path independent. We do so by giving two different paths, C1C1 and C2,C2, that both start at (0,0)(0,0) and end at (1,1),(1,1), and yet ∫C1F·dr≠∫C2F·dr.∫C1F·dr≠∫C2F·dr.
Let C1C1 be the curve with parameterization r1(t)=〈t,t〉,0≤t≤1r1(t)=〈t,t〉,0≤t≤1 and let C2C2 be the curve with parameterization r2(t)=〈t,t2〉,0≤t≤1r2(t)=〈t,t2〉,0≤t≤1 (Figure 6.31). Then
ਅਤੇ
ਕਿਉਂਕਿ ∫C1F·dr≠∫C2F·dr, F ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕਿਸੇ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, F ਮਾਰਗ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.31: ਵਕਰ C1 ਅਤੇ C2 ਦੋਵੇਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.27
ਦਿਖਾਓ ਕਿ F(x,y)=〈xy,x2y2〉 ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, (0,0) ਤੋਂ (2,2) ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਅਤੇ y=x22 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਜੋ (0,0) ਤੋਂ (2,2) ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਸ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ∫CF·dr ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਕਦਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਪਹਿਲਾਂ, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ, f(P1)−f(P0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ P1 C ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ P0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰ F ਲਈ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ∇f=F ਹੋਵੇ? ਕਿਸੇ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਵਿਧੀ ਦੇਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.31
ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
F(x,y)=〈2xy3,3x2y2+cos(y)〉 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਸਾਬਤ ਹੋਵੇ ਕਿ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x,y) F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, ∇f=F, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
fx=2xy3 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਜੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ ਜੋ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਪਰ ਅਜੇ ਵੀ y ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ f(x,y)=x2y3+h(y) ਨੂੰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ f, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ,
ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ h′(y)=cosy, ਇਸ ਲਈ h(y)=siny+C। ਇਸ ਲਈ, f(x,y)=x2y3+sin(y)+C ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, C=0 ਲੈਣ ਨਾਲ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x2y3+sin(y) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ f ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ∇f=〈2xy3,3x2y2+cosy〉=F।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.28
F(x,y)=〈exy3+y,3exy2+x〉 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ।
ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਾ ਤਰਕ ℝ2 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਹੈ:
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ: ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
P ਨੂੰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰੋ। ਇਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ g(x,y)+h(y) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ h(y) ਅਣਜਾਣ ਹੈ।
Take the partial derivative of g(x,y)+h(y)g(x,y)+h(y) with respect to y, which results in the function gy(x,y)+h′(y).gy(x,y)+h′(y).
Use the equation gy(x,y)+h′(y)=Q(x,y)gy(x,y)+h′(y)=Q(x,y) to find h′(y).h′(y).
Integrate h′(y)h′(y) to find h(y).h(y).
Any function of the form f(x,y)=g(x,y)+h(y)+C,f(x,y)=g(x,y)+h(y)+C, where C is a constant, is a potential function for F.
We can adapt this strategy to find potential functions for vector fields in ℝ3,ℝ3, as shown in the next example.
Example 6.32
Finding a Potential Function in ℝ3ℝ3
Find a potential function for F(x,y,z)=〈2xy,x2+2yz3,3y2z2+2z〉,F(x,y,z)=〈2xy,x2+2yz3,3y2z2+2z〉, thereby showing that FF is conservative.
Solution
Suppose that ff is a potential function. Then, ∇f=F∇f=F and therefore fx=2xy.fx=2xy. Integrating this equation with respect to x yields the equation f(x,y,z)=x2y+g(y,z)f(x,y,z)=x2y+g(y,z) for some function g. Notice that, in this case, the constant of integration with respect to x is a function of y and z.
Since ff is a potential function,
Therefore,
Integrating this function with respect to y yields
for some function h(z)h(z) of z alone. (Notice that, because we know that g is a function of only y and z, we do not need to write g(y,z)=y2z3+h(x,z).)g(y,z)=y2z3+h(x,z).) Therefore,
To find ff, we now must only find h. Since ff is a potential function,
This implies that h′(z)=2z,h′(z)=2z, so h(z)=z2+C.h(z)=z2+C. Letting C=0C=0 gives the potential function
To verify that ff is a potential function, note that ∇f=〈2xy,x2+2yz3,3y2z2+2z〉=F.∇f=〈2xy,x2+2yz3,3y2z2+2z〉=F.
Checkpoint 6.29
Find a potential function for F(x,y,z)=〈12x2,cosycosz,1−sinysinz〉.F(x,y,z)=〈12x2,cosycosz,1−sinysinz〉.
We can apply the process of finding a potential function to a gravitational force. Recall that, if an object has unit mass and is located at the origin, then the gravitational force in ℝ2ℝ2 that the object exerts on another object of unit mass at the point (x,y)(x,y) is given by vector field
where G is the universal gravitational constant. In the next example, we build a potential function for F, thus confirming what we already know: that gravity is conservative.
Example 6.33
Finding a Potential Function
Find a potential function ff for F(x,y)=−G〈x(x2+y2)3/2,y(x2+y2)3/2〉.F(x,y)=−G〈x(x2+y2)3/2,y(x2+y2)3/2〉.
1. ਨਿਰਣਾ
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ff ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਤਦ, ∇f=F∇f=F ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
1. ਇਸ ਫਲਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ u-ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ u=x^2+y^2, ਤਾਂ du=2xdx, ਇਸ ਲਈ xdx = du/2।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ h(y) ਲਈ। h(y)। ਇਸ ਲਈ,
ਕਿਉਂਕਿ ff, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ,
ਕਿਉਂਕਿ f(x,y)=Gx^2+y^2+h(y), f_y ਵੀ −Gy(x^2+y^2)^3/2+h′(y) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ,
ਜਿਸਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ h′(y)=0। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ h(y) ਨੂੰ ਕੋਈ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ h(y)=0 ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ
1. ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ F ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫਲਨ ਹੈ। ਇਹ ਪੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ff ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫਲਨ ਹੈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਚੌਕੀ 6.30
1. ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਗੁਰੂਤਾ-ਬਲ F(x,y,z)=〈−Gx(x2+y2+z2)3/2,−Gy(x2+y2+z2)3/2,−Gz(x2+y2+z2)3/2〉 ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫਲਨ ff ਲੱਭੋ।
1. ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਪਰਖ
1. ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹਨ, ਪਰ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਹੀਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਕਿ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਰਖਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਜੇਕਰ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ F ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ)। ਭਾਵ, ਜੇਕਰ F=〈P,Q,R〉 ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ Py=Qx, Pz=Rx, ਅਤੇ Qz=Ry। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ F ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ? ਜੇਕਰ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਵਾਬ ਹਾਂ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 6.10
1. ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਅੰਤਰ-ਅੰਸ਼ ਪਰਖ
ਜੇਕਰ F=〈P,Q,R〉 ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ, ਸਰਲ-ਜੋੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ D ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ D ਵਿੱਚ ਸਾਰੀ ਥਾਂ Py=Qx, Pz=Rx, ਅਤੇ Qz=Ry ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ।
ਭਾਵੇਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਸ ਖੇਤਰ ਲਈ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੁੜਿਆ ਹੋਣਾ ਕਿਉਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।
ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਗੁਣ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ:
ਸਿਧਾਂਤ 6.11
ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਗੁਣ ਧਾਰਮਿਕ ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ
ਜੇਕਰ F=〈P,Q,R〉 ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ, ਸਧਾਰਨ-ਜੁੜੇ ਖੇਤਰ D ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਵੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ D ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਪਾਸੇ Py=Qx, Pz=Rx, ਅਤੇ Qz=Ry ਹੋਵੇ।
ℝ2 ਵਿੱਚ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਰੂਪ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ℝ2 ਦੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ, ਸਰਲ-ਜੋੜੇ ਹੋਏ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ F=〈P,Q〉 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ Py=Qx ਹੋਵੇ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 6.34
1. ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੋਣਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
1. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈xy2z,x2yz,z2〉 ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
2. ਹੱਲ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ℝ2 ਅਤੇ ℝ3 ਦਾ ਸਾਰਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ F ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ
4. ਕਿਉਂਕਿ Qz=x2y ਅਤੇ Ry=0, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 6.35
6. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ
7. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y)=〈xln(y),x22y〉 ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ।
8. ਹੱਲ
9. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ℝ2 ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ y>0 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, F ਦਾ ਡੋਮੇਨ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਮਤਲ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ (ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮੋਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਖੇਤਰ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ)। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ F ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ
10. ਫਿਰ Py=xy=Qx ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ।
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.31
12. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ F(x,y)=〈sinxcosy,cosxsiny〉 ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
13. ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਧਨ ਵਾਂਗ, ਇਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਹੀ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਥਿਊਰਮ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਵੇ।
14. ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਗਲਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਕੀ ਗਲਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
15. ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ
16. ਅਤੇ
17. ਕਿਉਂਕਿ F ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਲਲਚਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ
18. ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉੱਪਰੀ ਅੱਧੇ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ (ਇਸਨੂੰ C1) ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ
19. ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਅੱਧੇ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ (ਇਸਨੂੰ C2)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ C1 ਅਤੇ C2 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ sin2t+cos2t=1,
20. ਅਤੇ
21. ਇਸ ਲਈ,
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, C1 ਅਤੇ C2 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਹੈ, ਪਰ ∫C1F·dr≠∫C2F·dr। ਇਸ ਲਈ, F ਪਥ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਨ ਲਈ: F ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੀ ਗਲਤ ਹੋਇਆ? ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਮੁੱਦਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ℝ2 ਦਾ ਸਾਰਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਕਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ਲ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ F 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
24. ਅਸੀਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਉਪਯੋਗਤਾ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਰਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ∫CF·dr ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਗਿਣਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: ਕੀ F ਸੰਭਾਲਣਯੋਗ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਜਵਾਬ ਹਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 6.36
2. ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. ਰੇਖਾ ਅਖੰਡ ∫CF·dr,∫CF·dr ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਓ, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=〈2xeyz+exz,x2eyz,x2ey+ex〉F(x,y,z)=〈2xeyz+exz,x2eyz,x2ey+ex〉 ਅਤੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ ਤੋਂ (1,1,1).(1,1,1) ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਖੰਡ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕੀ F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੀ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰਾ ℝ3,ℝ3 ਹੈ, ਜੋ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮੋਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ
6. ਤਾਂ ਜੋ F=〈P,Q,R〉।F=〈P,Q,R〉। ਕਿਉਂਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ, ਕਰਾਸ ਪਾਰਸ਼ੀਅਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
7. ਇਸ ਲਈ, F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ।
8. ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫CF·dr∫CF·dr ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ff, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, ∇f=F,∇f=F, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ fx=2xeyz+exz.fx=2xeyz+exz। x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(y,z)f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(y,z) ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ h ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ 'ਤੇ x2eyz+hy=Q=x2eyz,x2eyz+hy=Q=x2eyz ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ hy=0।hy=0। ਇਸ ਲਈ, h ਸਿਰਫ z ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(z)।f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(z)। h ਲੱਭਣ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ fz=x2ey+ex+h′(z)=R=x2ey+ex।fz=x2ey+ex+h′(z)=R=x2ey+ex। ਇਸ ਲਈ, h′(z)=0h′(z)=0 ਅਤੇ ਅਸੀਂ h(z)=0 ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।h(z)=0। F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z)=x2eyz+exz.f(x,y,z)=x2eyz+exz ਹੈ।
9. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਖੰਡ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ,
10. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
11. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਹੀਂ ਪਛਾਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਕਿ F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ C ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰ C ਅਣਜਾਣ ਹੈ, ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੈ।
12. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.32
13. ਅਖੰਡ ∫CF·dr,∫CF·dr ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਓ, ਜਿੱਥੇ F(x,y)=〈sinxsiny,5−cosxcosy〉F(x,y)=〈sinxsiny,5−cosxcosy〉 ਅਤੇ C ਇੱਕ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (0,π)(0,π) ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,−π).(0,−π) ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 6.37
15. ਇੱਕ ਕਣ 'ਤੇ ਕੰਮ
16. ਮੰਨ ਲਓ F(x,y)=〈2xy2,2x2y〉F(x,y)=〈2xy2,2x2y〉 ਇੱਕ ਬਲ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਆਪਣੀ ਗਤੀ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਗਤੀ ਖਤਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ F ਕਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
17. ਹੱਲ
18. ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F ਕਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਇਹ ਦਿਖਾ ਕੇ ਕਿ F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
19. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ F ਰੂੜ੍ਹੀਵਾਦੀ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x,y)f(x,y) F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ। ਫਿਰ, ∇f=F=〈2xy2,2x2y〉∇f=F=〈2xy2,2x2y〉 ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ fx=2xy2fx=2xy2 ਅਤੇ fy=2x2y।fy=2x2y। ਸਮੀਕਰਨ fx=2xy2fx=2xy2 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f(x,y)=x2y2+h(y)।f(x,y)=x2y2+h(y)। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ 'ਤੇ fy=2x2y+h′(y)।fy=2x2y+h′(y)। ਇਸ ਲਈ, h′(y)=0h′(y)=0 ਅਤੇ ਅਸੀਂ h(y)=0 ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।h(y)=0।
20. ਜੇਕਰ f(x,y)=x2y2,f(x,y)=x2y2, ਫਿਰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ∇f=〈2xy2,2x2y〉=F,∇f=〈2xy2,2x2y〉=F, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ff, F ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
21. ਮੰਨ ਲਓ (a,b)(a,b) ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਆਪਣੀ ਗਤੀ ਰੋਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ C ਉਸ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਣ 'ਤੇ F ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ∫CF·dr.∫CF·dr ਹੈ। ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ,
22. ਕਿਉਂਕਿ a≠0a≠0 ਅਤੇ b≠0,b≠0, ਧਾਰਨਾ ਅਨੁਸਾਰ, a2b2>0।a2b2>0। ਇਸ ਲਈ, ∫CF·dr>0,∫CF·dr>0, ਅਤੇ F ਕਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
23. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
24. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਖਾ ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਸਿੱਖੇ ਗਏ ਸਾਧਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇਣ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਗਤੀ C ਦਾ ਮਾਰਗ ਜਿੰਨਾ ਅਸੀਂ ਚਾਹੀਏ ਓਨਾ ਹੀ ਵਿਦੇਸ਼ੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਇਹ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ), ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Checkpoint 6.33
Let F(x,y)=〈4x3y4,4x4y3〉,F(x,y)=〈4x3y4,4x4y3〉, and suppose that a particle moves from point (4,4)(4,4) to (1,1)(1,1) along any smooth curve. Is the work done by F on the particle positive, negative, or zero?
True or False? If vector field F is conservative on the open and connected region D, then line integrals of F are path independent on D, regardless of the shape of D.
True or False? Function r(t)=a+t(b−a),r(t)=a+t(b−a), where 0≤t≤1,0≤t≤1, parameterizes the straight-line segment from atob.atob.
True or False? Vector field F(x,y,z)=(ysinz)i+(xsinz)j+(xycosz)kF(x,y,z)=(ysinz)i+(xsinz)j+(xycosz)k is conservative.
True or False? Vector field F(x,y,z)=yi+(x+z)j−ykF(x,y,z)=yi+(x+z)j−yk is conservative.
Verify the Fundamental Theorem of Line Integrals for ∫CF·dr∫CF·dr by computing the integral using a parameterization and, separately, by finding a potential function for the case when F(x,y)=(2x+2y)i+(2x+2y)jF(x,y)=(2x+2y)i+(2x+2y)j and C is a portion of circle x2+y2=25x2+y2=25 oriented counterclockwise from (5, 0) to (3, 4).
[T] Find ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y)=(yexy+cosx)i+(xexy+1y2+1)jF(x,y)=(yexy+cosx)i+(xexy+1y2+1)j and C is a portion of curve y=sinxy=sinx from x=0x=0 to x=π2.x=π2.
[T] Evaluate line integral ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y)=(exsiny−y)i+(excosy−x−2)j,F(x,y)=(exsiny−y)i+(excosy−x−2)j, and C is the path given by r(t)=[t3sinπt2]i−[π2cos(πt2+π2)]jr(t)=[t3sinπt2]i−[π2cos(πt2+π2)]j for 0≤t≤1.0≤t≤1.
For the following exercises, determine whether the vector field is conservative and, if it is, find the potential function.
F ( x , y ) = 2 x y 3 i + 3 y 2 x 2 j F ( x , y ) = 2 x y 3 i + 3 y 2 x 2 j
F ( x , y ) = ( − y + e x sin y ) i + [ ( x + 2 ) e x cos y ] j F ( x , y ) = ( − y + e x sin y ) i + [ ( x + 2 ) e x cos y ] j
F ( x , y ) = ( e 2 x sin y ) i + [ e 2 x cos y ] j F ( x , y ) = ( e 2 x sin y ) i + [ e 2 x cos y ] j
F ( x , y ) = ( 6 x + 5 y ) i + ( 5 x + 4 y ) j F ( x , y ) = ( 6 x + 5 y ) i + ( 5 x + 4 y ) j
F ( x , y ) = [ 2 x cos ( y ) − y cos ( x ) ] i + [ − x 2 sin ( y ) − sin ( x ) ] j F ( x , y ) = [ 2 x cos ( y ) − y cos ( x ) ] i + [ − x 2 sin ( y ) − sin ( x ) ] j
F ( x , y ) = [ y e x + sin ( y ) ] i + [ e x + x cos ( y ) ] j F ( x , y ) = [ y e x + sin ( y ) ] i + [ e x + x cos ( y ) ] j
For the following exercises, evaluate the line integrals using the Fundamental Theorem of Line Integrals.
∫C(yi+xj)·dr,∫C(yi+xj)·dr, where C is any path from (0, 0) to (2, 4)
∫C(2ydx+2xdy),∫C(2ydx+2xdy), where C is the line segment from (0, 0) to (4, 4)
[T] ∫C[arctanyx−xyx2+y2]dx+[x2x2+y2+e−y(1−y)]dy,∫C[arctanyx−xyx2+y2]dx+[x2x2+y2+e−y(1−y)]dy, where C is any smooth curve from (1, 1) to (−1,2)(−1,2)
Find the conservative vector field for the potential function
For the following exercises, determine whether the vector field is conservative and, if so, find a potential function.
F ( x , y ) = ( 12 x y ) i + 6 ( x 2 + y 2 ) j F ( x , y ) = ( 12 x y ) i + 6 ( x 2 + y 2 ) j
F ( x , y ) = ( e x cos y ) i + 6 ( e x sin y ) j F ( x , y ) = ( e x cos y ) i + 6 ( e x sin y ) j
F ( x , y ) = ( 2 x y e x 2 y ) i + ( x 2 e x 2 y ) j F ( x , y ) = ( 2 x y e x 2 y ) i + ( x 2 e x 2 y ) j
F ( x , y , z ) = ( y e z ) i + ( x e z ) j + ( x y e z ) k F ( x , y , z ) = ( y e z ) i + ( x e z ) j + ( x y e z ) k
F ( x , y , z ) = ( sin y ) i − ( x cos y ) j + k F ( x , y , z ) = ( sin y ) i − ( x cos y ) j + k
F ( x , y , z ) = ( – 1 y ) i + ( x y 2 ) j + ( 2 z − 1 ) k F ( x , y , z ) = ( – 1 y ) i + ( x y 2 ) j + ( 2 z − 1 ) k
F ( x , y , z ) = 3 z 2 i − cos y j + 2 x z k F ( x , y , z ) = 3 z 2 i − cos y j + 2 x z k
F ( x , y , z ) = ( 2 x y ) i + ( x 2 + 2 y z ) j + y 2 k F ( x , y , z ) = ( 2 x y ) i + ( x 2 + 2 y z ) j + y 2 k
F ( x , y ) = ( 4 e x cos y ) i – ( 4 e x sin y ) j F ( x , y ) = ( 4 e x cos y ) i – ( 4 e x sin y ) j
F ( x , y ) = ( y e x 2 ) i + ( x 2 e y 2 ) j F ( x , y ) = ( y e x 2 ) i + ( x 2 e y 2 ) j
For the following exercises, evaluate the integral using the Fundamental Theorem of Line Integrals.
Evaluate ∫C∇f·dr,∫C∇f·dr, where f(x,y,z)=cos(πx)+sin(πy)−xyzf(x,y,z)=cos(πx)+sin(πy)−xyz and C is any path that starts at (1,12,2)(1,12,2) and ends at (2,1,−1).(2,1,−1).
[T] Evaluate ∫C∇f·dr,∫C∇f·dr, where f(x,y)=xy+exf(x,y)=xy+ex and C is a straight line from (0,0)(0,0) to (2,1).(2,1).
[T] Evaluate ∫C∇f·dr,∫C∇f·dr, where f(x,y)=x2y−xf(x,y)=x2y−x and C is any path in a plane from (1, 2) to (3, 2).
Evaluate ∫C∇f·dr,∫C∇f·dr, where f(x,y,z)=xyz2−yzf(x,y,z)=xyz2−yz and C has initial point (1, 2, 3) and terminal point (3, 5, 1).
For the following exercises, let F(x,y)=2xy2i+(2yx2+2y)jF(x,y)=2xy2i+(2yx2+2y)j and G(x,y)=(y+x)i+(y−x)j,G(x,y)=(y+x)i+(y−x)j, and let C1 be the curve consisting of the circle of radius 2, centered at the origin and oriented counterclockwise, and C2 be the curve consisting of a line segment from (0, 0) to (1, 1) followed by a line segment from (1, 1) to (3, 1).
Calculate the line integral of F over C1.
Calculate the line integral of G over C1.
Calculate the line integral of F over C2.
Calculate the line integral of G over C2.
[T] Let F(x,y,z)=x2i+zsin(yz)j+ysin(yz)k.F(x,y,z)=x2i+zsin(yz)j+ysin(yz)k. Calculate ∫CF·dr,∫CF·dr, where C is a path from A=(0,0,1)A=(0,0,1) to B=(3,1,2).B=(3,1,2).
[T] Find line integral ∫CF·dr∫CF·dr of vector field F(x,y,z)=3x2zi+z2j+(x3+2yz)kF(x,y,z)=3x2zi+z2j+(x3+2yz)k along curve C parameterized by r(t)=(lntln2)i+t3/2j+tcos(πt)k,1≤t≤4.r(t)=(lntln2)i+t3/2j+tcos(πt)k,1≤t≤4.
For the following exercises, show that the following vector fields are conservative by using a computer. Calculate ∫CF·dr∫CF·dr for the given curve.
F=(xy2+3x2y)i+(x+y)x2j;F=(xy2+3x2y)i+(x+y)x2j; C is the curve consisting of line segments from (1,1)(1,1) to (0,2)(0,2) to (3,0).(3,0).
F=2xy2+1i−2y(x2+1)(y2+1)2j;F=2xy2+1i−2y(x2+1)(y2+1)2j; C is parameterized by x=t3−1,y=t6−t,0≤t≤1.x=t3−1,y=t6−t,0≤t≤1.
[T] F=[cos(xy2)−xy2sin(xy2)]i−2x2ysin(xy2)j;F=[cos(xy2)−xy2sin(xy2)]i−2x2ysin(xy2)j; C is curve r(t)=et,et+1,−1≤t≤0.r(t)=et,et+1,−1≤t≤0.
The mass of Earth is approximately 6×1027g6×1027g and that of the Sun is 330,000 times as much. The gravitational constant is 6.7×10−8cm3/(s2·g).6.7×10−8cm3/(s2·g). The distance of Earth from the Sun is about 1.5×1012cm.1.5×1012cm. Compute, approximately, the work necessary to increase the distance of Earth from the Sun by 1cm.1cm.
[T] Let F=(exsiny)i+(excosy)j+z2k.F=(exsiny)i+(excosy)j+z2k. Evaluate the integral ∫CF·dr,∫CF·dr, where CC is the curve r(t)=t,t3,et,0≤t≤1.r(t)=t,t3,et,0≤t≤1.
[T] Let r:[1,2]→ℝ2r:[1,2]→ℝ2 be given by x=et−1,y=sin(πt).x=et−1,y=sin(πt). Use a computer to compute the integral ∫CF·dr=∫C2xcosydx−x2sinydy,∫CF·dr=∫C2xcosydx−x2sinydy, where F=(2xcosy)i−(x2siny)j.F=(2xcosy)i−(x2siny)j.
[T] Use a computer algebra system to find the mass of a wire that lies along curve r(t)=(t2−1)j+2tk,0≤t≤1,r(t)=(t2−1)j+2tk,0≤t≤1, if the density is 32t.32t.
Find the circulation and flux of field F=−yi+xjF=−yi+xj around and across the closed semicircular path that consists of semicircular arch r1(t)=(acost)i+(asint)j,0≤t≤π,r1(t)=(acost)i+(asint)j,0≤t≤π, followed by line segment r2(t)=ti,−a≤t≤a.r2(t)=ti,−a≤t≤a.
Compute ∫Ccosxcosydx−sinxsinydy,∫Ccosxcosydx−sinxsinydy, where c(t)=t,t2,0≤t≤1.c(t)=t,t2,0≤t≤1.
Complete the proof of The Path Independence Test for Conservative Fields by showing that fy=Q(x,y).fy=Q(x,y).