ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.2.1 ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
6.2.2 ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
6.2.3 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.2.4 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਫਲਕਸ ਅਤੇ ਸੰਚਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ∫abf(x)dx,∫abf(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b].[a,b] ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਤਰਾਲ (a,0)(a,0) ਅਤੇ (b,0)(b,0) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ—ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ ਦੇ ਉੱਤੇ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹੇ ਕੰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗੀ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਵੀ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਨੇੜਤਾ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਾਨੂੰ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਮਨਮਾਨੇ ਵਕਰਾਂ ਉੱਤੇ ਮਲਟੀ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ। ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਅਪਵਾਦ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਉਲਟ, ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ, ਅਸੀਂ C ਨੂੰ ਪਲੇਨ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਵਕਰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ f ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ C ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਟੁਕੜੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਟੁਕੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ P ਉੱਤੇ f ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ। (ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ।) ਅਸੀਂ f(P)f(P) ਨੂੰ ਟੁਕੜੇ ਦੀ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ Δs,Δs ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਉੱਤੇ ਗੁਣਾਂ f(P)Δsf(P)Δs ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ ਸ਼ੂਨਿਅ ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਵਰਣਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ CC ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੂਥ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉,r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉, a≤t≤b.a≤t≤b ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ f(x,y,z)f(x,y,z) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਵਕਰ C.C ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦੇ C,C ਉੱਤੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਾਂਗ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ l≤i≤n,l≤i≤n ਲਈ ਸਮਾਨ ਚੌੜਾਈ ਦੇ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [ti−1,ti][ti−1,ti] ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ, ਜਿੱਥੇ t0=at0=a ਅਤੇ tn=btn=b (ਚਿੱਤਰ 6.12)। ਮੰਨ ਲਓ ti*ti* iਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲ [ti−l,ti].[ti−l,ti] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ। r(t0),r(t1),…,r(tn)r(t0),r(t1),…,r(tn) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ P0,…,Pn.P0,…,Pn ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਓ। ਬਿੰਦੂ Pi ਵਕਰ CC ਨੂੰ nn ਟੁਕੜਿਆਂ C1,C2,…,Cn,C1,C2,…,Cn ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ Δs1,Δs2,…,Δsn,Δs1,Δs2,…,Δsn ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ Pi*Pi* 1≤i≤n.1≤i≤n ਲਈ r(ti*)r(ti*) ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ 1≤i≤n.1≤i≤n ਲਈ ਬਿੰਦੂ Pi*Pi* ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ Pi*Pi* ਟੁਕੜੇ Ci,Ci ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ Pi*Pi* f.f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। f(Pi*)f(Pi*) ਨੂੰ Ci,Ci ਦੀ ਲੰਬਾਈ ΔsiΔsi ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ Ci,Ci ਦੇ ਅਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ f(Pi*)f(Pi*) ਵਾਲੇ "ਸ਼ੀਟ" ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ∑i=1nf(Pi*)Δsi.∑i=1nf(Pi*)Δsi ਦਾ ਜੋੜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਜੋੜ ਦੀ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਨਾਲ ਸਮਾਨਤਾ ਦੇਖੋ; ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਮਨਮਾਨੇ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਦਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨਕਰਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੀਮਨ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ∫abg(x)dx,∫abg(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ ਵਕਰ ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਸ਼ੂਨਿਅ ਤੱਕ ਘਟਾ ਕੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ CC ਦੇ ਨਾਲ ff ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.12: ਵਕਰ C ਨੂੰ n ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ Δs1,Δs2,…,ΔsnΔs1,Δs2,…,Δsn ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅੰਤਰ ਦਾ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਸ਼ੂਨਿਅ ਤੱਕ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੰਨੇ ਨੇੜੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਛੋਟਾ ਅੰਤਰ ਅਪ੍ਰਸੰਗਿਕ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਥ ਵਕਰ CC ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉,r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉, a≤t≤b.a≤t≤b ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। CC ਦੇ ਨਾਲ f ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ
ਜੇ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ (ti*(ti* ਅਤੇ ΔsiΔsi ਪਿਛਲੇ ਪੈਰਾਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਾਂਗ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ)। ਜੇ C ਇੱਕ ਪਲੇਨਰ ਵਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ C ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=x(t),y=y(t),x=x(t),y=y(t), ਅਤੇ a≤t≤b.a≤t≤b ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ C ਸਮੂਥ ਹੈ ਅਤੇ f(x,y)f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ C ਦੇ ਨਾਲ f ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜੇ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ff ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ C ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ∫Cfds ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ∫Cfds ਨੂੰ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ff ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸੀਮਾ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਦੇਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ∫abg(x)dx ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ g [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਵੇ।
ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੈਪਚਰ ਕੀਤੀ ਗਈ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C ਉੱਤੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਲਈ f(x,y)≥0 ਹੈ। ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ C ਲਈ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ f(x,y) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਤੱਕ "ਉੱਪਰ" ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵਕਰ C′ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ ਜੋ f(x,y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.13)। ਹੁਣ ਅਸੀਂ C′ ਤੋਂ xy-ਪਲੇਨ ਤੱਕ ਇੱਕ "ਸ਼ੀਟ" ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ∫Cf(x,y)ds ਹੈ। ਜੇਕਰ C ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ f(x,y)≤0 ਹੈ, ਤਾਂ ∫Cf(x,y)ds ਦਾ ਮੁੱਲ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (∫abg(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸਮਾਨਤਾ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।)
ਚਿੱਤਰ 6.13: ਨੀਲੀ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ∫Cf(x,y)ds ਹੈ।
ਇਸ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ∫Cf(x,y)ds, C ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t) ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਲਨ ਅਤੇ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਬਣੀ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਦਲੀਲ ਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਤਿੰਨ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫਲਨ ਦਾ ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਵਕਰ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.14
ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਅਨੁਕਲਨ ∫C2ds ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ C ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਇੰਟਿਗ੍ਰੈਂਡ f(x,y)=2 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6.14 f(x,y)=2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ, ਵਕਰ C, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸ਼ੀਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ π ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ 2 ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ∫C2ds=2π।
ਚਿੱਤਰ 6.14: ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਅਤੇ f(x,y)=2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸ਼ੀਟ।
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ∫C2ds=2π ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ C ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t) ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, r ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ t_i ਲਈ f(r(t_i))=2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.13
∫C(x+y)ds ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ C ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ x=t, y=t, 0≤t≤1 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਵਿੱਚ, ਅਨੁਕਲਨ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ s ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ∫Cfds ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੁਕਲਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ C ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉 a≤t≤b ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ C ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ, r′(t)=〈x′(t),y′(t),z′(t)〉 [a,b] ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ t ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, x′(t), y′(t), ਅਤੇ z′(t) [a,b] ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ t ਲਈ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਚੌੜਾਈ Δt_i=t_i−t_{i−1} ਛੋਟੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∫_{t_{i−1}}^{t_i} ‖r′(t)‖dt ≈ ‖r′(t_i*)‖Δt_i, ‖r′(t)‖ ਅੰਤਰਾਲ [t_{i−1},t_i] ਉੱਤੇ ਲਗਭਗ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 6.15 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 6.15: ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ Δt_i ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਬਣਾ ਕੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਕਾਫ਼ੀ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਟੁਕੜਾ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਤਰਾਲਾਂ [t_{i−1},t_i] ਦੀਆਂ ਚੌੜਾਈਆਂ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਘਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋੜ ∑_{i=1}^n f(r(t_i*))‖r′(t_i*)‖Δt_i, ਅਨੁਕਲਨ ∫_a^b f(r(t))‖r′(t)‖dt ਵਿੱਚ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਥਿਊਰਮ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.3
ਸਕੇਲਰ ਰੇਖਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ C ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t), a≤t≤b ਹੈ। ਫਿਰ
ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 6.6 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 6.6 ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ n→∞.n→∞. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਨ ਦੇਣ ਨਾਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਜੋੜ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਥਿਊਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.4
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਥ ਕਰਵ C ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉,a≤t≤b.r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉,a≤t≤b. ਹੈ। ਫਿਰ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਜੇਕਰ C ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਕਰਵ ਹੈ ਅਤੇ f ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ds=‖r′(t)‖dt.ds=‖r′(t)‖dt. ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ t ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ r′(t).r′(t). ਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੁਆਰਾ ਸਕੇਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.15
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∫C(x2+y2+z)ds,∫C(x2+y2+z)ds, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਹੈਲਿਕਸ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ r(t)=〈cost,sint,t〉,r(t)=〈cost,sint,t〉, 0≤t≤2π.0≤t≤2π. ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ s ਤੋਂ t ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(r(t))=cos2t+sin2t+t=1+tf(r(t))=cos2t+sin2t+t=1+t ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਨੇ ਅਸਲ ਮੁਸ਼ਕਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਬੰਧਨਯੋਗ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ। ਕਿਉਂਕਿ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.14
∫C(x2+y2+z)ds,∫C(x2+y2+z)ds, ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=⟨sin(3t),cos(3t),t⟩,0≤t≤2π.r(t)=⟨sin(3t),cos(3t),t⟩,0≤t≤2π. ਨਾਲ ਕਰਵ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.16
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਸੁਤੰਤਰਤਾ
ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∫C(x2+y2+z)ds,∫C(x2+y2+z)ds, ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਹੈਲਿਕਸ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ r(t)=〈cos(2t),sin(2t),2t〉,0≤t≤π.r(t)=〈cos(2t),sin(2t),2t〉,0≤t≤π. ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕਰਵ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ; ਇੱਕੋ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕਰਵ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮਾਂ ਦੁੱਗਣੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲੇ।
ਹੱਲ
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(r(t))=cos2(2t)+sin2(2t)+2t=2t+1f(r(t))=cos2(2t)+sin2(2t)+2t=2t+1 ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਜਵਾਬ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲਿਆ। ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਲੰਘਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.15
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫C(x2+yz)ds,∫C(x2+yz)ds ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ CC ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈2t,5t,−t〉,0≤t≤10.r(t)=〈2t,5t,−t〉,0≤t≤10 ਹੈ। C ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ s(t)=〈4t,10t,−2t〉,0≤t≤5,s(t)=〈4t,10t,−2t〉,0≤t≤5 ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫C(x2+yz)ds,∫C(x2+yz)ds ਦੀ ਮੁੜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਕੋਈ ਅਸਰ ਨਹੀਂ ਪਿਆ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f(x,y,z)=1,f(x,y,z)=1, ਤਾਂ
ਇਸ ਲਈ, ∫C1ds∫C1ds, C ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।C.
ਉਦਾਹਰਨ 6.17
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਤਾਰ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=⟨cost,sint,23t3/2⟩,0≤t≤4π.r(t)=⟨cost,sint,23t3/2⟩,0≤t≤4π ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ∫C1ds,∫C1ds ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ C ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r ਵਾਲੀ ਵਕਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.16
ਇੱਕ ਤਾਰ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈3t+1,4−2t,5+2t〉,0≤t≤4.r(t)=〈3t+1,4−2t,5+2t〉,0≤t≤4 ਹੈ, ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਦੂਜਾ ਪ੍ਰਕਾਰ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ
ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਕਣ 'ਤੇ ਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ C ℝ3ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ F.F ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। F ਦੁਆਰਾ C ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ?
ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕਣ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਅਗਾਂਹੂ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਿਛਾਂਹੂ ਦਿਸ਼ਾ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ C ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ; ਅਜਿਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਦਿਸ਼ਾ C ਦੇ ਨਾਲ ਅਗਾਂਹੂ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ; ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ C ਦੇ ਨਾਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ C ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ C ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਵਕਰ (ਚਿੱਤਰ 6.16) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਣ 'ਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਣ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਉਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t),r(t), a≤t≤b,a≤t≤b, ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ r(a)=r(b),r(a)=r(b), ਅਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਲੰਘਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਡੋਮੇਨ (a,b).(a,b) 'ਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.16: (a) ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਵਕਰ। (b) ਇੱਕ ਬੰਦ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਵਕਰ।
ਮੰਨ ਲਓ r(t)r(t) C ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ a≤t≤ba≤t≤b ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਵਕਰ ਨੂੰ ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਲੰਘਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਣ C ਦੇ ਅਗਾਂਹੂ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ [ti−1,ti],0≤i≤n,[ti−1,ti],0≤i≤n, ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। r(t0),r(t1),…,r(tn)r(t0),r(t1),…,r(tn) ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ P0,…,Pn.P0,…,Pn. ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਓ। ਬਿੰਦੂ Pi, C ਨੂੰ n ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ। Pi−1 ਤੋਂ Pi ਤੱਕ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ Δsi.Δsi. ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਓ। ਹਰੇਕ i ਲਈ, ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [ti−1,ti].[ti−1,ti] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ti*ti* ਚੁਣੋ। ਫਿਰ, r(ti*)r(ti*) ਦਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ Pi−1Pi−1 ਅਤੇ PiPi ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ C ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.17)। ਜੇਕਰ ΔsiΔsi ਛੋਟਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਣ Pi−1Pi−1 ਤੋਂ PiPi ਤੱਕ C ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ r(ti*) ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ T(Pi),T(Pi) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ Pi*Pi* r(ti*) ਦਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਫਿਰ, Pi−1Pi−1 ਤੋਂ PiPi ਤੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਬਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ F(Pi*)·(ΔsiT(Pi*)),F(Pi*)·(ΔsiT(Pi*)) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ C ਦੇ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੁੱਲ ਕੰਮ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 6.17: ਵਕਰ C ਨੂੰ n ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ F ਨਾਲ ਡਾਟ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ F(Pi*)·T(Pi*) ਦੁਆਰਾ ਲਗਭਗ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
C ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ n→∞n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ ਅਣਗਿਣਤ ਛੋਟਾ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ C ਦੇ ਨਾਲ ਕਣ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, C ਦੇ ਨਾਲ ਅਗਾਂਹੂ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਣ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ F ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ C ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ
if that limit exists.
With scalar line integrals, neither the orientation nor the parameterization of the curve matters. As long as the curve is traversed exactly once by the parameterization, the value of the line integral is unchanged. With vector line integrals, the orientation of the curve does matter. If we think of the line integral as computing work, then this makes sense: if you hike up a mountain, then the gravitational force of Earth does negative work on you. If you walk down the mountain by the exact same path, then Earth’s gravitational force does positive work on you. In other words, reversing the path changes the work value from negative to positive in this case. Note that if C is an oriented curve, then we let −C represent the same curve but with opposite orientation.
As with scalar line integrals, it is easier to compute a vector line integral if we express it in terms of the parameterization function r and the variable t. To translate the integral ∫CF·Tds∫CF·Tds in terms of t, note that unit tangent vector T along C is given by T=r′(t)‖r′(t)‖T=r′(t)‖r′(t)‖ (assuming ‖r′(t)‖≠0).‖r′(t)‖≠0). Since ds=‖r′(t)‖dt,ds=‖r′(t)‖dt, as we saw when discussing scalar line integrals, we have
Thus, we have the following formula for computing vector line integrals:
Because of Equation 6.9, we often use the notation ∫CF·dr∫CF·dr for the line integral ∫CF·Tds.∫CF·Tds.
If r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉,r(t)=〈x(t),y(t),z(t)〉, then dr denotes vector differential 〈x′(t),y′(t),z′(t)〉dt.〈x′(t),y′(t),z′(t)〉dt.
Example 6.18
Evaluating a Vector Line Integral
Find the value of integral ∫CF·dr,∫CF·dr, where CC is the semicircle parameterized by r(t)=〈cost,sint〉,r(t)=〈cost,sint〉, 0≤t≤π0≤t≤π and F=〈−y,x〉.F=〈−y,x〉.
Solution
We can use Equation 6.9 to convert the variable of integration from r to t. We then have
Therefore,
See Figure 6.18.
Figure 6.18: This figure shows curve r(t)=〈cost,sint〉,0≤t≤πr(t)=〈cost,sint〉,0≤t≤π in vector field F=〈−y,x〉.F=〈−y,x〉.
Example 6.19
Reversing Orientation
Find the value of integral ∫CF·dr,∫CF·dr, where CC is the semicircle parameterized by r(t)=〈cos(t+π),sint〉,0≤t≤πr(t)=〈cos(t+π),sint〉,0≤t≤π and F=〈−y,x〉.F=〈−y,x〉.
Solution
Notice that this is the same problem as Example 6.18, except the orientation of the curve has been reversed. In this example, the parameterization starts at r(0)=〈–1,0〉r(0)=〈–1,0〉 and ends at r(π)=〈1,0〉.r(π)=〈1,0〉. By Equation 6.9,
Notice that this is the negative of the answer in Example 6.18. It makes sense that this answer is negative because the orientation of the curve goes against the “flow” of the vector field.
Let C be an oriented curve and let −C denote the same curve but with the orientation reversed. Then, the previous two examples illustrate the following fact:
That is, reversing the orientation of a curve changes the sign of a line integral.
Checkpoint 6.17
Let F=xi+yjF=xi+yj be a vector field and let C be the curve with parameterization 〈t,t2〉〈t,t2〉 for 0≤t≤2.0≤t≤2. Which is greater: ∫CF·Tds∫CF·Tds or ∫−CF·Tds?∫−CF·Tds?
Another standard notation for integral ∫CF·dr∫CF·dr is ∫CPdx+Qdy+Rdz.∫CPdx+Qdy+Rdz. In this notation, P, Q, and R are functions, and we think of dr as vector 〈dx,dy,dz〉.〈dx,dy,dz〉. To justify this convention, recall that dr=Tds=r′(t)dt=〈dxdt,dydt,dzdt〉dt.dr=Tds=r′(t)dt=〈dxdt,dydt,dzdt〉dt. Therefore,
If dr=〈dx,dy,dz〉,dr=〈dx,dy,dz〉, then drdt=〈dxdt,dydt,dzdt〉,drdt=〈dxdt,dydt,dzdt〉, which implies that dr=〈dxdt,dydt,dzdt〉dt.dr=〈dxdt,dydt,dzdt〉dt. Therefore
Example 6.20
Finding the Value of an Integral of the Form ∫CPdx+Qdy+Rdz∫CPdx+Qdy+Rdz
Find the value of integral ∫Czdx+xdy+ydz,∫Czdx+xdy+ydz, where C is the curve parameterized by r(t)=〈t2,t,t〉,1≤t≤4.r(t)=〈t2,t,t〉,1≤t≤4.
Solution
As with our previous examples, to compute this line integral we should perform a change of variables to write everything in terms of t. In this case, Equation 6.10 allows us to make this change:
Checkpoint 6.18
Find the value of ∫C4xdx+zdy+4y2dz,∫C4xdx+zdy+4y2dz, where CC is the curve parameterized by r(t)=〈4cos(2t),2sin(2t),3〉,0≤t≤π4.r(t)=〈4cos(2t),2sin(2t),3〉,0≤t≤π4.
We have learned how to integrate smooth oriented curves. Now, suppose that C is an oriented curve that is not smooth, but can be written as the union of finitely many smooth curves. In this case, we say that C is a piecewise smooth curve. To be precise, curve C is piecewise smooth if C can be written as a union of n smooth curves C1,C2,…,CnC1,C2,…,Cn such that the endpoint of CiCi is the starting point of Ci+1Ci+1 (Figure 6.19). When curves CiCi satisfy the condition that the endpoint of CiCi is the starting point of Ci+1,Ci+1, we write their union as C1+C2+⋯+Cn.C1+C2+⋯+Cn.
Figure 6.19: The union of C1,C2,C3C1,C2,C3 is a piecewise smooth curve.
The next theorem summarizes several key properties of vector line integrals.
Theorem 6.5
Properties of Vector Line Integrals
Let F and G be continuous vector fields with domains that include the oriented smooth curve C. Then
∫C(F+G)·dr=∫CF·dr+∫CG·dr∫C(F+G)·dr=∫CF·dr+∫CG·dr
∫CkF·dr=k∫CF·dr,∫CkF·dr=k∫CF·dr, where k is a constant
∫−CF·dr=−∫CF·dr∫−CF·dr=−∫CF·dr
Suppose instead that C is a piecewise smooth curve in the domains of F and G, where C=C1+C2+⋯+CnC=C1+C2+⋯+Cn and C1,C2,…,CnC1,C2,…,Cn are smooth curves such that the endpoint of CiCi is the starting point of Ci+1.Ci+1. Then ∫CF·dr=∫C1F·dr+∫C2F·dr+⋯+∫CnF·dr.∫CF·dr=∫C1F·dr+∫C2F·dr+⋯+∫CnF·dr.
Notice the similarities between these items and the properties of single-variable integrals. Properties i. and ii. say that line integrals are linear, which is true of single-variable integrals as well. Property iii. says that reversing the orientation of a curve changes the sign of the integral. If we think of the integral as computing the work done on a particle traveling along C, then this makes sense. If the particle moves backward rather than forward, then the value of the work done has the opposite sign. This is analogous to the equation ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx.∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx. Finally, if [a1,a2],[a2,a3],…,[an−1,an][a1,a2],[a2,a3],…,[an−1,an] are intervals, then
which is analogous to property iv.
Example 6.21
Using Properties to Compute a Vector Line Integral
Find the value of integral ∫CF·Tds,∫CF·Tds, where C is the rectangle (oriented counterclockwise) in a plane with vertices (0,0),(2,0),(2,1),and(0,1),(0,0),(2,0),(2,1),and(0,1), and where F=〈x−2y,y−x〉F=〈x−2y,y−x〉 (Figure 6.20).
ਚਿੱਤਰ 6.20: ਉਦਾਹਰਨ 6.21 ਲਈ ਆਇਤ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ C ਇਸਦੇ ਚਾਰ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਸੰਯੋਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਪਾਸਾ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ C ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ। C1C1 ਨੂੰ (0,0) ਤੋਂ (2,0) ਤੱਕ ਦੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿਓ, C2C2 ਨੂੰ (2,0) ਤੋਂ (2,1) ਤੱਕ ਦੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿਓ, C3C3 ਨੂੰ (2,1) ਤੋਂ (0,1) ਤੱਕ ਦੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿਓ, ਅਤੇ C4C4 ਨੂੰ (0,1) ਤੋਂ (0,0) ਤੱਕ ਦੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿਓ (ਚਿੱਤਰ 6.20)। ਫਿਰ,
ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਚਾਰਾਂ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਆਇਤ ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਚਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ C ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚੱਲਦੇ ਹਨ):
ਇਸ ਲਈ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ C1 ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਡੀ ਗਤੀ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਆਮ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਗਦੀ ਹੈ। C1 ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਵਕਰ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ 90° ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਫੋਰਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਸਾਰਾ C1 ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਤਿੰਨ ਹੋਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਲਈ ਗਣਨਾਵਾਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ:
ਅਤੇ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∫CF·dr=2 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.19
ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫CF·dr, ਜਿੱਥੇ F ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ 〈y2,2xy+1〉 ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,0), (4,0), ਅਤੇ (0,5) ਹਨ, ਜੋ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਜਾਂ ਪੁੰਜ, ਦਿੱਤੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੀ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰ, ਜਾਂ ਰੇਖੀ ਚਾਰਜ ਘਣਤਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਚਾਰਜਡ ਤਾਰ ਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਫੋਰਸ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਕਣ 'ਤੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਤਾਰ ਦਾ ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਫੋਰਸ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵਕਰ C ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਪੁੰਜ (ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ) ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫Cρ(x,y,z)ds ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਾਰ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪੁੰਜ ਘਣਤਾ ਗੁਣਾ ਲੰਬਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਤਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜੇ ਦੀ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ (x*,y*,z*) ਵਿੱਚ ρ(x*,y*,z*)Δs ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਸੀਮਾ ਨਾਲ ਸੁੰਗੜਨ ਦੇਣ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫Cρ(x,y,z)ds ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.22
ਤਾਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ 〈t,2cost,2sint〉, 0≤t≤π2, ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z)=ex+yz kg/m (ਚਿੱਤਰ 6.21) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.21: ਉਦਾਹਰਨ 6.22 ਤੋਂ ਤਾਰ।
ਹੱਲ
ਸਪਰਿੰਗ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫C(ex+yz)ds ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ C ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈਲਿਕਸ ਹੈ। ਇਸ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ t ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ, ਪੁੰਜ 5(eπ/2+1) kg ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.20
ਇੱਕ ਹੈਲਿਕਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਪਰਿੰਗ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੋ r(t)=〈cost,sint,t〉,0≤t≤6π, ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y,z)=x+y+z kg/m ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਕੋਈ ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੋਰਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਉਪਯੋਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਫੋਰਸ ਫੀਲਡ F ਵਿੱਚ ਵਕਰ C ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੰਮ ∫CF·dr ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 6.23
2. ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ
3. ਵੈਕਟਰ ਫੋਰਸ ਫੀਲਡ F=〈yz,xy,xz〉 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪਾਥ r(t)=〈t2,t,t4〉, 0≤t≤1 ਉੱਤੇ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ? ਅੰਕੜਾ 6.22 ਦੇਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਮੰਨ ਲਓ C ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਾਥ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ∫CF·dr.∫CF·dr. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 6.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
6. ਅੰਕੜਾ 6.22: ਮਿਸਾਲ 6.23 ਲਈ ਵਕਰ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ।
7. ਫਲਕਸ ਅਤੇ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ
8. ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਦੋ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪਾਂ: ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਕੇ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਲਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਕਰ ਰਾਹੀਂ ਤਰਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੰਜ਼ਰਵੇਟਿਵ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਫੀਲਡਜ਼ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸੰਕਲਪ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਭਾਰੀ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਫਲਕਸ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਲਈ, ਅਤੇ ਉੱਚ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਟੋਕਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਤੇ ਡਾਈਵਰਜੈਂਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
9. ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਹੈ ਅਤੇ F ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ C ਇੱਕ ਝਿੱਲੀ ਹੈ ਜਿਸ ਰਾਹੀਂ ਤਰਲ ਵਗਦਾ ਹੈ, ਪਰ C ਤਰਲ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ ਰੋਕਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, C ਤਰਲ ਲਈ ਇੱਕ ਆਦਰਸ਼ ਝਿੱਲੀ ਹੈ ਜੋ ਅਦਿੱਖ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ F ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ C ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਮਾਪ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
10. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ C ਦੇ ਨਾਲ F ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Tds∫CF·Tds ਹੈ—ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਯੂਨਿਟ ਟੈਂਜੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ ਜੋ ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਯੂਨਿਟ ਟੈਂਜੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਨੋਰਮਲ ਵੈਕਟਰ N(t)N(t) ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Nds,∫CF·Nds ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ C ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਹੀ ਹੋਣ ਲਈ, ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Nds∫CF·Nds ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Tds,∫CF·Tds ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਵਿੱਚ T ਨੂੰ N ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, C ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
11. ਜਿੱਥੇ Pi*Pi* ਅਤੇ ΔsiΔsi ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Tds.∫CF·Tds ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ N ਅਤੇ T ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹਨ।
12. ਜੇਕਰ F ਤਰਲ ਦਾ ਵੇਗ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਝਿੱਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ C ਉੱਤੇ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਸਮਾਂ C ਉੱਤੇ ਵਗਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਦਰ ਹੈ।
13. ਵਧੇਰੇ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ r(t)=〈x(t),y(t)〉,a≤t≤b.a≤t≤b. ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ n(t)=〈y′(t),−x′(t)〉n(t)=〈y′(t),−x′(t)〉 ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ r(t)r(t) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ C ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ C ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਅੰਕੜਾ 6.23)। ਫਿਰ, N(t)=n(t)‖n(t)‖N(t)=n(t)‖n(t)‖ C ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ C ਦਾ ਯੂਨਿਟ ਨੋਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ r(t)r(t) ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ C ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ C ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
14. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
15. C ਉੱਤੇ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·n(t)‖n(t)‖ds.∫CF·n(t)‖n(t)‖ds. ਹੈ।
16. ਅੰਕੜਾ 6.23: ਵਕਰ C ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੁਆਰਾ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
17. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ (ਦੇਖੋ ਸਮੀਕਰਨ 6.9)।
18. ਪ੍ਰਮੇਯ 6.6
19. ਇੱਕ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਫਲਕਸ ਦੀ ਗਣਨਾ
20. ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈x(t),y(t)〉,a≤t≤b.r(t)=〈x(t),y(t)〉,a≤t≤b. ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ n(t)=〈y′(t),−x′(t)〉.n(t)=〈y′(t),−x′(t)〉। C ਉੱਤੇ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਹੈ:
21. ਸਬੂਤ
22. ਸਮੀਕਰਨ 6.11 ਦਾ ਸਬੂਤ ਸਮੀਕਰਨ 6.8 ਦੇ ਸਬੂਤ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਡੈਰੀਵ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ‖n(t)‖=‖〈y′(t),−x′(t)〉‖=(y′(t))2+(x′(t))2=‖r′(t)‖.‖n(t)‖=‖〈y′(t),−x′(t)〉‖=(y′(t))2+(x′(t))2=‖r′(t)‖। ਇਸ ਲਈ,
23. □
24. ਮਿਸਾਲ 6.24
ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ
F=〈2x,2y〉F=〈2x,2y〉 ਦਾ ਇੱਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਗਿਣੋ, ਜੋ ਕਿ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.24)।
ਚਿੱਤਰ 6.24: ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F=〈2x,2y〉F=〈2x,2y〉 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈cost,sint〉,r(t)=〈cost,sint〉, 0≤t≤2π.0≤t≤2π. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ 〈cost,sint〉.〈cost,sint〉 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਵਾਹ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.21
F=〈x+y,2y〉F=〈x+y,2y〉 ਦਾ (0,0)(0,0) ਤੋਂ (2,3),(2,3) ਤੱਕ ਦੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਗਿਣੋ, ਜਿੱਥੇ ਵਕਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉 ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Tds∫CF·Tds ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ∫CPdx+Qdy.∫CPdx+Qdy. ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪ੍ਰਵਾਹ ∫CF·Nds∫CF·Nds ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ∫C−Qdx+Pdy,∫C−Qdx+Pdy, ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਕਾਈ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ N, ਇਕਾਈ ਟੈਂਜੈਂਟ T ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ dr=〈dx,dy〉dr=〈dx,dy〉 ਨੂੰ 90° ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ 〈dy,−dx〉.〈dy,−dx〉 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ 6.21 ਵਿੱਚ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ∫C−2ydx+2xdy.∫C−2ydx+2xdy. ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਵੱਲ ਮੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਬੰਦ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ F ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ, C ਦੇ ਨਾਲ F ਦੀ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਆਪਣਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ∫CF·Tds.∫CF·Tds. ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉੱਤੇ ਚੱਕਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ C "ਚੱਕਰੀ" ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਸਿਰੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6.18 ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਸ਼ਬਦ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਕੀ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ v ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂ P ਉੱਤੇ, v(P) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ T(P) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਜਿੰਨੀ ਨੇੜੇ ਹੋਵੇਗੀ, ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ v(P)·T(P).v(P)·T(P) ਦਾ ਮੁੱਲ ਉੱਨਾ ਹੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ। v(P)·T(P)v(P)·T(P) ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; v(P)·T(P)v(P)·T(P) ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ∫Cv·Tds∫Cv·Tds ਦਾ ਮੁੱਲ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੀ ਰੁਝਾਨ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.25
ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ F=〈−y,x〉F=〈−y,x〉 ਉਦਾਹਰਨ 6.16 ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ C ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। C ਦੇ ਨਾਲ F ਦੀ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ: r(t)=〈cost,sint〉,0≤t≤2π.r(t)=〈cost,sint〉,0≤t≤2π. ਫਿਰ, F(r(t))=〈−sint,cost〉F(r(t))=〈−sint,cost〉 ਅਤੇ r′(t)=〈−sint,cost〉.r′(t)=〈−sint,cost〉। ਇਸ ਲਈ, C ਦੇ ਨਾਲ F ਦੀ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ C ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ F ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ "ਪ੍ਰਵਾਹ" ਕਰਦੀ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ F ਤੋਂ ਵੈਕਟਰ 90° ਤੋਂ ਘੱਟ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.25 ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ? ਅਸੀਂ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ −C.−C. ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ F ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਪ੍ਰਵਾਹ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.22
F(x,y)=〈−yx2+y2,xx2+y2〉F(x,y)=〈−yx2+y2,xx2+y2〉 ਦੀ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਸਰਕੂਲੇਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.26
ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਉਸ ਕਣ ਉੱਤੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 2 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ C ਉੱਤੇ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ, ਖੇਤਰ F(x,y)=〈−2,y〉.F(x,y)=〈−2,y〉 ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕਣ ਆਪਣੀ ਗਤੀ (1,0).(1,0) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
The work done by F on the particle is the circulation of F along C: ∫CF·Tds.∫CF·Tds. We use the parameterization r(t)=〈2cost,2sint〉,0≤t≤2πr(t)=〈2cost,2sint〉,0≤t≤2π for C. Then, r′(t)=〈−2sint,2cost〉r′(t)=〈−2sint,2cost〉 and F(r(t))=〈−2,2sint〉.F(r(t))=〈−2,2sint〉. Therefore, the circulation of F along C is
The force field does zero work on the particle.
Notice that the circulation of F along C is zero. Furthermore, notice that since F is the gradient of f(x,y)=−2x+y22,f(x,y)=−2x+y22, F is conservative. We prove in a later section that under certain broad conditions, the circulation of a conservative vector field along a closed curve is zero.
Checkpoint 6.23
Calculate the work done by field F(x,y)=〈2x,3y〉F(x,y)=〈2x,3y〉 on a particle that traverses the unit circle. Assume the particle begins its movement at (−1,0).(−1,0).
True or False? Line integral ∫Cf(x,y)ds∫Cf(x,y)ds is equal to a definite integral if C is a smooth curve defined on [a,b][a,b] and if function ff is continuous on some region that contains curve C.
True or False? Vector functions r1=ti+t2j,r1=ti+t2j, 0≤t≤1,0≤t≤1, and r2=(1−t)i+(1−t)2j,r2=(1−t)i+(1−t)2j, 0≤t≤1,0≤t≤1, define the same oriented curve.
True or False? ∫−C(Pdx+Qdy)=∫C(Pdx−Qdy)∫−C(Pdx+Qdy)=∫C(Pdx−Qdy)
True or False? A piecewise smooth curve C consists of a finite number of smooth curves that are joined together end to end.
True or False? If C is given by x(t)=t,y(t)=t, 0≤t≤1,x(t)=t,y(t)=t, 0≤t≤1, then ∫Cxyds=∫01t2dt.∫Cxyds=∫01t2dt.
For the following exercises, use a computer algebra system (CAS) to evaluate the line integrals over the indicated path.
[T] ∫C(x+y)ds∫C(x+y)ds
C:x=t,y=(1−t),z=0C:x=t,y=(1−t),z=0 from (0, 1, 0) to (1, 0, 0)
[T] ∫C(x−y)ds∫C(x−y)ds
C:r(t)=4ti+3tjC:r(t)=4ti+3tj when 0≤t≤20≤t≤2
[T] ∫C(x2+y2+z2)ds∫C(x2+y2+z2)ds
C:r(t)=sinti+costj+8tkC:r(t)=sinti+costj+8tk when 0≤t≤π20≤t≤π2
[T] Evaluate ∫Cxy4ds,∫Cxy4ds, where C is the right half of circle x2+y2=16x2+y2=16 and is traversed in the clockwise direction.
[T] Evaluate ∫C4x3ds,∫C4x3ds, where C is the line segment from (−2,−1)(−2,−1) to (1, 2).
For the following exercises, find the work done.
Find the work done by vector field F(x,y,z)=xi+3xyj−(x+z)kF(x,y,z)=xi+3xyj−(x+z)k on a particle moving along a line segment that goes from (1,4,2)(1,4,2) to (0,5,1).(0,5,1).
Find the work done by a person weighing 150 lb walking exactly one revolution up a circular, spiral staircase of radius 3 ft if the person rises 10 ft.
Find the work done by force field F(x,y,z)=−12xi−12yj+14kF(x,y,z)=−12xi−12yj+14k on a particle as it moves along the helix r(t)=costi+sintj+tkr(t)=costi+sintj+tk from point (1,0,0)(1,0,0) to point (−1,0,3π).(−1,0,3π).
Find the work done by vector field F(x,y)=yi+2xjF(x,y)=yi+2xj in moving an object along path C, the straight line which joins points (1, 0) and (0, 1).
Find the work done by force F(x,y)=2yi+3xj+(x+y)kF(x,y)=2yi+3xj+(x+y)k in moving an object along curve r(t)=cos(t)i+sin(t)j+16k,r(t)=cos(t)i+sin(t)j+16k, where 0≤t≤2π.0≤t≤2π.
Find the mass of a wire in the shape of a circle of radius 2 centered at (3, 4) with linear mass density ρ(x,y)=y2.ρ(x,y)=y2.
For the following exercises, evaluate the line integrals.
Evaluate ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y)=−1j,F(x,y)=−1j, and C is the part of the graph of y=12x3−xy=12x3−x from (2,2)(2,2) to (−2,−2).(−2,−2).
Evaluate ∫γ(x2+y2+z2)−1ds,∫γ(x2+y2+z2)−1ds, where γγ is the helix x=cost,y=sint,z=t(0≤t≤T).x=cost,y=sint,z=t(0≤t≤T).
Evaluate ∫Cyzdx+xzdy+xydz∫Cyzdx+xzdy+xydz over the line segment from (1,1,1)(1,1,1) to (3,2,0).(3,2,0).
Let C be the line segment from point (0, 1, 1) to point (2, 2, 3). Evaluate line integral ∫Cyds.∫Cyds.
[T] Use a computer algebra system to evaluate the line integral ∫Cy2dx+xdy,∫Cy2dx+xdy, where C is the arc of the parabola x=4−y2x=4−y2 from (−5, −3) to (0, 2).
[T] Use a computer algebra system to evaluate the line integral ∫C(x+3y2)dy∫C(x+3y2)dy over the path C given by x=2t,y=10t,x=2t,y=10t, where 0≤t≤1.0≤t≤1.
[T] Use a CAS to evaluate line integral ∫Cxydx+ydy∫Cxydx+ydy over path C given by x=2t,y=10t,x=2t,y=10t, where 0≤t≤1.0≤t≤1.
Evaluate line integral ∫C(2x−y)dx+(x+3y)dy,∫C(2x−y)dx+(x+3y)dy, where C lies along the x-axis from x=0tox=5.x=0tox=5.
[T] Use a CAS to evaluate ∫Cy2x2−y2ds,∫Cy2x2−y2ds, where C is x=t,y=t,1≤t≤5.x=t,y=t,1≤t≤5.
[T] Use a CAS to evaluate ∫Cxyds,∫Cxyds, where C is x=t2,y=4t,0≤t≤1.x=t2,y=4t,0≤t≤1.
In the following exercises, find the work done by force field F on an object moving along the indicated path.
F ( x , y ) = − x i − 2 y j F ( x , y ) = − x i − 2 y j
C : y = x 3 from (0, 0) to (2, 8) C : y = x 3 from (0, 0) to (2, 8)
F ( x , y ) = 2 x i + y j F ( x , y ) = 2 x i + y j
C: counterclockwise around the triangle with vertices (0, 0), (1, 0), and (1, 1)
F ( x , y , z ) = x i + y j − 5 z k F ( x , y , z ) = x i + y j − 5 z k
C : r ( t ) = 2 cos t i + 2 sin t j + t k , 0 ≤ t ≤ 2 π C : r ( t ) = 2 cos t i + 2 sin t j + t k , 0 ≤ t ≤ 2 π
Let F be vector field F(x,y)=(y2+2xey+1)i+(2xy+x2ey+2y)j.F(x,y)=(y2+2xey+1)i+(2xy+x2ey+2y)j. Compute the work of integral ∫CF·dr,∫CF·dr, where C is the path r(t)=sinti+costj,0≤t≤π2.r(t)=sinti+costj,0≤t≤π2.
Compute the work done by force F(x,y,z)=2xi+3yj−zkF(x,y,z)=2xi+3yj−zk along path r(t)=ti+t2j+t3k,r(t)=ti+t2j+t3k, where 0≤t≤1.0≤t≤1.
Evaluate ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y)=1x+yi+1x+yjF(x,y)=1x+yi+1x+yj and C is the segment of the unit circle going counterclockwise from (1,0)(1,0) to (0, 1).
Force F(x,y,z)=zyi+xj+z2xkF(x,y,z)=zyi+xj+z2xk acts on a particle that travels from the origin to point (1, 2, 3). Calculate the work done if the particle travels:
along the path (0,0,0)→(1,0,0)→(1,2,0)→(1,2,3)(0,0,0)→(1,0,0)→(1,2,0)→(1,2,3) along straight-line segments joining each pair of endpoints;
along the straight line joining the initial and final points.
Is the work the same along the two paths?
Find the work done by vector field F(x,y,z)=xi+3xyj−(x+z)kF(x,y,z)=xi+3xyj−(x+z)k on a particle moving along a line segment that goes from (1, 4, 2) to (0, 5, 1).
How much work is required to move an object in vector field F(x,y)=yi+3xjF(x,y)=yi+3xj along the upper part of ellipse x24+y2=1x24+y2=1 from (2, 0) to (−2,0)?(−2,0)?
A vector field is given by F(x,y)=(2x+3y)i+(3x+2y)j.F(x,y)=(2x+3y)i+(3x+2y)j. Evaluate the line integral of the field around a circle of unit radius traversed in a clockwise fashion.
Evaluate the line integral of scalar function xyxy along parabolic path y=x2y=x2 connecting the origin to point (1, 1).
Find ∫Cy2dx+(xy−x2)dy∫Cy2dx+(xy−x2)dy along C: y=3xy=3x from (0, 0) to (1, 3).
Find ∫Cy2dx+(xy−x2)dy∫Cy2dx+(xy−x2)dy along C: y2=9xy2=9x from (0, 0) to (1, 3).
For the following exercises, use a CAS to evaluate the given line integrals.
[T] Evaluate F(x,y,z)=x2zi+6yj+yz2k,F(x,y,z)=x2zi+6yj+yz2k, where C is represented by r(t)=ti+t2j+lntk,1≤t≤3.r(t)=ti+t2j+lntk,1≤t≤3.
[T] Evaluate line integral ∫γxeyds∫γxeyds where, γγ is the arc of curve x=eyx=ey from (1,0)(1,0) to (e,1).(e,1).
[T] Evaluate the integral ∫γxy2ds,∫γxy2ds, where γγ is a triangle with vertices (0, 1, 2), (1, 0, 3), and (0,−1,0).(0,−1,0).
[T] Evaluate line integral ∫γ(y2−xy)ds,∫γ(y2−xy)ds, where γγ is curve y=lnxy=lnx from (1, 0) toward (e,1).(e,1).
[T] Evaluate line integral ∫γxy4ds,∫γxy4ds, where γγ is the right half of circle x2+y2=16.x2+y2=16.
[T] Evaluate ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y,z)=x2yi+(x−z)j+xyzkF(x,y,z)=x2yi+(x−z)j+xyzk and
C: r(t)=ti+t2j+2k,0≤t≤1.r(t)=ti+t2j+2k,0≤t≤1.
Evaluate ∫CF·dr,∫CF·dr, where F(x,y)=2xsin(y)i+(x2cos(y)−3y2)jF(x,y)=2xsin(y)i+(x2cos(y)−3y2)j and
C is any path from (−1,0)(−1,0) to (5, 1).
Find the line integral of F(x,y,z)=12x2i−5xyj+xzkF(x,y,z)=12x2i−5xyj+xzk over path C defined by y=x2,y=x2, z=x3z=x3 from point (0, 0, 0) to point (2, 4, 8).
Find the line integral of ∫C(1+x2y)ds,∫C(1+x2y)ds, where C is ellipse r(t)=2costi+3sintjr(t)=2costi+3sintj from 0≤t≤π.0≤t≤π.
For the following exercises, find the flux.
Compute the flux of F=x2i+yjF=x2i+yj across a line segment from (0, 0) to (1, 2).
Let F=5iF=5i and let C be curve y=0,0≤x≤4.y=0,0≤x≤4. Find the flux across C.
1. ਮੰਨ ਲਓ F=5jF=5j ਅਤੇ C ਵਕਰ y=0, 0≤x≤4 ਹੈ। C ਦੇ ਪਾਰ ਫਲਕਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਮੰਨ ਲਓ F=−yi+xj ਅਤੇ C: r(t)=costi+sintj (0≤t≤2π)। C ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
F=(x2+y3)i+(2xy)j.F=(x2+y3)i+(2xy)j. ਵਕਰ C: x2+y2=9.x2+y2=9. ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ F ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
1. ∫Cz2dx+ydy+2ydz,∫Cz2dx+ydy+2ydz, ਦਾ ਰੇਖਾ ਸਮਾਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ C ਦੋ ਭਾਗਾਂ C1C1 ਅਤੇ C2C2 ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ। C1C1 ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=16x2+y2=16 ਅਤੇ ਸਮਤਲ z=3z=3 ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਜੋ (0, 4, 3) ਤੋਂ (−4,0,3).(−4,0,3) ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। C2C2 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ ਜੋ (−4,0,3)(−4,0,3) ਤੋਂ (0, 1, 5) ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਚਾਪ ਬਰੀਕ ਤਾਰ ਤੋਂ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਸਪਾਇਰਲ (x=2cost, y=2sint, z=t) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਤਾਰ ਦਾ ਪੁੰਜ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਪਾਇਰਲ ਦੇ ਦੋ ਗੇੜਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਤਾਰ ਨੂੰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 'a' ਦੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਪੁੰਜ ਘਣਤਾ, ਸਿਰਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਉਸਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਤਾਰ ਦਾ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਬਲ ਖੇਤਰ F(x,y,z)=y^2\hat{i}+2(x+1)y\hat{j} ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (2, 0) ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗ x^2+4y^2=4 ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਮ-ਵਰਤ (counterclockwise) ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ (−2,0) ਤੱਕ, ਅਤੇ ਫਿਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਬਿੰਦੂ (2, 0) ਤੱਕ ਵਾਪਸ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬਲ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਜ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਸਤੂ F(x,y,z)=2xi−(x+z)j+(y−x)k ਬਲ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ r(t)=t2i+(t2−t)j+3k, 0≤t≤1 ਮਾਰਗ ਅਨੁਸਾਰ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਬਲ ਖੇਤਰ F, F(x,y,z)=k‖r‖3r, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਲ F ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਇਸਦੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਦਾ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ A(1,0,0) ਤੋਂ B(2,0,0) ਤੱਕ ਚਲਦਾ ਹੈ।
ਡੇਵਿਡ ਅਤੇ ਸੈਂਡਰਾ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ (0, 0) ਤੋਂ (1, 1) ਤੱਕ ਇੱਕ ਪਾਥ ਦੇ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ∫CF·dr∫CF·dr ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫੋਰਸ ਫੀਲਡ F(x,y)=(x+2y)i+(−x+y2)j.F(x,y)=(x+2y)i+(−x+y2)j ਹੈ। ਡੇਵਿਡ ਉਹ ਪਾਥ ਚੁਣਦਾ ਹੈ ਜੋ (0, 0) ਤੋਂ (1, 0) ਤੱਕ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ (1, 0) ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (1, 1) ਤੱਕ x=1x=1 ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਸੈਂਡਰਾ (0, 0) ਤੋਂ (1, 1) ਤੱਕ ਵਿਕਰਨ ਰੇਖਾ y=xy=x ਦੇ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਪਾਥ ਚੁਣਦੀ ਹੈ। ਕਿਸਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਵੱਡਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿੰਨਾ?