Learning Objectives
6.5.1 Determine divergence from the formula for a given vector field.
6.5.2 Determine curl from the formula for a given vector field.
6.5.3 Use the properties of curl and divergence to determine whether a vector field is conservative.
In this section, we examine two important operations on a vector field: divergence and curl. They are important to the field of calculus for several reasons, including the use of curl and divergence to develop some higher-dimensional versions of the Fundamental Theorem of Calculus. In addition, curl and divergence appear in mathematical descriptions of fluid mechanics, electromagnetism, and elasticity theory, which are important concepts in physics and engineering. We can also apply curl and divergence to other concepts we already explored. For example, under certain conditions, a vector field is conservative if and only if its curl is zero.
In addition to defining curl and divergence, we look at some physical interpretations of them, and show their relationship to conservative and source-free vector fields.
Divergence
Divergence is an operation on a vector field that tells us how the field behaves toward or away from a point. Locally, the divergence of a vector field F in ℝ2ℝ2 or ℝ3ℝ3 at a particular point P is a measure of the “outflowing-ness” of the vector field at P. If F represents the velocity of a fluid, then the divergence of F at P measures the net rate of change with respect to time of the amount of fluid flowing away from P (the tendency of the fluid to flow “out of” P). In particular, if the amount of fluid flowing into P is the same as the amount flowing out, then the divergence at P is zero.
Definition
If F=〈P,Q,R〉F=〈P,Q,R〉 is a vector field in ℝ3ℝ3 and Px,Qy,Px,Qy, and RzRz all exist, then the divergence of F is defined by
Note the divergence of a vector field is not a vector field, but a scalar function. In terms of the gradient operator ∇=〈∂∂x,∂∂y,∂∂z〉,∇=〈∂∂x,∂∂y,∂∂z〉, divergence can be written symbolically as the dot product
Note this is merely helpful notation, because the dot product of a vector of operators and a vector of functions is not meaningfully defined given our current definition of dot product.
If F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 is a vector field in ℝ2,ℝ2, and PxPx and QyQy both exist, then the divergence of F is defined similarly as
To illustrate this point, consider the two vector fields in Figure 6.50. At any particular point, the amount flowing in is the same as the amount flowing out, so at every point the “outflowing-ness” of the field is zero. Therefore, we expect the divergence of both fields to be zero, and this is indeed the case, as
Figure 6.50: (a) Vector field 〈1,2〉〈1,2〉 has zero divergence. (b) Vector field 〈−y,x〉〈−y,x〉 also has zero divergence.
By contrast, consider radial vector field R(x,y)=〈−x,−y〉R(x,y)=〈−x,−y〉 in Figure 6.51. At any given point, more fluid is flowing in than is flowing out, and therefore the “outgoingness” of the field is negative. We expect the divergence of this field to be negative, and this is indeed the case, as div(R)=∂∂x(−x)+∂∂y(−y)=−2.div(R)=∂∂x(−x)+∂∂y(−y)=−2.
Figure 6.51: This vector field has negative divergence.
To get a global sense of what divergence is telling us, suppose that a vector field in ℝ2ℝ2 represents the velocity of a fluid. Imagine taking an elastic circle (a circle with a shape that can be changed by the vector field) and dropping it into a fluid. If the circle maintains its exact area as it flows through the fluid, then the divergence is zero. This would occur for both vector fields in Figure 6.50. On the other hand, if the circle’s shape is distorted so that its area shrinks or expands, then the divergence is not zero. Imagine dropping such an elastic circle into the radial vector field in Figure 6.51 so that the center of the circle lands at point (3, 3). The circle would flow toward the origin, and as it did so the front of the circle would travel more slowly than the back, causing the circle to “scrunch” and lose area. This is how you can see a negative divergence.
Example 6.48
Calculating Divergence at a Point
If F(x,y,z)=exi+yzj−yz2k,F(x,y,z)=exi+yzj−yz2k, then find the divergence of F at (0,2,−1).(0,2,−1).
Solution
The divergence of F is
Therefore, the divergence at (0,2,−1)(0,2,−1) is e0−1+4=4.e0−1+4=4. If F represents the velocity of a fluid, then more fluid is flowing out than flowing in at point (0,2,−1).(0,2,−1).
Checkpoint 6.40
Find divFdivF for F(x,y,z)=〈xy,5−z2y,x2+y2〉.F(x,y,z)=〈xy,5−z2y,x2+y2〉.
One application for divergence occurs in physics, when working with magnetic fields. A magnetic field is a vector field that models the influence of electric currents and magnetic materials. Physicists use divergence in Gauss’s law for magnetism, which states that if B is a magnetic field, then ∇·B=0;∇·B=0; in other words, the divergence of a magnetic field is zero.
Example 6.49
Determining Whether a Field Is Magnetic
Is it possible for F(x,y)=〈x2y,y−xy2〉F(x,y)=〈x2y,y−xy2〉 to be a magnetic field?
Solution
If F were magnetic, then its divergence would be zero. The divergence of F is
and therefore F cannot model a magnetic field (Figure 6.52).
Figure 6.52: The divergence of vector field F(x,y)=〈x2y,y−xy2〉F(x,y)=〈x2y,y−xy2〉 is one, so it cannot model a magnetic field.
Another application for divergence is detecting whether a field is source free. Recall that a source-free field is a vector field that has a stream function; equivalently, a source-free field is a field with a flux that is zero along any closed curve. The next two theorems say that, under certain conditions, source-free vector fields are precisely the vector fields with zero divergence.
Theorem 6.14
Divergence of a Source-Free Vector Field
If F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 is a source-free continuous vector field with differentiable component functions, then divF=0.divF=0.
Proof
Since F is source free, there is a function g(x,y)g(x,y) with gy=Pgy=P and −gx=Q.−gx=Q. Therefore, F=〈gy,−gx〉F=〈gy,−gx〉 and divF=gyx−gxy=0divF=gyx−gxy=0 by Clairaut’s theorem.
□
The converse of Divergence of a Source-Free Vector Field is true on simply connected regions, but the proof is too technical to include here. Thus, we have the following theorem, which can test whether a vector field in ℝ2ℝ2 is source free.
Theorem 6.15
Divergence Test for Source-Free Vector Fields
Let F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 be a continuous vector field with differentiable component functions with a domain that is simply connected. Then, divF=0divF=0 if and only if F is source free.
Example 6.50
Determining Whether a Field Is Source Free
Is field F(x,y)=〈x2y,5−xy2〉F(x,y)=〈x2y,5−xy2〉 source free?
1. ਹੱਲ
2. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ℝ2,ℝ2 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, F ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਭਾਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਭੇਦਕ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ F ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਸੋਰਸ-ਮੁਕਤ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਹੈ
3. ਇਸ ਲਈ, ਸੋਰਸ-ਮੁਕਤ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ ਲਈ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ F ਸੋਰਸ ਮੁਕਤ ਹੈ।
4. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.41
5. ਮੰਨ ਲਓ F(x,y)=〈−ay,bx〉F(x,y)=〈−ay,bx〉 ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ। ਕੀ F ਸੋਰਸ ਮੁਕਤ ਹੈ?
6. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਫਲਕਸ ਰੂਪ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
7. ਜਿੱਥੇ C ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ ਅਤੇ D C ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ Px+Qy=divF,Px+Qy=divF, ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
8. ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਸੋਚੀਏ, ਤਾਂ ਗ੍ਰੀਨ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਖੇਤਰ 'ਤੇ F ਦਾ "ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ" ਖੇਤਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਨਾਲ F ਦੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ [a,b][a,b] 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ [a,b].[a,b] ਦੀ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ff ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਕਥਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰੀਨ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਉੱਚ-ਆਯਾਮੀ ਸਮਾਨ ਹੈ।
9. ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ v ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ v ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ P 'ਤੇ ਤਰਲ ਦੇ "ਬਾਹਰ ਵਹਿਣ" ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, divv(P)>0divv(P)>0 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ P ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਵਹਿਣ ਵਾਲਾ ਤਰਲ ਅੰਦਰ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, divv(P)<0divv(P)<0 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ P ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲਾ ਤਰਲ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਅਤੇ divv(P)=0divv(P)=0 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅੰਦਰ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 6.51
11. ਤਰਲ ਦੇ ਵਹਾਅ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
12. ਮੰਨ ਲਓ v(x,y)=〈−xy,y〉,y>0v(x,y)=〈−xy,y〉,y>0 ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵਹਾਅ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਬਿੰਦੂ (1,4)(1,4) ਵਿੱਚ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਤਰਲ ਆ ਰਿਹਾ ਹੈ?
13. ਹੱਲ
14. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ (1,4)(1,4) ਵਿੱਚ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਤਰਲ ਆ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ (1,4) 'ਤੇ v ਦੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:(1,4):
15. (1,4) 'ਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ,(1,4), ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: −4+1=−3.−4+1=−3. ਕਿਉਂਕਿ (1,4) 'ਤੇ v ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ,(1,4), ਅੰਦਰ ਆਉਣ ਵਾਲਾ ਤਰਲ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.53)।
16. ਚਿੱਤਰ 6.53: ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v(x,y)=〈−xy,y〉v(x,y)=〈−xy,y〉 ਦਾ (1,4) 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਹੈ।(1,4).
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.42
18. ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v(x,y)=〈−xy,y〉,y>0,v(x,y)=〈−xy,y〉,y>0 ਲਈ, ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ P ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ P ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ P ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤਰਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
19. ਕਰਲ
20. ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ 'ਤੇ ਦੂਜਾ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਕਰਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਫੀਲਡ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਹੱਦ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ F ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ F ਦਾ ਕਰਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ ਜੋ P ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਕਰਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ P 'ਤੇ ਇਸ ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘੁੰਮਣ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕਰਲ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ "ਸਪਿਨ" ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ, P 'ਤੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਰੱਖਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਦਾ ਧੁਰਾ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 6.54)। ਕਰਲ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
21. ਚਿੱਤਰ 6.54: ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕਰਲ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਰੱਖਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ।
22. ਚਿੱਤਰ 6.50 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਜ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਸਪਿਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੀਲਡ ਦਾ ਕਰਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਹੈ। ਭਾਗ (b) ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਸਪਿਨ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਡਲਵ੍ਹੀਲ ਰੱਖਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪਹੀਏ ਦਾ ਧੁਰਾ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਪਹੀਆ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੀਲਡ ਦਾ ਕਰਲ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਹੈ (ਕਰਲ 2k ਹੈ)।2k).
23. ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਕਰਲ ਵਿਸ਼ਵ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਕੀ ਮਾਪ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਸੁੱਟਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ ਪੱਤਾ ਤਰਲ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਕਰਲ ਪੱਤੇ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਰਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੱਤਾ ਤਰਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵੇਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
24. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
If F=〈P,Q,R〉F=〈P,Q,R〉 is a vector field in ℝ3,ℝ3, and Px, Py, Pz, Qy, Qx, Qz, Rz, Rx, and RyPx, Py, Pz, Qy, Qx, Qz, Rz, Rx, and Ry all exist, then the curl of F is defined by
Note that the curl of a vector field is a vector field, in contrast to divergence.
The definition of curl can be difficult to remember. To help with remembering, we use the notation ∇×F∇×F to stand for a “determinant” that gives the curl formula:
The determinant of this matrix is
Thus, this matrix is a way to help remember the formula for curl. Keep in mind, though, that the word determinant is used very loosely. A determinant is not really defined on a matrix with entries that are three vectors, three operators, and three functions.
If F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 is a vector field in ℝ2,ℝ2, then the curl of F, by definition, is
Example 6.52
Finding the Curl of a Three-Dimensional Vector Field
Find the curl of F(P,Q,R)=〈x2z,ey+xz,xyz〉.F(P,Q,R)=〈x2z,ey+xz,xyz〉.
Solution
The curl is
Checkpoint 6.43
Find the curl of F=〈sinxcosz,sinysinz,cosxcosy〉F=〈sinxcosz,sinysinz,cosxcosy〉 at point (0,π2,π2).(0,π2,π2).
Example 6.53
Finding the Curl of a Two-Dimensional Vector Field
Find the curl of F=〈P,Q〉=〈y,0〉.F=〈P,Q〉=〈y,0〉.
Solution
Notice that this vector field consists of vectors that are all parallel. In fact, each vector in the field is parallel to the x-axis. This fact might lead us to the conclusion that the field has no spin and that the curl is zero. To test this theory, note that
Therefore, this vector field does have spin. To see why, imagine placing a paddlewheel at any point in the first quadrant (Figure 6.55). The larger magnitudes of the vectors at the top of the wheel cause the wheel to rotate. The wheel rotates in the clockwise (negative) direction, causing the coefficient of the curl to be negative.
Figure 6.55: Vector field F(x,y)=〈y,0〉F(x,y)=〈y,0〉 consists of vectors that are all parallel.
Note that if F=〈P,Q〉F=〈P,Q〉 is a vector field in a plane, then curlF·k=(Qx−Py)k·k=Qx−Py.curlF·k=(Qx−Py)k·k=Qx−Py. Therefore, the circulation form of Green’s theorem is sometimes written as
where C is a simple closed curve and D is the region enclosed by C. Therefore, the circulation form of Green’s theorem can be written in terms of the curl. If we think of curl as a derivative of sorts, then Green’s theorem says that the “derivative” of F on a region can be translated into a line integral of F along the boundary of the region. This is analogous to the Fundamental Theorem of Calculus, in which the derivative of a function ff on line segment [a,b][a,b] can be translated into a statement about ff on the boundary of [a,b].[a,b]. Using curl, we can see the circulation form of Green’s theorem is a higher-dimensional analog of the Fundamental Theorem of Calculus.
We can now use what we have learned about curl to show that gravitational fields have no “spin.” Suppose there is an object at the origin with mass m1m1 at the origin and an object with mass m2.m2. Recall that the gravitational force that object 1 exerts on object 2 is given by field
Example 6.54
ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਦੱਸੋ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੋਈ ਘੁੰਮਣ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਦੱਸਣ ਲਈ ਕਿ F ਦਾ ਕੋਈ ਘੁੰਮਣ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਕਰਲ (curl) ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ P(x,y,z)=x(x2+y2+z2)3/2, Q(x,y,z)=y(x2+y2+z2)3/2, ਅਤੇ R(x,y,z)=z(x2+y2+z2)3/2। ਫਿਰ,
ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕਰਲ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੋਈ ਘੁੰਮਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.44
ਖੇਤਰ v(x,y)=〈−yx2+y2,xx2+y2〉 ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਪੱਤਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੱਤਾ ਘੁੰਮਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਅਤੇ ਕਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਅਤੇ ਕਰਲ ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ (conservative vector fields) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ F, ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ F ਦਾ ਕਰਲ ਵੀ ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਰਲ ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲਾ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਿਫਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕਰਲ ਵਜੋਂ ਨਾ ਦਿਖਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਦੇਣ ਲਈ, ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਲੋਸਿਟੀ ਫੀਲਡ v ਦਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ, ਉਸ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤਰਲ ਦੇ P ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਵਹਿਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ divcurl(v)=0, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ curl(v) ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਰ ਸਿਫਰ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦਾ ਕਰਲ ਲੈਣ ਨਾਲ F ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਕੋਈ ਵੀ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.16
ਕਰਲ ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ
ਮੰਨ ਲਓ F=〈P,Q,R〉 ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਭਾਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨਿਰੰਤਰ ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (partial derivatives) ਹਨ। ਫਿਰ, divcurl(F)=∇·(∇×F)=0।
ਸਬੂਤ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਅਤੇ ਕਰਲ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਕਲੇਰੌਟ ਦੇ ਥਿਊਰਮ (Clairaut’s theorem) ਦੁਆਰਾ,
□
ਉਦਾਹਰਨ 6.55
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦੂਜੇ ਦਾ ਕਰਲ ਨਹੀਂ ਹੈ
ਦੱਸੋ ਕਿ F(x,y,z)=exi+yzj+xz2k ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕਰਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਵ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ G ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ curlG=F ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ (domain) ਸਾਰਾ ℝ3 ਹੈ ਅਤੇ F ਦੇ ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਰੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ F 'ਤੇ ਪਿਛਲੇ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ex+z+2xz ਹੈ। ਜੇਕਰ F ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ G ਦਾ ਕਰਲ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ divF=div curlG=0। ਪਰ, F ਦਾ ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ F ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਕਰਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.45
ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ G(x,y,z)=〈sinx,cosy,sin(xyz)〉 ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕਰਲ ਹੋਵੇ?
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਥਿਊਰਮਾਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ F ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਰਲ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਿਰਫ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਤਾਂ ਉਲਟਾ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਰਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.17
ਸੰਭਾਲਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਕਰਲ
ਜੇਕਰ F=〈P,Q,R〉 ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਰਲF=0 ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਲਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ F ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
□
ਇਹੀ ਥਿਊਰਮ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸੰਭਾਲਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਿਛਲੀ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਕਰਲ(∇f)=0 ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕਰਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ∇×∇(f)=0। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਿਫਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ∇×∇(f)=0 ਨੂੰ ∇×∇=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.18
ਸੰਭਾਲਕ ਫੀਲਡ ਲਈ ਕਰਲ ਪਰਖ
ਮੰਨ ਲਓ F=〈P,Q,R〉 ਇੱਕ ਸਿਰਫ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਰਲF=0 ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ ਕਰਲF=0 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ Ry=Qz, Pz=Rx, ਅਤੇ Qx=Py। ਇਸ ਲਈ, F ਇੱਕ ਸਿਰਫ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਭਾਲਕ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਪਾਰਸ਼ੀਅਲ ਗੁਣ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ F ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
□
ਇਹੀ ਥਿਊਰਮ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ F ਤਲ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਸਿਰਫ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ F ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਕਰਲF=0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.56
ਇਹ ਪਰਖਣਾ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ F(x,y,z)=〈yz,xz,xy〉 ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ F ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰਾ ℝ3 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਰਫ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.56)। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਕਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਇਹ ਪਰਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ F ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.56: ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F(x,y,z)=〈yz,xz,xy〉 ਦਾ ਕਰਲ ਸਿਫਰ ਹੈ।
F ਦਾ ਕਰਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, F ਸੰਭਾਲਕ ਹੈ।
We have seen that the curl of a gradient is zero. What is the divergence of a gradient? If ff is a function of two variables, then div(∇f)=∇·(∇f)=fxx+fyy.div(∇f)=∇·(∇f)=fxx+fyy. We abbreviate this “double dot product” as ∇2.∇2. This operator is called the Laplace operator, and in this notation Laplace’s equation becomes ∇2f=0.∇2f=0. Therefore, a harmonic function is a function that becomes zero after taking the divergence of a gradient.
Similarly, if ff is a function of three variables then
Using this notation we get Laplace’s equation for harmonic functions of three variables:
Harmonic functions arise in many applications. For example, the potential function of an electrostatic field in a region of space that has no static charge is harmonic.
Example 6.57
Analyzing a Function
Is it possible for f(x,y)=x2+x−yf(x,y)=x2+x−y to be the potential function of an electrostatic field that is located in a region of ℝ2ℝ2 free of static charge?
Solution
If ff were such a potential function, then ff would be harmonic. Note that fxx=2fxx=2 and fyy=0,fyy=0, and so fxx+fyy≠0.fxx+fyy≠0. Therefore, ff is not harmonic and ff cannot represent an electrostatic potential.
Checkpoint 6.46
Is it possible for function f(x,y)=x2−y2+xf(x,y)=x2−y2+x to be the potential function of an electrostatic field located in a region of ℝ2ℝ2 free of static charge?
For the following exercises, determine whether the statement is true or false.
If the coordinate functions of F:ℝ3→ℝ3F:ℝ3→ℝ3 have continuous second partial derivatives, then curl(div(F))curl(div(F)) equals zero.
∇ · ( x i + y j + z k ) = 1 . ∇ · ( x i + y j + z k ) = 1 .
All vector fields of the form F(x,y,z)=f(x)i+g(y)j+h(z)kF(x,y,z)=f(x)i+g(y)j+h(z)k are conservative.
If curlF=0,curlF=0, then F is conservative.
If F is a constant vector field then divF=0.divF=0.
If F is a constant vector field then curlF=0.curlF=0.
For the following exercises, find the curl of F.
F ( x , y , z ) = x y 2 z 4 i + ( 2 x 2 y + z ) j + y 3 z 2 k F ( x , y , z ) = x y 2 z 4 i + ( 2 x 2 y + z ) j + y 3 z 2 k
F ( x , y , z ) = x 2 z i + y 2 x j + ( y + 2 z ) k F ( x , y , z ) = x 2 z i + y 2 x j + ( y + 2 z ) k
F ( x , y , z ) = 3 x y z 2 i + y 2 sin z j + x e 2 z k F ( x , y , z ) = 3 x y z 2 i + y 2 sin z j + x e 2 z k
F ( x , y , z ) = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k F ( x , y , z ) = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k
F ( x , y , z ) = ( x cos y ) i + x y 2 j F ( x , y , z ) = ( x cos y ) i + x y 2 j
F ( x , y , z ) = ( x − y ) i + ( y − z ) j + ( z − x ) k F ( x , y , z ) = ( x − y ) i + ( y − z ) j + ( z − x ) k
F ( x , y , z ) = x y z i + x 2 y 2 z 2 j + y 2 z 3 k F ( x , y , z ) = x y z i + x 2 y 2 z 2 j + y 2 z 3 k
F ( x , y , z ) = x y i + y z j + x z k F ( x , y , z ) = x y i + y z j + x z k
F ( x , y , z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k F ( x , y , z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k
F(x,y,z)=axi+byj+ckF(x,y,z)=axi+byj+ck for constants a, b, c
For the following exercises, find the divergence of F.
F ( x , y , z ) = x 2 z i + y 2 x j + ( y + 2 z ) k F ( x , y , z ) = x 2 z i + y 2 x j + ( y + 2 z ) k
F ( x , y , z ) = 3 x y z 2 i + y 2 sin z j + x e 2 z k F ( x , y , z ) = 3 x y z 2 i + y 2 sin z j + x e 2 z k
F ( x , y ) = ( sin x ) i + ( cos y ) j F ( x , y ) = ( sin x ) i + ( cos y ) j
F ( x , y , z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k F ( x , y , z ) = x 2 i + y 2 j + z 2 k
F ( x , y , z ) = ( x − y ) i + ( y − z ) j + ( z − x ) k F ( x , y , z ) = ( x − y ) i + ( y − z ) j + ( z − x ) k
F ( x , y ) = x x 2 + y 2 i + y x 2 + y 2 j F ( x , y ) = x x 2 + y 2 i + y x 2 + y 2 j
F ( x , y ) = x i − y j F ( x , y ) = x i − y j
F(x,y,z)=axi+byj+ckF(x,y,z)=axi+byj+ck for constants a, b, c
F ( x , y , z ) = x y z i + x 2 y 2 z 2 j + y 2 z 3 k F ( x , y , z ) = x y z i + x 2 y 2 z 2 j + y 2 z 3 k
F ( x , y , z ) = x y i + y z j + x z k F ( x , y , z ) = x y i + y z j + x z k
For the following exercises, determine whether each of the given scalar functions is harmonic.
u ( x , y , z ) = e − x ( cos y − sin y ) u ( x , y , z ) = e − x ( cos y − sin y )
w ( x , y , z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 / 2 w ( x , y , z ) = ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 / 2
If F(x,y,z)=2i+2xj+3ykF(x,y,z)=2i+2xj+3yk and G(x,y,z)=xi−yj+zk,G(x,y,z)=xi−yj+zk, find curl(F×G).curl(F×G).
If F(x,y,z)=2i+2xj+3ykF(x,y,z)=2i+2xj+3yk and G(x,y,z)=xi−yj+zk,G(x,y,z)=xi−yj+zk, find div(F×G).div(F×G).
Find divF,divF, given that F=∇f,F=∇f, where f(x,y,z)=xy3z2.f(x,y,z)=xy3z2.
Find the divergence of F for vector field F(x,y,z)=(y2+z2)(x+y)i+(z2+x2)(y+z)j+(x2+y2)(z+x)k.F(x,y,z)=(y2+z2)(x+y)i+(z2+x2)(y+z)j+(x2+y2)(z+x)k.
Find the divergence of F for vector field F(x,y,z)=f1(y,z)i+f2(x,z)j+f3(x,y)k.F(x,y,z)=f1(y,z)i+f2(x,z)j+f3(x,y)k.
For the following exercises, use r=||r||r=||r|| and r=x,y,z.r=x,y,z.
Find curlr.curlr.
Find curlrr.curlrr.
Find curlrr3.curlrr3.
Let F(x,y)=−yi+xjx2+y2,F(x,y)=−yi+xjx2+y2, where F is defined on {(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)}.{(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)}. Find curlF.curlF.
For the following exercises, use a computer algebra system to find the curl of the given vector fields.
[T] F(x,y,z)=arctan(xy)i+lnx2+y2j+kF(x,y,z)=arctan(xy)i+lnx2+y2j+k
[T] F(x,y,z)=sin(x−y)i+sin(y−z)j+sin(z−x)kF(x,y,z)=sin(x−y)i+sin(y−z)j+sin(z−x)k
For the following exercises, find the divergence of F at the given point.
F(x,y,z)=i+j+kF(x,y,z)=i+j+k at (2,−1,3)(2,−1,3)
F(x,y,z)=xyzi+yj+xkF(x,y,z)=xyzi+yj+xk at (1,2,3)(1,2,3)
F(x,y,z)=e−xyi+exzj+eyzkF(x,y,z)=e−xyi+exzj+eyzk at (3,2,0)(3,2,0)
F(x,y,z)=xyzi+yj+zkF(x,y,z)=xyzi+yj+zk at (1, 2, 1)
F(x,y,z)=exsinyi−excosyjF(x,y,z)=exsinyi−excosyj at (0, 0, 3)
For the following exercises, find the curl of F at the given point.
F(x,y,z)=i+j+kF(x,y,z)=i+j+k at (2,−1,3)(2,−1,3)
F(x,y,z)=xyzi+yj+xkF(x,y,z)=xyzi+yj+xk at (1,2,3)(1,2,3)
F(x,y,z)=e−xyi+exzj+eyzkF(x,y,z)=e−xyi+exzj+eyzk at (3, 2, 0)
F(x,y,z)=xyzi+yj+zkF(x,y,z)=xyzi+yj+zk at (1, 2, 1)
F(x,y,z)=exsinyi−excosyjF(x,y,z)=exsinyi−excosyj at (0, 0, 3)
Let F(x,y,z)=(3x2y+az)i+x3j+(3x+3z2)k.F(x,y,z)=(3x2y+az)i+x3j+(3x+3z2)k. For what value of a is F conservative?
Given vector field F(x,y)=1x2+y2−y,xF(x,y)=1x2+y2−y,x on domain D=ℝ2-{(0,0)}={(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)},D=ℝ2-{(0,0)}={(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)}, is F conservative?
Given vector field F(x,y)=1x2+y2x,yF(x,y)=1x2+y2x,y on domain D=ℝ2-{(0,0)}={(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)},D=ℝ2-{(0,0)}={(x,y)∈ℝ2|(x,y)≠(0,0)}, is F conservative?
Find the work done by force field F(x,y)=e−yi−xe−yjF(x,y)=e−yi−xe−yj in moving an object from P(0, 1) to Q(2, 0). Is the force field conservative?
Compute the divergence of F=(sinhx)i+(coshy)j−xyzk.F=(sinhx)i+(coshy)j−xyzk.
Compute the curl of F=(sinhx)i+(coshy)j−xyzk.F=(sinhx)i+(coshy)j−xyzk.
For the following exercises, consider a rigid body that is rotating about the x-axis counterclockwise with constant angular velocity ω=〈a,b,c〉.ω=〈a,b,c〉. If P is a point in the body located at r=xi+yj+zk,r=xi+yj+zk, the velocity at P is given by vector field F=ω×r.F=ω×r.
Express F in terms of i, j, and k vectors.
Find the div ofF.the div ofF.
Find the curl ofFthe curl ofF
In the following exercises, suppose that ∇·F=0∇·F=0 and ∇·G=0.∇·G=0.
Does F+GF+G necessarily have zero divergence?
Does F×GF×G necessarily have zero divergence?
In the following exercises, suppose a solid object in ℝ3ℝ3 has a temperature distribution given by Tx,y,z=100e-x2+y2+z2Tx,y,z=100e-x2+y2+z2. The heat flow vector field in the object is F=−k∇T,F=−k∇T, where k>0k>0 is a property of the material. The heat flow vector points in the direction opposite to that of the gradient, which is the direction of greatest temperature decrease. The divergence of the heat flow vector is ∇·F=−k∇·∇T=−k∇2T.∇·F=−k∇·∇T=−k∇2T.
Compute the heat flow vector field.
Compute the divergence.
[T] Consider rotational velocity field v=〈0,10z,−10y〉.v=〈0,10z,−10y〉. If a paddlewheel is placed in plane x+y+z=1x+y+z=1 with its axis normal to this plane, using a computer algebra system, calculate how fast the paddlewheel spins in revolutions per unit of time.