ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.6.1 ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ, ਇੱਕ ਕੋਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
6.6.2 ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤਹ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
6.6.3 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਤਹ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6.6.4 ਇੱਕ ਅਭਿਨਿਵੇਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ, ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਕੇ।
6.6.5 ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
6.6.6 ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਥ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਥ (ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ) ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਸਤਹ (ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ) ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲ ਸਕੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਤੱਕ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ, ਜਿਸ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ, ਉਸੇ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਭੌਤਿਕੀ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਸੰਸਕਰਣ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰੀਨ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਆਮ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤਹਾਂ
ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪਥ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਸਤਹ ਉੱਤੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਾਡੇ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਤਹ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰ ਸਕੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਸਤਹ 'ਤੇ ਹੀ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕਰਵ C ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਰੇਖਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ C ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਤਹ S ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ S ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਭਾਵ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਸਤਹ (ਜਾਂ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤਹ) ਦੀ ਕਾਰਜਸ਼ੀਲ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਕਰਵ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਸਤਹ ਇੱਕ ਰੂਪ ਦੇ ਵਰਣਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪੈਰਾਮੀਟਰ, u ਅਤੇ v ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਤਹ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ u ਅਤੇ v ਇੱਕ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ, ਜਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ—uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜਿਸਨੂੰ r ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੀ ਹਰੇਕ ਚੋਣ ਸਤਹ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਦੀ ਹਰੇਕ ਚੋਣ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਕਰਵ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਪੂਰੀ ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ u ਅਤੇ v ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਵ ਚੋਣਾਂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸਤਹ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉,r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਦੀ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ r ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.58
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ
ਸਤਹ S ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜੋ ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਹੱਲ
ਸਤਹ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ℝ2,ℝ2 ਦਾ ਸਾਰਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ u ਅਤੇ v ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ u=v=0,u=v=0, ਤਾਂ r(0,0)=〈1,0,0〉,r(0,0)=〈1,0,0〉, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (1, 0, 0) S ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂ r(π,2)=(−1,0,2)r(π,2)=(−1,0,2) ਅਤੇ r(π2,4)=(0,1,4)r(π2,4)=(0,1,4) S ਉੱਤੇ ਹਨ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਤਹ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਆਕਾਰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਾਫ਼ੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦਰਜਨਾਂ ਜਾਂ ਸੈਂਕੜੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ ਸਮਾਂ-ਖਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। S ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਦੋ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ S ਉੱਤੇ ਪਏ ਹਨ। ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ u ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ; ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ v ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ "ਸਕੈਲਟਨ" ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਸਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲੱਗ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ u ਇੱਕ ਸਥਿਰ K ਹੈ। ਫਿਰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਟਰੇਸ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕਰਵ 〈cosK,sinK,v〉,〈cosK,sinK,v〉 ਹੈ, ਜੋ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (cosK,sinK,v)(cosK,sinK,v) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ v ਇੱਕ ਸਥਿਰ K ਹੈ। ਫਿਰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਟਰੇਸ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕਰਵ 〈cosu,sinu,K〉,〈cosu,sinu,K〉 ਹੈ, ਜੋ z=Kz=K ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਅਸ 1 ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (0, 0, K) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ u ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ; ਜੇਕਰ v ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ 1 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਸਤ੍ਹਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ x² + y² = 1 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.57)।
ਚਿੱਤਰ 6.57: (a) K=0, π/2, π, ਅਤੇ 3π/2 ਲਈ ਰੇਖਾਵਾਂ 〈cosK, sinK, v〉। (b) K=-2, -1, 1, ਅਤੇ 2 ਲਈ ਚੱਕਰ 〈cosu, sinu, K〉। (c) ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਇਕੱਠੇ। ਜਿਵੇਂ u ਅਤੇ v ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ x = cosu ਅਤੇ y = sinu, ਤਾਂ x² + y² = 1, ਇਸ ਲਈ S ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਸਿਲੰਡਰ ਉੱਤੇ ਹੀ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਕਿਸੇ k ਲਈ ਚੱਕਰ 〈cosu, sinu, k〉 ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ ਸਤ੍ਹਾ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.58)।
ਚਿੱਤਰ 6.58: ਸਿਲੰਡਰ x² + y² = r² ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v) = 〈rcosu, rsinu, v〉, 0 ≤ u ≤ 2π, -∞ < v < ∞ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਸਤ੍ਹਾ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ 0 ≤ u ≤ π, 0 < v < 6 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਤ੍ਹਾ 6 ਉਚਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ-ਸਿਲੰਡਰ ਹੋਵੇਗਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.47
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v) = 〈2cosu, 2sinu, v〉, 0 ≤ u < 2π, -∞ < v < ∞ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.58 ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ x² + y² = R² ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਲੰਡਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ S ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = R² ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ S ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਸਤ੍ਹਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.59
ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
ਸਤ੍ਹਾ S ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਹੱਲ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ u ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਵਕਰ z=u² ਤਲ ਵਿੱਚ u ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ u ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ v ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਵਕਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਤ੍ਹਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪਰਵਾਲਾ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਸਤ੍ਹਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪਰਵਾਲਾ x² + y² = z ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.59)।
ਚਿੱਤਰ 6.59: (a) u ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਣ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਉਭਰਦੇ ਹਨ; ਲੰਬਵਤ ਪਰਵਾਲੇ v ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਣ ਤੋਂ ਉਭਰਦੇ ਹਨ। (b) ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.48
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v) = 〈ucosv, usinv, u〉, -∞ < u < ∞, 0 ≤ v < 2π ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.60
ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਸ਼ੰਕੂ x² + y² = z² ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿਓ ਜੋ ਤਲ z = -2 ਉੱਤੇ ਜਾਂ ਉਸਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਚਾਈ z=u 'ਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਕਾਟ-ਖੇਤਰ ਚੱਕਰ x² + y² = u² ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਚਾਈ u 'ਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਕੋਣ v ਲਈ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (ucosv, usinv, u) ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v) = 〈ucosv, usinv, u〉 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪੂਰੇ ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ, ਸਿਰਫ ਤਲ z = -2 ਉੱਤੇ ਜਾਂ ਉਸਦੇ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ -2 ≤ u < ∞, 0 ≤ v < 2π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.60)।
ਚਿੱਤਰ 6.60: ਸ਼ੰਕੂ x2+y2=z2 ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈ucosv,usinv ,u 〉,−∞<u<∞,0≤v≤2π ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.49
ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਸ਼ੰਕੂ x2+y2=z2 ਦੇ ਭਾਗ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿਓ।
ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੀ ਚਰਚਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: ਗੋਲਿਆਂ ਅਤੇ ਦੋ-ਚਲਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ। ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਮੂਲ ਕੇਂਦਰਿਤ ρ ρ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਗੋਲਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਇਸ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ϕ ϕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ρsinϕ ρsinϕ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ θ θ ਨੂੰ 0 ਤੋਂ 2π ਤੱਕ ਚੱਲਣ ਦੇ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ϕ ϕ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੰਨੋ। ਫਿਰ
ਇਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੋੜੀਂਦਾ ਚੱਕਰ (ਚਿੱਤਰ 6.61) ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.61: ρ ρ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(ϕ,θ)=〈ρcosθsinϕ,ρsinθsinϕ,ρcosϕ〉, 0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਚਲਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ z=f(x,y) z=f(x,y) ਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(x,y)=〈x,y,f(x,y)〉, r(x,y)=〈x,y,f(x,y)〉 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਅਤੇ y f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.62)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x,y)=x2yf(x,y)=x2y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ r(x,y)=〈x,y,x2y〉, r(x,y)=〈x,y,x2y〉 ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ x ਅਤੇ y f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਹੈ—ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੈਕਟੈਂਗਲ [1,3]×[2,5] [1,3]×[2,5] ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਹਿੱਸਾ—ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਤਹ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦੇਣ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ S ਇੱਕ ਸਤਹ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ x=g(y,z) x=g(y,z) ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨ y=h(x,z), y=h(x,z) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ S ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
r(y,z)=〈g(y,z),y,z〉 r(y,z)=〈g(y,z),y,z〉 ਜਾਂ r(x,z)=〈x,h(x,z),z〉, r(x,z)=〈x,h(x,z),z〉, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ 2y=x2+z2 2y=x2+z2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ r(x,z)=〈x,x2+z22,z〉,0≤x<∞,0≤z<∞ ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ y ਦੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਚੱਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ x ਅਤੇ z ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.62: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(x,y)=〈x,y,f(x,y)〉 ਹੈ।
ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤਹ ਤੱਕ ਨਿਰਮਲਤਾ ਅਤੇ ਨਿਯਮਤਤਾ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕਰਵ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t),a≤t≤br(t),a≤t≤b ਨਿਯਮਤ ਹੈ ਜੇ r′(t)≠0 r′(t)≠0 ਸਾਰੇ t ਲਈ [a,b] ਵਿੱਚ। ਇੱਕ ਕਰਵ ਲਈ, ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ r ਦੀ ਚਿੱਤਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਰਵ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਰਵ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t)=〈1,2〉,0≤t≤5. r(t)=〈1,2〉,0≤t≤5. ਇਸ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਚਿੱਤਰ ਸਿਰਫ਼ ਬਿੰਦੂ (1,2),(1,2) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕਰਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r′(t)=0. r′(t)=0. ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੋਣਾ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਰਵ ਨਹੀਂ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਤਹ ਲਈ ਨਿਯਮਤਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਧਾਰਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰੇ। ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਨਿਯਮਤਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.63)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਬਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਜੋ ਅਸਲ ਸਤਹ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੇ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ru=〈0,0,0〉 ru=〈0,0,0〉 ਅਤੇ rv=〈0,−sinv,0〉, rv=〈0,−sinv,0〉, ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਾਸ ਗੁਣਨਫਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ r′(t)=0 r′(t)=0 ਦਾ ਐਨਾਲਾਗ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ru×rv ru×rv ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (u,v) (u,v) ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.63: ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈0,cosv,1〉,0≤u≤1,0≤v≤π r(u,v)=〈0,cosv,1〉,0≤u≤1,0≤v≤π ਦੀ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇ ru×rv ru×rv ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (u,v) (u,v) ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਜੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r ਨਿਯਮਤ ਹੈ, ਤਾਂ r ਦੀ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਤਹ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੌਰਾਨ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਨੂੰ ਨਿਯਮਤ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕਰਵ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(t),a≤t≤br(t),a≤t≤b ਨਿਰਮਲ ਹੈ ਜੇ r′(t) r′(t) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ r′(t)≠0 r′(t)≠0 ਸਾਰੇ t ਲਈ [a,b] ਵਿੱਚ। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਕਰਵ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਿਰਮਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਕਰਵ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਨਿਰਮਲ ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਿਰਮਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਸਤਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਨਿਰਮਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ru×rv ru×rv ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੋਣ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਤਹ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਮਲ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਨਿਰਮਲ ਚਿਹਰੇ ਹੋਣ ਪਰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਥਾਵਾਂ ਵੀ ਹੋਣ ਜਿੱਥੇ ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.61
ਨਿਰਮਲ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਿਰਮਲ ਸਤਹਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
6.64 ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੀ ਸ਼ਕਲ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ?
6.64 ਚਿੱਤਰ: (ੳ) ਇਹ ਸਤ੍ਹਾ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ। (ਅ) ਇਹ ਸਤ੍ਹਾ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ।
ਹੱਲ
6.64(ੳ) ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
(ਅਸੀਂ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵੈਕਟਰ
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੋਣ ਲਈ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਅਤੇ
ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ k ਭਾਗ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ v=0v=0 ਜਾਂ v=π.v=π ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ v=0v=0 ਜਾਂ v=π.v=π ਹੋਵੇ, ਤਾਂ u ਲਈ ਸਿਰਫ ਉਹ ਚੋਣਾਂ ਜੋ j ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, u=0u=0 ਜਾਂ u=π.u=π ਹਨ। ਪਰ, u ਦੀਆਂ ਇਹ ਚੋਣਾਂ i ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ। ਇਸ ਲਈ, ru×rvru×rv ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ v ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੋਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।
6.64(ਅ) ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਪਿਰਾਮਿਡ ਵਿੱਚ, ਕੋਨਿਆਂ ਦੀ ਤਿੱਖਣਤਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਰਵਿਘਨ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਿਰਾਮਿਡ ਪੰਜ ਨਿਰਵਿਘਨ ਚਿਹਰਿਆਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਸਤ੍ਹਾ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.50
ਕੀ ਸਤ੍ਹਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈u2v,v+1,sinu〉,0≤u≤2,0≤v≤3r(u,v)=〈u2v,v+1,sinu〉,0≤u≤2,0≤v≤3 ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ?
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਜੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖਿਆ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਕਦਮ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਕਿਸੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ D ਉੱਤੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਅਤੇ ਪੂਰੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਤ੍ਹਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ—ਭਾਵ, ਹਰੇਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਹਨ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ D ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਗਰੀ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣ ਲਈ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਆਇਤ D ਨੂੰ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ DijDij ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਜਿਸਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਚੌੜਾਈ ΔuΔu ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲੰਬਾਈ Δv.Δv ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ i 1 ਤੋਂ m ਤੱਕ ਅਤੇ j 1 ਤੋਂ n ਤੱਕ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ D ਨੂੰ mn ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। D ਨੂੰ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੰਡ ਸਤ੍ਹਾ S ਨੂੰ ਟੁਕੜਿਆਂ Sij.Sij ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੰਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਟੁਕੜੇ Sij.Sij ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ PijPij ਚੁਣੋ। ਬਿੰਦੂ PijPij ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (ui,vj)(ui,vj) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ u-ਧੁਰੇ ਅਤੇ v-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗਰਿੱਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨਾਂ ਸਤ੍ਹਾ S ਉੱਤੇ ਗਰਿੱਡ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ r(u,v).r(u,v) ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਆਮਤਾ ਦੇ ਨੁਕਸਾਨ ਦੇ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ PijPij ਬਿੰਦੂ (ui,vj).(ui,vj) ਦੇ ਕੋਨੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ r ਨੂੰ uv-ਪਲੇਨ ਤੋਂ ℝ3.ℝ3 ਤੱਕ ਇੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਵਜੋਂ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗਰਿੱਡ ਵਕਰਾਂ r ਦੁਆਰਾ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਹਨ। ਸਹੀ ਹੋਣ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (ui,vj).(ui,vj) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਲਾਈਨ x=ui,y=v;x=ui,y=v; ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਦੂਜੀ x=u,y=vj.x=u,y=vj. ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਖਿਤਿਜੀ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ (ui,vj).(ui,vj) ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ (ui,vj).(ui,vj) ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਲਾਈਨ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਸੰਬੰਧਿਤ ਗਰਿੱਡ ਵਕਰਾਂ r(ui,v)r(ui,v) ਅਤੇ r(u,vj),r(u,vj) ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਵਕਰਾਂ ਬਿੰਦੂ Pij.Pij 'ਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।
6.65 ਚਿੱਤਰ: ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਗਰਿੱਡ ਲਾਈਨਾਂ ਸਤ੍ਹਾ ਉੱਤੇ ਗਰਿੱਡ ਵਕਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ।
ਹੁਣ ਇਨ੍ਹਾਂ ਗਰਿੱਡ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਗਰਿੱਡ ਵਕਰ r(ui,v)r(ui,v) ਲਈ, PijPij 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਹੈ
ਗਰਿੱਡ ਵਕਰ r(u,vj)r(u,vj) ਲਈ, PijPij 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ N=tu(Pij)×tv(Pij)N=tu(Pij)×tv(Pij) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ PijPij 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਮੌਜੂਦ ਹੈ (6.66 ਚਿੱਤਰ)। ਜੇਕਰ ਟੁਕੜਾ SijSij ਕਾਫ਼ੀ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ PijPij 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਟੁਕੜੇ Sij.Sij ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
6.66 ਚਿੱਤਰ: ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ tutu ਅਤੇ tvtv ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
PijPij 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ tu(Pij)tu(Pij) ਅਤੇ tv(Pij),tv(Pij) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ tu(Pij)tu(Pij) ਅਤੇ tv(Pij)tv(Pij) ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ SijSij ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ uv-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ΔuΔu ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ Δv.Δv ਹੈ, ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ SijSij ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ ਜੋ Δutu(Pij)Δutu(Pij) ਅਤੇ Δvtv(Pij).Δvtv(Pij) ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਵਿਭਾਜਨ ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ΔuΔu ਅਤੇ ΔvΔv ਦੁਆਰਾ ਸਕੇਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, SijSij ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ SijSij ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ PijPij ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ ਪਿਛਲਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (6.67 ਚਿੱਤਰ)।
6.67 ਚਿੱਤਰ: tutu ਅਤੇ tvtv ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਟੁਕੜੇ Sij.Sij ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ D ਹੈ, ਸਤ੍ਹਾ S ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਾਰ ਟਰੇਸ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ (u,v)(u,v) D ਉੱਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। S ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ tu=〈∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u〉 ਅਤੇ tv=〈∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v〉 ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.62
ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ h ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਹੈ, ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ (ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ "ਪਾਸੇ" ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਕੋਨ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਕੋਨ ℝ3 ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ (ਚਿੱਤਰ 6.68) ਤੇ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, α ਨੂੰ ਉਹ ਕੋਣ ਮੰਨੋ ਜੋ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਕੋਨ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ k=tanα ਮੰਨੋ। ਉਚਾਈ v ਲਈ ਜਿੱਥੇ 0≤v≤h, v ਉਚਾਈ ਤੇ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ kv ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਕੋਨ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਇਸ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ v ਮੁੱਲ ਲਈ, u ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਬਣਨ ਵਾਲਾ ਚੱਕਰ v ਉਚਾਈ ਅਤੇ kv ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ v ਵਧਦਾ ਹੈ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ "ਸਟੈਕ" ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੋਨ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.68: ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r = kh ਅਤੇ ਉਚਾਈ h ਹੈ, ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ s(u,v)=〈kvcosu,kvsinu,v〉, 0≤u<2π, 0≤v≤h ਹੈ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੱਥ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 6.18 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਨ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ tu=〈−kvsinu,kvcosu,0〉 ਅਤੇ tv=〈kcosu,ksinu,1〉 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨ 6.18 ਅਨੁਸਾਰ, ਕੋਨ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ k=tanα=r/h,
ਇਸ ਲਈ, ਕੋਨ ਦਾ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ πrh2+r2 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਅਤੇ ਉਚਾਈ h ਵਾਲੇ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ πr2+πrh2+r2 ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਗੋਲਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕੋਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਆਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ πr2 ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੇ ਗਏ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ πrh2+r2 ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.51
ਉਸ ਸਤਹ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈u+v,u2,2v〉, 0≤u≤3, 0≤v≤2 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.63
ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਗੋਲੇ x2+y2+z2=r2 ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ 4πr2 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਗੋਲੇ ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਹਨ
ਇਸ ਲਈ,
ਹੁਣ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ sinϕ≥0 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 0≤ϕ<π, ਅਤੇ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ sin²ϕ=sinϕ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.52
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਸਿਲੰਡਰ x²+y²=r², 0≤z≤h ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ 2πrh ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸੰਕੂ ਅਤੇ ਗੋਲਿਆਂ ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਾਂ ਮਿਆਰੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਆਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ y=f(x)≥0 ਡੋਮੇਨ a≤x≤b 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ S ਉਹ ਸਤਹ ਹੈ ਜੋ ff ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.69)। ਮੰਨ ਲਓ θ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ। ਫਿਰ, S ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ x ਅਤੇ θ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 6.69: ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਨੂੰ r(x,θ)=〈x,f(x)cosθ,f(x)sinθ〉, a≤x≤b, 0≤θ<2π ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.64
ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ y=x², 0≤x≤b ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.70)।
ਚਿੱਤਰ 6.70: ਇਸ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਤਹ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ tx=〈1,2xcosθ,2xsinθ〉 ਅਤੇ tθ=〈0,−x²sinθ,x²cosθ〉 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
ਅਤੇ
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.53
ਸਮੀਕਰਨ 6.18 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ y=sinx, 0≤x≤π ਵਕਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਇੱਕ ਉੱਚੇ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਇੱਕ ਐਨਾਲਾਗ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਇੰਟੈਗਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ਡ ਵਕਰ (ਇੱਕ-ਮਾਪੀ ਵਸਤੂ) ਹੈ; ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਇੰਟੈਗਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ਡ ਸਤਹ (ਦੋ-ਮਾਪੀ ਵਸਤੂ) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਵਕਰ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ, ਹਰ ਟੁਕੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਿਆ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ, ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਰੀਮੈਨਨ ਜੋੜ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਲਈ। ਸਕੇਲਰ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਖੇਤਰ (ਹੁਣ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨਹੀਂ) ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੂਥ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈x(u,v),y(u,v),z(u,v)〉 ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ D ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ f(x,y,z) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ S ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ D ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤਰਕ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਚੋਣ ਸਿਰਫ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਪ੍ਰਬੰਧਨਯੋਗ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੈ)। ਆਇਤਾਕਾਰ D ਨੂੰ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ Dij ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਜਿਸਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਚੌੜਾਈ Δu ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲੰਬਾਈ Δv ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ i 1 ਤੋਂ m ਤੱਕ ਅਤੇ j 1 ਤੋਂ n ਤੱਕ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ D ਨੂੰ mn ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ D ਦੀ ਇਹ ਵੰਡ S ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ Sij ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੰਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਹਰ ਟੁਕੜੇ Sij ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ Pij ਚੁਣੋ, ff ਦਾ Pij 'ਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਰੀਮੈਨਨ ਜੋੜ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਖੇਤਰ ΔSij ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ S ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੂਥ ਸਤਹ S ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੈਗਰਲ ਹੈ
Again, notice the similarities between this definition and the definition of a scalar line integral. In the definition of a line integral we chop a curve into pieces, evaluate a function at a point in each piece, and let the length of the pieces shrink to zero by taking the limit of the corresponding Riemann sum. In the definition of a surface integral, we chop a surface into pieces, evaluate a function at a point in each piece, and let the area of the pieces shrink to zero by taking the limit of the corresponding Riemann sum. Thus, a surface integral is similar to a line integral but in one higher dimension.
The definition of a scalar line integral can be extended to parameter domains that are not rectangles by using the same logic used earlier. The basic idea is to chop the parameter domain into small pieces, choose a sample point in each piece, and so on. The exact shape of each piece in the sample domain becomes irrelevant as the areas of the pieces shrink to zero.
Scalar surface integrals are difficult to compute from the definition, just as scalar line integrals are. To develop a method that makes surface integrals easier to compute, we approximate surface areas ΔSijΔSij with small pieces of a tangent plane, just as we did in the previous subsection. Recall the definition of vectors tutu and tv:tv:
From the material we have already studied, we know that
Therefore,
This approximation becomes arbitrarily close to limm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(Pij)ΔSijlimm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(Pij)ΔSij as we increase the number of pieces SijSij by letting m and n go to infinity. Therefore, we have the following equation to calculate scalar surface integrals:
Equation 6.19 allows us to calculate a surface integral by transforming it into a double integral. This equation for surface integrals is analogous to Equation 6.7 for line integrals:
In this case, vector tu×tvtu×tv is perpendicular to the surface, whereas vector r′(t)r′(t) is tangent to the curve.
Example 6.65
Calculating a Surface Integral
Calculate surface integral ∬S5dS,∬S5dS, where SS is the surface with parameterization r(u,v)=〈u,u2,v〉r(u,v)=〈u,u2,v〉 for 0≤u≤20≤u≤2 and 0≤v≤u.0≤v≤u.
Solution
Notice that this parameter domain D is a triangle, and therefore the parameter domain is not rectangular. This is not an issue though, because Equation 6.19 does not place any restrictions on the shape of the parameter domain.
To use Equation 6.19 to calculate the surface integral, we first find vector tutu and tv.tv. Note that tu=〈1,2u,0〉tu=〈1,2u,0〉 and tv=〈0,0,1〉.tv=〈0,0,1〉. Therefore,
and
By Equation 6.19,
Example 6.66
Calculating the Surface Integral of a Cylinder
Calculate surface integral ∬S(x+y2)dS,∬S(x+y2)dS, where S is cylinder x2+y2=4,0≤z≤3x2+y2=4,0≤z≤3 (Figure 6.71).
Figure 6.71: Integrating function f(x,y,z)=x+y2f(x,y,z)=x+y2 over a cylinder.
Solution
To calculate the surface integral, we first need a parameterization of the cylinder. Following Example 6.58, a parameterization is
The tangent vectors are tu=〈-2sinu,2cosu,0〉tu=〈-2sinu,2cosu,0〉 and tv=〈0,0,1〉.tv=〈0,0,1〉. Then,
and ‖tu×tv‖=4cos2u+4sin2u=2.‖tu×tv‖=4cos2u+4sin2u=2. By Equation 6.19,
Checkpoint 6.54
Calculate ∬S(x2−z)dS,∬S(x2−z)dS, where S is the surface with parameterization r(u,v)=〈v,u2+v2,1〉,0≤u≤2,0≤v≤3.r(u,v)=〈v,u2+v2,1〉,0≤u≤2,0≤v≤3.
Example 6.67
Calculating the Surface Integral of a Piece of a Sphere
Calculate surface integral ∬Sf(x,y,z)dS,∬Sf(x,y,z)dS, where f(x,y,z)=z2f(x,y,z)=z2 and S is the surface that consists of the piece of sphere x2+y2+z2=4x2+y2+z2=4 that lies on or above plane z=1z=1 and the disk that is enclosed by intersection plane z=1z=1 and the given sphere (Figure 6.72).
Figure 6.72: Calculating a surface integral over surface S.
Solution
Notice that S is not smooth but is piecewise smooth; S can be written as the union of its base S1S1 and its spherical top S2,S2, and both S1S1 and S2S2 are smooth. Therefore, to calculate ∬Sz2dS,∬Sz2dS, we write this integral as ∬S1z2dS+∬S2z2dS∬S1z2dS+∬S2z2dS and we calculate integrals ∬S1z2dS∬S1z2dS and ∬S2z2dS.∬S2z2dS.
First, we calculate ∬S1z2dS.∬S1z2dS. To calculate this integral we need a parameterization of S1.S1. This surface is a disk in plane z=1z=1 centered at (0,0,1).(0,0,1). To parameterize this disk, we need to know its radius. Since the disk is formed where plane z=1z=1 intersects sphere x2+y2+z2=4,x2+y2+z2=4, we can substitute z=1z=1 into equation x2+y2+z2=4:x2+y2+z2=4:
Therefore, the radius of the disk is 33 and a parameterization of S1S1 is r(u,v)=〈ucosv,usinv,1〉,0≤u≤3,0≤v≤2π.r(u,v)=〈ucosv,usinv,1〉,0≤u≤3,0≤v≤2π. The tangent vectors are tu=〈cosv,sinv,0〉tu=〈cosv,sinv,0〉 and tv=〈−usinv,ucosv,0〉,tv=〈−usinv,ucosv,0〉, and thus
The magnitude of this vector is u. Therefore,
Now we calculate ∬S2dS.∬S2dS. To calculate this integral, we need a parameterization of S2.S2. The parameterization of full sphere x2+y2+z2=4x2+y2+z2=4 is
Since we are only taking the piece of the sphere on or above plane z=1,z=1, we have to restrict the domain of ϕ.ϕ. To see how far this angle sweeps, notice that the angle can be located in a right triangle, as shown in Figure 6.73 (the 33 comes from the fact that the base of S is a disk with radius 3).3). Therefore, the tangent of ϕϕ is 3,3, which implies that ϕϕ is π/3.π/3. We now have a parameterization of S2:S2:
Figure 6.73: The maximum value of ϕϕ has a tangent value of 3.3.
The tangent vectors are
and thus
The magnitude of this vector is
Therefore,
Since ∬Sz2dS=∬S1z2dS+∬S2z2dS=3π+28π3=37π3∬Sz2dS=∬S1z2dS+∬S2z2dS=3π+28π3=37π3
Analysis
In this example we broke a surface integral over a piecewise surface into the addition of surface integrals over smooth subsurfaces. There were only two smooth subsurfaces in this example, but this technique extends to finitely many smooth subsurfaces.
Checkpoint 6.55
Calculate surface integral ∬S(x−y)dS,∬S(x−y)dS, where S is cylinder x2+y2=1,0≤z≤2,x2+y2=1,0≤z≤2, including the circular top and bottom.
Scalar surface integrals have several real-world applications. Recall that scalar line integrals can be used to compute the mass of a wire given its density function. In a similar fashion, we can use scalar surface integrals to compute the mass of a sheet given its density function. If a thin sheet of metal has the shape of surface S and the density of the sheet at point (x,y,z)(x,y,z) is ρ(x,y,z),ρ(x,y,z), then mass m of the sheet is m=∬Sρ(x,y,z)dS.m=∬Sρ(x,y,z)dS.
Example 6.68
Calculating the Mass of a Sheet
A flat sheet of metal has the shape of surface z=1+x+2yz=1+x+2y that lies above rectangle 0≤x≤40≤x≤4 and 0≤y≤2.0≤y≤2. If the density of the sheet is given by ρ(x,y,z)=x2yz,ρ(x,y,z)=x2yz, what is the mass of the sheet?
Solution
Let S be the surface that describes the sheet. Then, the mass of the sheet is given by m=∬Sx2yzdS.m=∬Sx2yzdS. To compute this surface integral, we first need a parameterization of S. Since S is given by the function f(x,y)=1+x+2y,f(x,y)=1+x+2y, a parameterization of S is r(x,y)=〈x,y,1+x+2y〉,0≤x≤4,0≤y≤2.r(x,y)=〈x,y,1+x+2y〉,0≤x≤4,0≤y≤2.
The tangent vectors are tx=〈1,0,1〉tx=〈1,0,1〉 and ty=〈1,0,2〉.ty=〈1,0,2〉. Therefore, tx×ty=〈−1,−2,1〉tx×ty=〈−1,−2,1〉 and ‖tx×ty‖=6.‖tx×ty‖=6. By Equation 6.5,
Checkpoint 6.56
A piece of metal has a shape that is modeled by paraboloid z=x2+y2,0≤z≤4,z=x2+y2,0≤z≤4, and the density of the metal is given by ρ(x,y,z)=z+1.ρ(x,y,z)=z+1. Find the mass of the piece of metal.
Orientation of a Surface
Recall that when we defined a scalar line integral, we did not need to worry about an orientation of the curve of integration. The same was true for scalar surface integrals: we did not need to worry about an “orientation” of the surface of integration.
On the other hand, when we defined vector line integrals, the curve of integration needed an orientation. That is, we needed the notion of an oriented curve to define a vector line integral without ambiguity. Similarly, when we define a surface integral of a vector field, we need the notion of an oriented surface. An oriented surface is given an “upward” or “downward” orientation or, in the case of surfaces such as a sphere or cylinder, an “outward” or “inward” orientation.
Let S be a smooth surface. For any point (x,y,z)(x,y,z) on S, we can identify two unit normal vectors NN and −N.−N. If it is possible to choose a unit normal vector N at every point (x,y,z)(x,y,z) on S so that N varies continuously over S, then S is “orientable.” Such a choice of unit normal vector at each point gives the orientation of a surface S. If you think of the normal field as describing water flow, then the side of the surface that water flows toward is the “negative” side and the side of the surface at which the water flows away is the “positive” side. Informally, a choice of orientation gives S an “outer” side and an “inner” side (or an “upward” side and a “downward” side), just as a choice of orientation of a curve gives the curve “forward” and “backward” directions.
Closed surfaces such as spheres are orientable: if we choose the outward normal vector at each point on the surface of the sphere, then the unit normal vectors vary continuously. This is called the positive orientation of the closed surface (Figure 6.74). We also could choose the inward normal vector at each point to give an “inward” orientation, which is the negative orientation of the surface.
Figure 6.74: An oriented sphere with positive orientation.
A portion of the graph of any smooth function z=f(x,y)z=f(x,y) is also orientable. If we choose the unit normal vector that points “above” the surface at each point, then the unit normal vectors vary continuously over the surface. We could also choose the unit normal vector that points “below” the surface at each point. To get such an orientation, we parameterize the graph of ff in the standard way: r(x,y)=〈x,y,f(x,y)〉,r(x,y)=〈x,y,f(x,y)〉, where x and y vary over the domain of f.f. Then, tx=〈1,0,fx〉tx=〈1,0,fx〉 and ty=〈0,1,fy〉,ty=〈0,1,fy〉, and therefore the cross product tx×tytx×ty (which is normal to the surface at any point on the surface) is 〈−fx,−fy,1〉.〈−fx,−fy,1〉. Since the z component of this vector is one, the corresponding unit normal vector points “upward,” and the upward side of the surface is chosen to be the “positive” side.
Let S be a smooth orientable surface with parameterization r(u,v).r(u,v). For each point r(a,b)r(a,b) on the surface, vectors tutu and tvtv lie in the tangent plane at that point. Vector tu×tvtu×tv is normal to the tangent plane at r(a,b)r(a,b) and is therefore normal to S at that point. Therefore, the choice of unit normal vector
gives an orientation of surface S.
Example 6.69
Choosing an Orientation
Give an orientation of cylinder x2+y2=r2,0≤z≤h.x2+y2=r2,0≤z≤h.
Solution
This surface has parameterization
The tangent vectors are tu=〈−rsinu,rcosu,0〉tu=〈−rsinu,rcosu,0〉 and tv=〈0,0,1〉.tv=〈0,0,1〉. To get an orientation of the surface, we compute the unit normal vector
In this case, tu×tv=〈rcosu,rsinu,0〉tu×tv=〈rcosu,rsinu,0〉 and therefore
ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ xy-ਪਲੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਬਾਹਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 6.75)।
ਚਿੱਤਰ 6.75: ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਮ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਬਾਹਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.57
f(x,y)=xy ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ "ਉੱਪਰ ਵੱਲ" ਦਿਸ਼ਾ ਦਿਓ।
ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਕਰ ਦਾ ਇੱਕ "ਅੱਗੇ" ਅਤੇ "ਪਿੱਛੇ" ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਜਾਂ, ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਘੜੀ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ), ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਰ ਵਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਵਕਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੁਝ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ; ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਦਿਸ਼ਾਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇ ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ "ਅੰਦਰੂਨੀ" ਪਾਸਾ ਅਤੇ ਇੱਕ "ਬਾਹਰੀ" ਪਾਸਾ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ "ਉੱਪਰ ਵੱਲ" ਪਾਸਾ ਅਤੇ ਇੱਕ "ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ" ਪਾਸਾ ਹੋਵੇ। ਕੁਝ ਸਤਹਾਂ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਮਰੋੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ "ਅੰਦਰੂਨੀ" ਜਾਂ "ਬਾਹਰੀ" ਪਾਸੇ ਦਾ ਕੋਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੰਕਲਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਗੈਰ-ਦਿਸ਼ਾਯੋਗ ਸਤਹ ਦਾ ਕਲਾਸਿਕ ਉਦਾਹਰਨ ਮੋਬੀਅਸ ਸਟ੍ਰਿਪ ਹੈ। ਇੱਕ ਮੋਬੀਅਸ ਸਟ੍ਰਿਪ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੱਟੀ ਲਓ, ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਮੋੜੋ, ਅਤੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੂੰਦ ਦਿਓ (ਚਿੱਤਰ 6.76)। ਪੱਟੀ ਵਿੱਚ ਅੱਧੇ ਮੋੜ ਕਾਰਨ, ਸਤਹ ਦਾ ਕੋਈ "ਬਾਹਰੀ" ਪਾਸਾ ਜਾਂ "ਅੰਦਰੂਨੀ" ਪਾਸਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਪੱਟੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਰੱਖਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਬੈਂਡ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਪੂਰਾ ਘੁੰਮਣ ਦਿੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ (ਅੱਧੇ ਮੋੜ ਕਾਰਨ) ਵੈਕਟਰ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੱਟੀ ਦਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.76: ਮੋਬੀਅਸ ਸਟ੍ਰਿਪ ਦੀ ਉਸਾਰੀ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਸਤਹਾਂ ਗੈਰ-ਦਿਸ਼ਾਯੋਗ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਰੀਆਂ ਟੁਕੜਿਆਂ-ਸਮੂਥ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਵੈਕਟਰ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟੁਕੜਿਆਂ-ਸਮੂਥ ਵਕਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਦਿਸ਼ਾਯੋਗ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਫਲਕਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ C ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ C ਦੇ ਨਾਲ F ਦੇ ਫਲਕਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ C ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ, ਹਰ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨਾ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ F·NF·N ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ (ਜਿੱਥੇ N ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਹੈ)। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਤਹ S ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਛੋਟੇ (ਦੋ-ਅਯਾਮੀ) ਟੁਕੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ F·NF·N ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ S ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਸਤਹ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇਕਾਈ ਆਮ ਵੈਕਟਰ N ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ v ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵਹਾਅ ਦਾ ਵੇਗ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜੋ S ਵਿੱਚੋਂ ਵਗ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਰਲ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z) ਹੈ। ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤਰਲ S ਵਿੱਚੋਂ ਵਗਦਾ ਹੈ, ਪਰ S ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਰਗਮ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਤਰਲ ਦੇ ਵਹਾਅ ਨੂੰ ਰੋਕ ਨਾ ਸਕੇ (ਚਿੱਤਰ 6.77)। ਤਰਲ ਦਾ ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਪੁੰਜ ਦੇ ਵਹਾਅ ਦੀ ਦਰ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਪੁੰਜ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ S ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੇ ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਚਿੱਤਰ 6.77: ਤਰਲ S ਵਿੱਚੋਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਰਗਮ ਸਤਹ ਦੇ ਪਾਰ ਵਗਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ ਵਹਾਅ ਦੀ ਦਰ ρN ਹੈ। S ਦੇ ਪਾਰ ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, S ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ Sij ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਜੇ Sij ਕਾਫ਼ੀ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ Sij ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਪੂਰੇ ਟੁਕੜੇ Sij ਦੇ ਪਾਰ N(x,y,z) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਬਦੀਲੀ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੀ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਦੇ ਪਾਰ ਚਲਦੇ ਹਾਂ। P 'ਤੇ ρv ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘਟਕ ρv·N ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ Sij ਛੋਟਾ ਹੈ, ρv·N ਦਾ ਡਾਟ ਉਤਪਾਦ Sij ਦੇ ਪਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋਣ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ρv·N ਨੂੰ Sij ਦੇ ਪਾਰ ਲਗਭਗ ਸਥਿਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। Sij ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮਾਂ ਵਗ ਰਹੇ ਤਰਲ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ (ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ), ਸਾਨੂੰ (ρv·N)(P) ਨੂੰ Sij ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ Sij ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮਾਂ ਵਗ ਰਹੇ ਤਰਲ ਦਾ ਪੁੰਜ (ρv·N)ΔSij ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ N, ρ, ਅਤੇ v ਸਾਰੇ P 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.78)। ਇਹ ਸਮਤਲ ਵਕਰ C ਦੇ ਪਾਰ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਦੇ ਫਲਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ C ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਪਾਰ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ (F·N)Δs ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਸੀ। S ਦੇ ਪਾਰ ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ∑i=1m∑j=1n(ρv·N)ΔSij ਦਾ ਜੋੜ ਬਣਾਓ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੁਕੜੇ Sij ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ∑i=1m∑j=1n(ρv·N)ΔSij ਦਾ ਜੋੜ ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਦੇ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੁੰਜ ਫਲਕਸ ਹੈ
ਇਹ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸਤਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ। ρv ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ F ਮੰਨ ਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.78: N ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ Sij ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮਾਂ ਵਗ ਰਹੇ ਤਰਲ ਦਾ ਪੁੰਜ (ρv·N)ΔSij ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ F ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਤ੍ਹਾ S ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ N ਹੈ। S ਉੱਤੇ F ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Nds.∫CF·Nds ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਵੇਖੋ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਪਾਰ ਫਲਕਸ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ (ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ) ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਵਕਰ (ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ)। ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·NdS∬SF·NdS ਨੂੰ S ਦੇ ਪਾਰ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫CF·Nds∫CF·Nds ਵਕਰ C ਦੇ ਪਾਰ F ਦਾ ਫਲਕਸ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਫਲਕਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ ਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਾਂਗ, ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·NdS∬SF·NdS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਤ੍ਹਾ S ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ r(u,v)r(u,v) ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਡੋਮੇਨ D ਦੇ ਨਾਲ S ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ N=tu×tv‖tu×tv‖N=tu×tv‖tu×tv‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ 6.20 ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 6.70
ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·NdS,∬SF·NdS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F=〈−y,x,0〉F=〈−y,x,0〉 ਅਤੇ SS ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ r(u,v)=〈u,v2−u,u+v〉,0≤u<3,0≤v≤4.r(u,v)=〈u,v2−u,u+v〉,0≤u<3,0≤v≤4 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ tu=〈1,−1,1〉tu=〈1,−1,1〉 ਅਤੇ tv=〈0,2v,1〉.tv=〈0,2v,1〉 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
ਸਮੀਕਰਨ 6.21 ਅਨੁਸਾਰ,
ਇਸ ਲਈ, S ਦੇ ਪਾਰ F ਦਾ ਫਲਕਸ 340 ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.58
ਸਤ੍ਹਾ ਇੰਟੀਗਰਲ ∬SF·dS,∬SF·dS ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ F=〈0,−z,y〉F=〈0,−z,y〉 ਅਤੇ S ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਕ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਗੋਲੇ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਬਾਹਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.71
ਮਾਸ ਫਲੋ ਰੇਟ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ v(x,y,z)=〈2x,2y,z〉v(x,y,z)=〈2x,2y,z〉 ਇੱਕ ਤਰਲ ਦੇ ਵੇਗ ਖੇਤਰ (ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਇਕਾਈ ਵਿੱਚ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ 80 kg/m3 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ S ਅਰਧ-ਗੋਲਾ x2+y2+z2=9x2+y2+z2=9 ਹੈ ਜਿੱਥੇ z≥0z≥0 ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ S ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। S ਦੇ ਪਾਰ ਤਰਲ ਦੇ ਮਾਸ ਫਲੋ ਰੇਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 6.64 ਵਾਂਗ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਹਨ
ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਰ ਹਿੱਸਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਬਾਹਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਗੋਲੇ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ N=〈9cosθsin2ϕ,9sinθsin2ϕ,9sinϕcosϕ〉N=〈9cosθsin2ϕ,9sinθsin2ϕ,9sinϕcosϕ〉 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
[ਲਿੰਕ] ਅਨੁਸਾਰ,
ਇਸ ਲਈ, ਮਾਸ ਫਲੋ ਰੇਟ 7200πkg/sec/m2.7200πkg/sec/m2 ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.59
Let v(x,y,z)=〈x2+y2,z,4y〉v(x,y,z)=〈x2+y2,z,4y〉 m/sec represent a velocity field of a fluid with constant density 100 kg/m3. Let S be the half-cylinder r(u,v)=〈cosu,sinu,v〉,0≤u≤π,0≤v≤2r(u,v)=〈cosu,sinu,v〉,0≤u≤π,0≤v≤2 oriented outward. Calculate the mass flux of the fluid across S.
In Example 6.71, we computed the mass flux, which is the rate of mass flow per unit area. If we want to find the flow rate (measured in volume per time) instead, we can use flux integral ∬Sv·NdS,∬Sv·NdS, which leaves out the density. Since the flow rate of a fluid is measured in volume per unit time, flow rate does not take mass into account. Therefore, we have the following characterization of the flow rate of a fluid with velocity v across a surface S:
To compute the flow rate of the fluid in Example 6.71, we simply remove the density constant, which gives a flow rate of 90πm3/sec.90πm3/sec.
Both mass flux and flow rate are important in physics and engineering. Mass flux measures how much mass is flowing across a surface; flow rate measures how much volume of fluid is flowing across a surface.
In addition to modeling fluid flow, surface integrals can be used to model heat flow. Suppose that the temperature at point (x,y,z)(x,y,z) in an object is T(x,y,z).T(x,y,z). Then the heat flow is a vector field proportional to the negative temperature gradient in the object. To be precise, the heat flow is defined as vector field F=−k∇T,F=−k∇T, where the constant k is the thermal conductivity of the substance from which the object is made (this constant is determined experimentally). The rate of heat flow across surface S in the object is given by the flux integral
Example 6.72
Calculating Heat Flow
A cast-iron solid cylinder is given by inequalities x2+y2≤1,x2+y2≤1, 1≤z≤4.1≤z≤4. The temperature at point (x,y,z)(x,y,z) in a region containing the cylinder is T(x,y,z)=(x2+y2)z.T(x,y,z)=(x2+y2)z. Given that the thermal conductivity of cast iron is 55, find the heat flow across the boundary of the solid if this boundary is oriented outward.
Solution
Let S denote the boundary of the object. To find the heat flow, we need to calculate flux integral ∬S−k∇T·dS.∬S−k∇T·dS. Notice that S is not a smooth surface but is piecewise smooth, since S is the union of three smooth surfaces (the circular top and bottom, and the cylindrical side). Therefore, we calculate three separate integrals, one for each smooth piece of S. Before calculating any integrals, note that the gradient of the temperature is ∇T=〈2xz,2yz,x2+y2〉.∇T=〈2xz,2yz,x2+y2〉.
First we consider the circular bottom of the object, which we denote S1.S1. We can see that S1S1 is a circle of radius 1 centered at point (0,0,1),(0,0,1), sitting in plane z=1.z=1. This surface has parameterization r(u,v)=〈vcosu,vsinu,1〉,0≤u<2π,0≤v≤1.r(u,v)=〈vcosu,vsinu,1〉,0≤u<2π,0≤v≤1. Therefore,
and
Since the surface is oriented outward and S1S1 is the bottom of the object, it makes sense that this vector points downward. By Equation 6.21, the heat flow across S1S1 is
Now let’s consider the circular top of the object, which we denote S2.S2. We see that S2S2 is a circle of radius 1 centered at point (0,0,4),(0,0,4), sitting in plane z=4.z=4. This surface has parameterization r(u,v)=〈vcosu,vsinu,4〉,0≤u<2π,0≤v≤1.r(u,v)=〈vcosu,vsinu,4〉,0≤u<2π,0≤v≤1. Therefore,
and
Since the surface is oriented outward and S1S1 is the top of the object, we instead take vector tv×tu=〈0,0,v〉.tv×tu=〈0,0,v〉. By Equation 6.21, the heat flow across S1S1 is
Last, let’s consider the cylindrical side of the object. This surface has parameterization r(u,v)=〈cosu,sinu,v〉,0≤u<2π,1≤v≤4.r(u,v)=〈cosu,sinu,v〉,0≤u<2π,1≤v≤4. By Example 6.66, we know that tu×tv=〈cosu,sinu,0〉.tu×tv=〈cosu,sinu,0〉. By Equation 6.21,
Therefore, the rate of heat flow across S is 55π2−55π2−110π=−110π.55π2−55π2−110π=−110π.
Checkpoint 6.60
A cast-iron solid ball is given by inequality x2+y2+z2≤1.x2+y2+z2≤1. The temperature at a point in a region containing the ball is T(x,y,z)=13(x2+y2+z2).T(x,y,z)=13(x2+y2+z2). Find the heat flow across the boundary of the solid if this boundary is oriented outward.
For the following exercises, determine whether the statements are true or false.
If surface S is given by {(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,z=10},{(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,z=10}, then ∬Sf(x,y,z)dS=∫01∫01f(x,y,10)dxdy.∬Sf(x,y,z)dS=∫01∫01f(x,y,10)dxdy.
If surface S is given by {(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,z=x},{(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,z=x}, then ∬Sf(x,y,z)dS=∫01∫01f(x,y,x)dxdy.∬Sf(x,y,z)dS=∫01∫01f(x,y,x)dxdy.
Surface r=〈vcosu,vsinu,v2〉,for0≤u≤π,0≤v≤2,r=〈vcosu,vsinu,v2〉,for0≤u≤π,0≤v≤2, is the same as surface r=〈vcos2u,vsin2u,v〉,r=〈vcos2u,vsin2u,v〉, for 0≤u≤π2,0≤v≤4.0≤u≤π2,0≤v≤4.
Given the standard parameterization of a sphere, normal vectors tu×tvtu×tv are outward normal vectors.
For the following exercises, find parametric descriptions for the following surfaces.
Plane 3x−2y+z=23x−2y+z=2
Paraboloid z=x2+y2,z=x2+y2, for 0≤z≤9.0≤z≤9.
Plane 2x−4y+3z=162x−4y+3z=16
The frustum of cone z2=x2+y2,for2≤z≤8z2=x2+y2,for2≤z≤8
The portion of cylinder x2+y2=9x2+y2=9 in the first octant, for 0≤z≤30≤z≤3
A cone with base radius r and height h, where r and h are positive constants
For the following exercises, use a computer algebra system to approximate the area of the following surfaces using a parametric description of the surface.
[T] Half cylinder {(r,θ,z):r=4,0≤θ≤π,0≤z≤7}{(r,θ,z):r=4,0≤θ≤π,0≤z≤7}
[T] Plane z=10−x−yz=10−x−y above square |x|≤2,|y|≤2|x|≤2,|y|≤2
For the following exercises, let S be the hemisphere x2+y2+z2=4,x2+y2+z2=4, with z≥0,z≥0, and evaluate each surface integral.
∬ S z d S ∬ S z d S
∬ S ( x − 2 y ) d S ∬ S ( x − 2 y ) d S
∬ S ( x 2 + y 2 ) z d S ∬ S ( x 2 + y 2 ) z d S
For the following exercises, evaluate ∫∫SF·NdS∫∫SF·NdS for vector field F, where N is an upward pointing normal vector to surface S.
F(x,y,z)=xi+2yj−3zk,F(x,y,z)=xi+2yj−3zk, and S is that part of plane 15x−12y+3z=615x−12y+3z=6 that lies above unit square 0≤x≤1,0≤y≤1.0≤x≤1,0≤y≤1.
F(x,y,z)=xi+yj,F(x,y,z)=xi+yj, and S is hemisphere z=1−x2−y2.z=1−x2−y2.
F(x,y,z)=x2i+y2j+z2k,F(x,y,z)=x2i+y2j+z2k, and S is the portion of plane z=y+1z=y+1 that lies inside cylinder x2+y2=1.x2+y2=1.
For the following exercises, approximate the mass of the lamina that has the shape of given surface S. Round to four decimal places.
[T] S is surface z=4−x−2y,withz≥0,x≥0,y≥0;ρ=x.z=4−x−2y,withz≥0,x≥0,y≥0;ρ=x.
[T] S is surface z=x2+y2,withz≤1;ρ=z.z=x2+y2,withz≤1;ρ=z.
[T] S is surface x2+y2+z2=5,withz≥1;ρ=θ2.x2+y2+z2=5,withz≥1;ρ=θ2.
Evaluate ∬S(y2zi+y3j+xzk)·dS,∬S(y2zi+y3j+xzk)·dS, where S is the surface of cube −1≤x≤1,−1≤y≤1,and0≤z≤2.−1≤x≤1,−1≤y≤1,and0≤z≤2. Assume an outward pointing normal.
∫∫S(xz+2x2−3xy)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਤਲ 2x−3y+z=6 ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਇਕਾਈ ਵਰਗ R: 0≤x≤1,0≤y≤1 ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
∫∫S(x2+y−z)dS, ਜਿੱਥੇ S, r(u,v)=(2u+v)i+(u−2v)j+(u+3v)k ਦੁਆਰਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ, 0≤u≤1, ਅਤੇ 0≤v≤2।
∫∫S(x−y2+z)dS, ਜਿੱਥੇ S, r(u,v)=u2i+vj+uk, 0≤u≤1, 0≤v≤1 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ।
∫∫S(x2+y2−z)dS, ਜਿੱਥੇ S, r(u,v)=ui−u2j+vk, 0≤u≤2, 0≤v≤1 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ।
∫∫S(x2+y2)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਅਰਧ-ਗੋਲੇ z=1−x2−y2 ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ z=0 ਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ।
∫∫S(x2+y2+z2)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਤਲ z=x+1 ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰ x2+y2=1 ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
∫∫Sx2zdS, ਜਿੱਥੇ S, ਸ਼ੰਕੂ z2=x2+y2 ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਤਲ z=1 ਅਤੇ z=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
∫∫S(xz/y)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਸਿਲੰਡਰ x=y2 ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ z=0, z=5, y=1, ਅਤੇ y=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
∫∫S(z+y)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਗ੍ਰਾਫ਼ z=1−x2 ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ xz-ਤਲ ਅਤੇ ਤਲ y=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
∫∫Sxyz dS, ਜੇ S, ਤਲ z=x+y ਦਾ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੈ ਜੋ xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ (0, 0, 0), (1, 0, 0), ਅਤੇ (0, 2, 0) ਵਾਲੇ ਤਿਕੋਣੀ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪੁੰਜ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ρ(x,y,z)=z ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ z=(a2−x2−y2)1/2 ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ।
∫∫SF·NdS, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=xi−5yj+4zk ਅਤੇ N, S ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S, ਦੋ ਵਰਗਾਂ S1:x=0,0≤y≤1,0≤z≤1 ਅਤੇ S2:z=1,0≤x≤1,0≤y≤1 ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਹੈ।
∫∫SF·NdS, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=xyi+zj+(x+y)k ਅਤੇ N, S ਦਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S, ਪਹਿਲੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਤਲ x+y+z=1 ਦਾ ਤਿਕੋਣਾ ਖੇਤਰ ਹੈ।
∫∫SF·NdS, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=2yzi+(tan−1(xz))j+exyk ਅਤੇ N, S ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S, ਗੋਲੇ x2+y2+z2=1 ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ।
∫∫SF·NdS, ਜਿੱਥੇ F(x,y,z)=xyzi+xyzj+xyzk ਅਤੇ N, S ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S, ਇਕਾਈ ਘਣ 0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1 ਦੇ ਪੰਜ ਤਲਾਂ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ z=0 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ yz-ਤਲ ਉੱਤੇ S ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਦੋਹਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
∫∫Sxy2z3dS; S, ਤਲ 2x+3y+4z=12 ਦਾ ਪਹਿਲਾ-ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਭਾਗ ਹੈ।
∫∫S(x2−2y+z)dS; S, 4x+y=8 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਅਤੇ ਤਲ z=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ xz-ਤਲ ਉੱਤੇ S ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਦੋਹਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
∫∫Sxy2z3dS; S, ਤਲ 2x+3y+4z=12 ਦਾ ਪਹਿਲਾ-ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਭਾਗ ਹੈ।
∫∫S(x2−2y+z)dS; S, 4x+y=8 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਉਹ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਅਤੇ ਤਲ z=6 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ∫∫SyzdS, ਜਿੱਥੇ S, ਤਲ x+y+z=λ ਦਾ ਪਹਿਲਾ-ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਭਾਗ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ λ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ।
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ∫∫S(x2z+y2z)dS, ਜਿੱਥੇ S, ਅਰਧ-ਗੋਲਾ x2+y2+z2=a2, z≥0 ਹੈ।
ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ∫∫SzdS, ਜਿੱਥੇ S, ਸਤ੍ਹਾ z=x2+y2, 0≤z≤2 ਹੈ।
Evaluate surface integral ∬Sx2yzdS,∬Sx2yzdS, where S is the part of plane z=1+2x+3yz=1+2x+3y that lies above rectangle 0≤x≤3and0≤y≤2.0≤x≤3and0≤y≤2.
Evaluate surface integral ∬SyzdS,∬SyzdS, where S is plane x+y+z=1x+y+z=1 that lies in the first octant.
Evaluate surface integral ∬SyzdS,∬SyzdS, where S is the part of plane z=y+3z=y+3 that lies inside cylinder x2+y2=1.x2+y2=1.
For the following exercises, use geometric reasoning to evaluate the given surface integrals.
∬Sx2+y2+z2dS,∬Sx2+y2+z2dS, where S is surface x2+y2+z2=4,z≥0x2+y2+z2=4,z≥0
∬S(xi+yj)·dS,∬S(xi+yj)·dS, where S is surface x2+y2=4,1≤z≤3,x2+y2=4,1≤z≤3, oriented with unit normal vectors pointing outward
∬S(zk)·dS,∬S(zk)·dS, where S is disc x2+y2≤9x2+y2≤9 on plane z=4,z=4, oriented with unit normal vectors pointing upward
A lamina has the shape of a portion of sphere x2+y2+z2=a2x2+y2+z2=a2 that lies within cone z=x2+y2.z=x2+y2. Let S be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let C be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Determine the mass of the lamina if ρ(x,y,z)=x2y2z.ρ(x,y,z)=x2y2z.
A lamina has the shape of a portion of sphere x2+y2+z2=a2x2+y2+z2=a2 that lies within cone z=cotφ0x2+y2z=cotφ0x2+y2 Let S be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let C be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Suppose the angle between the sides of the cone and the z-axis is ϕ0,with0≤ϕ0<π2.ϕ0,with0≤ϕ0<π2. Determine the mass of that portion of the shape enclosed in the intersection of S and C. Assume ρ(x,y,z)=x2y2z.ρ(x,y,z)=x2y2z.
A paper cup has the shape of an inverted right circular cone of height 6 in. and radius of top 3 in. If the cup is full of water weighing 62.5lb/ft3,62.5lb/ft3, find the total force exerted by the water on the inside surface of the cup.
For the following exercises, the heat flow vector field for conducting objects is F=−k∇T,whereT(x,y,z)F=−k∇T,whereT(x,y,z) is the temperature in the object and k>0k>0 is a constant that depends on the material. Find the outward flux of F across the following surfaces S for the given temperature distributions and assume k=1.k=1.
T(x,y,z)=100e−x−y;T(x,y,z)=100e−x−y; S consists of the faces of cube |x|≤1,|y|≤1,|z|≤1.|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1.
T(x,y,z)=−ln(x2+y2+z2);T(x,y,z)=−ln(x2+y2+z2); S is sphere x2+y2+z2=a2.x2+y2+z2=a2.
For the following exercises, consider the radial fields F=⟨x,y,z⟩(x2+y2+z2)p2=rrp,F=⟨x,y,z⟩(x2+y2+z2)p2=rrp, where p is a real number. Let S consist of spheres A and B centered at the origin with radii 0<a<b.0<a<b. The total outward flux across S consists of the outward flux across the outer sphere B less the flux into S across inner sphere A.
Find the total flux across S with p=0.p=0.
Show that for p=3p=3 the flux across S is independent of a and b.