Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
If yy and zz are both solutions to y″+2y′+y=0,y″+2y′+y=0, then y+zy+z is also a solution.
The following system of algebraic equations has a unique solution:
6 z 1 + 3 z 2 = 8 4 z 1 + 2 z 2 = 4 . 6 z 1 + 3 z 2 = 8 4 z 1 + 2 z 2 = 4 .
y=excos(3x)+exsin(2x)y=excos(3x)+exsin(2x) is a solution to the second-order differential equation y″+2y′+10=0.y″+2y′+10=0.
To find the particular solution to a second-order differential equation, you need one initial condition.
Classify the differential equation. Determine the order, whether it is linear and, if linear, whether the differential equation is homogeneous or nonhomogeneous. If the equation is second-order homogeneous and linear, find the characteristic equation.
y ″ − 2 y = 0 y ″ − 2 y = 0
y ″ − 3 y + 2 y = cos ( t ) y ″ − 3 y + 2 y = cos ( t )
( d y d t ) 2 + y y ′ = 1 ( d y d t ) 2 + y y ′ = 1
d 2 y d t 2 + t d y d t + sin 2 ( t ) y = e t d 2 y d t 2 + t d y d t + sin 2 ( t ) y = e t
For the following problems, find the general solution.
y ″ + 9 y = 0 y ″ + 9 y = 0
y ″ + 2 y ′ + y = 0 y ″ + 2 y ′ + y = 0
y ″ − 2 y ′ + 10 y = 4 x y ″ − 2 y ′ + 10 y = 4 x
y ″ = cos ( x ) + 2 y ′ + y y ″ = cos ( x ) + 2 y ′ + y
y '' + 5 y ′ + 4 y = x + e 2 x y '' + 5 y ′ + 4 y = x + e 2 x
y ″ = 3 y ′ + x e − x y ″ = 3 y ′ + x e − x
y ″ − x 2 = −3 y ′ − 9 4 y + 3 x y ″ − x 2 = −3 y ′ − 9 4 y + 3 x
y ″ = 2 cos x + y ′ − y y ″ = 2 cos x + y ′ − y
For the following problems, find the solution to the initial-value problem, if possible.
y″+4y′+6y=0,y″+4y′+6y=0, y(0)=0,y(0)=0, y′(0)=2y′(0)=2
y″=3y−cos(x),y″=3y−cos(x), y(0)=94,y(0)=94, y′(0)=0y′(0)=0
1. ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸੀਮਾ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
2. 4y′=−6y+2y″, y(0)=0, y(1)=1
3. y″=3x−y−y′, y(0)=−3, y(1)=0
4. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਛੋਟੇ ਕੋਣਾਂ θ ਲਈ ਝੂਲਦੇ ਲੋਲਕ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ d2θdt2+gLθ=0 ਦੁਆਰਾ ਲਗਭਗ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ θ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਲੋਲਕ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਕੋਣ ਹੈ, g ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਹੈ, ਅਤੇ L ਲੋਲਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਲੋਲਕ ਦੇ ਕੋਣ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਸਥਾਪਨ θ0 ਅਤੇ ਸ਼ੂਨਯ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੇਗ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ।
6. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਲ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਪਦ ਕਾਰਨ "ਧੀਮੀਆਂ" ਅਤੇ "ਤੇਜ਼" ਅੰਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਾਪਰਨ ਵਾਲੇ "ਬੀਟਸ" 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਨਡੈਂਪਡ ਗਤੀ ਦਾ ਸ਼ਾਸਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਆਮ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ay″+by=cos(ωt) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ba≠ω।
7. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭੋ (ਸੰਕੇਤ: ω0=b/a ਕਹੋ)।
8. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ y=2a(ω02−ω2)sin(ω0−ωt2)sin(ω0+ωt2) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. [T] ਆਪਣੇ ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, t=[−50,50] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸਿਸਟਮ 2y″+9y=cos(2t) ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ। ਤੇਜ਼ ਅਤੇ ਧੀਮੀਆਂ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਇੱਕ ਓਪੇਰਾ ਗਾਇਕਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਨੋਟ ਗਾ ਕੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਕੰਪਨਾਂ ਨੂੰ y″+ay=0 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>0 ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗਾਇਕਾ cos(bt) 'ਤੇ ਕੰਪਨਾਂ ਨੂੰ ਬਲ ਦੇ ਰਹੀ ਹੈ। ਗਾਇਕਾ ਕਿਸ ਮੁੱਲ b 'ਤੇ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਤੋੜ ਸਕੇਗੀ? (ਨੋਟ: ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਲਈ, ਕੰਪਨਾਂ ਨੂੰ ਉੱਚਾ ਅਤੇ ਉੱਚਾ ਹੋਣਾ ਪਵੇਗਾ।)