1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਜਾਂ ਅਰੇਖੀ, ਸਮਰੂਪ ਜਾਂ ਅਸਮਰੂਪ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
3. ਇੱਕ ਸਮਰੂਪ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਰੇਖੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੱਲ ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ। ਜੇਕਰ y1(x) ਅਤੇ y2(x) ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ, ਰੇਖੀ, ਸਮਰੂਪ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੇਖੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੱਲ ਹਨ, ਤਾਂ ਆਮ ਹੱਲ y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮਰੂਪ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੂਲ ਲੱਭੋ। ਆਮ ਹੱਲ ਦਾ ਰੂਪ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਖਰੇ, ਅਸਲ ਮੂਲ ਹਨ; ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਸਲ ਮੂਲ; ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਕਤ ਮੂਲ ਹਨ।
5. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਜਾਂ ਸੀਮਾ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਿਰ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋਣ।
6. ਇੱਕ ਅਸਮਰੂਪ ਰੇਖੀ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਅਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
7. ਮੰਨ ਲਓ yp(x) ਅਸਮਰੂਪ ਰੇਖੀ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ a2(x)y″+a1(x)y′+a0(x)y=r(x) ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ c1y1(x)+c2y2(x) ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਹੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ, ਅਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+yp(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. ਜਦੋਂ r(x) ਬਹੁਪਦਾਂ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਸਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਣਡਿਟਰਮਾਈਨਡ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, r(x) ਦੇ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੱਲ ਮੰਨੋ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਮੰਨਿਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਹੱਲ ਤੋਂ ਰੇਖੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਉਦੋਂ ਤੱਕ x ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੰਨੇ ਗਏ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
9. ਜਦੋਂ r(x) ਬਹੁਪਦਾਂ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜਾਂ ਸਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ u′(x) ਅਤੇ v′(x) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕ੍ਰੈਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਢੁਕਵੀਂ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜੋ u′y1+v′y2=0 ਅਤੇ u′y1′+v′y2′=r(x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ, yp(x)=u(x)y1(x)+v(x)y2(x) ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਹੈ।
10. ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਥਿਰ-ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
11. ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਬਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਨਾਲ mx″+bx′+kx=f(t) ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ m ਪੁੰਜ, b ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, k ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ, ਅਤੇ f(t) ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸ਼ੁੱਧ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
12. ਜੇ b=0, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਕੋਈ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ, ਅਤੇ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ b≠0, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ b2−4mk>0, b2−4mk=0, ਜਾਂ b2−4mk<0 ਹੈ।
13. ਜੇ b2−4mk>0, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਲਨ ਵਿਵਹਾਰ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ।
14. ਜੇ b2−4mk=0, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਲਨ ਵਿਵਹਾਰ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ, ਪਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਮਾਮੂਲੀ ਕਮੀ ਦੋਲਨ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣੇਗੀ।
15. ਜੇ b2−4mk<0, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਲਨ ਵਿਵਹਾਰ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਦੋਲਨਾਂ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
16. ਜੇ f(t)≠0, ਤਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਹੱਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ-ਰਾਜ ਹੱਲ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ-ਰਾਜ ਹੱਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
17. ਇੱਕ RLC ਸੀਰੀਜ਼ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੈਪਸੀਟਰ 'ਤੇ ਚਾਰਜ ਨੂੰ ਵੀ Ld2qdt2+Rdqdt+1Cq=E(t) ਰੂਪ ਦੇ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਥਿਰ-ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ L ਇੰਡਕਟੈਂਸ ਹੈ, R ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਹੈ, C ਕੈਪਸੀਟੈਂਸ ਹੈ, ਅਤੇ E(t) ਵੋਲਟੇਜ ਸਰੋਤ ਹੈ।
18. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੇ-ਕਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
19. ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।