ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
7.3.1 ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7.3.2 ਡੈਂਪਡ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7.3.3 ਫੋਰਸਡ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7.3.4 RLC ਸੀਰੀਜ਼ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਚੈਪਟਰ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਲੀਨੀਅਰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਪੁੰਜ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੋਧਕ, ਇੱਕ ਇੰਡਕਟਰ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੈਪਸੀਟਰ ਵਾਲੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਰਕਟ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਰਗੇ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਐਟਮਾਂ ਜਾਂ ਅਣੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬੰਧਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸਪਰਿੰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੰਬਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸਮਾਨ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ
ਇੱਕ ਕਠੋਰ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਸਪਰਿੰਗ ਤੋਂ ਲਟਕਦੇ ਪੁੰਜ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। (ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) ਗੁਰੂਤਾ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਬਹਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਖਿੱਚ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ ਵਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਕੰਬਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੀ ਸਥਿਰ-ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.2: ਆਪਣੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸਥਿਤੀ (a), ਪੁੰਜ m ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਸੰਤੁਲਨ (b), ਅਤੇ ਕੰਪਨ ਗਤੀ (c) ਵਿੱਚ ਸਪਰਿੰਗ।
ਮੰਨ ਲਓ x(t)x(t) ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਪਰੰਪਰਾ ਅਪਣਾਉਣਾ ਆਮ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੁੰਜ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੁੰਜ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਵਿਸਥਾਪਨ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪੁੰਜ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਗੁਰੂਤਾ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ mg.mg ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਪੁੰਜ ਸਲੱਗਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, g=32g=32 ft/sec2। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 1 slug-foot/sec2 ਇੱਕ ਪੌਂਡ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ mg ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੌਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਪੁੰਜ ਲਈ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਅਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਲਈ m/sec2 ਹਨ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ g=9.8g=9.8 m/sec2 ਹੈ।
ਹੁੱਕ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਬਹਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਤੋਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਹਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ −k(s+x).−k(s+x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਨਿਊਟਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮੀਟਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੁਣ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਗੁਰੂਤਾ ਪਲੱਸ ਬਹਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ) ਪੁੰਜ ਗੁਣਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, mg=ks,mg=ks, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੋਣੀ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ, ω.ω ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ। ω=k/m,ω=k/m, ਮੰਨ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਇੱਕ ਕੰਪਨ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ) T=2πωT=2πω ਹੈ ਅਤੇ ਫ੍ਰੀਕੁਐਂਸੀ f=1T=ω2πf=1T=ω2π (ਚਿੱਤਰ 7.3) ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.3: ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.17
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2 lb ਭਾਰ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 6 ਇੰਚ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 16 ft/sec ਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵੇਗ ਨਾਲ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭਾਰ W ਪੁੰਜ m ਅਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਪ੍ਰਵੇਗ g ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਰੂਤਾ ਪ੍ਰਵੇਗ 32 ft/sec2 ਹੈ।
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
16 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ x″+64x=0 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ x″+(82)x=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ x(0)=0, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵੇਗ 16 ft/sec ਸੀ, ਇਸ ਲਈ x′(0)=−16। c1 ਅਤੇ c2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮਾਂ 2π8=π4 ਸਕਿੰਟ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.15
200-g ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 5 cm ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 10 cm ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਵਿਰਾਮ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਗਤੀ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਆਮ ਹੱਲ ਨੂੰ x(t)=c1cos(ωt)+c2sin(ωt) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦੇ ਕੁਝ ਫਾਇਦੇ ਹਨ। ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਹੱਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਹ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਗਤੀ ਦੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਇੰਨਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਗਤੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਅਜੇ ਵੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਗਤੀ ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, A, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ। ਸਥਿਰ ϕ ਨੂੰ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ A ਅਤੇ ϕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ
ਇਸ ਲਈ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਕੇ ਜੋੜੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ,
ਹੁਣ, ϕ ਲੱਭਣ ਲਈ, c1 ਅਤੇ c2 ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ
ਫਿਰ,
ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੱਭਤ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 7.5
ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ x(t)=c1cos(ωt)+c2sin(ωt) ਨੂੰ x(t)=Asin(ωt+ϕ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ A=c12+c22 ਅਤੇ tanϕ=c1c2।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ϕ ਲੱਭਣ ਲਈ tanϕ=c1c2 ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ϕ ਸਹੀ ਚਤੁਰਭੁਜ (ਚਿੱਤਰ 7.4) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.4: ਫੇਜ਼ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਾਲ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.18
ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
Express the following functions in the form Asin(ωt+ϕ).Asin(ωt+ϕ). What is the frequency of motion? The amplitude?
x(t)=2cos(3t)+sin(3t)x(t)=2cos(3t)+sin(3t)
x(t)=3cos(2t)−2sin(2t)x(t)=3cos(2t)−2sin(2t)
Solution
We have A=c12+c22=22+12=5A=c12+c22=22+12=5 and tanϕ=c1c2=21=2.tanϕ=c1c2=21=2. Note that both c1c1 and c2c2 are positive, so ϕϕ is in the first quadrant. Thus, ϕ≈1.107rad,ϕ≈1.107rad, so we have x(t)=2cos(3t)+sin(3t)=5sin(3t+1.107).x(t)=2cos(3t)+sin(3t)=5sin(3t+1.107). The frequency is ω2π=32π≈0.477.ω2π=32π≈0.477. The amplitude is 5.5.
We have A=c12+c22=32+22=13A=c12+c22=32+22=13 and tanϕ=c1c2=3−2=−32.tanϕ=c1c2=3−2=−32. Note that c1c1 is positive but c2c2 is negative, so ϕϕ is in the fourth quadrant. Thus, ϕ≈−0.983rad,ϕ≈−0.983rad, so we have x(t)=3cos(2t)−2sin(2t)=13sin(2t−0.983).x(t)=3cos(2t)−2sin(2t)=13sin(2t−0.983). The frequency is ω2π=22π≈0.318.ω2π=22π≈0.318. The amplitude is 13.13.
Checkpoint 7.16
Express the function x(t)=cos(4t)+4sin(4t)x(t)=cos(4t)+4sin(4t) in the form Asin(ωt+ϕ).Asin(ωt+ϕ). What is the frequency of motion? The amplitude?
Damped Vibrations
With the model just described, the motion of the mass continues indefinitely. Clearly, this doesn’t happen in the real world. In the real world, there is almost always some friction in the system, which causes the oscillations to die off slowly—an effect called damping. So now let’s look at how to incorporate that damping force into our differential equation.
Physical spring-mass systems almost always have some damping as a result of friction, air resistance, or a physical damper, called a dashpot (a pneumatic cylinder; see Figure 7.5).
Figure 7.5: A dashpot is a pneumatic cylinder that dampens the motion of an oscillating system.
Because damping is primarily a friction force, we assume it is proportional to the velocity of the mass and acts in the opposite direction. So the damping force is given by −bx′−bx′ for some constant b>0.b>0. Again applying Newton’s second law, the differential equation becomes
Then the associated characteristic equation is
Applying the quadratic formula, we have
Just as in Second-Order Linear Equations we consider three cases, based on whether the characteristic equation has distinct real roots, a repeated real root, or complex conjugate roots.
Case 1: b2>4mkb2>4mk
In this case, we say the system is overdamped. The general solution has the form
where both λ1λ1 and λ2λ2 are less than zero. Because the exponents are negative, the displacement decays to zero over time, usually quite quickly. Overdamped systems do not oscillate (no more than one change of direction), but simply move back toward the equilibrium position. Figure 7.6 shows what typical overdamped behavior looks like.
Figure 7.6: Behavior of an overdamped spring-mass system, with no change in direction (a) and only one change in direction (b).
Example 7.19
Overdamped Spring-Mass System
A 16-lb mass is attached to a 10-ft spring. When the mass comes to rest in the equilibrium position, the spring measures 15 ft 4 in. The system is immersed in a medium that imparts a damping force equal to 5252 times the instantaneous velocity of the mass. Find the equation of motion if the mass is pushed upward from the equilibrium position with an initial upward velocity of 5 ft/sec. What is the position of the mass after 10 sec? Its velocity?
Solution
ਭਾਰ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 5 ਫੁੱਟ 4 ਇੰਚ, ਜਾਂ 163 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 16 = (163)k, ਇਸ ਲਈ k=3। ਸਾਡੇ ਕੋਲ m=16/32=12 ਵੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ x″+5x′+6x=0 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹਾਲਾਤਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ, x(0)=0 ਅਤੇ x′(0)=−5, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
10 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੁੰਜ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਢੰਗ ਨਾਲ, ਇਹ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ x′(t)=10e−2t−15e−3t ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 10 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੁੰਜ ਵੇਗ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ
ਸਿਰਫ਼ 10 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਪੁੰਜ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.17
2-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਨੂੰ 24 N/m ਦੇ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿੱਚ ਡੁਬੋਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ 16 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ 40 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਕੇਸ 2: b2=4mk
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਹੈ। ਆਮ ਹੱਲ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ λ1 ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਹ ਡੋਲਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਥੋੜ੍ਹੀ ਜਿਹੀ ਵੀ ਘਟਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੋਲਣ ਵਾਲਾ ਵਿਵਹਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਿਹਾਰਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਗਭਗ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਂ ਤਾਂ ਓਵਰਡੈਂਪਡ ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ (ਕੇਸ 3, ਜਿਸ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਾਈਨ-ਟਿਊਨ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ b2 ਅਤੇ 4mk ਬਿਲਕੁਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ। ਚਿੱਤਰ 7.7 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਮ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਵਿਵਹਾਰ ਕਿਹੋ ਜਿਹਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.7: ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ। ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਿਸਟਮ ਭਾਗ (b) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਿਸਟਮ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.20
ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ
1-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 20 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਪਾਟ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ 14 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ 3 ਮੀਟਰ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ mg=1(9.8)=0.2k ਹੈ, ਇਸ ਲਈ k=49। ਫਿਰ, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹਾਲਾਤਾਂ x(0)=0 ਅਤੇ x′(0)=−3 ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.18
1-ਪੌਂਡ ਭਾਰ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 6 ਇੰਚ ਤੱਕ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਪਾਟ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ ਅੱਧੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ 6 ਇੰਚ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੇਸ 3: b2<4mk
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ। ਆਮ ਹੱਲ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ α ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਸਿਸਟਮ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਕਾਰਨ ਡੋਲਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘਾਤ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡੋਲਣ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.8 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਮ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਵਿਵਹਾਰ ਕਿਹੋ ਜਿਹਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ।
7.8 ਚਿੱਤਰ: ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਰੇ ਡੈਂਪਡ ਸਿਸਟਮਾਂ ਲਈ, limt→∞x(t)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
7.21 ਉਦਾਹਰਨ
ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ
ਇੱਕ 16-lb ਭਾਰ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 3.2 ਫੁੱਟ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ 9 ਇੰਚ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਆਰਾਮ ਵਿੱਚ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ k=163.2=5 ਅਤੇ m=1632=12 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਆਰੰਭਿਕ ਸ਼ਰਤਾਂ, x(0)=34 ਅਤੇ x′(0)=0, ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
7.19 ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ
ਇੱਕ 1-kg ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 49 cm ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿੱਚ ਡੁਬੋਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਤੋਂ 24 cm ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਆਰਾਮ ਵਿੱਚ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7.22 ਉਦਾਹਰਨ
ਅਧਿਆਇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ: ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਮਾਡਲਿੰਗ
7.9 ਚਿੱਤਰ: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ nSeika, Flickr)
ਮੋਟਰੋਕ੍ਰਾਸ ਰਾਈਡਰਾਂ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲਾਂ 'ਤੇ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਜਿਸ ਆਫ-ਰੋਡ ਕੋਰਸ 'ਤੇ ਉਹ ਸਵਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਜੰਪ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਲੈਂਡਿੰਗ ਵੇਲੇ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦਾ ਕੰਟਰੋਲ ਗੁਆਉਣਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦੌੜ ਹਾਰਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਵਜੋਂ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਫਰੇਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਫਰੇਮ ਆਫ ਰੈਫਰੈਂਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸ਼ੌਕ ਐਬਜ਼ੋਰਬਰ ਦਾ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਫਰੇਮ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਸਿਰਾ ਫਿਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ "ਪੁੰਜ" ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦਾ ਪਹੀਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਫਰੇਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਹੀਏ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਜੀਬ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਫਰੇਮ ਹੈ ਜੋ ਹਿਲਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਫਰੇਮ ਆਫ ਰੈਫਰੈਂਸ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਫਰੇਮ ਦੁਆਰਾ ਚੁੱਕਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹੀਆ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਲਟਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਰਿੰਗ ਅਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰਾਈਡਰ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਸਟਮ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 7.10)।
7.10 ਚਿੱਤਰ: ਅਸੀਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਉਸੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਤੀ ਸੀ:
ਇੱਕ ਮੋਟਰੋਕ੍ਰਾਸ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦਾ ਭਾਰ 204 lb ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ 180 lb ਦੇ ਰਾਈਡਰ ਦੇ ਭਾਰ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਰਾਈਡਰ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ 4 ਇੰਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਆਰਾਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ (ਅਤੇ ਰਾਈਡਰ) ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵੇਗ ਦੇ 240 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਉਸ ਚੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਜੰਪ ਲੈਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਉਤਰਨ ਵੇਲੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂ t=0 ਨੂੰ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਸੰਪਰਕ ਦਾ ਸਮਾਂ ਮੰਨੋ। ਜੇ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ 10 ft/sec ਦੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਟਕਰਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੰਪ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਉਤਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਹਿਲੇ ਸਕਿੰਟ ਦੌਰਾਨ ਗਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੰਤੁਲਨ ਅਸੀਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ mg=ks,mg=ks, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ mg=ks384=k(13)k=1152.mg=ks384=k(13)k=1152. ਸਾਡੇ ਕੋਲ W=mg384=m(32)m=12.W=mg384=m(32)m=12. ਇਸ ਲਈ, ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ 12x″+240x′+1152x=0.12x″+240x′+1152x=0. ਹੈ। 12 ਨਾਲ ਵੰਡਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ x″+20x′+96x=0.x″+20x′+96x=0. ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਭਾਗ a. ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ x(t)=c1e−8t+c2e−12t.x(t)=c1e−8t+c2e−12t. ਹੈ। ਹੁਣ, ਸਾਡੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਪਹੀਏ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਵੇਗ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਪਹੀਆ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸੰਪਰਕ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੀ, ਪਹੀਆ ਮੁਫਤ ਲਟਕ ਰਿਹਾ ਸੀ ਅਤੇ ਸਪਰਿੰਗ ਅਸੰਕੁਚਿਤ ਸੀ। ਇਸ ਲਈ ਪਹੀਆ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ (ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਫਰੇਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ) ਤੋਂ 4 ਇੰਚ (13ft)(13ft) ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x(0)=13.x(0)=13. ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਕਥਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਜਦੋਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦਾ ਵੇਗ 10 ft/sec ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x′(0)=10.x′(0)=10. ਇਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ c1=72c1=72 ਅਤੇ c2=−(196),c2=−(196), ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x(t)=72e−8t−196e−12t.x(t)=72e−8t−196e−12t. ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7.11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.11 ਇੱਕ ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਗਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਲੈਂਡਿੰਗ ਵਾਹਨ
NASA ਮੰਗਲ ਲਈ ਇੱਕ ਮਿਸ਼ਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪੈਸੇ ਬਚਾਉਣ ਲਈ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਾਂ ਨੇ ਨਵੇਂ ਮਿਸ਼ਨ ਲਈ ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਉਤਰਨ ਵਾਲੇ ਵਾਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹ ਇਸ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹਨ ਕਿ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨਗੇ ਜੋ ਟੱਕਰ ਵੇਲੇ ਕਰਾਫਟ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਪ੍ਰਵੇਗ 1.6 m/sec2 ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਮੰਗਲ 'ਤੇ ਇਹ 3.7 m/sec2 ਹੈ।
ਕਰਾਫਟ 'ਤੇ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਵਜੋਂ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਪਰਿੰਗ ਚੰਦਰਮਾ ਲੈਂਡਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਿੰਗ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.12: ਲੈਂਡਿੰਗ ਕਰਾਫਟ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਡ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ "ਲੈਂਡਰ": NASA)
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਣ ਦੀ ਪਰੰਪਰਾ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਨਵੀਂ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਲੈਂਡਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲੈਂਡਿੰਗ ਕਰਾਫਟ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ m ਲੈਂਡਰ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, b ਡੈਂਪਿੰਗ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, ਅਤੇ k ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਲੈਂਡਰ ਦਾ ਪੁੰਜ 15,000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ ਅਤੇ ਸਪਰਿੰਗ ਅਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋਣ 'ਤੇ 2 ਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਲੈਂਡਰ ਨੂੰ ਚੰਦਰ ਗੁਰੂਤਾ ਅਧੀਨ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.5 ਮੀਟਰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਡੈਸ਼ਪੋਟ ਲੈਂਡਰ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ 48,000 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਕਰਾਫਟ ਦੇ ਉਤਰਨ 'ਤੇ ਲੈਂਡਰ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਸਮਾਂ t=0t=0 ਲੈਂਡਰ ਦੇ ਟੱਚ ਡਾਊਨ ਹੋਣ ਦਾ ਪਲ ਹੈ। ਲੈਂਡਰ ਦੀ ਉਤਰਨ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਕਰੂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਟੱਚ ਡਾਊਨ ਹੋਣ 'ਤੇ 2 m/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਉਤਰ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਲੈਂਡਰ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਜੇ ਲੈਂਡਰ ਟੱਚ ਡਾਊਨ ਹੋਣ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ "ਬੌਟਮ ਆਊਟ" ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬੌਟਮਿੰਗ ਆਊਟ ਲੈਂਡਿੰਗ ਕਰਾਫਟ ਨੂੰ ਨੁਕਸਾਨ ਪਹੁੰਚਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਬਚਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਭਾਗ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਗਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਜੇ ਸਪਰਿੰਗ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋਣ 'ਤੇ 0.5 ਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਲੈਂਡਰ ਬੌਟਮ ਆਊਟ ਦੇ ਖਤਰੇ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ NASA ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਸਪਰਿੰਗ ਜਾਂ ਡੈਂਪਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਮਾਯੋਜਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਚੰਦਰ ਗੁਰੂਤਾ ਅਧੀਨ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਲੈਂਡਰ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਕੁ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਜੇ ਲੈਂਡਰ ਕਰੂ ਮੰਗਲ 'ਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਤਰਨ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ 2 m/sec 'ਤੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਲੈਂਡਰ ਮੰਗਲ 'ਤੇ ਉਤਰਨ 'ਤੇ ਬੌਟਮ ਆਊਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ?
NASA ਇੰਜੀਨੀਅਰਾਂ ਨੂੰ ਮੰਗਲ 'ਤੇ ਲੈਂਡਰ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਸਮਾਯੋਜਨ ਕਰਨੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ?
ਬਾਹਰੀ ਕੰਬਣੀਆਂ
ਆਖਰੀ ਕੇਸ ਜਿਸ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸੜਕ ਦੇ ਬੰਪ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਸਪੋਰਟ ਤੋਂ ਲਟਕਣ ਵਾਲਾ ਸਪਰਿੰਗ ਹੈ; ਜੇ ਸਪੋਰਟ ਨੂੰ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਗਤੀ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਮੰਨੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਬਾਹਰੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਸਮਰੂਪ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜਿੱਥੇ ਬਾਹਰੀ ਬਲ f(t)f(t) ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗੈਰ-ਸਮਰੂਪ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ c1x1(t)+c2x2(t)c1x1(t)+c2x2(t) ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ ਅਤੇ xp(t)xp(t) ਗੈਰ-ਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਹੱਲ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਸਟਮ ਡੈਂਪਡ ਹੈ, limt→∞c1x1(t)+c2x2(t)=0.limt→∞c1x1(t)+c2x2(t)=0. ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪਦ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਹੱਲ ਦੇ ਇਸ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਅਸਥਾਈ ਹੱਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ xp(t)xp(t) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸ ਹੱਲ ਦੇ ਇਸ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸਥਿਰ-ਸਟੇਟ ਹੱਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹ ਵੈਬਸਾਈਟ ਬਾਹਰੀ ਕੰਬਣੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਮੂਲੇਸ਼ਨ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.23
ਬਾਹਰੀ ਕੰਬਣੀਆਂ
ਇੱਕ ਸਲੱਗ ਦਾ ਪੁੰਜ 2 ਫੁੱਟ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਆ ਕੇ ਰੁਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਪਾਟ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ t=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ f(t)=8sin(4t) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਹੱਲ ਕੀ ਹੈ? ਸਥਿਰ-ਰਾਜ ਹੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ mg=1(32)=2k ਹੈ, ਇਸ ਲਈ k=16 ਹੈ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
xp(t)=Acos(4t)+Bsin(4t) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਮੰਨ ਕੇ ਅਤੇ ਅਣਡਿਟਰਮਾਈਂਡ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ xp(t)=−14cos(4t) ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ
t=0 'ਤੇ, ਪੁੰਜ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਆਰਾਮ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x(0)=x′(0)=0। c1 ਅਤੇ c2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਹੱਲ 14e−4t+te−4t ਹੈ। ਸਥਿਰ-ਰਾਜ ਹੱਲ −14cos(4t) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.20
2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਪੁੰਜ 32 N/m ਦੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਆ ਕੇ ਰੁਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। t=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ, f(t)=68e−2tcos(4t) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਡੈਂਪਿੰਗ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਟ੍ਰਾਂਜ਼ੀਐਂਟ ਹੱਲ ਕੀ ਹੈ? ਸਥਿਰ-ਰਾਜ ਹੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ
ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਰਹਿਤ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਦੇ ਵੀ ਸੱਚਮੁੱਚ ਡੈਂਪਿੰਗ ਰਹਿਤ ਸਿਸਟਮ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ; - ਕੁਝ ਡੈਂਪਿੰਗ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਿਧਾਂਤਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਿਊਮ ਚੈਂਬਰ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕੋਈ ਹਵਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨਾ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, ਪੁੰਜ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਚਲਦਾ ਰਹੇਗਾ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗਤੀ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, ਜੋ ਕਿ f=1T=ω2π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕਹਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਵਰਤਾਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਅਤੇ ਵਧਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ x″+x=0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭੋ। ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਸਿਸਟਮ f(t)=5cost ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਦੇ ਅਧੀਨ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ-ਮੁੱਲ ਸਮੱਸਿਆ x″+x=5cost, x(0)=0, x′(0)=1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਕੁਝ ਡੈਂਪਿੰਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਕਮਜ਼ੋਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਕਾਫ਼ੀ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਅਜੇ ਵੀ ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 7 ਨਵੰਬਰ, 1940 ਨੂੰ ਟਾਕੋਮਾ ਨੈਰੋਜ਼ ਬ੍ਰਿਜ ਦਾ ਢਹਿ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਪੁਲ ਬਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਤੋਂ ਹੀ ਅਜੀਬ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਸੜਕ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੀਬ "ਉਛਾਲ" ਸੀ। ਜਿਸ ਦਿਨ ਇਹ ਢਹਿ ਗਿਆ, ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਹਵਾਵਾਂ ਨੇ ਸੜਕ ਨੂੰ ਹਿੰਸਕ ਰੂਪ ਨਾਲ ਮੋੜਿਆ ਅਤੇ ਲਹਿਰਾਂ ਮਾਰੀਆਂ। ਪੁਲ ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਲਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸਮਰੱਥ ਸੀ ਅਤੇ ਇਹ ਆਖਰਕਾਰ ਢਹਿ ਗਿਆ। ਮਾਹਰਾਂ ਦਾ ਮੰਨਣਾ ਹੈ ਕਿ ਹਵਾਵਾਂ ਨੇ ਪੁਲ 'ਤੇ ਬਲ ਲਗਾਏ ਜੋ ਇਸਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਸਨ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਨੇ ਆਖਰਕਾਰ ਪੁਲ ਨੂੰ ਤੋੜ ਦਿੱਤਾ। ਮੀਡੀਆ ਟਾਕੋਮਾ ਨੈਰੋਜ਼ ਬ੍ਰਿਜ ਦੇ ਢਹਿਣ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਮੀਡੀਆ ਜਿਸ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਟਾਕੋਮਾ ਨੈਰੋਜ਼ ਬ੍ਰਿਜ ਖੜ੍ਹਾ ਰਿਹਾ, ਉਹ ਇੱਕ ਸੈਲਾਨੀ ਆਕਰਸ਼ਣ ਬਣ ਗਿਆ। ਪੁਲ ਢਹਿਣ ਵਾਲੇ ਦਿਨ ਕਈ ਲੋਕ ਮੌਕੇ 'ਤੇ ਸਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੇ ਫਿਲਮ 'ਤੇ ਢਹਿਣ ਨੂੰ ਕੈਦ ਕੀਤਾ। ਢਹਿਣ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਵੀਡੀਓ ਦੇਖੋ।
ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ ਇੱਕ ਗਾਇਕਾ ਦਾ ਕ੍ਰਿਸਟਲ ਵਾਈਨਗਲਾਸ ਨੂੰ ਤੋੜਨਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਸਹੀ ਨੋਟ ਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਕ੍ਰਿਸਟਲ ਵਾਈਨਗਲਾਸ ਨੂੰ ਟੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਉਂਗਲ ਨੂੰ ਗਿੱਲਾ ਕਰਕੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਟੋਨ ਸੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਨੋਟ ਵਾਈਨਗਲਾਸ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੀ ਕੁਦਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ 'ਤੇ ਵਾਈਬ੍ਰੇਟ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗਾਇਕਾ ਫਿਰ ਉਸੇ ਨੋਟ ਨੂੰ ਕਾਫ਼ੀ ਉੱਚੀ ਆਵਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਗਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਜ਼ੋਨੈਂਸ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗਲਾ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੀਡੀਆ ਟੀਵੀ ਸ਼ੋਅ ਮਿਥਬਸਟਰਜ਼ ਨੇ ਇਸ ਵਰਤਾਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਐਪੀਸੋਡ ਪ੍ਰਸਾਰਿਤ ਕੀਤਾ। ਐਡਮ ਸੇਵੇਜ ਨੇ ਅਨੁਭਵ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ। ਉਸਦੇ ਖਾਤੇ ਲਈ ਇਹ ਵੀਡੀਓ ਦੇਖੋ।
ਆਰਐਲਸੀ ਸੀਰੀਜ਼ ਸਰਕਟ
ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਸਰਕਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੋਧਕ, ਇੱਕ ਇੰਡਕਟਰ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੈਪਸੀਟਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਸਰਕਟ ਨੂੰ ਆਰਐਲਸੀ ਸੀਰੀਜ਼ ਸਰਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਰਐਲਸੀ ਸਰਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨਿਕ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਏਐਮ/ਐਫਐਮ ਰੇਡੀਓ ਵਿੱਚ ਟਿਊਨਰ ਵਜੋਂ। ਟਿਊਨਿੰਗ ਨੋਬ ਕੈਪਸੀਟਰ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓ ਨੂੰ ਟਿਊਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਸਰਕਟਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ-ਆਰਡਰ, ਸਥਿਰ-ਗੁਣਾਂਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਆਓ I(t) ਨੂੰ ਆਰਐਲਸੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ ਅਤੇ q(t) ਨੂੰ ਕੈਪਸੀਟਰ 'ਤੇ ਚਾਰਜ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਆਓ L ਹੈਨਰੀ (H) ਵਿੱਚ ਇੰਡਕਟੈਂਸ, R ਓਮ (Ω) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ, ਅਤੇ C ਫੈਰਡ (F) ਵਿੱਚ ਸਮਰੱਥਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਆਓ E(t) ਵੋਲਟ (V) ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪੋਟੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਰਚੌਫ ਦਾ ਵੋਲਟੇਜ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੰਦ ਲੂਪ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਵੋਲਟੇਜ ਡ੍ਰੌਪ ਦਾ ਜੋੜ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੰਡਕਟਰ (ELE ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ), ਰੋਧਕ (ER ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ), ਅਤੇ ਕੈਪਸੀਟਰ (ECE ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਦੇ ਵੋਲਟੇਜ ਡ੍ਰੌਪ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਆਰਐਲਸੀ ਸਰਕਟ ਇੱਕ ਵੋਲਟੇਜ ਸਰੋਤ, E(t), ਜੋ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਵੋਲਟੇਜ ਜੋੜਦਾ ਹੈ, ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ EL+ER+EC=E(t) ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵਿਕਾਸ ਦੇ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਤੋਂ ਸਲਾਹ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਫੈਰਾਡੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਲੈਂਜ਼ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਇੰਡਕਟਰ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡ੍ਰੌਪ ਨੂੰ ਇੰਡਕਟੈਂਸ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਨੁਪਾਤਕਤਾ ਸਥਿਰ L ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅੱਗੇ, ਓਮ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਰੋਧਕ ਦੇ ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਡ੍ਰੌਪ ਰੋਧਕ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਕਰੰਟ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਨੁਪਾਤਕਤਾ ਸਥਿਰ R ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਕਿਸੇ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਦੇ ਆਰ-ਪਾਰ ਵੋਲਟੇਜ ਦਾ ਗਿਰਾਵਟ, ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ, q, ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਨੁਪਾਤਕਤਾ ਸਥਿਰਾਂਕ 1/C ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ I=(dq)/(dt), ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉਸ ਸਪਰਿੰਗ-ਮਾਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 7.13: ਇੱਕ RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਨੂੰ ਮਾਸ-ਸਪਰਿੰਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.24
RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ
ਇੱਕ RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ L=5/3 H, R=10Ω, C=1/30 F, ਅਤੇ E(t)=300 V ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਚਾਰਜ 0 C ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕਰੰਟ 9 A ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਹੱਲ qp=A ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ A ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਅਨਡਿਟਰਮਾਈਂਡ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ A=10 ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ,
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸ਼ਰਤਾਂ q(0)=0 ਅਤੇ i(0)=((dq)/(dt))(0)=9 ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ c1=−10 ਅਤੇ c2=−7 ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਹੈ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਟਣਗੇ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨੈਗੇਟਿਵ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ)। ਇਸ ਲਈ, ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਆਖਰਕਾਰ 10 C ਦੇ ਸਥਿਰ-ਸਥਿਤੀ ਚਾਰਜ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.21
ਇੱਕ RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ L=1/5 H, R=2/5Ω, C=1/2 F, ਅਤੇ E(t)=50 V ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਚਾਰਜ 0 C ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਕਰੰਟ 4 A ਹੈ।
4 lb ਭਾਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 8 ਇੰਚ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 12 ft/sec ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਵੇਗ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦੀ ਮਿਆਦ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
2 lb ਭਾਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 2 ft ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 2 ਇੰਚ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਉੱਪਰ ਵੱਲ 8 ft/sec ਦੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦੀ ਮਿਆਦ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
100-g ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.1 m ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 20 cm ਹੇਠਾਂ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗਤੀ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
400-g ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 5 cm ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 15 cm ਹੇਠਾਂ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗਤੀ ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਬਲਾਕ ਦਾ ਪੁੰਜ 9 kg ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ 0.25 N/m ਦੇ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਬਲਾਕ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 0.75 m ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬਲਾਕ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ x(t) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕੰਪਨ ਦੀ ਮਿਆਦ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
x(t) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਬਲਾਕ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਬਲਾਕ ਦਾ ਪੁੰਜ 5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ 20 N/m ਦੇ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਬਲਾਕ ਨੂੰ 10 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬਲਾਕ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ x(t) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕੰਪਨ ਦੀ ਮਿਆਦ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
x(t) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਬਲਾਕ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ 1-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ 21 N/m ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ-ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ 10 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 2 ਮੀਟਰ ਹੇਠਾਂ 2 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ, ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ।
25 slugs (800-lb) ਦਾ ਇੱਕ ਭਾਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ 226 lb/ft ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿੱਚ ਡੁਬੋਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ 10 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 20 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ 41 ਫੁੱਟ/ਸੈਕ ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ, ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ।
9-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ 16 N/m ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਧਿਅਮ ਵਿੱਚ ਡੁਬੋਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਪੁੰਜ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ 24 ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਡੈਂਪਿੰਗ ਬਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 4 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ, ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ।
1-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 61.25 ਸੈ.ਮੀ. ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ-ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 5 ਮੀਟਰ ਹੇਠਾਂ 10 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ, ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ।
32-lb ਭਾਰ (1 slug) ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 128 ਇੰਚ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ-ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਪੁੰਜ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 12 ਫੁੱਟ/ਸੈਕ ਦੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਛੱਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਗਤੀ ਓਵਰਡੈਂਪਡ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲੀ ਡੈਂਪਡ, ਜਾਂ ਅੰਡਰਡੈਂਪਡ ਹੈ।
64-lb ਭਾਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ 4.625 lb/ft ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ-ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਭਾਰ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ 2 ਫੁੱਟ/ਸੈਕ ਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਪੁੰਜ π ਸੈਕ ਦੇ ਅੰਤ 'ਤੇ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ? ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਨਾਲ?
ਇੱਕ ਪੁੰਜ ਜਿਸਦਾ ਭਾਰ 8 lb ਹੈ, ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 6 ਇੰਚ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ 8sin8t lb ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ 3 ਇੰਚ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੁੰਜ ਜਿਸਦਾ ਭਾਰ 6 lb ਹੈ, ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 3 ਇੰਚ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ 8sin(4t) lb ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਬਲ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ 1 ਇੰਚ ਹੇਠਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ L=40 H, R=30Ω, C=1/200 F, ਅਤੇ E(t)=200 V ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਚਾਰਜ 7 C ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਕਰੰਟ 0 A ਹੈ।
2. RLC ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ L=2 H, R=24Ω, C=0.005 F, ਅਤੇ E(t)=12sin10t V ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਚਾਰਜ 0.001 C ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਕਰੰਟ 0 A ਹੈ।
3. ਇੱਕ ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੰਤਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ L=1 H, R=20Ω, C=0.002 F, ਅਤੇ E(t)=12 V ਹੈ। ਜੇ ਮੁੱਢਲਾ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਦੋਵੇਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਇੱਕ ਲੜੀ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੰਤਰ ਹੈ ਜਿੱਥੇ L=12 H, R=10Ω, C=150 F, ਅਤੇ E(t)=250 V ਹੈ। ਜੇ ਕੈਪੇਸੀਟਰ ਉੱਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਚਾਰਜ 0 C ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਢਲਾ ਕਰੰਟ 18 A ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।