ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
7.4.1 ਪਹਿਲੇ-ਦਰਜੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼, y(x)=∑n=0∞anxn ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ y′(x)=∑n=1∞nanxn−1 ਅਤੇ y″(x)=∑n=2∞n(n−1)anxn−2 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਨੂੰ ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸੰਖੇਪ ਇਲਾਜ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਾਲੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਾਠ-ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਅਧਿਆਇ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇ 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੀ ਭਾਗ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮੁੱਦੇ ਇੱਥੇ ਸੰਬੋਧਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਦੇ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਪਾਵਰ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਪਾਵਰ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ। ਜਿਹੜੇ ਲੋਕ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਸਖ਼ਤ ਇਲਾਜ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪਾਠ-ਪੁਸਤਕ ਨਾਲ ਸਲਾਹ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ y(x)=∑n=0∞anxn ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟਰਮ-ਬਾਏ-ਟਰਮ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ y′(x)=∑n=1∞nanxn−1 ਅਤੇ y″(x)=∑n=2∞n(n−1)anxn−2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ।
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਗਟਾਵਿਆਂ ਨੂੰ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
ਟਰਮਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਾਂ-ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ anan ਲਈ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ xx ਦੀਆਂ ਸਮਾਨ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰੋ।
ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਨੂੰ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.25
ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
y″−y=0
(x2−1)y″+6xy′+4y=−4
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ y(x)=∑n=0∞anxn (ਕਦਮ 1)। ਫਿਰ, y′(x)=∑n=1∞nanxn−1 ਅਤੇ y″(x)=∑n=2∞n(n−1)anxn−2 (ਕਦਮ 2)। ਅਸੀਂ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ anan ਲਈ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ y″−y=0 ∑n=2∞n(n−1)anxn−2−∑n=0∞anxn=0 (ਕਦਮ 3)। ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੀਆਂ ਸਮਾਂ-ਸੂਚੀਆਂ ਦੇ ਇੰਡੈਕਸ ਮੇਲ ਖਾਣ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਮੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾ ਸਕੀਏ। ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ n=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਟਰਮ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅੰਦਰ n ਨੂੰ n+2 ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀਮਾ ਨੂੰ n=0 ਤੱਕ ਬਦਲੋ। ਸਾਨੂੰ ∑n=2∞n(n−1)anxn−2=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=0∞anxn=0 ∑n=0∞[(n+2)(n+1)an+2−an]xn=0 (ਕਦਮ 4) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਸੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x ਦੀ ਹਰ ਸ਼ਕਤੀ ਦੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ (n+2)(n+1)an+2−an=0, n=0,1,2,… ਲਈ ਹੈ। ਇਹ ਰਿਕਰੈਂਸ ਰਿਲੇਸ਼ਨਸ਼ਿਪ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ anan ਨੂੰ ਦੋ ਟਰਮ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ n ਦੇ ਸਮ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਅਤੇ n ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਦੂਜਾ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ n ਦੇ ਸਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a2=a02, a4=a24⋅3=a04!, a6=a46⋅5=a06!, ਆਦਿ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਦੋਂ n ਸਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, an=a0n!। n ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a3=a13⋅2=a13!, a5=a35⋅4=a15!, a7=a57⋅6=a17!, ਆਦਿ। ਇਸ ਲਈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਦੋਂ n ਵਿਸ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, an=a1n!। ਇਸਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y(x)=∑n=0∞anxn=a0+a1x+a02x2+a13!x3+a04!x4+a15!x5+⋯ ਹੈ। n ਦੇ ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਸਮਾਂ-ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ y(x)=a0∑k=0∞1(2k)!x2k+a1∑k=0∞1(2k+1)!x2k+1 (ਕਦਮ 6) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਗ a ਲਈ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ। ਦੂਜੇ-ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਉਮੀਦ ਅਨੁਸਾਰ, ਇਹ ਹੱਲ ਦੋ ਮਨਮਾਨੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਡਾ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸਥਿਰ-ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਫਿਰ ਵੀ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਰੂਪ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ) ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਣ ਦੇ ਆਦੀ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ y(x)=c1ex+c2e−x ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਹੱਲ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਲੱਭੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਨੂੰ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ex ਅਤੇ e−x ਦੇ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਅਤੇ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ c0=(a0+a1)2, c1=(a0−a1)2 ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ a0=c0+c1 ਅਤੇ a1=c0−c1 ਹੈ, ਅਤੇ y(x)=a0+a1x+a02x2+a13!x3+a04!x4+a15!x5+⋯=(c0+c1)+(c0−c1)x+(c0+c1)2x2+(c0−c1)3!x3+(c0+c1)4!x4+(c0−c1)5!x5+⋯=c0∑n=0∞xnn!+c1∑n=0∞(−x)nn!=c0ex+c1e−x। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ c1 ਅਤੇ c2 ਦੀ ਇਹ ਚੋਣ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਵਾਬ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਨੂੰ "ਉਲਟਾ-ਇੰਜੀਨੀਅਰ" ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ y(x)=∑n=0∞anxn (ਕਦਮ 1)। ਫਿਰ, y′(x)=∑n=1∞nanxn−1 ਅਤੇ y″(x)=∑n=2∞n(n−1)anxn−2 (ਕਦਮ 2)। ਅਸੀਂ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ anan ਲਈ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ (x2−1)y″+6xy′+4y=−4 (x2−1)∑n=2∞n(n−1)anxn−2+6x∑n=1∞nanxn−1+4∑n=0∞anxn=−4 x2∑n=2∞n(n−1)anxn−2−∑n=2∞n(n−1)anxn−2+6x∑n=1∞nanxn−1+4∑n=0∞anxn=−4। ਬਾਹਰੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ∑n=2∞n(n−1)anxn−∑n=2∞n(n−1)anxn−2+∑n=1∞6nanxn+∑n=0∞4anxn=−4 (ਕਦਮ 3) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ n=0 ਜਾਂ n=1, ਟਰਮ ਜ਼ੀਰੋ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਟਰਮਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ∑n=2∞n(n−1)anxn=∑n=0∞n(n−1)anxn ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੀਜੇ ਟਰਮ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ n=0, ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਜ਼ੀਰੋ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਵੀ ਵਾਪਸ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∑n=1∞6nanxn=∑n=0∞6nanxn ਹੈ। ਫਿਰ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਆਪਣੇ ਦੂਜੇ ਟਰਮ ਵਿੱਚ ਇੰਡੈਕਸ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ∑n=2∞n(n−1)anxn−2=∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∑n=0∞n(n−1)anxn−∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn+∑n=0∞6nanxn+∑n=0∞4anxn=−4 (ਕਦਮ 4) ਹੈ। ∑n=0∞[n(n−1)an−(n+2)(n+1)an+2+6nan+4an]xn=−4 ∑n=0∞[(n2−n)an+6nan+4an−(n+2)(n+1)an+2]xn=−4 ∑n=0∞[n2an+5nan+4an−(n+2)(n+1)an+2]xn=−4 ∑n=0∞[(n2+5n+4)an−(n+2)(n+1)an+2]xn=−4 ∑n=0∞[(n+4)(n+1)an−(n+2)(n+1)an+2]xn=−4 ∑n=0∞n(n−1)anxn−∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn+∑n=0∞6nanxn+∑n=0∞4anxn=−4 (ਕਦਮ 4)। x ਦੀ ਹਰ ਸ਼ਕਤੀ ਦੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਥਿਰ ਟਰਮ −4 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੇ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਥਿਰ ਟਰਮ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, 4a0−2a2=−4, a2=2a0+2 (ਕਦਮ 3)। n≥1 ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ (n+4)(n+1)an−(n+2)(n+1)an+2=0 (n+1)[(n+4)an−(n+2)an+2]=0 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ n≥1, n+1≠0, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (n+4)an−(n+2)an+2=0 ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ an+2=n+4n+2an। n ਦੇ ਸਮ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ a4=64(2a0+2)=3a0+3, a6=86(3a0+3)=4a0+4, ਆਦਿ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, a2k=(k+1)(a0+1)। n ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ a3=53a1, a5=75a3=73a1, a7=97a5=93a1=3a1, ਆਦਿ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, a2k+1=2k+33a1। ਇਸਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y(x)=∑k=0∞(k+1)(a0+1)x2k+∑k=0∞(2k+33)a1x2k+1 (ਕਦਮ 6) ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.22
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
y′+2xy=0
(x+1)y′=3y
ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਨੂੰ ਬੇਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (Bessel functions) ਦੇ ਸੰਖੇਪ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬੇਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੂਰਾ ਇਲਾਜ ਇਸ ਕੋਰਸ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਥੇ ਵਿਸ਼ੇ ਦਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਸਵਾਦ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕੀਏ ਕਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਲੜੀ ਹੱਲ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਆਰਡਰ n ਦਾ ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਈ ਭੌਤਿਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (cylindrical coordinates) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਡਰੱਮ ਹੈੱਡ ਦਾ ਕੰਪਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਸਥਾਈ ਹੀਟਿੰਗ ਜਾਂ ਕੂਲਿੰਗ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਰਡਰ 0 ਦੇ ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.26
ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ
ਆਰਡਰ 0 ਦੇ ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਆਰਡਰ 0 ਦਾ ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਅਸੀਂ y=∑n=0∞anxn ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੱਲ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ y′(x)=∑n=1∞nanxn−1 ਅਤੇ y″(x)=∑n=2∞n(n−1)anxn−2। ਇਸਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ, a1=0, ਅਤੇ n≥2 ਲਈ,
ਕਿਉਂਕਿ a1=0, ਸਾਰੇ ਵਿਸ਼ਮ ਪਦ ਸਿਫਰ ਹਨ। ਫਿਰ, n ਦੇ ਸਮ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ,
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਗ੍ਰਾਫ a0=1 ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.23
ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 7.26 ਵਿੱਚ ਲੱਭੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਆਰਡਰ 0 ਦੇ ਬੇਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
y ″ + 6 y ′ = 0
5 y ″ + y ′ = 0
y ″ + 25 y = 0
y ″ − y = 0
2 y ′ + y = 0
y ′ − 2 x y = 0
( x − 7 ) y ′ + 2 y = 0
y ″ − x y ′ − y = 0
( 1 + x 2 ) y ″ − 4 x y ′ + 6 y = 0 ( 1 + x 2 ) y ″ − 4 x y ′ + 6 y = 0
x 2 y ″ − x y ′ − 3 y = 0 x 2 y ″ − x y ′ − 3 y = 0
y ″ − 8 y ′ = 0 , y ( 0 ) = −2 , y ′ ( 0 ) = 10 y ″ − 8 y ′ = 0 , y ( 0 ) = −2 , y ′ ( 0 ) = 10
y ″ − 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = −3 y ″ − 2 x y = 0 , y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = −3
The differential equation x2y″+xy′+(x2−1)y=0x2y″+xy′+(x2−1)y=0 is a Bessel equation of order 1. Use a power series of the form y=∑n=0∞anxny=∑n=0∞anxn to find the solution.