ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ, ਪੂਰਨ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਪਰਿਮੇਯ, ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋਗੇ।
ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰੋਗੇ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ: ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ, ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ, ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ, ਇਨਵਰਸ, ਅਤੇ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ।
ਬੀਜਗਣਤੀ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਬੀਜਗਣਤੀ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋਗੇ।
ਇਹ ਅਕਸਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਿੱਸਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਪੁਰਾਣੀ ਵਰਤੋਂ 100 ਸਦੀਆਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੱਧ ਪੂਰਬ ਵਿੱਚ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨ, ਜਾਂ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਈ ਸੀ। ਕਿਸਾਨ, ਪਸ਼ੂ ਪਾਲਣ ਵਾਲੇ, ਅਤੇ ਵਪਾਰੀ ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਮਾਤਰਾ—ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਨਾਜ ਦਾ ਬੰਡਲ, ਪਸ਼ੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰ, ਜਾਂ ਕੱਪੜੇ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲੰਬਾਈ—ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਟੋਕਨ, ਪੱਥਰ, ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵਣਜ ਸੰਭਵ ਹੋਇਆ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸੰਚਾਰ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਸਭਿਅਤਾ ਦਾ ਫੈਲਾਅ ਹੋਇਆ।
ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਚਾਰ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ, ਮਿਸਰਵਾਸੀਆਂ ਨੇ ਭਿੰਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਸਪਰ (reciprocals) ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ।
ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇ ਵਪਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਪਸ਼ੂ ਨਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਹੜ੍ਹ ਵਿੱਚ ਅਨਾਜ ਦੀ ਪੂਰੀ ਫਸਲ ਨਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇ? ਕੋਈ "ਕੁਝ ਨਹੀਂ" ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਸੀ? ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ ਹੀ, ਲੋਕ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ "ਬੇਸ ਸਟੇਟ" ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਰਹੇ ਸਨ ਅਤੇ ਇਸ ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਪੰਜਵੀਂ ਸਦੀ ਈਸਵੀ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਸੀ ਜਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਨੁਕਸਾਨ ਜਾਂ ਕਰਜ਼ੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਸੀ। ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ, ਸੱਤਵੀਂ ਸਦੀ ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਵਪਾਰਕ ਕਰਜ਼ਿਆਂ ਦੇ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ। ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਨੇ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵੀ ਵਿਸਤਾਰਿਆ।
ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗੀਕਰਨ
ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਗਿਣਨ, ਜਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਹ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ: 1, 2, 3, 4, 5, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸੈੱਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ { 1,2,3,... } { 1,2,3,... } ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਅੰਡਰਸਕੋਰ (...) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਟੀਮ ਦੇ ਮੈਂਬਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਝੁੰਡ ਵਿੱਚ ਦਰੱਖਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ: { 0,1,2,3,... }। { 0,1,2,3,... }।
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਜੋੜਦਾ ਹੈ: { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }। { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }। ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਸਿਫ਼ਰ, ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ। ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਕੇਵਲ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹਨ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ { m n |mand nare integers and n≠0 } { m n |mand nare integers and n≠0 } ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਭਿੰਨਾਂ (ਜਾਂ ਭਾਗਫਲ) ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰ ਕਦੇ ਵੀ 0 ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ, ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 1 ਦੇ ਹਰ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ⓐ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ: 15 8 =1.875, 15 8 =1.875, ਜਾਂ
ⓑ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ: 4 11 =0.36363636…=0. 36 ¯ 4 11 =0.36363636…=0. 36 ¯
ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਲਿਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ⓐ7
ਬੀ 0
ਸੀ –8
ਹੱਲ
ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ 1 ਲਿਖੋ।
ਏ 7= 7 1 7= 7 1
ਬੀ 0= 0 1 0= 0 1
ਸੀ –8=– 8 1 –8=– 8 1
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਏ 11
ਬੀ 3
ਸੀ –4
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮਾਪਤ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਏ – 5 7 – 5 7
ਬੀ 15 5 15 5
ਸੀ 13 25 13 25
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਏ – 5 7 =–0. 714285 ——— , – 5 7 =–0. 714285 ——— , ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ
ਬੀ 15 5 =3 15 5 =3 (ਜਾਂ 3.0), ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ
ਸੀ 13 25 =0.52, 13 25 =0.52, ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
2. ⓐ 68 17 68 17
3. ⓑ 8 13 8 13
4. ⓒ − 17 20 − 17 20
5. ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
6. ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਨੇ ਇਹ ਖੋਜ ਕੀਤੀ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਮਿਸਤਰੀ ਨੇ ਇਹ ਪਾਇਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਇਕਾਈ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਵਰਗ ਦਾ ਵਿਕਰਨ 2 ਜਾਂ 3 2 , 3 2 ਨਹੀਂ ਸੀ, ਬਲਕਿ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੀ। ਜਾਂ ਇੱਕ ਦਰਜ਼ੀ ਨੇ ਇਹ ਵੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਕੱਪੜੇ ਦੇ ਗੋਲ ਪਹੀਏ ਦੇ ਘੇਰੇ ਅਤੇ ਵਿਆਸ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 3 ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਧ ਸੀ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਸਦੇ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਪਰਿਮੇਯ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 3
8. ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਭੇਦ
9. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
10. ⓐ 25 25
11. ⓑ 33 9 33 9
12. ⓒ 11 11
13. ⓓ 17 34 17 34
14. ⓔ 0.3033033303333… 0.3033033303333…
15. ਹੱਲ
16. ⓐ 25 : 25 : ਇਸਨੂੰ 25 =5 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 25 =5। ਇਸ ਲਈ, 25 25 ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ।
17. ⓑ 33 9 : 33 9 : ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਭਿੰਨ ਹੈ, 33 9 33 9 ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦਿਓ। 33 9 = 33 11 9 3 = 11 3 =3. 6 ¯ 33 9 = 33 11 9 3 = 11 3 =3. 6 ¯ ਇਸ ਲਈ, 33 9 33 9 ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
18. ⓒ 11 : 11 11 : 11 ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 11 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ 11 11 ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
19. ⓓ 17 34 : 17 34 : ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਭਿੰਨ ਹੈ, 17 34 17 34 ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦਿਓ। 17 34 = 17 1 34 2 = 1 2 =0.5 17 34 = 17 1 34 2 = 1 2 =0.5 ਇਸ ਲਈ, 17 34 17 34 ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
20. ⓔ 0.3033033303333… 0.3033033303333… ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਆਵਰਤੀ ਪੈਟਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 3 ਦਾ ਸਮੂਹ ਹਰ ਵਾਰ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
22. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
23. ⓐ 7 77 7 77
24. ⓑ 81 81
4.27027002700027…
91 13 91 13
39 39
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ n ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ (rational) ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ (irrational)। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ। ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਮਿਲ ਕੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (integers) ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ, ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਸਿਫ਼ਰ, ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ। ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹ (+ ਜਾਂ –) ਅਨੁਸਾਰ ਭਿੰਨਾਂ, ਦਸ਼ਮਲਵਾਂ, ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ ਨਾ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ (number line) ਉੱਤੇ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 0 ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ (unit distance) ਦੀ ਵਰਤੋਂ 0 ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (ਜਾਂ ਹੋਰ ਮੁੱਢਲੀ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸਥਿਤੀ (unique position) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ: ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ (one-to-one correspondence) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਗੀਕਰਨ
ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ?
− 10 3 − 10 3
5 5
− 289 − 289
−6π −6π
0.615384615384… 0.615384615384…
ਹੱਲ
− 10 3 − 10 3 ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
5 5 ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
− 289 =− 17 2 =−17 − 289 =− 17 2 =−17 ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
−6π −6π ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
0.615384615384… 0.615384615384… ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ (repeating decimal) ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਹ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ?
73 73
ⓑ −11.411411411… −11.411411411…
ⓒ 47 19 47 19
ⓓ − 5 2 − 5 2
ⓔ 6.210735 6.210735
Sets of Numbers as Subsets
Beginning with the natural numbers, we have expanded each set to form a larger set, meaning that there is a subset relationship between the sets of numbers we have encountered so far. These relationships become more obvious when seen as a diagram, such as Figure 2.
Figure 2: Sets of numbersN: the set of natural numbersW: the set of whole numbersI: the set of integersQ: the set of rational numbersQ´: the set of irrational numbers
Sets of Numbers
The set of natural numbers includes the numbers used for counting: { 1,2,3,... }. { 1,2,3,... }.
The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: { 0,1,2,3,... }. { 0,1,2,3,... }.
The set of integers adds the negative natural numbers to the set of whole numbers: { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }. { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }.
The set of rational numbers includes fractions written as { m n |mand nare integers and n≠0 }. { m n |mand nare integers and n≠0 }.
The set of irrational numbers is the set of numbers that are not rational, are nonrepeating, and are nonterminating: { h|his not a rational number }. { h|his not a rational number }.
Example 5
Differentiating the Sets of Numbers
Classify each number as being a natural number (N), whole number (W), integer (I), rational number (Q), and/or irrational number (Q′).
ⓐ 36 36
ⓑ 8 3 8 3
ⓒ 73 73
ⓓ −6 −6
ⓔ 3.2121121112… 3.2121121112…
Solution
row: N | W | I | Q | Q′
row: a. 36 =6 36 =6 | X | X | X | X
1. ਕਤਾਰ: b. 8 3 =2. 6 ¯ 8 3 =2. 6 ¯ | X
2. ਕਤਾਰ: c. 73 73 | X
3. ਕਤਾਰ: d. –6 | X | X
4. ਕਤਾਰ: e. 3.2121121112... | X
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
6. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ (N), ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (W), ਪੂਰਨ ਅੰਕ (I), ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ (Q), ਅਤੇ/ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ (Q′) ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
7. ⓐ − 35 7 − 35 7
8. ⓑ 0 0
9. ⓒ 169 169
10. ⓓ 24 24
11. ⓔ 4.763763763… 4.763763763…
12. ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
13. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ 2 ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4 2 =4⋅4=16। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ a n ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਚੱਲ a ਨੂੰ n ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਇਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, a n ਨੂੰ a ਦੀ nਵੀਂ ਘਾਤ, ਜਾਂ a ਦੀ n ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ n ਨੂੰ ਘਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਦ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, + ਜੋੜ, – ਘਟਾਓ, × ਗੁਣਾ, ÷ ਭਾਗ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 24+6⋅ 2 3 − 4 2 ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
15. ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਹੈ।
16. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਠੇ ( ), ਬਰੈਕਟਾਂ [ ], ਅਤੇ ਮੋਟੇ ਬਰੇਸਾਂ { } ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਭਿੰਨ ਬਾਰ, ਰੈਡੀਕਲ, ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਮੂਹ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
17. ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਜਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਕਰੋ।
18. ਆਓ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
19. ਕੋਈ ਸਮੂਹ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਜਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਸੰਖਿਆ 4 ਨੂੰ 2 ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 4 2 ਨੂੰ 16 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
20. ਅੱਗੇ, ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ।
21. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਕਰੋ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ।
22. ਇਸ ਲਈ, 24+6⋅ 2 3 − 4 2 =12।
23. ਕੁਝ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਰਾਹੀਂ ਕਈ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕੋਠੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੇਗਾ।
24. ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ
ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ PEMDAS ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
(ਬਰੈਕਟਾਂ) (ਘਾਤ) (ਗੁਣਾ) ਅਤੇ (ਭਾਗ) (ਜੋੜ) ਅਤੇ (ਘਟਾਓ)
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ, ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 2. ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਜਾਂ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 3. ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਾਰਜ ਨੂੰ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ, ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 4. ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਾਰਜ ਨੂੰ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ, ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓐ ( 3⋅2 ) 2 −4( 6+2 ) ( 3⋅2 ) 2 −4( 6+2 )
ⓑ 5 2 −4 7 − 11−2 5 2 −4 7 − 11−2
ⓒ 6−| 5−8 |+3( 4−1 ) 6−| 5−8 |+3( 4−1 )
ⓓ 14−3⋅2 2⋅5− 3 2 14−3⋅2 2⋅5− 3 2
ⓔ 7( 5⋅3 )−2[ ( 6−3 )− 4 2 ]+1 7( 5⋅3 )−2[ ( 6−3 )− 4 2 ]+1
ਹੱਲ
ⓐ (3⋅2)2−4(6+2) = (6)2−4(8) ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 36−4(8) ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 36−32 ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 4 ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। (3⋅2)2−4(6+2) = (6)2−4(8) ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 36−4(8) ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 36−32 ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 4 ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓑ 52-47−11−2 = 52−47−9 ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ (ਮੂਲ) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 52−47−3 ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 25−47−3 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 217−3 ਅੰਸ਼ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 3−3 ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 0 ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 52-47−11−2 = 52−47−9 ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ (ਮੂਲ) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 52−47−3 ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 25−47−3 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 217−3 ਅੰਸ਼ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 3−3 ਭਾਗ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 0 ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਂਗ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਾਂਗ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਤੀਜੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ, ਅੰਸ਼ ਬਾਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ⓒ 6−|5−8|+3|4−1| = 6−|−3|+3(3) ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 6-(3)+3(3) ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 6-3+9 ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 12 ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 6−|5−8|+3|4−1| = 6−|−3|+3(3) ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 6-(3)+3(3) ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 6-3+9 ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 12 ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓓ 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 14−610−9 ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 81 ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 8 ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 14−610−9 ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 81 ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 8 ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅੰਸ਼ ਬਾਰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਕਦਮ ਤੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ⓔ 7(5⋅3)−2[ (6−3)−42 ]+1 = 7(15)−2[ (3)− 42 ]+1 ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 7(15)−2(3−16)+1 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 7(15)−2(−13)+1 ਘਟਾਓ। = 105+26+1 ਗੁਣਾ ਕਰੋ। = 132 ਜੋੜੋ। 7(5⋅3)−2[ (6−3)−42 ]+1 = 7(15)−2[ (3)− 42 ]+1 ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 7(15)−2(3−16)+1 ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। = 7(15)−2(−13)+1 ਘਟਾਓ। = 105+26+1 ਗੁਣਾ ਕਰੋ। = 132 ਜੋੜੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੫੨ − ੪੨ +੭(੫−੪)੨੫੨ − ੪੨ +੭(੫−੪)੨
੧+੭⋅੫−੮⋅੪ ੯−੬ ੧+੭⋅੫−੮⋅੪ ੯−੬
|੧.੮−੪.੩|+੦.੪ ੧੫+੧੦ |੧.੮−੪.੩|+੦.੪ ੧੫+੧੦
੧/੨[੫⋅੩੨−੭੨]+੧/੩⋅੯੨ ੧/੨[੫⋅੩੨−੭੨]+੧/੩⋅੯੨
[(੩−੮)੨−੪]−(੩−੮) [(੩−੮)੨−੪]−(੩−੮)
ਸੱਚੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਕੁਝ ਗਤੀਵਿਧੀਆਂ ਲਈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਪਰ ਦੂਜੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਸੱਜਾ ਜੁੱਤਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪਾਉਣਾ ਜਾਂ ਖੱਬਾ ਜੁੱਤਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪਾਉਣਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪਾਉਂਦਾ। ਪਰ, ਇਹ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜੁੱਤੇ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਮੋਜ਼ੇ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੈ।
ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਜੋੜਫਲ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸੱਚੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗੁਣਾ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਫਿਰ, ਸੱਚੇ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਨਾ ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਭਾਗ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ੧੭−੫, ੫−੧੭ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ੨੦÷੫ ≠ ੫÷੨੦।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ
ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਮੂਹਿਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਜੋੜਫਲ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਇਹ ਗੁਣ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ, ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਕੀ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਭਾਗ ਸਹਿਯੋਗੀ ਹਨ? ਇਨ੍ਹਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਨਾ ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਭਾਗ ਸਹਿਯੋਗੀ ਹਨ।
ਵੰਡ ਗੁਣ
ਵੰਡ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਦਾ ਜੋੜ ਨਾਲ ਗੁਣਫਲ, ਜੋੜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਫਲ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਗੁਣ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ (ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇਹ ਇਕੱਲਾ ਗੁਣ ਹੈ)। ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ੪ ਸਮੂਹਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ੪ ਨੂੰ ੧੨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ੪ ਨੂੰ –੭ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਗੁਣ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਾ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਵਿਤਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਲਟਾ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਤਰਿਤ ਗੁਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰ 12−( 5+3 ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ 12 ਅਤੇ ( 5+3 ) ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਘਟਾਓ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ। ਇਸ ਲਈ ( 5+3 ) ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧੀ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, −1 ਨੂੰ ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਜੋੜ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਨਤੀਜਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਪਦ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਤਤਸਮ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਤਤਸਮ (0) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ (1) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ( −6 )+0=−6 ਅਤੇ 23⋅1=23 ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਅਪਵਾਦ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਇਹ ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 0 ਅਤੇ 1 ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਵਿਰੋਧੀ (ਜਾਂ ਉਲਟਾ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ (−a) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਜੋੜ ਤਤਸਮ, 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ a=−8, ਤਾਂ ਜੋੜ ਵਿਰੋਧੀ 8 ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ( −8 )+8=0।
ਗੁਣਾ ਦਾ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣ 0 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 0 ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਵਿਰੋਧੀ (ਜਾਂ ਉਲਟਾ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ, 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ a=− 2 3 , ਤਾਂ ਉਲਟਾ, ਜਿਸਨੂੰ 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, − 3 2 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a, b, ਅਤੇ c ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਤਾਰ: ਜੋੜ | ਗੁਣਾ
ਕਤਾਰ: ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ | a+b=b+a | a⋅b=b⋅a
ਕਤਾਰ: ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ | a+( b+c )=( a+b )+c | a( bc )=( ab )c
ਕਤਾਰ: ਵਿਤਰਿਤ ਗੁਣ | a⋅( b+c )=a⋅b+a⋅c
ਕਤਾਰ: ਤਤਸਮ ਗੁਣ | ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਤਤਸਮ, 0 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ a+0=a | ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ, 1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ a⋅1=a
ਕਤਾਰ: ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣ | ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਵਿਰੋਧੀ, ਜਾਂ ਉਲਟਾ, −a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ a+( −a )=0 | ਹਰ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਵਿਰੋਧੀ, ਜਾਂ ਉਲਟਾ, 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ a⋅( 1 a )=1
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ⓐ 3⋅6+3⋅4 3⋅6+3⋅4
ⓑ ( 5+8 )+( −8 ) ( 5+8 )+( −8 )
ⓒ 6−( 15+9 ) 6−( 15+9 )
ⓓ 4 7 ⋅( 2 3 ⋅ 7 4 ) 4 7 ⋅( 2 3 ⋅ 7 4 )
ⓔ 100⋅[ 0.75+( −2.38 ) ] 100⋅[ 0.75+( −2.38 ) ]
ਹੱਲ
ⓐ 3⋅6+3⋅4 = 3⋅(6+4) ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 3⋅10 ਸਰਲ ਕਰੋ। = 30 ਸਰਲ ਕਰੋ। 3⋅6+3⋅4 = 3⋅(6+4) ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 3⋅10 ਸਰਲ ਕਰੋ। = 30 ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ (5+8)+(−8) = 5+[8+(−8)] ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 5+0 ਜੋੜ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 5 ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ। (5+8)+(−8) = 5+[8+(−8)] ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 5+0 ਜੋੜ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 5 ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ।
ⓒ 6−(15+9) = 6+[(−15)+(−9)] ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 6+(−24) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −18 ਸਰਲ ਕਰੋ। 6−(15+9) = 6+[(−15)+(−9)] ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 6+(−24) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −18 ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓓ 47⋅(23⋅74) = 47⋅(74⋅23) ਗੁਣਾ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣਯੋਗ ਗੁਣ। = (47⋅74)⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 1⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ। 47⋅(23⋅74) = 47⋅(74⋅23) ਗੁਣਾ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣਯੋਗ ਗੁਣ। = (47⋅74)⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 1⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ।
ⓔ 100⋅[0.75+(−2.38)] = 100⋅0.75+100⋅(−2.38) ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 75+(−238) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −163 ਸਰਲ ਕਰੋ। 100⋅[0.75+(−2.38)] = 100⋅0.75+100⋅(−2.38) ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦਾ ਗੁਣ। = 75+(−238) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −163 ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #7
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ⓐ ( − 23 5 )⋅[ 11⋅( − 5 23 ) ] ( − 23 5 )⋅[ 11⋅( − 5 23 ) ]
ⓑ 5⋅( 6.2+0.4 ) 5⋅( 6.2+0.4 )
ⓒ 18−( 7−15 ) 18−( 7−15 )
ⓓ 17 18 +[ 4 9 +( − 17 18 ) ] 17 18 +[ 4 9 +( − 17 18 ) ]
ⓔ 6⋅( −3 )+6⋅3 6⋅( −3 )+6⋅3
ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x+5, 4 3 π r 3 , x+5, 4 3 π r 3 , ਜਾਂ 2 m 3 n 2 ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2 m 3 n 2 । x+5 ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, x+5, 5 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਦਲਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ x ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। (ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦਾ ਨਾਮਕਰਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਜਾਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰੋ।) ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ ਜੋ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੇ ਬੀਜਗਣਤੀ ਕਾਰਜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕੁਝ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕੋ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਵਿਹਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਸਾਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਕ ਵਰਤਣੇ ਹਨ, ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਹੋਣ।
ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਜੇ ਬੀਜਗਣਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
Example 8
Describing Algebraic Expressions
List the constants and variables for each algebraic expression.
ⓐ x + 5
ⓑ 4 3 π r 3 4 3 π r 3
ⓒ 2 m 3 n 2 2 m 3 n 2
Solution
row: Constants | Variables
row: a. x + 5 | 5 | x
row: b. 4 3 π r 3 4 3 π r 3 | 4 3 ,π 4 3 ,π | r r
row: c. 2 m 3 n 2 2 m 3 n 2 | 2 | m,n m,n
Try It #8
List the constants and variables for each algebraic expression.
ⓐ 2πr( r+h ) 2πr( r+h )
ⓑ2(L + W)
ⓒ 4 y 3 +y 4 y 3 +y
Example 9
Evaluating an Algebraic Expression at Different Values
Evaluate the expression 2x−7 2x−7 for each value for x.
ⓐ x=0 x=0
ⓑ x=1 x=1
ⓒ x= 1 2 x= 1 2
ⓓ x=−4 x=−4
Solution
ⓐ Substitute 0 for x. x. 2x−7 = 2(0)−7 = 0−7 = −7 2x−7 = 2(0)−7 = 0−7 = −7
ⓑSubstitute 1 for x. x. 2x−7 = 2(1)−7 = 2−7 = −5 2x−7 = 2(1)−7 = 2−7 = −5
ⓒ Substitute 1 2 1 2 for x. x. 2x−7 = 2(12)−7 = 1−7 = −6 2x−7 = 2(12)−7 = 1−7 = −6
ⓓSubstitute −4 −4 for x. x. 2x−7 = 2(−4)−7 = −8−7 = −15 2x−7 = 2(−4)−7 = −8−7 = −15
Try It #9
Evaluate the expression 11−3y 11−3y for each value for y.
ⓐ y=2 y=2
ⓑ y=0 y=0
ⓒ y= 2 3 y= 2 3
ⓓ y=−5 y=−5
Example 10
Evaluating Algebraic Expressions
Evaluate each expression for the given values.
ⓐ x+5 x+5 for x=−5 x=−5
ⓑ t 2t−1 t 2t−1 for t=10 t=10
ⓒ 4 3 π r 3 4 3 π r 3 for r=5 r=5
ⓓ a+ab+b a+ab+b for a=11,b=−8 a=11,b=−8
ⓔ 2 m 3 n 2 2 m 3 n 2 for m=2,n=3 m=2,n=3
Solution
ⓐ Substitute −5 −5 for x. x. x+5 = (−5)+5 = 0 x+5 = (−5)+5 = 0
ⓑ Substitute 10 for t. t. t2t−1 = (10)2(10)−1 = 1020−1 = 1019 t2t−1 = (10)2(10)−1 = 1020−1 = 1019
ⓒ Substitute 5 for r. r. 43πr3 = 43π(5)3 = 43π(125) = 5003 π 43πr3 = 43π(5)3 = 43π(125) = 5003 π
ⓓ Substitute 11 for a a and –8 for b. b. a+ab+b = (11)+(11)(−8)+(−8) = 11−88−8 = −85 a+ab+b = (11)+(11)(−8)+(−8) = 11−88−8 = −85
ⓔ Substitute 2 for m m and 3 for n. n. 2m3n2 = 2(2)3(3)2 = 2(8)(9) = 144 = 12 2m3n2 = 2(2)3(3)2 = 2(8)(9) = 144 = 12
Try It #10
Evaluate each expression for the given values.
ⓐ y+3 y−3 y+3 y−3 for y=5 y=5
ⓑ 7−2t 7−2t for t=−2 t=−2
ⓒ 1 3 π r 2 1 3 π r 2 for r=11 r=11
ⓓ ( p 2 q ) 3 ( p 2 q ) 3 for p=−2,q=3 p=−2,q=3
ⓔ 4( m−n )−5( n−m ) 4( m−n )−5( n−m ) for m= 2 3 ,n= 1 3 m= 2 3 ,n= 1 3
Formulas
An equation is a mathematical statement indicating that two expressions are equal. The expressions can be numerical or algebraic. The equation is not inherently true or false, but only a proposition. The values that make the equation true, the solutions, are found using the properties of real numbers and other results. For example, the equation 2x+1=7 2x+1=7 has the solution of 3 because when we substitute 3 for x x in the equation, we obtain the true statement 2( 3 )+1=7. 2( 3 )+1=7.
A formula is an equation expressing a relationship between constant and variable quantities. Very often, the equation is a means of finding the value of one quantity (often a single variable) in terms of another or other quantities. One of the most common examples is the formula for finding the area A A of a circle in terms of the radius r r of the circle: A=π r 2 . A=π r 2 . For any value of r, r, the area A A can be found by evaluating the expression π r 2 . π r 2 .
Example 11
Using a Formula
A right circular cylinder with radius r r and height h h has the surface area S S (in square units) given by the formula S=2πr( r+h ). S=2πr( r+h ). See Figure 3. Find the surface area of a cylinder with radius 6 in. and height 9 in. Leave the answer in terms of π. π.
Figure 3: Right circular cylinder
Solution
Evaluate the expression 2πr( r+h ) 2πr( r+h ) for r=6 r=6 and h=9. h=9.
The surface area is 180π 180π square inches.
Try It #11
A photograph with length L and width W is placed in a mat of width 8 centimeters (cm). The area of the mat (in square centimeters, or cm2) is found to be A=( L+16 )( W+16 )−L⋅W. A=( L+16 )( W+16 )−L⋅W. See Figure 4. Find the area of a mat for a photograph with length 32 cm and width 24 cm.
Simplifying Algebraic Expressions
Sometimes we can simplify an algebraic expression to make it easier to evaluate or to use in some other way. To do so, we use the properties of real numbers. We can use the same properties in formulas because they contain algebraic expressions.
Example 12
Simplifying Algebraic Expressions
Simplify each algebraic expression.
3x−2y+x−3y−7
2r−5(3−r)+4
(4t−5/4s)−(2/3t+2s)
2mn−5m+3mn+n
ਹੱਲ
3x−2y+x−3y−7 = 3x+x−2y−3y−7 ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ। = 4x−5y−7 ਸਰਲ ਕਰੋ।
2r−5(3−r)+4 = 2r−15+5r+4 ਵੰਡਣ ਦਾ ਗੁਣ। = 2r+5r−15+4 ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ। = 7r−11 ਸਰਲ ਕਰੋ।
(4t−5/4s)−(2/3t+2s) = 4t−5/4s−2/3t−2s ਵੰਡਣ ਦਾ ਗੁਣ। = 4t−2/3t−5/4s−2s ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ। = 10/3t−13/4s ਸਰਲ ਕਰੋ।
2mn−5m+3mn+n = 2mn+3mn−5m+n ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ। = 5mn−5m+n ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #12
ਹਰੇਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
2/3y−2(4/3y+z)
5t−2−3t+1
4p(q−1)+q(1−p)
9r−(s+2r)+(6−s)
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
L ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ W ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਦਾ ਘੇਰਾ P, P=L+W+L+W ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #13
ਜੇਕਰ P ਰਾਸ਼ੀ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ r ਦਰ ਨਾਲ t ਸਮੇਂ ਲਈ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਮ੍ਹਾਂ-ਰਾਸ਼ੀ A ਦਾ ਕੁੱਲ ਮੁੱਲ A=P+Prt ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। (ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਕੋਰਸ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।)
ਮੀਡੀਆ
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ਸ਼ਬਦਕ।
4. ਕੀ 2 2 ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮਾਪਤ, ਤਰਕਸੰਗਤ ਪੁਨਰਾਵਰਤਿਤ, ਜਾਂ ਅਰਤਾਰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ? ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਉਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਿੱਚ ਕਿਉਂ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ।
5. ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੀ ਹੈ? ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਸ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ?
6. ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. ਸੰਖਿਆਤਮਕ।
8. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
9. 10+2×( 5−3 )
10. 6÷2−( 81÷ 3 2 )
11. 18+ ( 6−8 ) 3
12. −2× [ 16÷ ( 8−4 ) 2 ] 2
13. 4−6+2×7
14. 3( 5−8 )
15. 4+6−10÷2
16. 12÷( 36÷9 )+6
17. ( 4+5 ) 2 ÷3
18. 3−12×2+19
19. 2+8×7÷4
20. 5+( 6+4 )−11
21. 9−18÷ 3 2
22. 14×3÷7−6
23. 9−( 3+11 )×2
24. 6+2×2−1
64÷( 8+4×2 ) = 64÷( 8+8 ) = 64÷16 = 4
9+4( 2 2 ) = 9+4(4) = 9+16 = 25
( 12÷3×3 ) 2 = ( 4×3 ) 2 = 12 2 = 144
25÷ 5 2 −7 = 25÷25−7 = 1−7 = −6
( 15−7 )×( 3−7 ) = 8×(−4) = −32
2×4−9( −1 ) = 8−(−9) = 8+9 = 17
4 2 −25× 1 5 = 16−25× 1 5 = 16−5 = 11
12( 3−1 )÷6 = 12(2)÷6 = 24÷6 = 4
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8( x+3 )–64 = 8( 2+3 )–64 = 8(5)−64 = 40−64 = −24
4y+8–2y = 4(3)+8−2(3) = 12+8−6 = 20−6 = 14
( 11a+3 )−18a+4 = ( 11(−2)+3 )−18(−2)+4 = (−22+3)+36+4 = −19+36+4 = 17+4 = 21
4z−2z( 1+4 )–36 = 4(5)−2(5)(5)−36 = 20−10(5)−36 = 20−50−36 = −30−36 = −66
4y ( 7−2 ) 2 +200 = 4(−2)(5) 2 +200 = −8(25)+200 = −200+200 = 0
− ( 2x ) 2 +1+3 = − ( 2(2) ) 2 +1+3 = − ( 4 ) 2 +1+3 = −16+1+3 = −15+3 = −12
8( 2+4 )−15b+b = 8(6)−15(−3)+(−3) = 48+45−3 = 93−3 = 90
2( 11c−4 )–36 = 2( 11(0)−4 )–36 = 2(0−4)−36 = 2(−4)−36 = −8−36 = −44
4( 3−1 )x–4 = 4(2)x−4 = 8x−4 = 8(10)−4 = 80−4 = 76
1 4 ( 8w− 4 2 ) = 1 4 ( 8(1)−16 ) = 1 4 ( 8−16 ) = 1 4 (−8) = −2
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4x+x( 13−7 ) = 4x+x(6) = 4x+6x = 10x
2y− ( 4 ) 2 y−11 = 2y−16y−11 = −14y−11
a 2 3 ( 64 )−12a÷6 = a 2 3 (64)−2a = 64a 2 3 −2a
8b−4b( 3 )+1 8b−4b( 3 )+1
5l÷3l×( 9−6 ) 5l÷3l×( 9−6 )
7z−3+z× 6 2 7z−3+z× 6 2
4×3+18x÷9−12 4×3+18x÷9−12
9( y+8 )−27 9( y+8 )−27
( 9 6 t−4 )2 ( 9 6 t−4 )2
6+12b−3×6b 6+12b−3×6b
18y−2( 1+7y ) 18y−2( 1+7y )
( 4 9 ) 2 ×27x ( 4 9 ) 2 ×27x
8( 3−m )+1( −8 ) 8( 3−m )+1( −8 )
9x+4x( 2+3 )−4( 2x+3x ) 9x+4x( 2+3 )−4( 2x+3x )
5 2 −4( 3x ) 5 2 −4( 3x )
Real-World Applications
For the following exercises, consider this scenario: Fred earns $40 at the community garden. He spends $10 on a streaming subscription, puts half of what is left in a savings account, and gets another $5 for walking his neighbor’s dog.
Write the expression that represents the number of dollars Fred keeps (and does not put in his savings account). Remember the order of operations.
How much money does Fred keep?
For the following exercises, solve the given problem.
According to the U.S. Mint, the diameter of a quarter is 0.955 inches. The circumference of the quarter would be the diameter multiplied by π. π. Is the circumference of a quarter a whole number, a rational number, or an irrational number?
Jessica and her roommate, Adriana, have decided to share a change jar for joint expenses. Jessica put her loose change in the jar first, and then Adriana put her change in the jar. We know that it does not matter in which order the change was added to the jar. What property of addition describes this fact?
For the following exercises, consider this scenario: There is a mound of g g pounds of gravel in a quarry. Throughout the day, 400 pounds of gravel is added to the mound. Two orders of 600 pounds are sold and the gravel is removed from the mound. At the end of the day, the mound has 1,200 pounds of gravel.
Write the equation that describes the situation.
Solve for g.
For the following exercise, solve the given problem.
Ramon runs the marketing department at their company. Their department gets a budget every year, and every year, they must spend the entire budget without going over. If they spend less than the budget, then the department gets a smaller budget the following year. At the beginning of this year, Ramon got $2.5 million for the annual marketing budget. They must spend the budget such that 2,500,000−x=0. 2,500,000−x=0. What property of addition tells us what the value of x must be?
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to solve for x. Round the answers to the nearest hundredth.
0.5 ( 12.3 ) 2 −48x= 3 5 0.5 ( 12.3 ) 2 −48x= 3 5
( 0.25−0.75 ) 2 x−7.2=9.9 ( 0.25−0.75 ) 2 x−7.2=9.9
Extensions
If a whole number is not a natural number, what must the number be?
Determine whether the statement is true or false: The multiplicative inverse of a rational number is also rational.
Determine whether the statement is true or false: The product of a rational and irrational number is always irrational.
Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −18−4( 5 )( −1 ) . −18−4( 5 )( −1 ) .
Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −16+4( 5 )+5 . −16+4( 5 )+5 .
The division of two natural numbers will always result in what type of number?
What property of real numbers would simplify the following expression: 4+7(x−1) ? 4+7(x−1) ?