ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਘਾਤ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਵਿਗਿਆਨੀ ਅਤੇ ਅਰਥ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪਰ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਕਿ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਅੰਕੜੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਆਮ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਪਿਕਸਲ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਇਕਾਈ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਡਿਜੀਟਲ ਕੈਮਰਾ ਦੁਆਰਾ ਸਮਝਿਆ ਅਤੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਾਸ ਕੈਮਰਾ 2,048 ਪਿਕਸਲ ਬਾਈ 1,536 ਪਿਕਸਲ ਦੀ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਉੱਚ ਰੈਜ਼ੋਲਿਊਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਤੀ ਪਿਕਸਲ 48 ਬਿੱਟ ਤੱਕ ਰੰਗ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ (ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੇਡੇਸ਼ਨ) ਵੀ ਸਮਝ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ 24 ਫਰੇਮਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸ਼ੂਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਘੰਟੇ (3,600-ਸਕਿੰਟ) ਦੀ ਡਿਜੀਟਲ ਫਿਲਮ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਬਿੱਟਾਂ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਵ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 2,048×1,536×48×24×3,600 2,048×1,536×48×24×3,600 ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 1.304596316E13 ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਨਤੀਜੇ ਦਾ "E13" ਹਿੱਸਾ ਦਸ ਦੇ ਘਾਤ 13 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਸ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਦੀ ਫਿਲਮ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 1.3× 10 13 1.3× 10 13 ਬਿੱਟ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਗਣਨਾਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਗੁਣਨਫਲ x 3 ⋅ x 4 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x 3 ⋅ x 4 । ਦੋਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਆਧਾਰ, x, ਇੱਕੋ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x 3 ⋅ x 4 = x 3+4 = x 7 । x 3 ⋅ x 4 = x 3+4 = x 7 ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਸਨੂੰ ਸਹੀ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2 3 2 3 8 ਹੈ, 2 4 2 4 16 ਹੈ, ਅਤੇ 2 7 2 7 128 ਹੈ। ਗੁਣਨਫਲ 8⋅16 8⋅16 128 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਬੰਧ ਸਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਪਰ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਨ।
ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a a ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ m m ਅਤੇ n, n ਲਈ, ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬੇਸ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਹੋਰ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ।
ⓐ t 5 ⋅ t 3 t 5 ⋅ t 3
ⓑ (−3)⁵ ⋅ (−3)⁷
ⓒ x² ⋅ x⁵ ⋅ x³
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓐ t⁵ ⋅ t³ = t⁵⁺³ = t⁸
ⓑ (−3)⁵ ⋅ (−3) = (−3)⁵ ⋅ (−3)¹ = (−3)⁵⁺¹ = (−3)⁶
ⓒ x² ⋅ x⁵ ⋅ x³
ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਇਹ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬੇਸ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਅੱਗੇ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ।
ⓐ k⁶ ⋅ k⁹
ⓑ (2y)⁴ ⋅ (2y)
ⓒ t³ ⋅ t⁶ ⋅ t⁵
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕੋ ਬੇਸ ਪਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੇ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ym/yn, ਜਿੱਥੇ m>n, ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ y⁹/y⁵ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਘਾਤ, ਭਾਜਕ ਅਤੇ ਵੰਡਕ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਬੇਸ ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਬੇਸ ਨਾਲ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਲਹਾਲ, ਸਾਨੂੰ m>n ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਤੋਂ ਸੁਚੇਤ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ, m−n ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਿਫਰ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ। ਨਾਲ ਹੀ, ਹਰ ਵਾਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵਜੋਂ ਯੋਗਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਅੱਗੇ ਇਹ ਮੰਨ ਲਵਾਂਗੇ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ m ਅਤੇ n ਲਈ, ਜਿੱਥੇ m>n, ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬੇਸ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਅੱਗੇ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ।
( −2 ) 14−9 = ( −2 ) 5
t 23−15 = t 8
( z 2 ) 5−1 = ( z 2 ) 4
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
( −2 ) 14−9 = ( −2 ) 5
t 23−15 = t 8
( z 2 ) 5−1 = ( z 2 ) 4
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਅੱਗੇ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ।
s 75−68 = s 7
( −3 ) 6−1 = ( −3 ) 5
( e f 2 ) 5−3 = ( e f 2 ) 2
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕੁਝ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਅਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ( x 2 ) 3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ( x 2 ) 3 । ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਘਾਤ 2 ਹੈ। ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ।
ਉੱਤਰ ਦੀ ਘਾਤ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ: ( x 2 ) 3 = x 2⋅3 = x 6 । ( x 2 ) 3 = x 2⋅3 = x 6 । ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਨਤੀਜਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ। ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ। ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a a ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ m m ਅਤੇ n, n ਲਈ, ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਅੱਗੇ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ।
( x 2 ) 7−1 = ( x 2 ) 6
( ( 2t ) 5 ) 3−1 = ( ( 2t ) 5 ) 2
ⓒ ( ( −3 ) 5 ) 11 ( ( −3 ) 5 ) 11
Solution
Use the power rule to simplify each expression.
ⓐ ( x 2 ) 7 = x 2⋅7 = x 14 ( x 2 ) 7 = x 2⋅7 = x 14
ⓑ ( ( 2t ) 5 ) 3 = ( 2t ) 5⋅3 = ( 2t ) 15 ( ( 2t ) 5 ) 3 = ( 2t ) 5⋅3 = ( 2t ) 15
ⓒ ( ( −3 ) 5 ) 11 = ( −3 ) 5⋅11 = ( −3 ) 55 ( ( −3 ) 5 ) 11 = ( −3 ) 5⋅11 = ( −3 ) 55
Try It #3
Write each of the following products with a single base. Do not simplify further.
ⓐ ( ( 3y ) 8 ) 3 ( ( 3y ) 8 ) 3
ⓑ ( t 5 ) 7 ( t 5 ) 7
ⓒ ( ( −g ) 4 ) 4 ( ( −g ) 4 ) 4
Using the Zero Exponent Rule of Exponents
Return to the quotient rule. We made the condition that m>n m>n so that the difference m−n m−n would never be zero or negative. What would happen if m=n? m=n? In this case, we would use the zero exponent rule of exponents to simplify the expression to 1. To see how this is done, let us begin with an example.
If we were to simplify the original expression using the quotient rule, we would have
If we equate the two answers, the result is t 0 =1. t 0 =1. This is true for any nonzero real number, or any variable representing a real number.
The sole exception is the expression 0 0 . 0 0 . This appears later in more advanced courses, but for now, we will consider the value to be undefined.
The Zero Exponent Rule of Exponents
For any nonzero real number a, a, the zero exponent rule of exponents states that
Example 4
Using the Zero Exponent Rule
Simplify each expression using the zero exponent rule of exponents.
ⓐ c 3 c 3 c 3 c 3
ⓑ −3 x 5 x 5 −3 x 5 x 5
ⓒ ( j 2 k ) 4 ( j 2 k )⋅ ( j 2 k ) 3 ( j 2 k ) 4 ( j 2 k )⋅ ( j 2 k ) 3
ⓓ 5 ( r s 2 ) 2 ( r s 2 ) 2 5 ( r s 2 ) 2 ( r s 2 ) 2
Solution
Use the zero exponent and other rules to simplify each expression.
ⓐ c3c3 = c3−3 = c0 = 1 c3c3 = c3−3 = c0 = 1
ⓑ −3x5x5 = −3⋅x5x5 = −3⋅x5−5 = −3⋅x0 = −3⋅1 = −3 −3x5x5 = −3⋅x5x5 = −3⋅x5−5 = −3⋅x0 = −3⋅1 = −3
ⓒ (j2k)4(j2k)⋅(j2k)3 = (j2k)4(j2k)1+3 Use the product rule in the denominator. = (j2k)4(j2k)4 Simplify. = (j2k)4−4 Use the quotient rule. = (j2k)0 Simplify. = 1 (j2k)4(j2k)⋅(j2k)3 = (j2k)4(j2k)1+3 Use the product rule in the denominator. = (j2k)4(j2k)4 Simplify. = (j2k)4−4 Use the quotient rule. = (j2k)0 Simplify. = 1
ⓓ 5(r s 2)2(rs2)2 = 5(rs2)2−2 Use the quotient rule. = 5(rs2)0 Simplify. = 5⋅1 Use the zero exponent rule. = 5 Simplify. 5(r s 2)2(rs2)2 = 5(rs2)2−2 Use the quotient rule. = 5(rs2)0 Simplify. = 5⋅1 Use the zero exponent rule. = 5 Simplify.
Try It #4
Simplify each expression using the zero exponent rule of exponents.
ⓐ t 7 t 7 t 7 t 7
ⓑ ( d e 2 ) 11 2 ( d e 2 ) 11 ( d e 2 ) 11 2 ( d e 2 ) 11
ⓒ w 4 ⋅ w 2 w 6 w 4 ⋅ w 2 w 6
ⓓ t 3 ⋅ t 4 t 2 ⋅ t 5 t 3 ⋅ t 4 t 2 ⋅ t 5
Using the Negative Rule of Exponents
Another useful result occurs if we relax the condition that m>n m>n in the quotient rule even further. For example, can we simplify h 3 h 5 ? h 3 h 5 ? When m<n m<n —that is, where the difference m−n m−n is negative—we can use the negative rule of exponents to simplify the expression to its reciprocal.
Divide one exponential expression by another with a larger exponent. Use our example, h 3 h 5 . h 3 h 5 .
If we were to simplify the original expression using the quotient rule, we would have
Putting the answers together, we have h −2 = 1 h 2 . h −2 = 1 h 2 . This is true for any nonzero real number, or any variable representing a nonzero real number.
A factor with a negative exponent becomes the same factor with a positive exponent if it is moved across the fraction bar—from numerator to denominator or vice versa.
We have shown that the exponential expression a n a n is defined when n n is a natural number, 0, or the negative of a natural number. That means that a n a n is defined for any integer n. n. Also, the product and quotient rules and all of the rules we will look at soon hold for any integer n. n.
The Negative Rule of Exponents
For any nonzero real number a a and natural number n, n, the negative rule of exponents states that
Example 5
Using the Negative Exponent Rule
Write each of the following quotients with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.
ⓐ θ 3 θ 10 θ 3 θ 10
ⓑ z 2 ⋅z z 4 z 2 ⋅z z 4
ⓒ ( −5 t 3 ) 4 ( −5 t 3 ) 8 ( −5 t 3 ) 4 ( −5 t 3 ) 8
Solution
ⓐ θ 3 θ 10 = θ 3−10 = θ −7 = 1 θ 7 θ 3 θ 10 = θ 3−10 = θ −7 = 1 θ 7
ⓑ z 2 ⋅z z 4 = z 2+1 z 4 = z 3 z 4 = z 3−4 = z −1 = 1 z z 2 ⋅z z 4 = z 2+1 z 4 = z 3 z 4 = z 3−4 = z −1 = 1 z
ⓒ ( −5 t 3 ) 4 ( −5 t 3 ) 8 = ( −5 t 3 ) 4−8 = ( −5 t 3 ) −4 = 1 ( −5 t 3 ) 4 ( −5 t 3 ) 4 ( −5 t 3 ) 8 = ( −5 t 3 ) 4−8 = ( −5 t 3 ) −4 = 1 ( −5 t 3 ) 4
Try It #5
Write each of the following quotients with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.
ⓐ ( −3t ) 2 ( −3t ) 8 ( −3t ) 2 ( −3t ) 8
ⓑ f 47 f 49 ⋅f f 47 f 49 ⋅f
ⓒ 2 k 4 5 k 7 2 k 4 5 k 7
Example 6
Using the Product and Quotient Rules
Write each of the following products with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.
ⓐ b 2 ⋅ b −8 b 2 ⋅ b −8
ⓑ ( −x ) 5 ⋅ ( −x ) −5 ( −x ) 5 ⋅ ( −x ) −5
ⓒ −7z ( −7z ) 5 −7z ( −7z ) 5
Solution
ⓐ b 2 ⋅ b −8 = b 2−8 = b −6 = 1 b 6 b 2 ⋅ b −8 = b 2−8 = b −6 = 1 b 6
ⓑ ( −x ) 5 ⋅ ( −x ) −5 = ( −x ) 5−5 = ( −x ) 0 =1 ( −x ) 5 ⋅ ( −x ) −5 = ( −x ) 5−5 = ( −x ) 0 =1
ⓒ −7z ( −7z ) 5 = ( −7z ) 1 ( −7z ) 5 = ( −7z ) 1−5 = ( −7z ) −4 = 1 ( −7z ) 4 −7z ( −7z ) 5 = ( −7z ) 1 ( −7z ) 5 = ( −7z ) 1−5 = ( −7z ) −4 = 1 ( −7z ) 4
Try It #6
Write each of the following products with a single base. Do not simplify further. Write answers with positive exponents.
ⓐ t −11 ⋅ t 6 t −11 ⋅ t 6
ⓑ 25 12 25 13 25 12 25 13
Finding the Power of a Product
To simplify the power of a product of two exponential expressions, we can use the power of a product rule of exponents, which breaks up the power of a product of factors into the product of the powers of the factors. For instance, consider ( pq ) 3 . ( pq ) 3 . We begin by using the associative and commutative properties of multiplication to regroup the factors.
In other words, ( pq ) 3 = p 3 ⋅ q 3 . ( pq ) 3 = p 3 ⋅ q 3 .
The Power of a Product Rule of Exponents
For any real numbers a a and b b and any integer n, n, the power of a product rule of exponents states that
Example 7
Using the Power of a Product Rule
Simplify each of the following products as much as possible using the power of a product rule. Write answers with positive exponents.
ⓐ ( a b 2 ) 3 ( a b 2 ) 3
ⓑ ( 2t ) 15 ( 2t ) 15
ⓒ ( −2 w 3 ) 3 ( −2 w 3 ) 3
ⓓ 1 ( −7z ) 4 1 ( −7z ) 4
ⓔ ( e −2 f 2 ) 7 ( e −2 f 2 ) 7
Solution
Use the product and quotient rules and the new definitions to simplify each expression.
ⓐ ( a b 2 ) 3 = ( a ) 3 ⋅ ( b 2 ) 3 = a 1⋅3 ⋅ b 2⋅3 = a 3 b 6 ( a b 2 ) 3 = ( a ) 3 ⋅ ( b 2 ) 3 = a 1⋅3 ⋅ b 2⋅3 = a 3 b 6
ⓑ ( 2t ) 15 = ( 2 ) 15 ⋅ ( t ) 15 = 2 15 t 15 =32,768 t 15 ( 2t ) 15 = ( 2 ) 15 ⋅ ( t ) 15 = 2 15 t 15 =32,768 t 15
ⓒ ( −2 w 3 ) 3 = ( −2 ) 3 ⋅ ( w 3 ) 3 =−8⋅ w 3⋅3 =−8 w 9 ( −2 w 3 ) 3 = ( −2 ) 3 ⋅ ( w 3 ) 3 =−8⋅ w 3⋅3 =−8 w 9
ⓓ 1 ( −7z ) 4 = 1 ( −7 ) 4 ⋅ ( z ) 4 = 1 2,401 z 4 1 ( −7z ) 4 = 1 ( −7 ) 4 ⋅ ( z ) 4 = 1 2,401 z 4
ⓔ ( e −2 f 2 ) 7 = ( e −2 ) 7 ⋅ ( f 2 ) 7 = e −2⋅7 ⋅ f 2⋅7 = e −14 f 14 = f 14 e 14 ( e −2 f 2 ) 7 = ( e −2 ) 7 ⋅ ( f 2 ) 7 = e −2⋅7 ⋅ f 2⋅7 = e −14 f 14 = f 14 e 14
Try It #7
Simplify each of the following products as much as possible using the power of a product rule. Write answers with positive exponents.
ⓐ ( g 2 h 3 ) 5 ( g 2 h 3 ) 5
ⓑ ( 5t ) 3 ( 5t ) 3
ⓒ ( −3 y 5 ) 3 ( −3 y 5 ) 3
ⓓ 1 ( a 6 b 7 ) 3 1 ( a 6 b 7 ) 3
ⓔ ( r 3 s −2 ) 4 ( r 3 s −2 ) 4
Finding the Power of a Quotient
To simplify the power of a quotient of two expressions, we can use the power of a quotient rule, which states that the power of a quotient of factors is the quotient of the powers of the factors. For example, let’s look at the following example.
Let’s rewrite the original problem differently and look at the result.
It appears from the last two steps that we can use the power of a product rule as a power of a quotient rule.
The Power of a Quotient Rule of Exponents
For any real numbers a a and b b and any integer n, n, the power of a quotient rule of exponents states that
Example 8
Using the Power of a Quotient Rule
Simplify each of the following quotients as much as possible using the power of a quotient rule. Write answers with positive exponents.
ⓐ ( 4 z 11 ) 3 ( 4 z 11 ) 3
ⓑ ( p q 3 ) 6 ( p q 3 ) 6
ⓒ ( −1 t 2 ) 27 ( −1 t 2 ) 27
ⓓ ( j 3 k −2 ) 4 ( j 3 k −2 ) 4
ⓔ ( m −2 n −2 ) 3 ( m −2 n −2 ) 3
Solution
ⓐ ( 4 z 11 ) 3 = ( 4 ) 3 ( z 11 ) 3 = 64 z 11⋅3 = 64 z 33 ( 4 z 11 ) 3 = ( 4 ) 3 ( z 11 ) 3 = 64 z 11⋅3 = 64 z 33
ⓑ ( p q 3 ) 6 = ( p ) 6 ( q 3 ) 6 = p 1⋅6 q 3⋅6 = p 6 q 18 ( p q 3 ) 6 = ( p ) 6 ( q 3 ) 6 = p 1⋅6 q 3⋅6 = p 6 q 18
ⓒ ( −1 t 2 ) 27 = ( −1 ) 27 ( t 2 ) 27 = −1 t 2⋅27 = −1 t 54 =− 1 t 54 ( −1 t 2 ) 27 = ( −1 ) 27 ( t 2 ) 27 = −1 t 2⋅27 = −1 t 54 =− 1 t 54
ⓓ ( j 3 k −2 ) 4 = ( j 3 k 2 ) 4 = ( j 3 ) 4 ( k 2 ) 4 = j 3⋅4 k 2⋅4 = j 12 k 8 ( j 3 k −2 ) 4 = ( j 3 k 2 ) 4 = ( j 3 ) 4 ( k 2 ) 4 = j 3⋅4 k 2⋅4 = j 12 k 8
ⓔ ( m −2 n −2 ) 3 = ( 1 m 2 n 2 ) 3 = ( 1 ) 3 ( m 2 n 2 ) 3 = 1 ( m 2 ) 3 ( n 2 ) 3 = 1 m 2⋅3 ⋅ n 2⋅3 = 1 m 6 n 6 ( m −2 n −2 ) 3 = ( 1 m 2 n 2 ) 3 = ( 1 ) 3 ( m 2 n 2 ) 3 = 1 ( m 2 ) 3 ( n 2 ) 3 = 1 m 2⋅3 ⋅ n 2⋅3 = 1 m 6 n 6
Try It #8
Simplify each of the following quotients as much as possible using the power of a quotient rule. Write answers with positive exponents.
ⓐ ( b 5 c ) 3 ( b 5 c ) 3
ⓑ ( 5 u 8 ) 4 ( 5 u 8 ) 4
ⓒ ( −1 w 3 ) 35 ( −1 w 3 ) 35
ⓓ ( p −4 q 3 ) 8 ( p −4 q 3 ) 8
ⓔ ( c −5 d −3 ) 4 ( c −5 d −3 ) 4
Simplifying Exponential Expressions
Recall that to simplify an expression means to rewrite it by combining terms or exponents; in other words, to write the expression more simply with fewer terms. The rules for exponents may be combined to simplify expressions.
Example 9
Simplifying Exponential Expressions
Simplify each expression and write the answer with positive exponents only.
ⓐ ( 6 m 2 n −1 ) 3 ( 6 m 2 n −1 ) 3
ⓑ 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3
ⓒ ( u −1 v v −1 ) 2 ( u −1 v v −1 ) 2
ⓓ ( −2 a 3 b −1 )( 5 a −2 b 2 ) ( −2 a 3 b −1 )( 5 a −2 b 2 )
ⓔ ( x 2 2 ) 4 ( x 2 2 ) −4 ( x 2 2 ) 4 ( x 2 2 ) −4
ⓕ ( 3 w 2 ) 5 ( 6 w −2 ) 2 ( 3 w 2 ) 5 ( 6 w −2 ) 2
Solution
ⓐ (6 m 2 n −1 ) 3 = (6) 3 ( m 2 ) 3 ( n −1 ) 3 The power of a product rule = 6 3 m 2⋅3 n −1⋅3 The power rule = 216 m 6 n −3 Simplify. = 216 m 6 n 3 The negative exponent rule (6 m 2 n −1 ) 3 = (6) 3 ( m 2 ) 3 ( n −1 ) 3 The power of a product rule = 6 3 m 2⋅3 n −1⋅3 The power rule = 216 m 6 n −3 Simplify. = 216 m 6 n 3 The negative exponent rule
ⓑ 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3 = 17 5−4−3 The product rule = 17 −2 Simplify. = 1 17 2 or 1 289 The negative exponent rule 17 5 ⋅ 17 −4 ⋅ 17 −3 = 17 5−4−3 The product rule = 17 −2 Simplify. = 1 17 2 or 1 289 The negative exponent rule
ⓒ ( u −1 v v −1 ) 2 = ( u −1 v) 2 ( v −1 ) 2 The power of a quotient rule = u −2 v 2 v −2 The power of a product rule = u −2 v 2−(−2) The quotient rule = u −2 v 4 Simplify. = v 4 u 2 The negative exponent rule ( u −1 v v −1 ) 2 = ( u −1 v) 2 ( v −1 ) 2 The power of a quotient rule = u −2 v 2 v −2 The power of a product rule = u −2 v 2−(−2) The quotient rule = u −2 v 4 Simplify. = v 4 u 2 The negative exponent rule
ⓓ (−2 a 3 b −1 )(5 a −2 b 2 ) = −2⋅5⋅ a 3 ⋅ a −2 ⋅ b −1 ⋅ b 2 Commutative and associative laws of multiplication = −10⋅ a 3−2 ⋅ b −1+2 The product rule = −10ab Simplify. (−2 a 3 b −1 )(5 a −2 b 2 ) = −2⋅5⋅ a 3 ⋅ a −2 ⋅ b −1 ⋅ b 2 Commutative and associative laws of multiplication = −10⋅ a 3−2 ⋅ b −1+2 The product rule = −10ab Simplify.
ⓔ ( x 2 2 ) 4 ( x 2 2 ) −4 = ( x 2 2 ) 4−4 The product rule = ( x 2 2 ) 0 Simplify. = 1 The zero exponent rule ( x 2 2 ) 4 ( x 2 2 ) −4 = ( x 2 2 ) 4−4 The product rule = ( x 2 2 ) 0 Simplify. = 1 The zero exponent rule
ⓕ (3 w 2 ) 5 (6 w −2 ) 2 = (3) 5 ⋅ ( w 2 ) 5 (6) 2 ⋅ ( w −2 ) 2 The power of a product rule = 3 5 w 2⋅5 6 2 w −2⋅2 The power rule = 243 w 10 36 w −4 Simplify. = 27 w 10−(−4) 4 The quotient rule and reduce fraction = 27 w 14 4 Simplify. (3 w 2 ) 5 (6 w −2 ) 2 = (3) 5 ⋅ ( w 2 ) 5 (6) 2 ⋅ ( w −2 ) 2 The power of a product rule = 3 5 w 2⋅5 6 2 w −2⋅2 The power rule = 243 w 10 36 w −4 Simplify. = 27 w 10−(−4) 4 The quotient rule and reduce fraction = 27 w 14 4 Simplify.
Try It #9
Simplify each expression and write the answer with positive exponents only.
ⓐ ( 2u v −2 ) −3 ( 2u v −2 ) −3
ⓑ x 8 ⋅ x −12 ⋅x x 8 ⋅ x −12 ⋅x
ⓒ ( e 2 f −3 f −1 ) 2 ( e 2 f −3 f −1 ) 2
ⓓ ( 9 r −5 s 3 )( 3 r 6 s −4 ) ( 9 r −5 s 3 )( 3 r 6 s −4 )
ⓔ ( 4 9 t w −2 ) −3 ( 4 9 t w −2 ) 3 ( 4 9 t w −2 ) −3 ( 4 9 t w −2 ) 3
ⓕ ( 2 h 2 k ) 4 ( 7 h −1 k 2 ) 2 ( 2 h 2 k ) 4 ( 7 h −1 k 2 ) 2
Using Scientific Notation
Recall at the beginning of the section that we found the number 1.3× 10 13 1.3× 10 13 when describing bits of information in digital images. Other extreme numbers include the width of a human hair, which is about 0.00005 m, and the radius of an electron, which is about 0.00000000000047 m. How can we effectively work, read, compare, and calculate with numbers such as these?
A shorthand method of writing very small and very large numbers is called scientific notation, in which we express numbers in terms of exponents of 10. To write a number in scientific notation, move the decimal point to the right of the first digit in the number. Write the digits as a decimal number between 1 and 10. Count the number of places n that you moved the decimal point. Multiply the decimal number by 10 raised to a power of n. If you moved the decimal left as in a very large number, n n is positive. If you moved the decimal right as in a very small number, n n is negative.
For example, consider the number 2,780,418. Move the decimal left until it is to the right of the first nonzero digit, which is 2.
We obtain 2.780418 by moving the decimal point 6 places to the left. Therefore, the exponent of 10 is 6, and it is positive because we moved the decimal point to the left. This is what we should expect for a large number.
Working with small numbers is similar. Take, for example, the radius of an electron, 0.00000000000047 m. Perform the same series of steps as above, except move the decimal point to the right.
Be careful not to include the leading 0 in your count. We move the decimal point 13 places to the right, so the exponent of 10 is 13. The exponent is negative because we moved the decimal point to the right. This is what we should expect for a small number.
Scientific Notation
A number is written in scientific notation if it is written in the form a× 10 n , a× 10 n , where 1≤| a |<10 1≤| a |<10 and n n is an integer.
Example 10
Converting Standard Notation to Scientific Notation
Write each number in scientific notation.
ⓐDistance to Andromeda Galaxy from Earth: 24,000,000,000,000,000,000,000 m
ⓑDiameter of Andromeda Galaxy: 1,300,000,000,000,000,000,000 m
ⓒNumber of stars in Andromeda Galaxy: 1,000,000,000,000
ⓓDiameter of electron: 0.00000000000094 m
ⓔProbability of being struck by lightning in any single year: 0.00000143
Solution
ⓐ 24,000,000,000,000,000,000,000m 24,000,000,000,000,000,000,000m ←22places 2.4× 10 22 m 24,000,000,000,000,000,000,000m 24,000,000,000,000,000,000,000m ←22places 2.4× 10 22 m
ⓑ 1,300,000,000,000,000,000,000m 1,300,000,000,000,000,000,000m ←21places 1.3× 10 21 m 1,300,000,000,000,000,000,000m 1,300,000,000,000,000,000,000m ←21places 1.3× 10 21 m
ⓒ 1,000,000,000,000 1,000,000,000,000 ←12places 1× 10 12 1,000,000,000,000 1,000,000,000,000 ←12places 1× 10 12
ⓓ 0.00000000000094m 0.00000000000094m →13places 9.4× 10 −13 m 0.00000000000094m 0.00000000000094m →13places 9.4× 10 −13 m
ⓔ 0.00000143 0.00000143 →6places 1.43× 10 −6 0.00000143 0.00000143 →6places 1.43× 10 −6
Analysis
Observe that, if the given number is greater than 1, as in examples a–c, the exponent of 10 is positive; and if the number is less than 1, as in examples d–e, the exponent is negative.
Try It #10
Write each number in scientific notation.
ⓐU.S. national debt per taxpayer (April 2014): $152,000
ⓑWorld population (April 2014): 7,158,000,000
ⓒWorld gross national income (April 2014): $85,500,000,000,000
ⓓTime for light to travel 1 m: 0.00000000334 s
ⓔProbability of winning lottery (match 6 of 49 possible numbers): 0.0000000715
Converting from Scientific to Standard Notation
To convert a number in scientific notation to standard notation, simply reverse the process. Move the decimal n n places to the right if n n is positive or n n places to the left if n n is negative and add zeros as needed. Remember, if n n is positive, the absolute value of the number is greater than 1, and if n n is negative, the absolute value of the number is less than one.
Example 11
Converting Scientific Notation to Standard Notation
Convert each number in scientific notation to standard notation.
3.547× 10 14
−2× 10 6
7.91× 10 −7
−8.05× 10 −12
ਹੱਲ
3.547× 10 14 3.54700000000000 →14places 354,700,000,000,000
−2× 10 6 −2.000000 →6places −2,000,000
7.91× 10 −7 0000007.91 ←7places 0.000000791
−8.05× 10 −12 −000000000008.05 ←12places −0.00000000000805
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
7.03× 10 5
−8.16× 10 11
−3.9× 10 −13
8× 10 −6
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ, ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਮਿਆਰੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ 1 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਪਰਮਾਣੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਾਣੀ ਦੇ ਅਣੂ ਵਿੱਚ 3 ਪਰਮਾਣੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (2 ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਅਤੇ 1 ਆਕਸੀਜਨ)। ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਔਸਤ ਬੂੰਦ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 1.32× 10 21 ਪਾਣੀ ਦੇ ਅਣੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ 1 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 1.22× 10 4 ਔਸਤ ਬੂੰਦਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 1 ਲੀਟਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 3⋅( 1.32× 10 21 )⋅( 1.22× 10 4 )≈4.83× 10 25 ਪਰਮਾਣੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਪਵੇ!
ਜਦੋਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੁਣਨਫਲ ( 7× 10 4 )⋅( 5× 10 6 )=35× 10 10 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਸਹੀ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 35, 10 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। 35 ਨੂੰ 3.5×10 ਵਜੋਂ ਵਿਚਾਰੋ। ਇਹ ਜਵਾਬ ਦੀ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਸ ਜੋੜਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
( 8.14× 10 −7 )( 6.5× 10 10 )
( 4× 10 5 )÷( −1.52× 10 9 )
( 2.7× 10 5 )( 6.04× 10 13 )
(1.2× 10 8 )÷( 9.6× 10 5 )
( 3.33× 10 4 )( −1.05× 10 7 )( 5.62× 10 5 )
ਹੱਲ
( 8.14× 10 −7 )( 6.5× 10 10 ) = (8.14×6.5)( 10 −7 × 10 10 ) ਗੁਣਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਅਤੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ = (52.91)( 10 3 ) ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨ ਨਿਯਮ = 5.291× 10 4 ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
( 4× 10 5 )÷( −1.52× 10 9 ) = ( 4 −1.52 )( 10 5 10 9 ) ਗੁਣਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਅਤੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ ≈ (−2.63)( 10 −4 ) ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਨਿਯਮ = −2.63× 10 −4 ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
( 2.7× 10 5 )( 6.04× 10 13 ) = (2.7×6.04)( 10 5 × 10 13 ) ਗੁਣਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਅਤੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ = (16.308)( 10 18 ) ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨ ਨਿਯਮ = 1.6308× 10 19 ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
( 1.2× 10 8 )÷( 9.6× 10 5 ) = ( 1.2 9.6 )( 10 8 10 5 ) ਗੁਣਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਅਤੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ = (0.125)( 10 3 ) ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਨਿਯਮ = 1.25× 10 2 ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
( 3.33× 10 4 )( −1.05× 10 7 )( 5.62× 10 5 ) = [3.33×(−1.05)×5.62]( 10 4 × 10 7 × 10 5 ) ≈ (−19.65)( 10 16 ) = −1.965× 10 17
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #12
ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
( −7.5× 10 8 )( 1.13× 10 −2 )
( 1.24× 10 11 )÷( 1.55× 10 18 )
( 3.72× 10 9 )( 8× 10 3 )
( 9.933× 10 23 )÷( −2.31× 10 17 )
( −6.04× 10 9 )( 7.3× 10 2 )( −2.81× 10 2 )
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਅਪ੍ਰੈਲ 2014 ਵਿੱਚ, ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਗਭਗ 308,000,000 ਲੋਕ ਸੀ। ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਕਰਜ਼ਾ ਲਗਭਗ $17,547,000,000,000 ਸੀ। ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਅਮਰੀਕੀ ਨਾਗਰਿਕ ਕਰਜ਼ੇ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਆਬਾਦੀ 308,000,000=3.08× 10 8 ਸੀ।
ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਕਰਜ਼ਾ $17,547,000,000,000≈$1.75× 10 13 ਸੀ।
ਪ੍ਰਤੀ ਨਾਗਰਿਕ ਕਰਜ਼ੇ ਦੀ ਰਕਮ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਕਰਜ਼ੇ ਨੂੰ ਨਾਗਰਿਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਉਸ ਸਮੇਂ ਪ੍ਰਤੀ ਨਾਗਰਿਕ ਕਰਜ਼ਾ ਲਗਭਗ $5.7× 10 4 , ਜਾਂ $57,000 ਸੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #13
1. ਇੱਕ ਔਸਤ ਮਨੁੱਖੀ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 3 x 10¹³ ਲਾਲ ਰਕਤ ਸੈੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਸੈੱਲ ਲਗਭਗ 8 x 10⁻⁶ ਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸੈੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
2. ਮੀਡੀਆ
3. ਘਾਤਾਂ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਆਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
4. ਘਾਤਾਂਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
5. ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
6. ਸਿਫਰ ਘਾਤ
7. ਘਾਤਾਂਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
8. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ
9. ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
10. ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
11. ਸ਼ਬਦਿਕ
12. ਕੀ 2³ 2³ 3² 3² ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
13. ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਕਦੋਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹੋ?
14. ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਕੀ ਉਦੇਸ਼ ਹੈ?
15. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਕੀ ਕਰਦੀ ਹੈ।
16. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖੋ।
18. 9² 9²
19. 15⁻² 15⁻²
20. 3² × 3³ 3² × 3³
21. 4⁴ ÷ 4² 4⁴ ÷ 4²
22. (2²)⁻² (2²)⁻²
23. (5⁻⁸)⁰ (5⁻⁸)⁰
24. 11³ ÷ 11⁴ 11³ ÷ 11⁴
6 5 × 6 −7 6 5 × 6 −7
( 8 0 ) 2 ( 8 0 ) 2
5 −2 ÷ 5 2 5 −2 ÷ 5 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਸਰਲ ਨਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4 2 × 4 3 ÷ 4 −4 4 2 × 4 3 ÷ 4 −4
6 12 6 9 6 12 6 9
( 12 3 ×12 ) 10 ( 12 3 ×12 ) 10
10 6 ÷ ( 10 10 ) −2 10 6 ÷ ( 10 10 ) −2
7 −6 × 7 −3 7 −6 × 7 −3
( 3 3 ÷ 3 4 ) 5 ( 3 3 ÷ 3 4 ) 5
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
0.0000314
148,000,000
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
1.6× 10 10 1.6× 10 10
9.8× 10 −9 9.8× 10 −9
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
a 3 a 2 a a 3 a 2 a
m n 2 m −2 m n 2 m −2
( b 3 c 4 ) 2 ( b 3 c 4 ) 2
( x −3 y 2 ) −5 ( x −3 y 2 ) −5
a b 2 ÷ d −3 a b 2 ÷ d −3
( w 0 x 5 ) −1 ( w 0 x 5 ) −1
m 4 n 0 m 4 n 0
y −4 ( y 2 ) 2 y −4 ( y 2 ) 2
p −4 q 2 p 2 q −3 p −4 q 2 p 2 q −3
(l×w) 2 (l×w) 2
( y 7 ) 3 ÷ x 14 ( y 7 ) 3 ÷ x 14
( a 2 3 ) 2 ( a 2 3 ) 2
(25 m)÷ ( 50 m) (25 m)÷ ( 50 m)
( 16 x ) 2 y −1 ( 16 x ) 2 y −1
2 3 ( 3a ) −2 2 3 ( 3a ) −2
( m a 6 ) 2 1 m 3 a 2 ( m a 6 ) 2 1 m 3 a 2
( b −3 c ) 3 ( b −3 c ) 3
( x 2 y 13 ÷ y 0 ) 2 ( x 2 y 13 ÷ y 0 ) 2
( 9 z 3 ) −2 y ( 9 z 3 ) −2 y
Real-World Applications
To reach escape velocity, a rocket must travel at the rate of 2.2× 10 6 2.2× 10 6 ft/min. Rewrite the rate in standard notation.
A dime is the thinnest coin in U.S. currency. A dime’s thickness measures 1.35× 10 −3 1.35× 10 −3 m. Rewrite the number in standard notation.
The average distance between Earth and the Sun is 92,960,000 mi. Rewrite the distance using scientific notation.
A terabyte is made of approximately 1,099,500,000,000 bytes. Rewrite in scientific notation.
The Gross Domestic Product (GDP) for the United States in the first quarter of 2014 was $1.71496× 10 13 . $1.71496× 10 13 . Rewrite the GDP in standard notation.
One picometer is approximately 3.397× 10 −11 3.397× 10 −11 in. Rewrite this length using standard notation.
The value of the services sector of the U.S. economy in the first quarter of 2012 was $10,633.6 billion. Rewrite this amount in scientific notation.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to simplify. Round the answers to the nearest hundredth.
( 12 3 m 33 4 −3 ) 2 ( 12 3 m 33 4 −3 ) 2
17 3 ÷ 15 2 x 3 17 3 ÷ 15 2 x 3
Extensions
For the following exercises, simplify the given expression. Write answers with positive exponents.
( 3 2 a 3 ) −2 ( a 4 2 2 ) 2 ( 3 2 a 3 ) −2 ( a 4 2 2 ) 2
( 6 2 −24 ) 2 ÷ ( x y ) −5 ( 6 2 −24 ) 2 ÷ ( x y ) −5
m 2 n 3 a 2 c −3 ⋅ a −7 n −2 m 2 c 4 m 2 n 3 a 2 c −3 ⋅ a −7 n −2 m 2 c 4
( x 6 y 3 x 3 y −3 ⋅ y −7 x −3 ) 10 ( x 6 y 3 x 3 y −3 ⋅ y −7 x −3 ) 10
( ( a b 2 c ) −3 b −3 ) 2 ( ( a b 2 c ) −3 b −3 ) 2
Avogadro’s constant is used to calculate the number of particles in a mole. A mole is a basic unit in chemistry to measure the amount of a substance. The constant is 6.0221413× 10 23 . 6.0221413× 10 23 . Write Avogadro’s constant in standard notation.
Planck’s constant is an important unit of measure in quantum physics. It describes the relationship between energy and frequency. The constant is written as 6.62606957× 10 −34 . 6.62606957× 10 −34 . Write Planck’s constant in standard notation.