ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਮਾਨੀਟਰ 23.6-ਇੰਚ ਦਾ ਮਾਡਲ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 27-ਇੰਚ ਦਾ ਮਾਡਲ ਹੈ। ਅਨੁਪਾਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਮਾਨੀਟਰ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਜਗ੍ਹਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਨੀਟਰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰੀਏ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਚੁਣਨਾ ਹੈ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2 x 2 +3x−1=0 ਅਤੇ x 2 −4=0 ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ, ਵਿੱਤ, ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਗਿਣਤ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਅਕਸਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਅਜਿਹੇ ਵਿਅੰਜਨ ਲੱਭਣਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਵਿਅੰਜਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਜੇਕਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ a⋅b=0, ਤਾਂ a=0 ਜਾਂ b=0, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰ ਸਿਫਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਿਫਰ ਹੀ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸਤਰ ਪਦਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵੱਖ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਦਾ ਕੰਮ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਵਿਅੰਜਨ ( x−2 )( x+3 ) ਨੂੰ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਫੈਲਾਓ।
ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ। ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, x 2 +x−6=0 ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਾਪਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ 1 ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ; ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, a x 2 +bx+c=0, ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ a≠0। ਸਮੀਕਰਨ x 2 +x−6=0 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕੱਢਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਸੂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਅਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਹਨ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ
ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੇ a≠0, ਤਾਂ ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
1 ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 +x−6=0 ਵਿੱਚ, ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, ਜਾਂ x 2 ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, 1 ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
1 ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ c ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ।
ਉਨ੍ਹਾਂ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ( x+k ) ਜਾਂ ( x−k ), ( x+k ) ਜਾਂ ( x−k ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ k ਪਹਿਲੇ ਪਗ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਜਿਵੇਂ ਹਨ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇ ਦੋ ਅੰਕ 1 ਅਤੇ −2 ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ( x+1 )( x−2 ) ਹਨ।
ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਫਰ ਗੁਣ (zero-product property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਚੱਲ (variable) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
1 ਦੇ ਅਗਵਾਈ ਗੁਣਕ (leading coefficient) ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਤੇ ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +x−6=0.
ਹੱਲ
x 2 +x−6=0 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ −6 ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੋਵੇ। −6 ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਆਖਰੀ ਜੋੜਾ, 3⋅( −2 ), 1 ਬਣਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਅੰਕ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੀ ਜੋੜਾ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ। ਫਿਰ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਫਰ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਹੱਲ 2 ਅਤੇ −3 ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਹੱਲ y = x 2 +x−6=0 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercepts) ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −5x−6=0.
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +8x+15=0.
ਹੱਲ
ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 15 ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 8 ਹੋਵੇ। 15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
ਜੋ ਅੰਕ 8 ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਉਹ 3 ਅਤੇ 5 ਹਨ। ਫਿਰ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ, ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ −3 ਅਤੇ −5 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −4x−21=0.
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਫਰ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ (difference of squares) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −9=0। x 2 −9=0।
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈ ਕੇ, ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ 3 ਅਤੇ −3 ਹਨ। −3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −25=0। x 2 −25=0।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਨਾ ਹੋਵੇ
ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਮਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਲਈ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ:
ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a x 2 +bx+c=0, a x 2 +bx+c=0, ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, a⋅c ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। a⋅c।
ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ac ac ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ। b।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, bx bx ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਪਗ ਵਿੱਚ ਪਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ।
ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ 4 x 2 +15x+9=0 ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। 4 x 2 +15x+9=0।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ac ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4( 9 )=36। ac:4( 9 )=36। ਫਿਰ 36 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। 36।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇਕੋ ਜੋੜਾ ਜੋ 15 15 ਦਾ ਜੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ 3+12 ਹੈ। 3+12। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, b ਪਦ, 15x, 15x, ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 3 ਅਤੇ 12 ਨੂੰ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ − 3 4 , − 3 4 , ਅਤੇ −3 ਹਨ। −3। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 12 x 2 +11x+2=0। 12 x 2 +11x+2=0।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ: −3 x 3 −5 x 2 −2x=0। −3 x 3 −5 x 2 −2x=0।
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਰਗੀ ਨਹੀਂ ਲੱਗਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ, 2 ਨਹੀਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ GCF ਨੂੰ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਬਾਹਰ ਕੱਢਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ −x −x ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬ੍ਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪਏ ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
ਹੱਲ 0, 0, − 2 3 , − 2 3 , ਅਤੇ −1 ਹਨ। −1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 3 +11 x 2 +10x=0। x 3 +11 x 2 +10x=0।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰੇਖੀ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰਨਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ
x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ:
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਅਸ਼ੂਨਯ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x 2 x 2 ਪਦ ਹੈ ਪਰ x x ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ, ਵਰਗ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ± ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਗਾਓ।
± ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 =8। x 2 =8।
ਹੱਲ
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਮੂਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ± ± ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
ਹੱਲ 2√2, 2√2, −2√2, −2√2 ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4x² + 1 = 7।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, x² ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ।
ਹੱਲ 6√2, 6√2, ਅਤੇ −6√2, −6√2 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3(x−4)² = 15।
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ
ਸਾਰੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਦ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, a, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਦਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਉਦਾਹਰਨ x² + 4x + 1 = 0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ a=1 ਦੇ ਨਾਲ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ। x² + 4x = −1
b ਪਦ ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰੋ। 1/2(4) = 2, 2² = 4
(1/2b)² ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ x² + 4x + 4 = −1 + 4 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ x² + 4x + 4 = 3 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਹੁਣ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਫੈਕਟਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x² + 4x + 4 = 3, ਜਿਸਨੂੰ (x+2)² = 3 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। (x+2)² = ±√3, x+2 = ±√3, x = −2±√3
ਹੱਲ −2+√3, −2+√3, ਅਤੇ −2−√3, −2−√3 ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x² − 3x − 5 = 0।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
1. ਫਿਰ, b ਪਦ ਦਾ 1 2 1 2 ਲਵੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
2. ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ।
3. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4. ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਹੱਲ 3+ 29 2 3+ 29 2 ਅਤੇ 3- 29 2 3- 29 2 ਹਨ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #7
7. ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −6x=13. x 2 −6x=13.
8. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
9. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਚੌਥਾ ਤਰੀਕਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਜੋ ਸਾਰੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੇਗਾ। ਭਾਵੇਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀਆਂ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਬਦਲਣ ਵੇਲੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਪਾਉਂਦੇ ਸਮੇਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ a ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ a x 2 +bx+c=0, a x 2 +bx+c=0, a≠0, a≠0, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੂਰਾ ਕਰਾਂਗੇ:
11. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ: a x 2 +bx=−c a x 2 +bx=−c
12. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, a ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ: x 2 + b a x=− c a x 2 + b a x=− c a
13. ਫਿਰ, ਮੱਧ ਪਦ ਦਾ 1 2 1 2 ਲਵੋ, ਅਤੇ ( 1 2 b a ) 2 = b 2 4 a 2 ( 1 2 b a ) 2 = b 2 4 a 2 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਜੋੜੋ: x 2 + b a x+ b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 − c a x 2 + b a x+ b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 − c a
14. ਅੱਗੇ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: ( x+ b 2a ) 2 = b 2 −4ac 4 a 2 ( x+ b 2a ) 2 = b 2 −4ac 4 a 2
15. ਹੁਣ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ x+ b 2a = ± b 2 −4ac 4 a 2 x+ b 2a = ± b 2 −4ac 2a x+ b 2a = ± b 2 −4ac 4 a 2 x+ b 2a = ± b 2 −4ac 2a
16. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, − b 2a − b 2a ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x= −b± b 2 −4ac 2a x= −b± b 2 −4ac 2a
17. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
18. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, a x 2 +bx+c=0, a x 2 +bx+c=0, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
19. ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0. a≠0.
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
22. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ: a x 2 +bx+c=0. a x 2 +bx+c=0.
23. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਪਦ, a,b, a,b, ਅਤੇ c. c. ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
24. ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨੀ ਨਾਲ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਬੇਲੋੜੀਆਂ ਗਲਤੀਆਂ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 9
3. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
4. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +5x+1=0. x 2 +5x+1=0.
5. ਹੱਲ
6. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: a=1,b=5,c=1. a=1,b=5,c=1. ਫਿਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 10
8. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
9. x 2 +x+2=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x 2 +x+2=0.
10. ਹੱਲ
11. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: a=1,b=1, a=1,b=1, ਅਤੇ c=2. c=2.
12. ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
13. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ −1+i 7 2 −1+i 7 2 ਅਤੇ −1−i 7 2 −1−i 7 2 ਹਨ
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
15. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ: 9 x 2 +3x−2=0. 9 x 2 +3x−2=0.
16. ਵਿਵੇਚਕ
17. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਿਵੇਚਕ, ਜਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਪਦ, b 2 −4ac. b 2 −4ac. ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਵਿਵੇਚਕ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿਵੇਚਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਵਿਵੇਚਕ ਦਾ ਮੁੱਲ | ਨਤੀਜੇ
19. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac=0 b 2 −4ac=0 | ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ)
20. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac>0, b 2 −4ac>0, ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ | ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac>0, b 2 −4ac>0, ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ | ਦੋ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac<0 b 2 −4ac<0 | ਦੋ ਜਟਿਲ ਹੱਲ
23. ਵਿਵੇਚਕ
24. a x 2 +bx+c=0 a x 2 +bx+c=0 ਲਈ, ਜਿੱਥੇ a a , b b , ਅਤੇ c c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਵਿਵੇਚਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ ਹੈ: b 2 −4ac. b 2 −4ac. ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 11
2. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
4. ⓐ x 2 +4x+4=0 x 2 +4x+4=0
5. ⓑ 8 x 2 +14x+3=0 8 x 2 +14x+3=0
6. ⓒ 3 x 2 −5x−2=0 3 x 2 −5x−2=0
7. ⓓ 3 x 2 −10x+15=0 3 x 2 −10x+15=0
8. ਹੱਲ
9. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ b 2 −4ac b 2 −4ac ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਿਸਮ ਦੱਸੋ।
10. ⓐ x 2 +4x+4=0 x 2 +4x+4=0 b 2 −4ac= ( 4 ) 2 −4( 1 )( 4 )=0. b 2 −4ac= ( 4 ) 2 −4( 1 )( 4 )=0. ਇੱਕ ਤਰਕਪੂਰਨ ਦੁਹਰਾਇਆ ਹੱਲ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ⓑ 8 x 2 +14x+3=0 8 x 2 +14x+3=0 b 2 −4ac= ( 14 ) 2 −4( 8 )( 3 )=100. b 2 −4ac= ( 14 ) 2 −4( 8 )( 3 )=100. ਕਿਉਂਕਿ 100 100 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਦੋ ਤਰਕਪੂਰਨ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
12. ⓒ 3 x 2 −5x−2=0 3 x 2 −5x−2=0 b 2 −4ac= ( −5 ) 2 −4( 3 )( −2 )=49. b 2 −4ac= ( −5 ) 2 −4( 3 )( −2 )=49. ਕਿਉਂਕਿ 49 49 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਦੋ ਤਰਕਪੂਰਨ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
13. ⓓ 3 x 2 −10x+15=0 3 x 2 −10x+15=0 b 2 −4ac= ( −10 ) 2 −4( 3 )( 15 )=−80. b 2 −4ac= ( −10 ) 2 −4( 3 )( 15 )=−80. ਦੋ ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
14. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
15. ਗਣਿਤ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 ਵਜੋਂ ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a a ਅਤੇ b b 90° 90° ਕੋਣ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ c c ਕਾਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਵਿਗਿਆਨ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ, ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾ, ਅਤੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਮਾਰਿਆ ਉਪਯੋਗ ਹੈ।
16. ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੂਜੀਆਂ ਦੋ ਲੰਬਾਈਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਿੱਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਗੁੰਮ ਭੁਜਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
17. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
18. ਜਿੱਥੇ a a ਅਤੇ b b 90 ∘ 90 ∘ ਕੋਣ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ c c ਕਾਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਮਿਸਾਲ 12
20. ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਗੁੰਮ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ
21. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਗੁੰਮ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਭੁਜਾ b ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਮਾਪ ਹਨ, ਗੁੰਮ ਭੁਜਾ a ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
1. ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਲੱਤ 'a' 4 ਇਕਾਈਆਂ ਮਾਪਦੀ ਹੈ, ਲੱਤ 'b' 3 ਇਕਾਈਆਂ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ-ਪੱਧਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
2. ਮੀਡੀਆ
3. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
4. ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ
6. ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ
7. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
8. ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਲੱਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
9. ਮੌਖਿਕ
10. ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਹੈ?
11. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ax^2+bx+c=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ y=ax^2+bx+c ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ (x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ) ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
12. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਕਿਉਂ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
13. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੇਡੀਕਲ ਚਿੰਨ੍ਹ b^2-4ac ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੀ ਨਾਮ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਡੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਸੁਭਾਅ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
14. ਦੋ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਸ਼ਲ ਵਿਧੀ ਹੋਵੇਗੀ।
15. ਅਲਜਬਰਾ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. x^2+4x-21=0
18. x^2-9x+18=0
19. 2x^2+9x-5=0
20. 6x^2+17x+5=0
21. 4x^2-12x+8=0
22. 3x^2-75=0
23. 8x^2+6x-9=0
24. 4x^2=9
2 x 2 +14x=36
5 x 2 =5x+30
4 x 2 =5x
7 x 2 +3x=0
x 3 − 9 x =2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x 2 =36
x 2 =49
( x−1 ) 2 =25
( x−3 ) 2 =7
( 2x+1 ) 2 =9
( x−5 ) 2 =4
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹਰ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
x 2 −9x−22=0
2 x 2 −8x−5=0
x 2 −6x=13
x 2 + 2 3 x− 1 3 =0
2+z=6 z 2
6 p 2 +7p−20=0
2 x 2 −3x−1=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਵੇਚਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਕੀ ਹੈ। ਹੱਲ ਨਾ ਕਰੋ।
2 x 2 −6x+7=0
x 2 +4x+7=0
3 x 2 +5x−8=0
9 x 2 −30x+25=0
2 x 2 −3x−7=0
6 x 2 −x−2=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਹੱਲ ਅਸਲ ਨਾ ਹੋਣ, ਤਾਂ "ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ" ਦੱਸੋ।
2 x 2 +5x+3=0
x 2 +x=4
2 x 2 −8x−5=0
3 x 2 −5x+1=0
x 2 +4x+2=0
4+ 1 x − 1 x 2 =0
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰੋ ਅਤੇ 2nd CALC 2:zero ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫਰ (x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ) ਲੱਭੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਿਫਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਖੱਬੀ ਸੀਮਾ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਬਾਓ), ਫਿਰ ਸੱਜੀ ਸੀਮਾ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਬਾਓ), ਫਿਰ ਅਨੁਮਾਨ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਬਾਓ) ਪੁੱਛੇਗਾ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
Y 1 =4 x 2 +3x−2
Y 1 =−3 x 2 +8x−1
Y 1 =0.5 x 2 +x−7
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 +5x−7=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
Y 1 = x 2 +5x−7 Y 2 =4
ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਛੇਦ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2nd CALC 5:intersection ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਲੱਭੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ 0.3 x 2 +2x−4=2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
Y 1 =0.3 x 2 +2x−4 Y 2 =2
ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਛੇਦ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2nd CALC 5:intersection ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ, a x 2 +bx+c=0, ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ − b a ਹੈ।
1. ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਾਗ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 119 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਗ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਐਬਰਕ੍ਰੋਂਬੀ ਅਤੇ ਫਿਚ ਸਟਾਕ ਦੀ ਕੀਮਤ P=0.2 t 2 −5.6t+50.2 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ t 1999 ਤੋਂ 2001 ਤੱਕ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। (t=1 ਜਨਵਰੀ 1999 ਹੈ)। ਦੋ ਮਹੀਨੇ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਸਟਾਕ ਦੀ ਕੀਮਤ $30 ਸੀ।
3. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ p=−2 x 2 +280x−1000 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਨਿਲਾਮੀ ਵਿੱਚ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ p ਨਿਲਾਮੀ ਚਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰੋਬਾਰ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਮੁਨਾਫਾ ਹੈ। ਕਿੰਨੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੇਚਣ ਨਾਲ ਇਹ ਮੁਨਾਫਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਅਤੇ 2nd CALC maximum ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਵਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਵਿੰਡੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, x [0,200] ਅਤੇ y [0,10000] ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
4. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
5. ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ A, mmHg ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ, ਲਈ ਆਮ ਸਿਸਟੋਲਿਕ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ P=0.006 A 2 −0.02A+120 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸਾਲ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ 125 mmHg ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
6. ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ C=60x+300 ਹੈ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ R=100x−0.5 x 2 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੁਨਾਫਾ ਮਾਲੀਆ ਘਟਾਓ ਲਾਗਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ x (ਉਤਪਾਦਨ ਪੱਧਰ) ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ $300 ਦਾ ਮੁਨਾਫਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨਗੇ।
7. ਇੱਕ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਵਸਤੂ d=5t+16 t 2 ft ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਨੂੰ 74 ਫੁੱਟ ਤੈਅ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
8. ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਪਲਾਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਬਾਗ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਬਾਗ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਪੈਦਲ ਮਾਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 378 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪੈਦਲ ਮਾਰਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਬਾਗ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਅਤੇ 15 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ।
9. ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਸਕੂਲ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇਨਫਲੂਐਂਜ਼ਾ ਸਟ੍ਰੇਨ ਦੇ ਫੈਲਣ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹਾਂਮਾਰੀ ਵਿਗਿਆਨ ਅਧਿਐਨ ਮਿਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜਿੰਨੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਫਲੂ ਫੜਿਆ, t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ, ਮਾਡਲ P=− t 2 +13t+130 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 1≤t≤6। ਉਹ ਦਿਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ 160 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਸੀ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ t 'ਤੇ ਪਾਬੰਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 6 ਹੈ।