ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਢੰਗਾਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਬਾਰੇ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਮੂਲ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਨਵੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਬੀਜਗਣਿਤ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ।
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਉਹ ਘਾਤਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 16^{1/2} 16^{1/2} 16^{1/2} 16^{1/2} ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ \sqrt{16} ; 8^{1/3} 8^{1/3} 8^{1/3} 8^{1/3} \sqrt[3]{8} ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁਨਰ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚੱਲ ਪਦ 'ਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਕੇ 1 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1, 3 \cdot \frac{1}{3} = 1, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ
ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੂਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਪਦ, ਇੱਕ ਚੱਲ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
8^{2/3} 8^{2/3} 8^{2/3} 8^{2/3} ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਇਹ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। 8 ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 8^{2/3} 8^{2/3} 8^{2/3} 8^{2/3} ਨੂੰ (8^{1/3})^2 (8^{1/3})^2 (8^{1/3})^2 (8^{1/3})^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
64^{-1/3} 64^{-1/3} 64^{-1/3} 64^{-1/3} ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਚੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜੋ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਉਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ: x^{5/4} = 32. x^{5/4} = 32. x^{5/4} = 32. x^{5/4} = 32.
ਹੱਲ
x ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 5/4 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 4/5 ਹੈ, ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਸਮੀਕਰਨ x^(3/2) = 125 ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਤर्क ਸੰਗਤ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
3 x^(3/4) = x^(1/2) ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲਾਂ, ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਹੁਣ, ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਾਂਗੇ? ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x^(1/2) ਨੂੰ x^(2/4) ਵਾਂਗ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋਹਾਂ ਪਦਾਂ ਤੋਂ x^(2/4) ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
x^(1/4) ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ? ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x^(2/4) ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਉਹੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ 2/4 ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ 3/4 ਬਣੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ x ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 1/4 ਹੈ।
ਆਓ ਜਾਰੀ ਰੱਖੀਏ। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਹੱਲ 0 ਅਤੇ 1/81 ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x+5)^(3/2) = 8।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਹੁ-ਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ
n ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ a_n, ..., a_0 ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a_n ≠ 0।
ਬਹੁ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਬਹੁ-ਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ (ਅਸਲ ਅਤੇ ਜਟਿਲ) ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਘਾਤ ਅੰਕ n ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5x^4 = 80x^2।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਫਿਰ ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ, ਜੀ.ਸੀ.ਐਫ. (GCF) ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
2. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ x² −16, x² −16 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵੰਡ ਕੇ ਦੋ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ, 5x², 5x², ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਦੋ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ 2 ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਹੱਲ ਹਨ।
3. ਹੱਲ ਹਨ 0 (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ), 0 (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ), 4, 4, ਅਤੇ −4, −4।
4. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
5. ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੱਲ ਹਨ—x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ। ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹੱਲ 0, 0 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਪਸ ਮੁੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਹਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਆਮ ਲੱਛਣ ਹੈ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
7. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 12x⁴ = 3x²। 12x⁴ = 3x²।
8. ਉਦਾਹਰਨ 5
9. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁਪਦੀ ਹੱਲ ਕਰੋ
10. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁਪਦੀ ਹੱਲ ਕਰੋ: x³ + x² − 9x − 9 = 0। x³ + x² − 9x − 9 = 0।
11. ਹੱਲ
12. ਇਸ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ 4 ਪਦ ਹਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਨਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ।
13. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਥੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ x² − 9, x² − 9 ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਹੱਲ 3, 3, −3, −3, ਅਤੇ −1, −1 ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ 3 ਹੱਲ ਮਿਲੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
16. ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਦੇਖਿਆ ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਸੀ। ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਨਹੀਂ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਲਈ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਪਦ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਮਿਲੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਝ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ ਵੀ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਦੇਖਿਆ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਚਾਰ ਪਦ ਮੌਜੂਦ ਸਨ।
17. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
18. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ (ਕਰਣੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ) ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
19. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਣੀ ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ, ਜੜ੍ਹਾਂ ਜੋ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਲੱਭਣਾ ਅਸਾਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਹੱਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਬਲਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹਰੇਕ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਰਖਣ ਨਾਲ ਸੱਚੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।
20. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
21. ਕਰਣੀ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
23. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
24. ਕਰਣੀ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਲੱਗ ਕਰੋ। ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਪਦ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖੋ।
If the radical is a square root, then square both sides of the equation. If it is a cube root, then raise both sides of the equation to the third power. In other words, for an nth root radical, raise both sides to the nth power. Doing so eliminates the radical symbol.
Solve the remaining equation.
If a radical term still remains, repeat steps 1–2.
Confirm solutions by substituting them into the original equation.
Example 6
Solving an Equation with One Radical
Solve 15−2x =x. 15−2x =x.
Solution
The radical is already isolated on the left side of the equal side, so proceed to square both sides.
We see that the remaining equation is a quadratic. Set it equal to zero and solve.
The proposed solutions are −5 −5 and 3. 3. Let us check each solution back in the original equation. First, check x=−5. x=−5.
This is an extraneous solution. While no mistake was made solving the equation, we found a solution that does not satisfy the original equation.
Check x=3. x=3.
The solution is 3. 3.
Try It #5
Solve the radical equation: x+3 =3x−1 x+3 =3x−1
Example 7
Solving a Radical Equation Containing Two Radicals
Solve 2x+3 + x−2 =4. 2x+3 + x−2 =4.
Solution
As this equation contains two radicals, we isolate one radical, eliminate it, and then isolate the second radical.
Use the perfect square formula to expand the right side: ( a−b ) 2 = a 2 −2ab+ b 2 . ( a−b ) 2 = a 2 −2ab+ b 2 .
Now that both radicals have been eliminated, set the quadratic equal to zero and solve.
The proposed solutions are 3 3 and 83. 83. Check each solution in the original equation.
ਇੱਕ ਹੱਲ 3 ਹੈ। 3।
x=83 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। x=83।
ਇੱਕੋ ਹੱਲ 3 ਹੈ। 3। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 83 83 ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਹੱਲ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਦੋ ਰੇਡੀਕਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3x+7 + x+2 =1। 3x+7 + x+2 =1।
ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। | 2x−6 |=8, | 2x−6 |=8 ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਪ 8 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਮਾਪ ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੀ ਮਾਤਰਾ 8 8 ਜਾਂ −8 ਹੈ। −8। ਇਹ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮਾਪ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜਾਣਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ
x ਦਾ ਮਾਪ | x | ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। | x |। ਇਸਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹਨ:
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ A A ਅਤੇ B, B ਲਈ, | A |=B, | A |=B ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ B≥0, B≥0, ਹੱਲ ਉਦੋਂ ਹੋਣਗੇ ਜਦੋਂ A=B A=B ਜਾਂ A=−B। A=−B। ਜੇਕਰ B<0, B<0, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ | A |=B | A |=B ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
| ax+b |=c | ax+b |=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹਨ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ c>0, c>0, ਤਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: ax+b=c ax+b=c ਅਤੇ ax+b=−c। ax+b=−c।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ⓐ | 6x+4 |=8 | 6x+4 |=8
ⓑ | 3x+4 |=−9 | 3x+4 |=−9
ⓒ | 3x−5 |−4=6 | 3x−5 |−4=6
ⓓ | −5x+10 |=0 | −5x+10 |=0
ਹੱਲ
ⓐ | 6x+4 |=8 | 6x+4 |=8 Write two equations and solve each: 6x+4 = 8 6x+4 = −8 6x = 4 6x = −12 x = 2 3 x = −2 6x+4 = 8 6x+4 = −8 6x = 4 6x = −12 x = 2 3 x = −2 The two solutions are 2 3 2 3 and −2. −2.
ⓑ | 3x+4 |=−9 | 3x+4 |=−9 There is no solution as an absolute value cannot be negative.
ⓒ | 3x−5 |−4=6 | 3x−5 |−4=6 Isolate the absolute value expression and then write two equations. | 3x−5 |−4 = 6 | 3x−5 | = 10 3x−5 = 10 3x−5 = −10 3x = 15 3x = −5 x = 5 x = − 5 3 | 3x−5 |−4 = 6 | 3x−5 | = 10 3x−5 = 10 3x−5 = −10 3x = 15 3x = −5 x = 5 x = − 5 3 There are two solutions: 5, 5, and − 5 3 . − 5 3 .
ⓓ(d) | −5x+10 |=0 | −5x+10 |=0 The equation is set equal to zero, so we have to write only one equation. −5x+10 = 0 −5x = −10 x = 2 −5x+10 = 0 −5x = −10 x = 2 There is one solution: 2. 2.
Try It #7
Solve the absolute value equation: | 1−4x |+8=13. |1−4x|+8=13.
Solving Other Types of Equations
There are many other types of equations in addition to the ones we have discussed so far. We will see more of them throughout the text. Here, we will discuss equations that are in quadratic form, and rational equations that result in a quadratic.
Solving Equations in Quadratic Form
Equations in quadratic form are equations with three terms. The first term has a power other than 2. The middle term has an exponent that is one-half the exponent of the leading term. The third term is a constant. We can solve equations in this form as if they were quadratic. A few examples of these equations include x 4 −5 x 2 +4=0, x 6 +7 x 3 −8=0, x 4 −5 x 2 +4=0, x 6 +7 x 3 −8=0, and x 2 3 +4 x 1 3 +2=0. x 2 3 +4 x 1 3 +2=0. In each one, doubling the exponent of the middle term equals the exponent on the leading term. We can solve these equations by substituting a variable for the middle term.
Quadratic Form
If the exponent on the middle term is one-half of the exponent on the leading term, we have an equation in quadratic form, which we can solve as if it were a quadratic. We substitute a variable for the middle term to solve equations in quadratic form.
How To
Given an equation quadratic in form, solve it.
Identify the exponent on the leading term and determine whether it is double the exponent on the middle term.
If it is, substitute a variable, such as u, for the variable portion of the middle term.
Rewrite the equation so that it takes on the standard form of a quadratic.
Solve using one of the usual methods for solving a quadratic.
Replace the substitution variable with the original term.
Solve the remaining equation.
Example 9
Solving a Fourth-degree Equation in Quadratic Form
Solve this fourth-degree equation: 3 x 4 −2 x 2 −1=0. 3 x 4 −2 x 2 −1=0.
Solution
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੁੱਖ ਮਾਪਦੰਡਾਂ 'ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਅਗਲੇ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਬਦਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਮੰਨ ਲਓ u = x². u = x². ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ u ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੁਣ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ u ਲਈ ਮੂਲ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ ±i√1/3 ਅਤੇ ±1 ਹਨ। ±1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x⁴ - 8x² - 9 = 0। x⁴ - 8x² - 9 = 0।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਾਲੀ ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: (x+2)² + 11(x+2) - 12 = 0। (x+2)² + 11(x+2) - 12 = 0।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇਕੱਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਹੈ। ਰੁਝਾਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਕਿ ਇਹ ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ 'ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੈ, ਹੱਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਫਰਕ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਇੱਕ ਬਦਲ ਬਣਾਓ, ਮੰਨ ਲਓ u = x+2। u = x+2। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ u ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਜ਼ੀਰੋ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ u ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਦੂਜਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ: -14, -14, ਅਤੇ -1। -1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x-5)² - 4(x-5) - 21 = 0। (x-5)² - 4(x-5) - 21 = 0।
ਦੋਘਾਤੀ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਾਡੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੁਆਰਾ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਦੋਘਾਤੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: -4x/(x-1) + 4/(x+1) = -8/(x²-1)। -4x/(x-1) + 4/(x+1) = -8/(x²-1)।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕੀਤੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ LCD ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਦੋ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਫੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x² - 1 = (x+1)(x-1)। x² - 1 = (x+1)(x-1)। ਫਿਰ, LCD (x+1)(x-1) ਹੈ। (x+1)(x-1)। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਵੀ ਹੱਲ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #10
2. ਹੱਲ ਕਰੋ 3x+2 x−2 + 1 x = −2 x 2 −2x
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨ
6. ਆਪਸੀ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
7. ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਭਾਗ 1/2
8. ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਭਾਗ 2/2
9. ਸ਼ਬਦਕ
10. ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ (extraneous solution) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ?
11. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਿਉਂ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
12. ਤੁਹਾਡਾ ਦੋਸਤ − 9 3 2 − 9 3 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਗਿਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਗਾਤਾਰ ERROR ਸੰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ ਸ਼ਾਇਦ ਕੀ ਗਲਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ?
13. ਸਮਝਾਓ ਕਿ | 2x+5 |=−7 | 2x+5 |=−7 ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
14. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਵੇ।
15. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜਿੱਥੇ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ ਉੱਥੇ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. x 2 3 =16
18. x 3 4 =27
19. 2 x 1 2 − x 1 4 =0
20. ( x−1 ) 3 4 =8
21. ( x+1 ) 2 3 =4
22. x 2 3 −5 x 1 3 +6=0
23. x 7 3 −3 x 4 3 −4 x 1 3 =0
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਅਤੇ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0
3x^3 - 6x^2 - 27x + 54 = 0
4y^3 - 9y = 0
x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0
m^3 + m^2 - m - 1 = 0
2x^5 - 14x^3 = 0
5x^3 + 45x = 2x^2 + 18
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੱਢੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਬਾਹਰੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
3x-1 - 2 = 0
x-7 = 5
x-1 = x-7
3t+5 = 7
t+1 + 9 = 7
12-x = x
2x+3 - x+2 = 2
3x+7 + x+2 = 1
2x+3 - x+1 = 1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
| 3x-4 | = 8
| 2x-3 | = -2
| 1-4x | - 1 = 5
| 4x+1 | - 3 = 6
| 2x-1 | - 7 = -2
| 2x+1 | - 2 = -3
1. | x+5 |=0
2. −| 2x+1 |=−3
3. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਗਾਤਮਕ ਰੂਪ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਬਦਲਵੇਂ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
4. x 4 −10 x 2 +9=0
5. 4 ( t−1 ) 2 −9( t−1 )=−2
6. ( x 2 −1 ) 2 +( x 2 −1 )−12=0
7. ( x+1 ) 2 −8( x+1 )−9=0
8. ( x−3 ) 2 −4=0
9. ਵਿਸਤਾਰ
10. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਣਜਾਣ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. x −2 − x −1 −12=0
12. | x | 2 =x
13. t 10 −2 t 5 +1=0
14. | x 2 +2x−36 |=12
15. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
16. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਲੰਡਨ ਦੇ ਸਮੇਂ, T, ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ T=2π L g , ਜਿੱਥੇ ਲੰਡਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ g ਹੈ।
17. ਜੇਕਰ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ 9.8 m/s2 ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ 1 s ਹੈ, ਤਾਂ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ cm (100 cm = 1 m) ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ।
18. ਜੇਕਰ ਗੁਰੂਤਾ 32 ft/s2 ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ 1 s ਹੈ, ਤਾਂ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ in. (12 in. = 1 ft) ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ in. ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਰੀਰ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰ, BSA, ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ BSA= wh 3600 , ਜਿੱਥੇ w = ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਭਾਰ ਅਤੇ h = ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਹੈ।
20. 72-kg ਮਹਿਲਾ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ cm ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ BSA=1.8 ਹੈ।
21. 177-cm ਪੁਰਸ਼ ਦੇ ਭਾਰ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ kg ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ BSA=2.1 ਹੈ।