ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਸੰਬੰਧ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਲਨ (Function) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦਾ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਡੋਮੇਨ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਇਨਪੁਟ, ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟ, ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਫਲਨ ਸੰਕੇਤ (Function notation) ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਨਾਲ y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਗਤ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਲਨ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ (one-to-one) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਗਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਲੰਬਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਾ ਕੱਟੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 14 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ (horizontal line test) ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 15 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਅਣਪਛਾਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣਾ, ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਵਾਉਣਗੇ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸੰਕੇਤ (inequality notation), ਸੈੱਟ-ਬਿਲਡਰ ਸੰਕੇਤ (set-builder notation), ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ (interval notation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਟੂਲਕਿਟ ਫਲਨਾਂ (toolkit functions) ਦੀ ਸਮਝ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲਾ ਫਲਨ (piecewise function) ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਉਪ-ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (rate of change) ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (average rate of change) ਸਿਰਫ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਵੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਸਦੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਧਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਸਦੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਰਿਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧਤਮ ਉਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲ ਨੇੜਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ (ਵਧੇਰੇ ਧਨ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਣ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟਤਮ ਉਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵਧਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲ ਨੇੜਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਛੋਟਾ (ਵਧੇਰੇ ਰਿਣ ਜਾਂ ਘੱਟ ਧਨ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਘੱਟਤਮ ਅਤੇ ਵੱਧਤਮ ਨੂੰ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਵੱਧਤਮ ਅਤੇ ਘੱਟਤਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੇ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੇ (ਬਾਹਰੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਕਰਕੇ ਬਣਿਆ ਫਲਨ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਵ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵਾਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਅਨੁਸਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ y-y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=f(−x)।
ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=−f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=−f(−x)।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਖਮ, ਸਮ, ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13, ਉਦਾਹਰਨ 14, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 15 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 16, ਉਦਾਹਰਨ 17, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 18 ਦੇਖੋ।
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 19 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 20 ਦੇਖੋ।
ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ, ਨੂੰ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਅੱਖਰ V ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਧਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਦੋ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ g(x) f(x) ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ, f(x), ਤਾਂ g(f(x))=f(g(x))=x। g(f(x))=f(g(x))=x। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਝ ਦੇ ਹੀ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ (ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਨਾ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਨਵਰਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਦਾ ਆਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ y=f(x) ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਲੇਬਲ x ਅਤੇ y ਦਾ ਆਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।