ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋਗੇ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋਗੇ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋਗੇ।
ਪਿਛਲੇ ਕਈ ਦਹਾਕਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਆਇਆ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 15 ਵਿੱਚ ਸਾਲ 2005-2012 ਲਈ ਇੱਕ ਗੈਲਨ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਔਸਤ ਕੀਮਤ (ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਸਾਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਸਾਲ | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012
ਸਾਰਣੀ: C( ਸਾਲ ) | 2.31 | 2.62 | 2.84 | 3.30 | 2.41 | 2.84 | 3.58 | 3.68
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ 2005 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਏ ਬਦਲਾਅ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਕੀਮਤ $2.31 ਤੋਂ ਵਧ ਕੇ $3.68 ਹੋ ਗਈ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $1.37 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਬਦਲਾਅ ਆਇਆ ਹੈ, ਇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿੰਨੀ ਨਹੀਂ ਬਦਲੀ, ਇਸ ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋਵਾਂਗੇ। ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰ Δ (ਡੈਲਟਾ) ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ "ਡੈਲਟਾ-y ਬਟੇ ਡੈਲਟਾ-x" ਜਾਂ "y ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ x ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ" ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਕਦੇ-ਕਦੇ ਅਸੀਂ Δy ਦੀ ਬਜਾਏ Δf ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇਸਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, 2005 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ $1.37 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ। 7 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ, ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸੀ
ਔਸਤਨ, ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਲਗਭਗ 19.6¢ ਵਧੀ।
ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ:
ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 40 ਚੂਹਿਆਂ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ
ਇੱਕ ਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 68 ਮੀਲ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ (ਦੂਰੀ ਜੋ ਸਮਾਂ ਬੀਤਣ ਨਾਲ ਹਰ ਘੰਟੇ 68 ਮੀਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ)
ਇੱਕ ਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ 27 ਮੀਲ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ (ਦੂਰੀ ਜੋ ਹਰ ਗੈਲਨ ਲਈ 27 ਮੀਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ)
ਵਧੇ ਹੋਏ ਵੋਲਟੇਜ ਦੇ ਹਰ ਵੋਲਟ ਲਈ 0.125 ਐਂਪੀਅਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਸਰਕਟ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ
ਕਾਲਜ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਤਿਮਾਹੀ $4,000 ਘਟ ਰਹੀ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ "ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਕਾਈਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਨਪੁੱਟ ਇਕਾਈਆਂ" ਹਨ।
ਦੋ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ (ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ) ਦੇ ਕੁੱਲ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ x 1 ਅਤੇ x 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
y 2 − y 1 =Δy ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
x 2 − x 1 =Δx ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Δy/Δx ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 2007 ਅਤੇ 2009 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
2007 ਵਿੱਚ, ਪੈਟਰੋਲ ਦੀ ਕੀਮਤ $2.84 ਸੀ। 2009 ਵਿੱਚ, ਕੀਮਤ $2.41 ਸੀ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਮੀ ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਦਲਾਅ ਜਾਂ "ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਧਾ" ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਵਧਣ 'ਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਘਟਣ 'ਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, 2005 ਅਤੇ 2010 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ g( t ), ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, [ −1,2 ] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
t=−1 'ਤੇ, ਚਿੱਤਰ 2 g( −1 )=4 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। t=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ g( 2 )=1 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਬਦਲਾਅ Δt=3 ਲਾਲ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਬਦਲਾਅ Δg(t)=−3 ਤੁਰਕੀ ਦੇ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਸੰਤਰੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ 3 ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਆਊਟਪੁਟ –3 ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋ ਕ੍ਰਮ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ y 2 − y 1 / x 1 − x 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਮਿਲੇਗਾ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ 1 ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ਬਿੰਦੂ 2 ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ( x 1 , y 1 ) ਅਤੇ ( x 2 , y 2 ) ਵਜੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ
1. ਦੋਸਤ ਨੂੰ, ਜੋ 10 ਮੀਲ ਦੂਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਚੁੱਕਣ ਅਤੇ ਯਾਤਰਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅੰਨਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਰ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਦੂਰੀ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਉਸਦੀ ਔਸਤ ਗਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਟੀ (ਘੰਟੇ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
3. ਕਤਾਰ: ਡੀ(ਟੀ) (ਮੀਲ) | 10 | 55 | 90 | 153 | 214 | 240 | 292 | 300
4. ਹੱਲ
5. ਇੱਥੇ, ਔਸਤ ਗਤੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਹੈ। ਉਸਨੇ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 282 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ।
6. ਔਸਤ ਗਤੀ 47 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਔਸਤ ਗਤੀ ਚੁਣੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [2,3] ਲਈ, ਔਸਤ ਗਤੀ 63 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 4
10. ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
11. ਅੰਤਰਾਲ [2,4] 'ਤੇ f(x) = x² - 1/x f(x) = x² - 1/x ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। [2,4]।
12. ਹੱਲ
13. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
16. ਅੰਤਰਾਲ [1,9] 'ਤੇ f(x) = x - 2/x f(x) = x - 2/x ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। [1,9]।
17. ਉਦਾਹਰਨ 5
18. ਬਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
19. ਦੋ ਚਾਰਜਡ ਕਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ F, ਨਿਊਟਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ, ਕਣਾਂ d, ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿੱਚ, ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ F(d) = 2/d² ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। F(d) = 2/d²। ਜੇਕਰ ਕਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 2 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 6 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਬਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [2,6] 'ਤੇ F(d) = 2/d² F(d) = 2/d² ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। [2,6]।
22. ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ -1/9 ਨਿਊਟਨ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
g(t)=t^2+3t+1 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,a] ਉੱਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ 'a' ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਰਲਤਮ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਸਾਨੂੰ t=0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ t=a ਵਿਚਕਾਰ 'a' ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [0,5] ਉੱਤੇ, ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ 5+3=8 ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)=x^2+2x-8 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [5,a] ਉੱਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਨੂੰ ਸਰਲਤਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 'a' ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਧਣ, ਘਟਣ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਾਸ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਘਟਦੇ ਹਨ। ਵਧ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਘਟ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^3−12x, (−∞,−2) ∪ (2,∞) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ (−2,2) ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਹੇ (ਜਾਂ ਘਟ ਰਹੇ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕਈ ਹੋਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵ, ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਧਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਦਾ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਣ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਾ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਦਾ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਵਚਨ ਰੂਪ "ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਾ" ਹੈ। ਇਕੱਠੇ, ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਾ ਅਤੇ ਮਿਨਿਮਾ ਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ, ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਇਕਵਚਨ ਰੂਪ "ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ" ਹੈ।) ਅਕਸਰ, ਸਥਾਨਕ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਰਿਲੇਟਿਵ ਸ਼ਬਦ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਥਾਨਕ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੋਈ ਵੀ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਮ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੈਕਸਿਮਮ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮਿਨਿਮਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ 16 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x=-2 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ -16 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ x=2 ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਾ ਅਤੇ ਮਿਨਿਮਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕਦੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਰੋਲਰ ਕੋਸਟਰ ਦੀ ਚੋਟੀ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਉੱਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਨੇੜਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲੋਂ ਉੱਚਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਉੱਤੇ ਗੁਆਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੀ ਨੀਵਾਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 5 ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਸਾਨੂੰ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਾ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ ਜਿੱਥੇ b>a, f(b)>f(a) ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ a ਅਤੇ b ਲਈ ਜਿੱਥੇ b>a, f(b)<f(a) ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ x=b ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a<b<c ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ, ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਲਈ, f(x)≤f(b) ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, f ਦਾ x=b ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਮਿਨਿਮਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a<b<c ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ, ਅੰਤਰਾਲ (a,c) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਲਈ, f(x)≥f(b) ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ p(t) ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਉੱਥੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਥੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ t=1 ਤੋਂ t=3 ਤੱਕ ਅਤੇ t=4 ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
1. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਹਾਂਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (1,3) ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ (4,∞) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। (4,∞)।
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ (ਅੰਤਰਾਲ ਜੋ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ t=1, t=3, ਅਤੇ t=4 ਉੱਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ (ਦੋ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ) ਹਨ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 8
5. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭਣਾ
6. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2x + x³ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
7. ਹੱਲ
8. ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਵਾਂਗ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਲਗਦਾ ਹੈ ਕਿ x=2 ਅਤੇ x=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ, ਅਤੇ x=-3 ਅਤੇ x=-2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਰਗਾ ਉੱਚ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾਵਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਕਨਾਲੋਜੀਆਂ ਤੋਂ ਸਕ੍ਰੀਨ ਚਿੱਤਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ।
11. ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ (−∞,−2.449) ਅਤੇ (2.449,∞) ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਸਮਮਿਤੀ ਹੋਣਗੇ, ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਕਨਾਲੋਜੀਆਂ ਹਰੇਕ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੇ ਗਏ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਨੁਮਾਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਕਾਰਨ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਤੱਕ ਹੀ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। (ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਸਹੀ ਸਥਾਨ ±√6 ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।)
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
13. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x³ - 6x² - 15x + 20 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 9
15. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭਣਾ
16. ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਭੋ।
17. ਹੱਲ
18. f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ x=1 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x=1 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x=1 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 2 ਹੈ।
19. ਗ੍ਰਾਫ x=-1 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x=-1 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ x=-1 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ -2 ਹੈ।
20. ਵਧਣ ਜਾਂ ਘਟਣ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ
21. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 10, ਚਿੱਤਰ 11, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
22. ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ
23. ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ (ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ) ਕਿਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਅਤੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (ਆਉਟਪੁੱਟ) ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਹਰ ਕਾਰਜ ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਜਾਂ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x³ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ
f ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ x=c 'ਤੇ f(c) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f(c) ≥ f(x) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ।
f ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਨਿਊਨਤਮ x=d 'ਤੇ f(d) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ f(d) ≤ f(x) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਸਾਰੇ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੋ ਸਥਾਨਾਂ, x=−2 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ x=−2 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 16 ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ x=3 'ਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਨਿਊਨਤਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਨਿਰਪੇਖ ਨਿਊਨਤਮ x=3 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ −10 ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ
ਸ਼ਬਦਕ
ਕੀ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ (a,b) 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ (b,c) 'ਤੇ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ (a,c) 'ਤੇ f ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਤੋਂ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਾਨ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਵਧਣ ਅਤੇ ਘਟਣ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ, y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b ਜਾਂ h ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ।
f(x) = 4x² − 7 [1,b] 'ਤੇ
g(x) = 2x² − 9 [4,b] 'ਤੇ
p(x) = 3x + 4 [2,2+h] 'ਤੇ
k(x) = 4x − 2 [3,3+h] 'ਤੇ
f( x )=2 x 2 +1 f( x )=2 x 2 +1 on [x,x+h] [x,x+h]
g( x )=3 x 2 −2 g( x )=3 x 2 −2 on [x,x+h] [x,x+h]
a( t )= 1 t+4 a( t )= 1 t+4 on [9,9+h] [9,9+h]
b( x )= 1 x+3 b( x )= 1 x+3 on [1,1+h] [1,1+h]
j( x )=3 x 3 j( x )=3 x 3 on [1,1+h] [1,1+h]
r( t )=4 t 3 r( t )=4 t 3 on [2,2+h] [2,2+h]
Find f( x+h )−f( x ) h f( x+h )−f( x ) h given f( x )=2 x 2 −3x f( x )=2 x 2 −3x on [x,x+h] [x,x+h]
Graphical
For the following exercises, consider the graph of f f shown in Figure 15.
Estimate the average rate of change from x=1 x=1 to x=4. x=4.
Estimate the average rate of change from x=2 x=2 to x=5. x=5.
For the following exercises, use the graph of each function to estimate the intervals on which the function is increasing or decreasing.
For the following exercises, consider the graph shown in Figure 16.
Estimate the intervals where the function is increasing or decreasing.
Estimate the point(s) at which the graph of f f has a local maximum or a local minimum.
For the following exercises, consider the graph in Figure 17.
If the complete graph of the function is shown, estimate the intervals where the function is increasing or decreasing.
If the complete graph of the function is shown, estimate the absolute maximum and absolute minimum.
Numeric
Table 3 gives the annual sales (in millions of dollars) of a product from 1998 to 2006. What was the average rate of change of annual sales (a) between 2001 and 2002, and (b) between 2001 and 2004?
row: Year | Sales (millions of dollars)
row: 1998 | 201
row: 1999 | 219
row: 2000 | 233
2001 | 243
2002 | 249
2003 | 251
2004 | 249
2005 | 243
2006 | 233
7. ਤਬੀਬ 4 ਇੱਕ ਕਸਬੇ ਦੀ ਆਬਾਦੀ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ) 2000 ਤੋਂ 2008 ਤੱਕ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ (a) 2002 ਅਤੇ 2004 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਅਤੇ (b) 2002 ਅਤੇ 2006 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੀ ਸੀ?
8. ਸਾਲ | ਆਬਾਦੀ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ)
9. 2000 | 87
10. 2001 | 84
11. 2002 | 83
12. 2003 | 80
13. 2004 | 77
14. 2005 | 76
15. 2006 | 78
16. 2007 | 81
17. 2008 | 85
18. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
19. f(x) = x² [1,5] 'ਤੇ
20. h(x) = 5 - 2x² [−2,4] 'ਤੇ
21. q(x) = x³ [−4,2] 'ਤੇ
22. g(x) = 3x³ - 1 [−3,3] 'ਤੇ
23. y = 1/x [1,3] 'ਤੇ
24. p(t) = (t² - 4)(t + 1) / (t² + 3) [−3,1] 'ਤੇ
k( t )=6 t 2 + 4 t 3 k( t )=6 t 2 + 4 t 3 on [−1,3] [−1,3]
Technology
For the following exercises, use a graphing utility to estimate the local extrema of each function and to estimate the intervals on which the function is increasing and decreasing.
f( x )= x 4 −4 x 3 +5 f( x )= x 4 −4 x 3 +5
h( x )= x 5 +5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 −1 h( x )= x 5 +5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 −1
g( t )=t t+3 g( t )=t t+3
k( t )=3 t 2 3 −t k( t )=3 t 2 3 −t
m( x )= x 4 +2 x 3 −12 x 2 −10x+4 m( x )= x 4 +2 x 3 −12 x 2 −10x+4
n( x )= x 4 −8 x 3 +18 x 2 −6x+2 n( x )= x 4 −8 x 3 +18 x 2 −6x+2
Extension
The graph of the function f f is shown in Figure 18.
Based on the calculator screen shot, the point (1.333,5.185) (1.333,5.185) is which of the following?
ⓐa relative (local) maximum of the function
ⓑthe vertex of the function
ⓒthe absolute maximum of the function
ⓓa zero of the function
Let f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . Find a number c c such that the average rate of change of the function f f on the interval (1,c) (1,c) is − 1 4 . − 1 4 .
Let f( x )= 1 x f( x )= 1 x . Find the number b b such that the average rate of change of f f on the interval (2,b) (2,b) is − 1 10 . − 1 10 .
Real-World Applications
At the start of a trip, the odometer on a car read 21,395. At the end of the trip, 13.5 hours later, the odometer read 22,125. Assume the scale on the odometer is in miles. What is the average speed the car traveled during this trip?
A driver of a car stopped at a gas station to fill up their gas tank. They looked at their watch, and the time read exactly 3:40 p.m. At this time, they started pumping gas into the tank. At exactly 3:44, the tank was full and the driver noticed that they had pumped 10.7 gallons. What is the average rate of flow of the gasoline into the gas tank?
Near the surface of the moon, the distance that an object falls is a function of time. It is given by d( t )=2.6667 t 2 , d( t )=2.6667 t 2 , where t t is in seconds and d( t ) d( t ) is in feet. If an object is dropped from a certain height, find the average velocity of the object from t=1 t=1 to t=2. t=2.
The graph in Figure 19 illustrates the decay of a radioactive substance over t t days.
Use the graph to estimate the average decay rate from t=5 t=5 to t=15. t=15.