ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਖਿਚਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: (ਸਿਹਰਾ: "ਮਿਸਕੋ"/ਫਲਿੱਕਰ)
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੀ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਪਿੱਛੇ ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸਹੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਝੁਕਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਚਕਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਕਾਰਨੀਵਲ ਫਨਹਾਊਸ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵਿਗਾੜੀ ਹੋਈ ਤਸਵੀਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਜਾਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਗਾੜ ਜਾਂ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।
ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਅਕਸਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਬਦਾਂ, ਟੇਬਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣਾ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਨਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਣ। ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਸੱਜੇ, ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਖਿਸਕਾਉਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਸਧਾਰਨ ਖਿਸਕਾਅ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵਾਂ ਖਿਸਕਾਅ ਹੈ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k ਲਈ, g(x)=f(x)+k, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਨੂੰ k k ਇਕਾਈਆਂ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਘਣ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 f(x)= x 3 ਦਾ k=1 k=1 ਦੁਆਰਾ ਖੜ੍ਹਵਾਂ ਖਿਸਕਾਅ।
ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ y=f(x) y=f(x)। ਇਸ ਲਈ, f(x)+k f(x)+k y+k y+k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। y y ਦਾ ਹਰ ਇਕਾਈ y+k y+k ਦੁਆਰਾ ਬਦਲੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ y-ਮੁੱਲ k k ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਖੜ੍ਹਵਾਂ ਖਿਸਕਾਅ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k, g(x)=f(x)+k, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵਾਂ ਖਿਸਕਾਅ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ k k ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਜੇ k k ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇ k k ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ
ਇੱਕ ਹਰੀ ਇਮਾਰਤ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਛੱਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਵੈਂਟ ਦਿਨ ਭਰ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦਿਨ ਭਰ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਰਾਤ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ, t t ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ V V (ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ) ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਰਮੀਆਂ ਦੌਰਾਨ, ਸਹੂਲਤ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਦਿਨ ਅਤੇ ਰਾਤ ਦੌਰਾਨ 20 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਧਾ ਕੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਯੰਤ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਉਣ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 20 ਵਧ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜੇ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ S(t) S(t) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ, t t ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ, S(t) S(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ V V ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ S S ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ V V ਦੇ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 20 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵਾਂ ਖਿਸਕਾਅ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਖਿਸਕਾਅ ਨਾਲ, ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਟੇਬਲ 1 ਦੇਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: t t | 0 | 8 | 10 | 17 | 19 | 24
2. ਕਤਾਰ: V(t) V(t) | 0 | 0 | 220 | 220 | 0 | 0
3. ਕਤਾਰ: S( t ) S( t ) | 20 | 20 | 240 | 240 | 20 | 20
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
6. ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
7. ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜੋ। ਉੱਪਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜੋੜੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 2
10. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ
11. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) f( x ) ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)−3 ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। g(x)=f(x)−3.
12. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
13. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
14. ਹੱਲ
15. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x)−3 g(x)=f(x)−3 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। f. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
16. ਹਰੇਕ f( x ) f( x ) ਮੁੱਲ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ g( x ) g( x ) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
18. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
19. ਕਤਾਰ: g(x) g(x) | −2 | 0 | 4 | 8
20. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
21. ਪਿਛਲੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਵਾਂਗ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
23. ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t 2 +30t h(t)=−4.9 t 2 +30t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ h (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 10-ਮੀਟਰ ਦੀ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ b(t) b(t) ਨੂੰ h(t) h(t) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ b(t) b(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
24. ਹਰੀਜੱਟਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲੰਬੀ ਤਬਦੀਲੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਜਾਂ ਬਾਹਰ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਾਅ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਅਰਥ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਹਿਲਜੁਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 ਦਾ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ। f(x)= x 3। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ (x+1)(x+1) ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ h=–1 h=–1, ਜੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਯਾਨੀ x ਦੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਮੁੱਲਾਂ ਵੱਲ, ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। x।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)= x 2, f(x)= x 2, ਤਾਂ g(x)= (x−2) 2 g(x)= (x−2) 2 ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 2 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ f ਦੇ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। f।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g( x )=f( x−h ), g( x )=f( x−h ), ਜਿੱਥੇ h h ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ। f। ਜੇਕਰ h h ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ h h ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ
ਚਿੱਤਰ 3 ਤੋਂ ਸਾਡੇ ਬਿਲਡਿੰਗ ਏਅਰਫਲੋ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਤਝੜ ਵਿੱਚ ਸੁਵਿਧਾ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਵੈਂਟਿੰਗ ਯੋਜਨਾ ਬਹੁਤ ਦੇਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੂਰੀ ਵੈਂਟਿੰਗ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ V( t ) V( t ) ਨੂੰ ਅਸਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਅਤੇ F( t ) F( t ) ਨੂੰ ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਜੋਂ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਸਮੇਂ, ਏਅਰਫਲੋ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V V 2 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਵਿੱਚ, V, ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ F, F, ਲਈ, ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 6 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ V(8)=F(6) ਹਨ। V(8)=F(6)। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਤਹਿਤ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ ਵੈਂਟ ਪਹਿਲਾਂ 220 ft 2 220 ft 2 ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਨਵੀਂ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਤਹਿਤ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ ਵੈਂਟ 220 ft 2 220 ft 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ V(10)=F(8)। V(10)=F(8)।
ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ F( t ) F( t ) 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, h=−2। h=−2। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਹੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ F(t)=V(t−( −2 ))=V( t+2 )। F(t)=V(t−( −2 ))=V( t+2 )।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ V(t+2) V(t+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਬਦਲਾਅ ਜਾਂ "ਅੰਦਰੂਨੀ ਬਦਲਾਅ" ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (ਇਨਪੁੱਟ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਨਾ ਕਿ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਉਲਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ F( t ) F( t ) V( t ) V( t ) ਦੇ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ V( t ) V( t ) ਤੋਂ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, F ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ V ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ 2 ਘੰਟੇ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:F(t)=V(t+2)। F:F(t)=V(t+2)।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
ਇਨਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x−3) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਾਰਣੀ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x−3) g(x)=f(x−3) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਤੋਂ 3 ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(2)=1। g ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 3 ਵੱਡਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(x) g(x) ਲਈ 3 ਵੱਡਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 5 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: x x | 5 | 7 | 9 | 11
ਸਾਰਣੀ: x−3 x−3 | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਾਰਣੀ: f(x–3) f(x–3) | 1 | 3 | 7 | 11
ਸਾਰਣੀ: g(x) g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ 3 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। g(x) g(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ f(x) f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, x, x, 3 ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, 2, 5 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, 4, 7 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, 6, 9 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, ਅਤੇ 8, 11 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 7 ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 8 ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ f(x), f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ x-ਮੁੱਲ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਸਿਖਰ (0,0) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਹੁਣ ਸਿਖਰ (2,0) 'ਤੇ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਬੇਸਿਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ y=0 y=0 ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ x=2 x=2 ਮੁੱਲ ਪਾਉਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ; 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਣ ਕਾਰਨ x-ਮੁੱਲ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਡੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ f(x−2) f(x−2) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ f(x) f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਖਿਸਕਾਅ +2 +2 ਹੈ ਜਾਂ −2 −2 , ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਲਈ, ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ। ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, f(0)=0। ਸਾਡੇ ਖਿਸਕੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, g(2)=0। ਫੰਕਸ਼ਨ f ਤੋਂ 0 ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ g(2)=f(x−2)=f(0)=0 g(2)=f(x−2)=f(0)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਖਿਤਿਜੀ ਬਨਾਮ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਫੰਕਸ਼ਨ G(m) G(m) m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। G(m)+10 G(m)+10 ਅਤੇ G(m+10) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। G(m+10)।
ਹੱਲ
G(m)+10 G(m)+10 ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ 10 ਜੋੜਨ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਗੈਸ ਹੈ, ਨਾਲ ਹੀ 10 ਗੈਲਨ ਗੈਸ ਹੋਰ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦਰਸਾਏਗਾ।
G(m+10) G(m+10) ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ 10 ਮੀਲ ਜੋੜਨਾ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ m ਮੀਲ ਤੋਂ 10 ਮੀਲ ਵੱਧ ਚੱਲਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਰਸਾਏਗਾ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x , f(x)= x , ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ g(x)=f(x+2) g(x)=f(x+2) ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲੰਬੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ (y-) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਨਪੁਟ (x-) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਲੰਬੀ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲੈ ਜਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਲਈ ਸੱਜੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
f(x)=| x |, f(x)=| x | ਦਿੱਤੇ ਗਏ, h(x)=f(x+1)−3. h(x)=f(x+1)−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਸਾਡਾ ਟੂਲਕਿੱਟ ਐਬਸੋਲਿਊਟ ਵੈਲਿਊ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ V ਆਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। h ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ: f(x+1) f(x+1) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 1 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ f(x+1)−3 f(x+1)−3 ਵਿੱਚ 3 ਦੁਆਰਾ ਘਟਾਉ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 3 ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਓ f(x)=| x |. f(x)=| x | ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ।
ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ 1 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (0,0)→(−1,0) (0,0)→(−1,0)
ਬਿੰਦੂ (−1,0) (−1,0) ਨੂੰ ਅੱਗੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (−1,0)→(−1,−3) (−1,0)→(−1,−3)
ਚਿੱਤਰ 10 h. h. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
f(x)=| x |, f(x)=| x | ਦਿੱਤੇ ਗਏ, h(x)=f(x−2)+4. h(x)=f(x−2)+4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
1. ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ, ਜੋ ਕਿ ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਹੈ।
2. ਹੱਲ
3. ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 1 ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
4. ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
5. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [1,∞) [1,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ [2,∞) [2,∞) ਹੈ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
8. ਟੂਲਕਿੱਟ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )= 1 x f( x )= 1 x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ।
9. ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
10. ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂਤਰਣ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
11. ਚਿੱਤਰ 12: ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ।
12. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬੇਸ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬੇਸ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
13. ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
14. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ (ਜਾਂ ਉੱਪਰ, ਜਾਂ ਰਾਹੀਂ) ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(−x) g(x)=f(−x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
18. ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
19. ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 9
21. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
22. s(t)= t s(t)= t ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ (a) ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ (b) ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ⓐ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ t-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਮੂਲ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਅਸੀਂ V(t)=−s(t) ਜਾਂ V(t)=− t V(t)=−s(t) ਜਾਂ V(t)=− t ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ, ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ s(t) s(t) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ⓑ Reflecting horizontally means that each input value will be reflected over the vertical axis as shown in Figure 14. Figure 14 Horizontal reflection of the square root function Because each input value is the opposite of the original input value, we can write H(t)=s(−t)or H(t)= −t H(t)=s(−t)or H(t)= −t Notice that this is an inside change or horizontal change that affects the input values, so the negative sign is on the inside of the function. Note that these transformations can affect the domain and range of the functions. While the original square root function has domain [0,∞) [0,∞) and range [0,∞), [0,∞), the vertical reflection gives the V(t) V(t) function the range ( −∞,0 ] ( −∞,0 ] and the horizontal reflection gives the H(t) H(t) function the domain ( −∞,0 ]. ( −∞,0 ].
Try It #5
Reflect the graph of f(x)=|x−1| f(x)=|x−1| (a) vertically and (b) horizontally.
Example 10
Reflecting a Tabular Function Horizontally and Vertically
A function f(x) f(x) is given as Table 6. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | 2 | 4 | 6 | 8
row: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
Solution
ⓐ For g(x), g(x), the negative sign outside the function indicates a vertical reflection, so the x-values stay the same and each output value will be the opposite of the original output value. See Table 7. x x 2 4 6 8 g(x) g(x) –1 –3 –7 –11 Table 7
ⓑFor h(x), h(x), the negative sign inside the function indicates a horizontal reflection, so each input value will be the opposite of the original input value and the h(x) h(x) values stay the same as the f(x) f(x) values. See Table 8. x x −2 −4 −6 −8 h(x) h(x) 1 3 7 11 Table 8
Try It #6
A function f(x) f(x) is given as Table 9. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | −2 | 0 | 2 | 4
row: f(x) f(x) | 5 | 10 | 15 | 20
Example 11
Applying a Learning Model Equation
A common model for learning has an equation similar to k(t)=− 2 −t +1, k(t)=− 2 −t +1, where k k is the percentage of mastery that can be achieved after t t practice sessions. This is a transformation of the function f(t)= 2 t f(t)= 2 t shown in Figure 15. Sketch a graph of k(t). k(t).
Solution
This equation combines three transformations into one equation.
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: f(−t)= 2 −t f(−t)= 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: −f(−t)=− 2 −t −f(−t)=− 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ: −f(−t)+1=− 2 −t +1 −f(−t)+1=− 2 −t +1
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਤਿੰਨ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਅਨੁਸਰਨ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (0, 1) ਅਤੇ (1, 2) ਚੁਣਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 1) (–1, 2)।
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, -1) (-1, –2)
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 0) (-1, -1))।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ, (0,1) ਅਤੇ (1,2) ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ (0,0) ਅਤੇ (-1,-1) ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ 1 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸਿੱਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ t≥0, t≥0 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦੀ ਸੰਗਤ ਰੇਂਜ [0,1) ਹੋਵੇਗੀ। [0,1)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 , f(x)= x 2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) ਅਤੇ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਜਾਂ f(x)=| x | f(x)=| x | ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ f(x)= x 3 f(x)= x 3 ਜਾਂ f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੋਵੇਂ ਧੁਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 17: (a) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (b) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ (c) ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ। ਨਾਲ ਹੀ, ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਉਹ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=0 ਹੈ। f(x)=0।
ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ x
ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y- y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ x
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਖਮ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਖਮ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 +2x ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਖਮ। ਆਓ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ −f(−x)=f(x), ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−x,−y) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (1, 3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−1,−3) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(s)= s 4 +3 s 2 +7 ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਗਈ, ਪਰ ਇਸਨੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ (ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ (ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ ਅੰਕ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ ਅੰਕ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 19 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ 2 ਅਤੇ 0.5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 19: ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=af(x), ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ (vertical stretch) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਛਾਣੋ।
ਸਾਰੇ ਰੇਂਜ (range) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਫਲਨ P(t) ਫਲਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਬਾਦੀ, Q, ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਕਾਸ ਉਸੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦੁੱਗਣੀ ਵੱਡੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਆਬਾਦੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੁੱਗਣੀ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਸਲ ਫਲਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0, 1), (3, 3), (6, 2) ਅਤੇ (7, 0) ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਕਿੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣਗੇ।
ਸੰਕੇਤਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਬੰਧ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁਟ t ਲਈ, ਫਲਨ Q ਦਾ ਮੁੱਲ ਫਲਨ P ਦੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਦੂਰੀ ਦੁੱਗਣੀ ਕਰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ, t, ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫਲਨ (tabular function) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸਾਰੇ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫਲਨ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੁਚਨ ਲੱਭਣਾ
1. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 10 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 1 2 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
2. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
3. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
4. ਹੱਲ
5. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)= 1 2 f(x) ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, ਉਸੇ ਇਨਪੁਟਸ ਨਾਲ, f f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(4)=3।
6. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 11 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
8. ਕਤਾਰ: g(x) | 1/2 | 3/2 | 7/2 | 11/2
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 1/2 ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
12. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 12 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 3 4 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
14. ਕਤਾਰ: f(x) | 12 | 16 | 20 | 0
15. ਉਦਾਹਰਨ 15
16. ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
17. ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x³ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ g(2)=2। ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਬੇਸਿਕ ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ, f(2)= 2³ =8। ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਦਾ 1/4 ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ g(2)= 1/4 f(2)। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਾਫ਼ੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(x)= 1/4 f(x)।
20. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #10
22. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
23. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
24. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਤਬਦੀਲੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ; ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ y=f(bx) ਦਾ ਰੂਪ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y=(0.5x)² ਗ੍ਰਾਫ਼ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y=(2x)² ਗ੍ਰਾਫ਼ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
2. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
3. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(bx), ਜਿੱਥੇ b ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
4. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 1/b ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
5. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
6. ਜੇਕਰ b<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
8. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਣਨ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
9. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
10. ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ b>1 ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਲਈ 0<b<1 ਦੇ ਨਾਲ g(x)=f(bx) ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 16
12. ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਫਲ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੀ ਜੀਵਨ-ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ, R, 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਮਾਤਰਾ ਪੂਰੀ ਕਰੇਗੀ ਜੋ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਉਨੀ ਹੀ ਅੱਗੇ ਵਧੇਗੀ ਜਿੰਨੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 4 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
16. ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 24 ਦੇਖੋ।
17. ਚਿੱਤਰ 24: (a) ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (b) ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼
18. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
19. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 17
21. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਲੱਭਣਾ
22. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਟੇਬਲ 13 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(1/2 x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
23. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
24. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
1. ਹੱਲ
2. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f( 1 2 x ) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਅੱਧੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ g(2) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ g(2)=f( 1 2 ⋅2 )=f(1), ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਡੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ f(1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। g ਲਈ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਜੋ f ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ g(4) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 14 ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4. ਕਤਾਰ: x | 4 | 8 | 12 | 16
5. ਕਤਾਰ: g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
6. ਚਿੱਤਰ 25 ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 18
10. ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 26 ਵਿੱਚ f(x) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. g(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਂਗ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(x) (6,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ g(x) (2,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 1 3 ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 6( 1 3 )=2। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(2)=f( 6 ) ਅਤੇ g(1)=f( 3 )। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ g(x)=f( 3x ) ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ 1 3 ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
14. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
15. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 4 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 1 4 ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: f( 1 4 x )। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
17. ਟੂਲਕਿਟ ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖੋ।
18. ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਕਰਨਾ
19. ਜਦੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਉਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦੋਵੇਂ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਿਰਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
20. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2f(x)+3 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਇੱਥੇ ਜਵਾਬ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਾ।
21. ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਸੋਚਣਾ ਥੋੜਾ ਔਖਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ g(x)=f(2x+3) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸੋਚਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ f(7)=12 ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। g ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਉਹ ਆਉਟਪੁਟ ਪੈਦਾ ਹੋਵੇਗਾ? ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ g(x)=f(2x+3)=12 ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ 2x+3=7 ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਵਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੋਵੇਗਾ।
22. ਇਹ ਫਾਰਮੈਟ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ।
24. ਅਸੀਂ ਇੱਕ 2 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਕਟਰ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜਦੋਂ af(x)+k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ a ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ k ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ f(bx-h) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ।
ਜਦੋਂ f(b(x-h)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 19
ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤੀਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਟੇਬਲ 15 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=2f(3x)+1 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: x | 6 | 12 | 18 | 24
ਸਤਰ: f(x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੱਲ
ਇਸ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪੜਾਅ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੋਂ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f(3x) 1/3 ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 16 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: f(3x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੁਣ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਵੱਲ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੀ ਤਬਦੀਲੀ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 17 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: 2f(3x) | 20 | 28 | 30 | 34
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜੇਗੀ। ਟੇਬਲ 18 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: g(x)=2f(3x)+1 | 21 | 29 | 31 | 35
ਉਦਾਹਰਨ 20
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਤੀਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 27 ਵਿੱਚ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k(x)=f(1/2x+1)−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਹੱਲ
2. ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਆਪਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਵੱਖ ਕਰੀਏ।
3. ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ 1 2 1 2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 0 ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਅਜੇ ਵੀ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (0,2) (0,2) 'ਤੇ ਹੀ ਰਹੇਗਾ ਜਦੋਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (2,0) (4,0) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 28 ਦੇਖੋ।
4. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x+2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦੇ ਹਾਂ। x+2। ਚਿੱਤਰ 29 ਦੇਖੋ।
5. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਕੈਚ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ -3 -3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 30 ਦੇਖੋ।
6. ਮੀਡੀਆ
7. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
8. ਫੰਕਸ਼ਨ ਰੂਪਾਂਤਰਣ
9. ਸ਼ਬਦਕ
10. ਜਦੋਂ ਕਈ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਖਿਸਕਾਅ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
11. ਜਦੋਂ ਕਈ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
12. ਜਦੋਂ ਕਈ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸੰਕੋਚਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
13. ਜਦੋਂ ਕਈ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
14. ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ (odd) ਹੈ ਜਾਂ ਸਮ (even)?
15. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਨੁਸਾਰ ਖਿਸਕਾਅ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
17. f(x)= x f(x)= x ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
18. f(x)=| x | f(x)=| x | ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
20. f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f. f. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕਿਹੋ ਜਿਹਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਹੈ।
22. y=f(x−49)
23. y=f(x+43)
24. y=f(x+3)
y=f(x−4)
y=f(x)+5
y=f(x)+8
y=f(x)−2
y=f(x)−7
y=f(x−2)+3
y=f(x+4)−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
f(x)=4 (x+1) 2 −5
g(x)=5 (x+3) 2 −2
a(x)= −x+4
k(x)=−3 x −1
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (ਚਿੱਤਰ 31 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x) ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
g(x)= 2 x +1
h(x)= 2 x −3
w(x)= 2 x−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(t)= (t+1) 2 −3
h(x)=|x−1|+4
k(x)= (x−2) 3 −1
m(t)=3+ t+2
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
f,g, ਅਤੇ h ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। g(x) ਅਤੇ h(x) ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
2. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
3. ਕਤਾਰ: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
4. ਕਤਾਰ: g(x) g(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
5. ਕਤਾਰ: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
6. ਕਤਾਰ: h(x) h(x) | −1 | 0 | −2 | 2 | 3
7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ f, g, ਅਤੇ h ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। g(x) ਅਤੇ h(x) ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
8. ਕਤਾਰ: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
9. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
10. ਕਤਾਰ: x x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1
11. ਕਤਾਰ: g(x) g(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
12. ਕਤਾਰ: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
13. ਕਤਾਰ: h(x) h(x) | −2 | −4 | 3 | 1 | 0
14. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
15. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
16. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ, ਸਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
18. f(x)=3 x 4
19. g(x)= x
20. h(x)= 1 x +3x
21. f(x)= (x−2) 2
22. g(x)=2 x 4
23. h(x)=2x− x 3
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ।
g(x)=−f(x)
g(x)=f(−x)
g(x)=4f(x)
g(x)=6f(x)
g(x)=f(5x)
g(x)=f(2x)
g(x)=f( 1 3 x )
g(x)=f( 1 5 x )
g(x)=3f( −x )
g(x)=−f(3x)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
f(x)=|x| f(x)=|x| ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y y -ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 1 4 1 4 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)= x f(x)= x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x x -ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 3 , 1 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 8 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 2 , 1 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਉੱਤੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ। ਫਿਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
g(x)=4 (x+1) 2 −5
g(x)=5 (x+3) 2 −2
h(x)=−2|x−4|+3
k(x)=−3 x −1
m(x)= 1 2 x 3
n(x)= 1 3 |x−2|
p( x )= ( 1 3 x ) 3 −3
q( x )= ( 1 4 x ) 3 +1
a(x)= −x+4
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
g(x)=f(x)−2
g(x)=−f(x)
g(x)=f(x+1)
g(x)=f(x−2)