PunjabiUni

Learning Objectives

In this section, you will:

Represent a linear function.

Determine whether a linear function is increasing, decreasing, or constant.

Interpret slope as a rate of change.

Write and interpret an equation for a linear function.

Graph linear functions.

Determine whether lines are parallel or perpendicular.

Write the equation of a line parallel or perpendicular to a given line.

Figure 1: Shanghai MagLev Train (credit: "kanegen"/Flickr)

Just as with the growth of a bamboo plant, there are many situations that involve constant change over time. Consider, for example, the first commercial maglev train in the world, the Shanghai MagLev Train (Figure 1). It carries passengers comfortably for a 30-kilometer trip from the airport to the subway station in only eight minutes2.

Suppose a maglev train travels a long distance, and maintains a constant speed of 83 meters per second for a period of time once it is 250 meters from the station. How can we analyze the train’s distance from the station as a function of time? In this section, we will investigate a kind of function that is useful for this purpose, and use it to investigate real-world situations such as the train’s distance from the station at a given point in time.

Representing Linear Functions

The function describing the train’s motion is a linear function, which is defined as a function with a constant rate of change. This is a polynomial of degree 1. There are several ways to represent a linear function, including word form, function notation, tabular form, and graphical form. We will describe the train’s motion as a function using each method.

Representing a Linear Function in Word Form

Let’s begin by describing the linear function in words. For the train problem we just considered, the following word sentence may be used to describe the function relationship.

The train’s distance from the station is a function of the time during which the train moves at a constant speed plus its original distance from the station when it began moving at constant speed.

The speed is the rate of change. Recall that a rate of change is a measure of how quickly the dependent variable changes with respect to the independent variable. The rate of change for this example is constant, which means that it is the same for each input value. As the time (input) increases by 1 second, the corresponding distance (output) increases by 83 meters. The train began moving at this constant speed at a distance of 250 meters from the station.

Representing a Linear Function in Function Notation

Another approach to representing linear functions is by using function notation. One example of function notation is an equation written in the slope-intercept form of a line, where x x is the input value, m m is the rate of change, and b b is the initial value of the dependent variable.

In the example of the train, we might use the notation D(t) D(t) where the total distance D D is a function of the time t. t. The rate, m, m, is 83 meters per second. The initial value of the dependent variable b b is the original distance from the station, 250 meters. We can write a generalized equation to represent the motion of the train.

Representing a Linear Function in Tabular Form

A third method of representing a linear function is through the use of a table. The relationship between the distance from the station and the time is represented in Figure 2. From the table, we can see that the distance changes by 83 meters for every 1 second increase in time.

Figure 2: Tabular representation of the function D D showing selected input and output values

Q&A

ਕੀ ਇਨਪੁਟ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ?

ਨਹੀਂ। ਇਨਪੁਟ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ ऋਣਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਨਪੁਟ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਬੰਧ, D(t)=83t+250, D(t)=83t+250, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ, ਜੋ ਕਿ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ, ਜਾਂ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਲੰਬਵਤ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ, ਜਾਂ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖੇ ਗਏ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,250) (0,250) ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗਤੀ ਨਾਲ ਚੱਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3: D(t)=83t+250 D(t)=83t+250 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ। ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ f(x)=2x+1, f(x)=2x+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਆਪ ਤੋਂ ਪੁੱਛੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਨੰਬਰ ਇਨਪੁਟ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ? ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ b b ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ (ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ, x=0 x=0 ), ਅਤੇ m m ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਸਥਿਰ ਦਰ, ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਨ ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,b) (0,b) 'ਤੇ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1

ਡਾਈਵਰ 'ਤੇ ਦਬਾਅ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ

ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਡਾਈਵਰ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ, d, d, ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ, ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਉਸਦੀ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਾਊਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ (PSI) ਵਿੱਚ ਦਬਾਅ, P, P। ਇਹ ਸਬੰਧ ਸਮੀਕਰਨ, P(d)=0.434d+14.696, P(d)=0.434d+14.696 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਓ।

ਚਿੱਤਰ 4: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਇਲਸ ਰੀਜਸ ਅਤੇ ਜੈਨ-ਨੌਡ ਹਟਨ)

ਹੱਲ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਬਾਅ ਚਾਰ ਸੌ ਤੀਹ-ਚਾਰ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਗੁਣਾ ਡੂੰਘਾਈ ਪਲੱਸ ਚੌਦਾਂ ਅਤੇ ਛੇ ਸੌ ਸਤਾਨਵੇਂ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, 14.696, 0 ਫੁੱਟ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ ਡਾਈਵਰ 'ਤੇ PSI ਵਿੱਚ ਦਬਾਅ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ, ਜਾਂ ਢਲਾਨ, 0.434 PSI ਪ੍ਰਤੀ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਡਾਈਵਰ 'ਤੇ ਦਬਾਅ 0.434 PSI ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਿੰਨੀ ਉਸਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਇੱਕ ਫੁੱਟ ਵਧਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਧਣ, ਘਟਣ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ

ਅਸੀਂ ਦੋ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਧੇ, ਪਰ ਹਰ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧ ਰਿਹਾ, ਘਟ ਰਿਹਾ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ, ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਢਲਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਢਲਾਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਚਿੱਤਰ 5(a) ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਟ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਢਲਾਨ ऋਣਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਘਟਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ऋਣਾਤਮਕ ਢਲਾਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਚਿੱਤਰ 5(b) ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਢਲਾਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ ਢਲਾਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਚਿੱਤਰ 5(c) ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ ਖਿਤਿਜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਵਧ ਰਹੇ ਅਤੇ ਘਟ ਰਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਢਲਾਨ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

f(x)=mx+b f(x)=mx+b ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇ m>0। m>0।

f(x)=mx+b f(x)=mx+b ਇੱਕ ਘਟ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇ m<0। m<0।

f(x)=mx+b, ਜੇਕਰ m=0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫਲਨ (constant function) ਹੈ। m=0।

ਉਦਾਹਰਨ 2

ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ

2010 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਦਰਸਾਇਆ ਕਿ ਕਿਸ਼ੋਰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਲਗਭਗ 60 ਸੰਦੇਸ਼ ਭੇਜਦੇ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਵਧੇਰੇ ਹਾਲੀਆ ਅੰਕੜੇ ਸਾਰੇ ਉਪਭੋਗਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਦੇਸ਼ ਭੇਜਣ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਪਸ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਰਾਹੀਂ ਲੋਕ ਸੰਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ।3. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸਥਿਤੀ ਲਈ, ਰੇਖੀ ਫਲਨ (linear function) ਲੱਭੋ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਹੈ।

ⓐ ਇੱਕ ਕਿਸ਼ੋਰ ਦੁਆਰਾ ਭੇਜੇ ਗਏ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਿਨਾਂ ਦੇ ਫਲਨ (function of time in days) ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਭੇਜੇ ਗਏ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।

ⓑ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਪਲਾਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 500 ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮਹੀਨੇ ਲਈ ਬਾਕੀ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।

ਹੱਲ

ਹਰੇਕ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।

ⓐ ਫਲਨ ਨੂੰ f(x)=60x ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਢਲਾਣ, 60, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਦਿਨ ਨਾਲ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਵਧਦੀ ਹੈ।

ⓑ ਫਲਨ ਨੂੰ f(x)=500−60x ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਫਲਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਰ ਦਿਨ ਘਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਫਲਨ x ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਡਾਟਾ ਪਲਾਨ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਸੰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ

ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਜੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ, x 1 ਅਤੇ x 2, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਲਈ ਦੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲਾਂ, y 1 ਅਤੇ y 2 — ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ, ( x 1 , y 1 ) ਅਤੇ ( x 2 , y 2 ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ — ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ m ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫਲਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (function notation) ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਫਲਨ f ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ y 1 ਅਤੇ y 2 ਦੇ ਦੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, y 1 =f( x 1 ) ਅਤੇ y 2 =f( x 2 ), ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

ਚਿੱਤਰ 6 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ, ( x 1 , y 1 ) ਅਤੇ ( x 2 , y 2 ), ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿਵੇਂ ਗਿਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਢਲਾਣ ਤਿੱਖਾਪਨ, ਜਾਂ ਝੁਕਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਢਲਾਣ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਝੁਕਾਅ ਓਨਾ ਹੀ ਤਿੱਖਾ ਹੋਵੇਗਾ।

ਚਿੱਤਰ 6: ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ y ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ x ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( x 2, y 2 ) ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਹੜਾ ( x 1 , y 1 ) ਵਜੋਂ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਹਰੇਕ ਗਣਨਾ ਇੱਕੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

Q&A

ਕੀ ਢਲਾਣ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਉਟਪੁਟ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਨਪੁਟ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ?

ਹਾਂ। ਇਕਾਈਆਂ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਬਦਲਾਅ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ। ਢਲਾਣ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਜਾਂ ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕਾਈਆਂ ਆਉਟਪੁਟ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਤੀ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ

ਢਲਾਣ, ਜਾਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ, ਇੱਕ ਫਲਨ m ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:

ਜਿੱਥੇ x 1 ਅਤੇ x 2 ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹਨ, y 1 ਅਤੇ y 2 ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹਨ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਤੋਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।

ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਇਕਾਈਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।

ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਵਜੋਂ ਸਮਝੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 3

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣਾ

ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ (3,−2) ਅਤੇ (8,1) ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ?

ਹੱਲ

ਸਮਤੋਲ ਜੋੜੇ (3,−2) ਅਤੇ (8,1) ਹਨ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਨੂੰ m=0.6 ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ m>0।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਪਹਿਲਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ, ਪਹਿਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ, ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਢਲਾਨ ਮਿਲਦੀ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1

ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ (2,3) ਅਤੇ (0,4) ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਢਲਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ?

ਉਦਾਹਰਨ 4

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭਣਾ

2008 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸ਼ਹਿਰ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 23,400 ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੇ 27,800 ਹੋ ਗਈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ 2008 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਸਥਿਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ। ਚਾਰ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ 27,800−23,400=4400 ਲੋਕਾਂ ਨਾਲ ਵਧੀ। ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।

ਇਸ ਲਈ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 1,100 ਲੋਕਾਂ ਨਾਲ ਵਧੀ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਧੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਢਲਾਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਹ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਢਲਾਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵਾਜਬ ਹੈ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2

2009 ਅਤੇ 2012 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਕਸਬੇ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 1,442 ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੇ 1,868 ਹੋ ਗਈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਈਏ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2012 ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਸਥਿਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੇ ਸਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ, ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਢਲਾਣ, ਦੋ ਬਿੰਦੂ, ਆਦਿ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇਖੋ।

ਸਾਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਪਰ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ (0,7) ਅਤੇ (4,4) ਚੁਣੀਏ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਵਾਂਗੇ

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਲਿਖੇ ਬਿਨਾਂ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਸੀ ਕਿ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 7 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, b=7। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ b ਅਤੇ ਢਲਾਣ m ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ m ਅਤੇ b ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− 3 4 x+7 ਹੈ, ਅਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ y=− 3 4 x+7 ਹੋਵੇਗੀ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।

ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਨਿਰੀਖਣ ਦੁਆਰਾ।

ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 5

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ

ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ (0,2) ਅਤੇ (−2,−4)। ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।

ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,2) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=2।

ਉਦਾਹਰਨ 6

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬੇਨ ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਨੂੰ ਦਫ਼ਤਰ ਦੇ ਕਿਰਾਏ ਸਮੇਤ, ਓਵਰਹੈੱਡ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ $1,250 ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖਰਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਖਰਚ ਪ੍ਰਤੀ ਵਸਤੂ $37.50 ਹਨ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ C ਲਿਖੋ ਜਿੱਥੇ C(x) ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ x ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਲਾਗਤ ਹੈ।

ਹੱਲ

ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, $1,250। ਜਿਹੜੀਆਂ ਲਾਗਤਾਂ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $37.50 ਹੈ। ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲਾਗਤ, ਜਿਸਨੂੰ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 37.5 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। 37.5। ਬੇਨ ਦੁਆਰਾ ਝੱਲੀ ਗਈ ਲਾਗਤ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਲਾਗਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ C(x)=1250+37.5x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। C(x)=1250+37.5x।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਜੇਕਰ ਬੇਨ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ 100 ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਉਤਪਾਦਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੀ ਮਾਸਿਕ ਲਾਗਤ x ਲਈ 100 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। x।

ਇਸ ਲਈ ਉਸਦੀ ਮਾਸਿਕ ਲਾਗਤ $5,000 ਹੋਵੇਗੀ।

ਉਦਾਹਰਨ 7

ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਜੇਕਰ f ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ f(3)=−2, f(3)=−2, ਅਤੇ f(8)=1, f(8)=1, ਤਾਂ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸਲੋਪ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਅਤੇ ਸਲੋਪ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।

ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3

ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ f(2)=–11, f(2)=–11, ਅਤੇ f(4)=−25, f(4)=−25, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ

ਅਸਲ ਦੁਨੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦੱਸੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਜਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(c)।

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (ਸਲੋਪ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x)=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। f(x)=mx+b।

x=c 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। x=c।

ਉਦਾਹਰਨ 8

ਸੰਗੀਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ

ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ ਇਸ ਵੇਲੇ ਉਸ ਦੇ ਸੰਗੀਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ 200 ਗਾਣੇ ਹਨ। ਹਰ ਮਹੀਨੇ, ਉਹ 15 ਨਵੇਂ ਗਾਣੇ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ, t, ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ, ਉਸ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਗਾਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, N, ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਉਸ ਕੋਲ ਕਿੰਨੇ ਗਾਣੇ ਹੋਣਗੇ?

ਹੱਲ

ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 200 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਸ ਕੋਲ ਇਸ ਵੇਲੇ 200 ਗਾਣੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ N(0)=200, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ b=200।

ਗਾਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ 15 ਗਾਣਿਆਂ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ 15 ਗਾਣੇ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ m=15। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੇ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ N(t)=15t+200 ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਾਲ (12 ਮਹੀਨੇ) ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਗਾਣੇ ਹੋਣਗੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ t=12 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮਾਰਕਸ ਕੋਲ 12 ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ 380 ਗਾਣੇ ਹੋਣਗੇ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ N ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੀ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ (ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁਟ (ਗਾਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) ਵੀ ਵਧਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 9

ਕਮਿਸ਼ਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਤਨਖਾਹ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ

ਇੱਕ ਬੀਮਾ ਵਿਕਰੇਤਾ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਲਿਆ ਇੱਕ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਹਰ ਨਵੀਂ ਪਾਲਿਸੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਲਿਆ ਦੀ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਆਮਦਨ I, ਨਵੇਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n, ਜੋ ਉਹ ਹਫਤੇ ਦੌਰਾਨ ਵੇਚਦਾ ਹੈ, 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਹਫਤੇ ਉਸਨੇ 3 ਨਵੀਆਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਵੇਚੀਆਂ, ਅਤੇ ਹਫਤੇ ਲਈ $760 ਕਮਾਏ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਿਛਲੇ ਹਫਤੇ, ਉਸਨੇ 5 ਨਵੀਆਂ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਵੇਚੀਆਂ ਅਤੇ $920 ਕਮਾਏ। I(n) ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅਰਥ ਸਮਝਾਓ।

ਹੱਲ

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਇਨਪੁਟ-ਆਉਟਪੁਟ ਜੋੜੇ ਦਿੰਦੀ ਹੈ: (3,760) ਅਤੇ (5,920)। ਅਸੀਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 2 ਵਧਣ 'ਤੇ ਆਮਦਨ $160 ਵਧ ਗਈ, ਇਸ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ $80 ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਲਿਸੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਲਿਆ ਹਫਤੇ ਦੌਰਾਨ ਵੇਚੀ ਗਈ ਹਰ ਪਾਲਿਸੀ ਲਈ $80 ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

b ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਇਲਿਆ ਦੀ ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ n=0, ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਨਵੀਂ ਪਾਲਿਸੀ ਨਹੀਂ ਵੇਚੀ ਜਾਂਦੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹਫਤੇ ਲਈ ਇਲਿਆ ਦੀ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ ਵਜੋਂ ਸਮਝ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਪਾਲਿਸੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅੰਤਿਮ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਸਾਡੀ ਅੰਤਿਮ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਲਿਆ ਦੀ ਬੇਸ ਤਨਖਾਹ $520 ਪ੍ਰਤੀ ਹਫਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਹਰ ਪਾਲਿਸੀ ਵਿਕਣ 'ਤੇ ਵਾਧੂ $80 ਕਮਿਸ਼ਨ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 10

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ

ਟੇਬਲ 1 ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ, ਹਫਤਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

ਸਫ: ਹਫਤਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, w | 0 | 2 | 4 | 6

ਸਫ: ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, P(w) | 1000 | 1080 | 1160 | 1240

1. ਹੱਲ

2. ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੂਹਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 1000 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=1000। b=1000।

3. m, m ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ 2 ਹਫ਼ਤੇ ਬੀਤਣ 'ਤੇ ਆਬਾਦੀ 80 ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ 80 ਚੂਹੇ ਪ੍ਰਤੀ 2 ਹਫ਼ਤੇ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 40 ਚੂਹੇ ਤੱਕ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

4. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਨਾ ਦੇਖਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਢਲਾਣ (slope) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (2,1080) (2,1080) ਅਤੇ (6,1240) (6,1240) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।

Q&A

5. ਕੀ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਰਗੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?

6. ਨਹੀਂ। ਕਈ ਵਾਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 0 ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁਟ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਢਲਾਣ (slope) ਲੱਭੋ, ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਨੂੰ f(x)=mx+b, f(x)=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। b।

7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4

8. ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਪੌਦੇ ਦੇ ਭੋਜਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਵਾਨ ਦਰੱਖਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਤਾਂ ਜੋ ਦਰੱਖਤ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਸਾਰਣੀ 2 ਦਰੱਖਤ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, x x ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੋਂ ਮਾਪ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਏ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, H(x), H(x), ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ x x ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।

9. ਕਤਾਰ: x | 0 | 2 | 4 | 8 | 12

10. ਕਤਾਰ: H(x) | 12.5 | 13.5 | 14.5 | 16.5 | 18.5

11. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

12. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੇ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੇ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚ ਕੇ ਹੈ। ਦੂਜਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਢਲਾਣ (slope) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੈ। ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x. f(x)=x. ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੈ।

13. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

14. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਿਡ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਇਨਪੁਟਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=2x, f(x)=2x, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 1 ਅਤੇ 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 1 ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 2 ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (1,2) (1,2) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। 2 ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 4 ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (2,4) (2,4) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨਾ ਅਕਸਰ ਸਲਾਹਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜੇਕਰ ਤਿੰਨੋਂ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਗਲਤੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।

15. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

16. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।

17. ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ।

18. ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

19. ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

20. ਗ੍ਰਿਡ 'ਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।

21. ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚੋ।

22. ਉਦਾਹਰਨ 11

23. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

24. f(x)=− 2 3 x+5 f(x)=− 2 3 x+5 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਬਣਾਓ।

1. ਹੱਲ

2. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 3 ਦੇ ਹਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਆਓ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ 3 ਦੇ ਗੁਣਜ ਚੁਣੀਏ। ਅਸੀਂ 0, 3, ਅਤੇ 6 ਚੁਣਾਂਗੇ।

3. ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

4. ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ। ਚਿੱਤਰ 11 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− 2 3 x+5 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

5. ਚਿੱਤਰ 11: ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− 2 3 x+5 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।

6. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

7. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਢਲਾਣ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਢਲਾਣ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਸਥਿਰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਤੋਂ ਵੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5

9. ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ f(x)=− 3 4 x+6 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।

10. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

11. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ। ਪਹਿਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਸਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=0 ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

12. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਦੂਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ।

13. ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

14. ਢਲਾਣ 1 2 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਢਲਾਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕੇਗਾ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,1) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (0,1) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਢਲਾਣ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ ਜੋ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰਾਈਜ਼ ਓਵਰ ਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, m= ਰਾਈਜ਼ ਰਨ। ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ m= 1 2 ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਰਾਈਜ਼ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਰਨ 2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 1 ਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ 2 ਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ 1 ਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

15. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਆਖਿਆ

16. ਸਮੀਕਰਨ f(x)=mx+b ਵਿੱਚ

17. b ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਬਿੰਦੂ (0,b) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।

18. m ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਹਰੇਕ ਲਗਾਤਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਵਿਸਥਾਪਨ (ਰਾਈਜ਼) ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਸਥਾਪਨ (ਰਨ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਢਲਾਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਕਰੋ:

Q&A

19. ਕੀ ਸਾਰੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?

20. ਹਾਂ। ਸਾਰੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। (ਨੋਟ: ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।)

21. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

22. ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।

23. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।

24. ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।

y-intercept ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ।

ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ rise run rise run ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 12

y-intercept ਅਤੇ Slope ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

f(x)=− 2 3 x+5 f(x)=− 2 3 x+5 ਨੂੰ y-intercept ਅਤੇ slope ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

y-intercept ਲੱਭਣ ਲਈ x=0 x=0 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ। ਜਦੋਂ x=0 x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 5 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ y-axis ਨੂੰ (0,5) 'ਤੇ ਕੱਟੇਗਾ। (0,5)।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਲਾਈਨ ਦਾ ਸਲੋਪ − 2 3 ਹੈ। − 2 3 । ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕਮੀ "rise" ਦੇ –2 –2 ਯੂਨਿਟਾਂ ਵਿੱਚ, "run" ਲੇਟਵੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 3 ਯੂਨਿਟਾਂ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ Figure 13 ਵਿੱਚ y-intercept ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ (0,5) (0,5) ਤੋਂ ਅਸੀਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

Figure 13: f(x)=−2/3x+5f(x)=−2/3x+5 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ slope ਲਈ rise over run ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਲੋਪ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6

ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਇਆ ਹੈ, ਉਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ x-ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ

ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਕਲਪ identity function f(x)=x ਦੀ transformation ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। f(x)=x। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਖੱਬੇ, ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ transform ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ reflection, stretch, ਜਾਂ compression ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ transform ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ

ਸਮੀਕਰਨ f(x)=mx ਵਿੱਚ, f(x)=mx, m identity function ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ m ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ reflection ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। Figure 14 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ f(x)=x ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ m ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ m ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ ਜੇ m>1 m>1 ਅਤੇ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ m ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੋਚਦਾ ਹੈ ਜੇ 0<m<1। 0<m<1। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ m ਦੇ absolute value ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਸਲੋਪ ਓਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਤਿੱਖਾ ਹੋਵੇਗਾ।

Figure 14: f(x)=x f(x)=x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਅਤੇ reflections।

ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ

f(x)=mx+b ਵਿੱਚ, f(x)=mx+b, b ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਲਾਈਨ ਦੇ ਸਲੋਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। Figure 15 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ f(x)=x ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ b ਦਾ ਮੁੱਲ ਜੋੜਨ ਨਾਲ f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ b ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇ b ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ |b| |b| ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇ b ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।

Figure 15: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ f(x)=x f(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚਾਂ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਫਿਰ ਵੀ ਹਰੇਕ ਵਿਧੀ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, f(x)=mx+b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x)=mx+b।

f(x)=x ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। f(x)=x।

ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ m ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚੋ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ। m।

ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ b ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। b।

ਉਦਾਹਰਨ 13

ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)= 1 2 x−3 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ m= 1 2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 1 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਇਹ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ b=−3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਨ ਦਿਖਾਓ।

ਚਿੱਤਰ 16: ਫੰਕਸ਼ਨ, y=x, 1 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ।

ਫਿਰ ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿਖਾਓ।

ਚਿੱਤਰ 17: ਫੰਕਸ਼ਨ y= 1 2 x, 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7

ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=4+2x ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।

Q&A

ਉਦਾਹਰਨ 15 ਵਿੱਚ, ਕੀ ਅਸੀਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?

ਨਹੀਂ। ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁਟ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਕੀਤਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਇਨਪੁਟ 2 ਹੈ।

ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਿਆ ਸੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਜੋ ਕੁਝ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਉਸਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 18 ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,4) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।

ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉੱਠਣ ਅਤੇ ਦੌੜਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਆਓ ਬਿੰਦੂ (–2,0) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ (ਉੱਠਣ) ਅਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ (ਦੌੜਨ) ਵੱਲ ਜਾਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ ਢਲਾਣ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ

ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।

ਢਲਾਣ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣੋ।

ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 14

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰਨਾ

ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰੋ।

ⓐ f(x)=2x+3

ⓑ g(x)=2x−3

ⓓ j(x)=12x+3

ਹੱਲ

ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।

ⓐ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਨ 2 ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ 3 ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0, 3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦਾ ਢਲਾਨ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਰੇਖਾਵਾਂ I ਅਤੇ III ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਸਮਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਢਲਾਨ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਰੇਖਾ III (0,3) ਵਿੱਚੋਂ ਨਹੀਂ ਲੰਘਦੀ, ਇਸ ਲਈ f ਨੂੰ ਰੇਖਾ I ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ⓑ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਨ 2 ਹੈ, ਪਰ y-ਅੰਤਰਖੰਡ −3 ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਰੇਖਾ III ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ⓓ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਨ 1/2 ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ 3 ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0, 3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾਵਾਂ I ਅਤੇ II (0,3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ j ਦਾ ਢਲਾਨ f ਦੇ ਢਲਾਨ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ j ਲਈ ਰੇਖਾ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਰੇਖਾ II ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਾਂਗ ਦੁਬਾਰਾ ਲੇਬਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਰੇਖਾ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣਾ

ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਦੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (2,0) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।

Q&A

ਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?

ਨਹੀਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, y=c ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਕਲੌਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y=5 x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 5 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

x-ਅੰਤਰਖੰਡ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ x ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਦੋਂ f(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 0=mx+b ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

1. ਮਿਸਾਲ 15

2. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ

3. f(x)= 1 2 x−3 ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)= 1 2 x−3।

4. ਹੱਲ

5. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। x।

6. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (6,0) ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। (6,0)।

7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

8. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਕੜਾ 22 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (6,0) ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਸੀ। (6,0) (6,0)।

9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8

10. f(x)= 1 4 x−4 ਦਾ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)= 1 4 x−4।

11. ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ

12. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਹਨ—ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਤੀਜਾ, ਜਾਂ y-ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਅੰਕੜਾ 23 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਨਤੀਜਾ 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ 0 ਹੈ। ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, ਅੰਸ਼ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਢਲਾਨ 0 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ m=0 ਨੂੰ f(x)=mx+b ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=b ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। f(x)=2।

13. ਅੰਕੜਾ 23: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ। f(x)=2 f(x)=2

14. ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਇਨਪੁਟ, ਜਾਂ x-ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 2 ਹੈ, ਪਰ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਤੀਜੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ, ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਢਲਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, ਹਰ 0 ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।

15. ਅੰਕੜਾ 24: ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਖੜਵੀਂ ਢਲਾਨ ਕਿਵੇਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਢਲਾਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ।

16. ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਕੜਾ 25 ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇੱਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ x=0 ਰੇਖਾ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਕੋਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੀ। x=0। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਰੇਖਾ x=2 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। x=2।

17. ਅੰਕੜਾ 25: ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ, x=2, ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀ। x=2, x=2

18. ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਖੜਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ

19. ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖੜਵੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

20. ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ f(x)=b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਹੈ। f(x)=b।

21. ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ x=a ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਹੈ। x=a।

22. ਮਿਸਾਲ 16

23. ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

24. ਅੰਕੜਾ 26 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

1. ਹੱਲ

2. ਕਿਸੇ ਵੀ x-ਮੁੱਲ ਲਈ, y-ਮੁੱਲ −4, −4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y=−4 ਹੈ। y=−4।

3. ਉਦਾਹਰਨ 17

4. ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

5. ਚਿੱਤਰ 27 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

6. ਹੱਲ

7. ਸਥਿਰ x-ਮੁੱਲ 7, 7 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ x=7 ਹੈ। x=7।

8. ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਜਾਂ ਲੰਬ ਰੂਪ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ

9. ਚਿੱਤਰ 28 ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ: ਉਹ ਕਦੇ ਵੀ ਨਹੀਂ ਮਿਲਣਗੀਆਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਇੱਕੋ ਹਨ। ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਫਰਕ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਵੱਲ ਲੰਬ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਈਏ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕੋ ਹੋ ਜਾਣਗੀਆਂ।

10. ਚਿੱਤਰ 28: ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ

11. ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ। ਜੇ ਢਲਾਣਾਂ ਇੱਕੋ ਹਨ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ। ਜੇ ਢਲਾਣਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।

12. ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮਿਲਣ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸੱਜਾ, ਜਾਂ 90-ਡਿਗਰੀ, ਕੋਣਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 29 ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬ ਹਨ।

13. ਚਿੱਤਰ 29: ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ

14. ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਇੱਕੋ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 1। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ m 1 ਅਤੇ m 2 m 1 ਅਤੇ m 2 ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ –1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। –1।

15. ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, 1 ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਇਸ ਲਈ 8 ਦਾ ਉਲਟ 1 8 , 1 8 ਹੈ, ਅਤੇ 1 8 1 8 ਦਾ ਉਲਟ 8 ਹੈ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਬਦਲੋ।

16. ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਾ ਤਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਖੜਵੀਆਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੂਜੀ ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬ ਹਨ।

17. ਢਲਾਣਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ –1 ਹੈ।

18. ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ

19. ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇ ਉਹ ਨਾ ਮਿਲਣ। ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਇੱਕੋ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

20. ਜੇ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇ b 1 = b 2 b 1 = b 2 ਅਤੇ m 1 = m 2 , m 1 = m 2 , ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਹਨ। ਇੱਕੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

21. ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇ ਉਹ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਕੋਣਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਿਲਣ।

22. ਉਦਾਹਰਨ 18

23. ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ

24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਅਤੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹਨ।

ਹੱਲ

ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਣ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x+3 ਅਤੇ j(x)=2x−6 ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਣ 2 ਹੈ, ਇਹ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਣ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ −2 ਅਤੇ 1/2 ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹਨ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=1/2x−4 ਅਤੇ h(x)=−2x+2 ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 30 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾਵਾਂ f(x)=2x+3 ਅਤੇ j(x)=2x–6 ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ g(x)=1/2x–4 ਅਤੇ h(x)=−2x+2 ਲੰਬ ਹਨ।

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਜਾਂ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਢਲਾਣ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਜਾਂ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ 3 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) ਹੈ। ਢਲਾਣ 3 ਵਾਲੀ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਰ ਰੇਖਾ f(x) ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ f(x) ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਣਗੀਆਂ।

ਮੰਨ ਲਓ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ f ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (1,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਢਲਾਣ 3 ਹੈ। ਸਾਨੂੰ b ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਸਹੀ ਰੇਖਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਰੂਪ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ g(x)=3x+4, f( x )=3x+1 ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (1,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਆਮ ਪੁਆਇੰਟ-ਸਲੋਪ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।

ਸਰਲ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਲੱਭਣਾ

f(x)=3x+6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (3,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।

ਹੱਲ

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ 3 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ m=3,x=3, ਅਤੇ f(x)=0 ਨੂੰ ਸਲੋਪ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

f(x) ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਅਤੇ (3,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ g(x)=3x−9 ਹੈ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ। ਚਿੱਤਰ 31 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਣਗੀਆਂ।

ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕੋ ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਢਲਾਨ ਦੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਨੂੰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ − 1 2 ਹੈ। − 1 2 । − 1 2 ਦੀ ਢਲਾਨ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇਗਾ। f(x)। ਇਸ ਲਈ ਸਾਰੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ f(x) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਣਗੀਆਂ। f(x)।

ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਲਈ ਆਪਣੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ f(x) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ f(x) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (4,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। (4,0)। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਢਲਾਨ − 1 2 ਹੈ। − 1 2 । ਹੁਣ ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ। b।

− 1 2 ਦੀ ਢਲਾਨ ਅਤੇ 2 ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

ਇਸ ਲਈ g(x)=− 1 2 x+2 g(x)=− 1 2 x+2 , f( x )=2x+4 ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ f( x )=2x+4 ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (4,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। (4,0)। ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੰਬਵਤ ਨਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਜ਼ੂਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।

Q&A

ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਪਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ -1 ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੀ ਇਹ ਤੱਥ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ?

ਨਹੀਂ। ਦੋ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ –1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ।

ਢਲਾਨ ਦਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

ਨਵੀਂ ਢਲਾਨ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਤੋਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ g( x )=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। g( x )=mx+b।

b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। b।

ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 20

ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ

f(x)=3x+3 ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (3,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। (3,0)।

ਹੱਲ

ਮੂਲ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ m=3 ਹੈ, m=3, ਇਸ ਲਈ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਇਸਦਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ, ਜਾਂ − 1 3 ਹੋਵੇਗੀ। − 1 3 । ਇਸ ਢਲਾਨ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

f(x) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ f(x) ਜੋ (3,0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ (3,0) g(x)=− 1 3 x+1 ਹੈ। g(x)=− 1 3 x+1।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

1. ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਜ਼ੂਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬਵਤ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੀਆਂ। ਵਿੰਡੋ ਨੂੰ ਐਡਜਸਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅੰਤਰ-ਛੇਦ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਲਈ ਹੋਰ ਜ਼ੂਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।

2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9

3. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ h(x)=2x−4, h(x)=2x−4, (0,0) ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜੋ

4. ⓐ h(x) h(x) ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ

5. ⓑ h(x) h(x) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ

6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

7. ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੀਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

8. ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

9. ਢਲਾਣ ਦਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ (ਉਲਟਾ) ਪਤਾ ਕਰੋ।

10. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਜਾਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

11. ਸਰਲ ਕਰੋ।

12. ਉਦਾਹਰਨ 21

13. ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ

14. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,6) (−2,6) ਅਤੇ (4,5) (4,5) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (4,5) (4,5) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

15. ਹੱਲ

16. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

17. ਢਲਾਣ ਦਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ (ਉਲਟਾ) ਪਤਾ ਕਰੋ।

18. ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂ (4,5) (4,5) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

19. ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (4,5) (4,5) ਵਿੱਚੋਂ ਵੀ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

20. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10

21. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,−15) (−2,−15) ਅਤੇ (2,−3) (2,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (6,4) (6,4) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

22. ਮੀਡੀਆ

23. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।

24. ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਕਾਰਜ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇਨਪੁਟ ਲੱਭਣਾ

ਤਬਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

ਮੌਖਿਕ

ਟੈਰੀ ਇੱਕ ਖੜੀ ਪਹਾੜੀ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸਕੀਇੰਗ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਰੀ ਦੀ ਉਚਾਈ, E(t), ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, E(t)=3000−70t ਹੈ। ਟੈਰੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਤਬਦੀਲੀ ਆ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਵਾਕ ਲਿਖੋ।

ਜੈਸਿਕਾ ਇੱਕ ਦੋਸਤ ਦੇ ਘਰ ਤੋਂ ਘਰ ਤੱਕ ਤੁਰ ਰਹੀ ਹੈ। 2 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਹ ਘਰ ਤੋਂ 1.4 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਛੱਡਣ ਦੇ ਬਾਰਾਂ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਘਰ ਤੋਂ 0.9 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ?

ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਮਰੀਨਾ ਤੋਂ 100 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 10 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਇਸ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਨਾ ਤੋਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਜੇ ਦੋ ਰੇਖਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਢਲਾਨਾਂ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।

ਜੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=a ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖੜੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=a ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਕੀ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਪਾਇਆ ਹੈ ਉਹ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਕਿਉਂ ਹੈ।

ਬੀਜਗਣਿਤ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਵਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਰੇਖਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

y= 1 4 x+6

y=3x−5

y=3 x 2 −2

3x+5y=15

3 x 2 +5y=15

3x+5 y 2 =15

−2 x 2 +3 y 2 =6

− x−3 5 =2y

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

f( x )=4x+3

g( x )=5x+6

a( x )=5−2x

b( x )=8−3x

h( x )=−2x+4

k(x)=−4x+1

j(x)= 1 2 x−3

p(x)= 1 4 x−5

n(x)=− 1 3 x−2

m(x)=− 3 8 x+3

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।

(2,4) ਅਤੇ (4,10)

(1,5) ਅਤੇ (4,11)

(–1,4) ਅਤੇ (5,2)

(8,–2) ਅਤੇ (4,6)

(6,11) ਅਤੇ (–4,3)

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸੈੱਟ ਤੋਂ, ਸੰਭਵ ਹੋਣ ਤੇ, ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।

f(−5)=−4, ਅਤੇ f(5)=2

f(−1)=4, ਅਤੇ f(5)=1

(2,4) ਅਤੇ (4,10) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ

(1,5) ਅਤੇ (4,11) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ

(−1,4) ਅਤੇ (5,2) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ

(−2,8) ਅਤੇ (4,6) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ

x-ਅੰਤਰਖੰਡ (−2,0) ਤੇ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−3) ਤੇ ਹੈ

x-ਅੰਤਰਖੰਡ (−5,0) ਤੇ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,4) ਤੇ ਹੈ

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ, ਲੰਬ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

4x−7y=10 7x+4y=1

3y+x=12 −y=8x+1

3y+4x=12 −6y=8x+1

6x−9y=10 3x+2y=1 6x−9y=10 3x+2y=1

For the following exercises, find the x- and y-intercepts of each equation.

f( x )=−x+2 f( x )=−x+2

g( x )=2x+4 g( x )=2x+4

h( x )=3x−5 h( x )=3x−5

k( x )=−5x+1 k( x )=−5x+1

−2x+5y=20 −2x+5y=20

7x+2y=56 7x+2y=56

For the following exercises, use the descriptions of each pair of lines given below to find the slopes of Line 1 and Line 2. Is each pair of lines parallel, perpendicular, or neither?

Line 1: Passes through (0,6) (0,6) and (3,−24) (3,−24)

Line 2: Passes through (−1,19) (−1,19) and (8,−71) (8,−71)

Line 1: Passes through (−8,−55) (−8,−55) and (10,89) (10,89)

Line 2: Passes through (9,−44) (9,−44) and (4,−14) (4,−14)

Line 1: Passes through (2,3) (2,3) and (4,−1) (4,−1)

Line 2: Passes through (6,3) (6,3) and (8,5) (8,5)

Line 1: Passes through (1,7) (1,7) and (5,5) (5,5)

Line 2: Passes through (−1,−3) (−1,−3) and (1,1) (1,1)

Line 1: Passes through (2,5) (2,5) and (5,−1) (5,−1)

Line 2: Passes through (−3,7) (−3,7) and (3,−5) (3,−5)

For the following exercises, write an equation for the line described.

Write an equation for a line parallel to f( x )=−5x−3 f( x )=−5x−3 and passing through the point (2,–12). (2,–12).

Write an equation for a line parallel to g(x)=3x−1 g(x)=3x−1 and passing through the point (4,9). (4,9).

Write an equation for a line perpendicular to h(t)=−2t+4 h(t)=−2t+4 and passing through the point (−4,–1). (−4,–1).

Write an equation for a line perpendicular to p(t)=3t+4 p(t)=3t+4 and passing through the point (3,1). (3,1).

ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ (ਸਲੋਪ) ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 33 ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰੋ।

f(x) = -x - 1

f(x) = -3x - 1

f(x) = -1/2 x - 1

f(x) = 2

f(x) = 2 + x

f(x) = 3x + 2

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।

(-4,0) ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ (0,-2) ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ

(-2,0) ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ (0,4) ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ

(0,7) ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ -3/2 ਦਾ ਢਲਾਣ

(0,3) ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ 2/5 ਦਾ ਢਲਾਣ

(-6,-2) ਅਤੇ (6,-6) ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੋਈ

(-3,-4) ਅਤੇ (3,0) ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੋਈ

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।

f(x) = -2x - 1

f(x) = -3x + 2

f(x) = 1/3 x + 2

f(x) = 2/3 x - 3

f(t) = 3 + 2t

p(t) = -2 + 3t

x=3 x=3

x=−2 x=−2

r( x )=4 r( x )=4

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਸੰਖਿਆਤਮਕ

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕਿਹੜੀਆਂ ਸਾਰਣੀਆਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ (linear function) ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ? ਹਰੇਕ ਜੋ ਰੇਖੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 5 | 10 | 15

ਸਾਰਣੀ: g( x ) g( x ) | 5 | –10 | –25 | –40

ਸਾਰਣੀ: xx | 0 | 5 | 10 | 15

ਸਾਰਣੀ: h( x ) h( x ) | 5 | 30 | 105 | 230

ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 5 | 10 | 15

ਸਾਰਣੀ: f( x ) f( x ) | –5 | 20 | 45 | 70

ਸਾਰਣੀ: x x | 5 | 10 | 20 | 25

ਸਾਰਣੀ: k( x ) k( x ) | 13 | 28 | 58 | 73

ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 2 | 4 | 6

ਸਾਰਣੀ: g( x ) g( x ) | 6 | –19 | –44 | –69

ਸਾਰਣੀ: x x | 2 | 4 | 8 | 10

ਸਾਰਣੀ: h( x ) h( x ) | 13 | 23 | 43 | 53

ਸਾਰਣੀ: x x | 2 | 4 | 6 | 8

ਸਾਰਣੀ: f( x ) f( x ) | –4 | 16 | 36 | 56

ਸਾਰਣੀ: x x | 0 | 2 | 6 | 8

ਸਾਰਣੀ: k( x ) k( x ) | 6 | 31 | 106 | 231

ਤਕਨਾਲੋਜੀ

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

1. ਜੇਕਰ f ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, f(0.1)=11.5 ਅਤੇ f(0.4)=–5.9 ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

2. [–10,10] ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ: f(x)=0.02x−0.01। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ −10 ਅਤੇ x ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 10 ਸੈੱਟ ਕਰੋ।

3. [–10,10] ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ: f(x)=2,500x+4,000।

4. ਸਾਰਣੀ 3 ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ k ਲਈ ਇਨਪੁਟ, w, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ, k, ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।

5. ⓐ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ।

6. ⓑ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।

7. k, 3 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।

8. ਕਤਾਰ: w | –10 | 5.5 | 67.5 | b

9. ਕਤਾਰ: k | 30 | –26 | a | –44

10. ਸਾਰਣੀ 4 ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ q ਲਈ ਇਨਪੁਟ, p, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ, q, ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।

11. ⓐ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਭਰੋ।

12. ⓑ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।

13. k.

14. ਕਤਾਰ: p | 0.5 | 0.8 | 12 | b

15. ਕਤਾਰ: q | 400 | 700 | a | 1,000,000

16. 1/8 ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ 31/16 ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ [–10,10] ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। −10 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।

17. 75 ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ −22.5 ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ [–0.1,0.1] ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। −0.1 ਅਤੇ 0.1 ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।

18. ਇੱਕੋ ਅਕਸ 'ਤੇ [–4,4] ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ a ਅਤੇ b ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ f(x)=ax+b ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।

19. ⓐ a=2; b=3

20. ⓑ a=2; b=4

22. ⓓ a=2; b=–5

23. ਐਕਸਟੈਂਸ਼ਨਾਂ

24. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਢਲਾਨ ਹੈ ਤਾਂ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ: (x,2),(−4,6),m=3

Find the value of y if a linear function goes through the following points and has the following slope: (10,y),(25,100),m=−5 (10,y),(25,100),m=−5

Find the equation of the line that passes through the following points:

( a,b ) ( a,b ) and ( a,b+1 ) ( a,b+1 )

Find the equation of the line that passes through the following points:

(2a,b) (2a,b) and (a,b+1) (a,b+1)

Find the equation of the line that passes through the following points:

(a,0) (a,0) and (c,d) (c,d)

Find the equation of the line parallel to the line g( x )=−0.01x+2.01 g( x )=−0.01x+2.01 through the point (1,2). (1,2).

Find the equation of the line perpendicular to the line g( x )=−0.01x+2.01 g( x )=−0.01x+2.01 through the point (1,2). (1,2).

For the following exercises, use the functions f( x )=−0.1x+200 and g( x )=20x+0.1. f( x )=−0.1x+200 and g( x )=20x+0.1.

Find the point of intersection of the lines f f and g. g.

Where is f( x ) f( x ) greater than g( x )? g( x )? Where is g( x ) g( x ) greater than f( x )? f( x )?

Real-World Applications

At noon, a barista notices that they have $20 in their tip jar. If the barista makes an average of $0.50 from each customer, how much will they have in the tip jar if they serve nn more customers during the shift?

A gym membership with two personal training sessions costs $125, while gym membership with five personal training sessions costs $260. What is cost per session?

A clothing business finds there is a linear relationship between the number of shirts, n, n, it can sell and the price, p, p, it can charge per shirt. In particular, historical data shows that 1,000 shirts can be sold at a price of $30, $30, while 3,000 shirts can be sold at a price of $22. Find a linear equation in the form p(n)=mn+b p(n)=mn+b that gives the price p p they can charge for n n shirts.

A phone company charges for service according to the formula: C(n)=24+0.1n, C(n)=24+0.1n, where n n is the number of minutes talked, and C(n) C(n) is the monthly charge, in dollars. Find and interpret the rate of change and initial value.

A farmer finds there is a linear relationship between the number of bean stalks, n, n, she plants and the yield, y, y, each plant produces. When she plants 30 stalks, each plant yields 30 oz of beans. When she plants 34 stalks, each plant produces 28 oz of beans. Find a linear relationships in the form y=mn+b y=mn+b that gives the yield when n n stalks are planted.

A city’s population in the year 1960 was 287,500. In 1989 the population was 275,900. Compute the rate of growth of the population and make a statement about the population rate of change in people per year.

A town’s population has been growing linearly. In 2003, the population was 45,000, and the population has been growing by 1,700 people each year. Write an equation, P(t), P(t), for the population t t years after 2003.

Suppose that average annual income (in dollars) for the years 1990 through 1999 is given by the linear function: I(x)=1054x+23,286 I(x)=1054x+23,286, where x x is the number of years after 1990. Which of the following interprets the slope in the context of the problem?

ⓐAs of 1990, average annual income was $23,286.

ⓑIn the ten-year period from 1990–1999, average annual income increased by a total of $1,054.

1. ੧੯੯੯ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਆਮਦਨ 23,286 ਡਾਲਰ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ।

2. ਜਦੋਂ ਤਾਪਮਾਨ 0 ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ 32 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ 100 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ 212 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ C, ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ, F(C) ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।

3. ਸੈਲਸੀਅਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਤਾਪਮਾਨ ਬਦਲਾਅ ਲਈ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।

4. F(28) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।

5. F(–40) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।