ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਾਲਾ ਇੱਕ 'U' ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਉਹ ਲੰਬਾਤਮਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਾਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਾਲਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਅਕਸਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਮਿਆਰੀ ਜਾਂ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਰੂਪ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਸਿਖਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਪਰਿਣਾਮ ਫਲਨ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਲਨ ਦੇ ਪਰਿਣਾਮ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਈ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਿਆ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਘਾਤ ਫਲਨ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਆਧਾਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਸਮ ਜਾਂ ਵਿਖਮ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ, ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਘਾਤ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਘਾਤ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ, ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ, ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਘਾਤ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਉਦਾਹਰਨ 11, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਡਿਗਰੀ 2 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ, ਨਿਰਵਿਘਨ, ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਬਹੁਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਵਿਖਮ ਬਹੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਸਮ ਬਹੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਪਣੇ ਬਦਲਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਬਦਲਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਬਦਲਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਸੰਸਾਰਕ ਅਤਿਅੰਤਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਅੰਤਰ-ਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a) ਅਤੇ f(b) ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਣ, ਤਾਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮਾਨ c ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਲੰਮੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦੀ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਜ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਯੁਕਤ ਵੰਡ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ x−k ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਸਮੇਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
f(k) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, x−k ਨਾਲ ਵੰਡਣ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀ f(x) ਦੇ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਇਸਨੂੰ ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, k, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ (x−k), f(x) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਹਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸੰਯੁਕਤ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
0 ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਉਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਣਗੇ। ਹਰ ਗੁਣਨਖੰਡ (x−c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਫਲਨ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(−x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਯੁਕਤ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਟੂਲਕਿਟ ਫਲਨਾਂ f(x)= 1/x ਅਤੇ f(x)= 1/x^2 ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਜੋ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਮਾਨ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਦਰਾਂ ਅਤੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
1. ਕਿਸੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (rational function) ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ (vertical asymptotes) ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਨਗੇ ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ (denominator) ਸਿਫਰ (zero) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਨਿਊਮਰੇਟਰ (numerator) ਸਿਫਰ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
2. ਕਿਸੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (graph) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰਿਮੂਵੇਬਲ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਟੀ (removable discontinuity) ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇਨਪੁੱਟ (input) ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
3. ਕਿਸੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ (end behavior) ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ (leading terms) ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ (ratio) ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
4. ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ (intercepts), ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ (asymptotes) ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਲੱਭ ਕੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
5. ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ x= x 1 , x 2 ,…, x n , ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ x= v 1 , v 2 ,…, v m ਤੇ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਕੋਈ x i =ਕੋਈ v j ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
6. ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
7. ਕਿਸੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (quadratic function) ਦਾ ਇਨਵਰਸ (inverse) ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (square root function) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
8. ਜੇਕਰ f −1 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ, ਤਾਂ f, ਫੰਕਸ਼ਨ f −1 ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
9. ਜਦੋਂ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (polynomial functions) ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਇਨਵਰਟੀਬਲ (invertible) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
10. ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਡੋਮੇਨ (domain) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ (one-to-one) ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
11. ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (radical function) ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਜਵਾਬ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ (restriction) ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
12. ਇਨਵਰਸ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ (application problems) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
13. ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਬੰਧ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ (quantity) ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਗੁਣਕ (multiple) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ (constant) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨ (direct variation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
14. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ (variables) ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਿੱਧੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (directly proportional) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਿਰ ਰਹੇਗਾ।
15. ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਬੰਧ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨ (inverse variation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
16. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਅਨੁਪਾਤੀ (inversely proportional) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਥਿਰ ਰਹੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
17. ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਈ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਜਾਂ ਉਲਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜੁਆਇੰਟ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨ (joint variation) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।