1. ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
3. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋਗੇ।
4. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਨ-ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
6. ਅੰਤਿਮ ਵਿਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
7. ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝੋ।
8. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
9. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ 2006 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਕੇਬਲ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਲੀਆ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: ਸਾਲ | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013
12. ਕਤਾਰ: ਮਾਲੀਆ | 52.4 | 52.8 | 51.2 | 49.5 | 48.6 | 48.6 | 48.7 | 47.1
13. ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
14. ਜਿੱਥੇ R R ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ t t ਸਾਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ t=6 t=6 2006 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮਾਲੀਆ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਕੰਪਨੀ ਦਾ ਮਾਲੀਆ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ? ਇਹ ਸਵਾਲ, ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਕੇ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਹਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਹਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
15. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
16. ਡਿਗਰੀ 2 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ; ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਮੁਲਾਇਮ ਵਕਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਟੁੱਟ-ਫੁੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਬਿਨਾਂ ਟੁੱਟ-ਫੁੱਟ ਵਾਲੇ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਜੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 1
18. ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
19. ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ?
20. ਹੱਲ
21. f f ਅਤੇ h h ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹਨ। ਉਹ ਮੁਲਾਇਮ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ।
22. g g ਅਤੇ k k ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹਨ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਿੱਖਾ ਕੋਨਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ k k ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
23. ਕੀ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?
24. ਹਾਂ। ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਧ ਇਨਪੁਟ ਹੈ।
Using Factoring to Find Zeros of Polynomial Functions
Recall that if f f is a polynomial function, the values of x x for which f( x )=0 f( x )=0 are called zeros of f. f. If the equation of the polynomial function can be factored, we can set each factor equal to zero and solve for the zeros.
We can use this method to find x- x- intercepts because at the x- x- intercepts we find the input values when the output value is zero. For general polynomials, this can be a challenging prospect. While quadratics can be solved using the relatively simple quadratic formula, the corresponding formulas for cubic and fourth-degree polynomials are not simple enough to remember, and formulas do not exist for general higher-degree polynomials. Consequently, we will limit ourselves to three cases:
The polynomial can be factored using known methods: greatest common factor and trinomial factoring.
The polynomial is given in factored form.
Technology is used to determine the intercepts.
How To
Given a polynomial function f, f, find the x-intercepts by factoring.
Set f( x )=0. f( x )=0.
If the polynomial function is not given in factored form: Factor out any common monomial factors. Factor any factorable binomials or trinomials.
Set each factor equal to zero and solve to find the x- x- intercepts.
Example 2
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x-intercepts of f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 . f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 .
Solution
We can attempt to factor this polynomial to find solutions for f( x )=0. f( x )=0.
This gives us five x-intercepts: (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), and (− 2 ,0). (− 2 ,0). See Figure 3. We can see that this is an even function because it is symmetric about the y-axis.
Example 3
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x-intercepts of f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5. f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5.
Solution
Find solutions for f(x)=0 f(x)=0 by factoring.
There are three x-intercepts: (−1,0),(1,0), (−1,0),(1,0), and ( 5,0 ). ( 5,0 ). See Figure 4.
Example 4
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭਣਾ
g(x)= (x−2) 2 (2x+3) ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ। g(x)= (x−2) 2 (2x+3)
ਹੱਲ
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ g( 0 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। g( 0 )
ਇਸ ਲਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,12) ਹੈ। (0,12)
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਨੂੰ g( x )=0 ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। g( x )=0
ਇਸ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ (2,0) (2,0) ਅਤੇ ( − 3 2 ,0 ) ਹਨ। ( − 3 2 ,0 )
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਜਵਾਬ ਵਾਜਬ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭਣਾ
h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6 ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ। h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6
ਹੱਲ
ਇਹ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਫੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹੱਥੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾਵਾਂ ਦਾ ਲਾਭ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ x=−3,−2, x=−3,−2, ਅਤੇ 1 'ਤੇ ਹਨ। 1
ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਸਹੀ ਹਨ, ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x ਲਈ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਕੇ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਹਰੇਕ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਜ਼ੀਰੋ ਇੱਕ ਫੈਕਟਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x)= x 4 −19 x 2 +30x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਲੱਭੋ। f(x)= x 4 −19 x 2 +30x
ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀਜ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ-ਵੱਖ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਇੰਟਰਸੈਪਟ 'ਤੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ। ਹੋਰ ਸਮਿਆਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਛੂਹੇਗਾ ਅਤੇ "ਬਾਊਂਸ" ਆਫ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=−3 ਸਮੀਕਰਨ (x+3)=0 ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−3 'ਤੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕ ਰੇਖੀ ਹੈ (ਡਿਗਰੀ 1 ਹੈ), ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਸਿੱਧਾ ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=2 ਸਮੀਕਰਨ (x−2)$^2$=0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕ ਦੋਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 2) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਭਾਵ, ਗੁਣਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗੁਣਕ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਗੁਣਕਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿਫ਼ਰ, x=2, ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ 2 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=−1 ਗੁਣਕ (x+1)$^3$=0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਸਮਤਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 3) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x$^3$ ਦੇ ਸਮਾਨ S-ਆਕਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਹਰਾ ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ ਗੁਣਕਤਾ 3 ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਕਤਾ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਉੱਚ ਸਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 4, 6, ਅਤੇ 8, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ ਅਤੇ ਉਛਲੇਗਾ, ਪਰ, ਹਰੇਕ ਵੱਧਦੇ ਸਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਉੱਚ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 5, 7, ਅਤੇ 9, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਹਰੇਕ ਵੱਧਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਵਹਾਰ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ (x−h)$^p$ ਰੂਪ ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਤਾਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡ h ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਘਾਤ p ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=h, p ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਡਿਗਰੀ n ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ≤n ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ 6 ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਗਰੀ 6 ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਹਿਲਾ ਸਿਫ਼ਰ x=−3 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਸਮ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। −3 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਗੁਣਕਤਾ 2 ਹੈ।
ਅਗਲਾ ਸਿਫ਼ਰ x=−1 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=−1। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖਾਈ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਦਾ ਇੱਕੋ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਆਖਰੀ ਸਿਫ਼ਰ x=4 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=4। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜ਼ਰੂਰ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ 9 ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਫਾਰਮ ਦੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਹਾਰ
ਜਾਂ ਤਾਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵਧੇਗਾ ਜਾਂ ਘਟੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਧੇਗਾ ਜਾਂ ਘਟੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 100 ਜਾਂ 1,000, ਲਈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਆਉਟਪੁਟ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਹਾਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ –100 ਜਾਂ –1,000, ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਹਾਰ ਨੂੰ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੱਸਿਆ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ, a n x n , ਇੱਕ ਸਮ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ, f(x) ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ, f(x) ਵੀ ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, f(x) ਵੀ ਬੇਅੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 11 ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਜਾਣ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਣ) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ f(x)= x 4 − x 3 −4 x 2 +4x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਇਹ ਫਲਨ f ਇੱਕ 4ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ 3 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਹਮੇਸ਼ਾ ਫਲਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਜਾਣ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਣ) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ n ਦੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭੋ।
ⓐ f(x)=− x 3 +4 x 5 −3 x 2 +1
ⓑ f(x)=− ( x−1 ) 2 ( 1+2 x 2 )
ਹੱਲ
ⓐ ਪਹਿਲਾਂ, ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ: f(x)=4 x 5 − x 3 −3 x 2 +1 ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਡਿਗਰੀ 5 ਦੀ ਹੈ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ 5−1=4 ਹੈ।
ⓑ ਪਹਿਲਾਂ, ਜੇਕਰ ਫਲਨ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਡਿਗਰੀ 4 ਦੀ ਹੈ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ 4−1=3 ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ, ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਕੁਝ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇਸ ਸਭ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, f( −x )=f( x )। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, f( −x )=−f( x )।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੋਹਰੀ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਮੁੜਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਦੋ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ। x=−3 'ਤੇ, ਗੁਣਕ ਵਰਗ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 2 ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਉਛਲੇਗਾ। x=5 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਇੱਕ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,90) ਹੈ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਮੋਹਰੀ ਪਦ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਇਸ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ −2 x 3 ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਘਣ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਘਟਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਨਾਲ ਵਧਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਨੰਤ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ:
ਜਿਵੇਂ x→−∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ f( −x )=−2 ( −x+3 ) 2 ( −x–5 ) f( x ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
( −3,0 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਧਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ( 0,90 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੁਝ ਬਾਅਦ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਹੇਠਾਂ ਮੁੜਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ( 5,0 ) ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ x→∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→−∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਘਟਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਸਕੈਚ ਵਰਗਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 16: ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਗ੍ਰਾਫ਼।
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
3. f(x)= 1 4 x (x−1) 4 (x+3) 3 . f(x)= 1 4 x (x−1) 4 (x+3) 3 . ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
4. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
5. ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਜਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਦੋ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ b b ਲਈ, ਜੇਕਰ a<b a<b ਅਤੇ f( a )≠f( b ), f( a )≠f( b ), ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f f, f( a ) f( a ) ਅਤੇ f( b ) f( b ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹਰ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਜਦੋਂ ਕਿ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਭਵੀ ਹੈ, ਸਬੂਤ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਉੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।) ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ x=a x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ x=b x=b 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ x=a x=a ਅਤੇ x=b x=b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ( c,f( c ) ) ਕਹੋ। ( c,f( c ) )। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੱਲ c c ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f( c )=0। f( c )=0।
6. ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ a a ਅਤੇ b b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। b।
7. ਚਿੱਤਰ 17: ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
8. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ
9. ਮੰਨ ਲਓ f f ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f( a ) f( a ) ਅਤੇ f( b ) f( b ) ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਨ, ਤਾਂ a a ਅਤੇ b b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c c ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ f( c )=0। f( c )=0।
10. ਉਦਾਹਰਨ 9
11. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
12. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 −5 x 2 +3x+6 f(x)= x 3 −5 x 2 +3x+6 ਕੋਲ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4। x=4। ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
13. ਹੱਲ
14. ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਜੋਂ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲਾਂ x=1,2,3, x=1,2,3, ਅਤੇ 4। 4। 'ਤੇ f(x) f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਾਰਣੀ 2 ਦੇਖੋ।
15. ਕਤਾਰ: x x | 1 | 2 | 3 | 4
16. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 5 | 0 | –3 | 2
17. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ x=2 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x=2। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ f(3) f(3) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ f(4) f(4) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
18. ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4। x=4। ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
19. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
20. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4। x=4। ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੋ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
22. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=7 x 5 −9 x 4 − x 2 f(x)=7 x 5 −9 x 4 − x 2 ਕੋਲ x=1 x=1 ਅਤੇ x=2। x=2। ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
23. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣਾ
24. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਫੈਕਟਰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ ਜਿਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ।
ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ
ਜੇਕਰ p ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=x₁, x₂, …, x<0xE2><0x82><0x99> 'ਤੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: f(x)=a (x−x₁)ᵖ¹ (x−x₂)ᵖ² ⋯ (x−x<0xE2><0x82><0x99>)ᵖ<0xE2><0x82><0x99> ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਘਾਤ pᵢ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਕ a, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ (y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਤਿੰਨ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ: x=−3, 2, ਅਤੇ 5। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,−2) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। x=−3 ਅਤੇ x=5 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੇਖੀ ਹੋਣਗੇ। x=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਉਛਾਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ (ਦੋਘਾਤੀ) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਸਭ ਮਿਲ ਕੇ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,–2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1/30 (x+3) (x−2)² (x−5) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਦੋਘਾਤੀਆਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਲੱਭ ਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਆਮ ਬਹੁਪਦਾਂ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਤਕਨੀਕਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਉਦੋਂ ਵੀ, ਇਹ ਲੱਭਣਾ ਕਿ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਕਿੱਥੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਵਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਹਰੇਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ
x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ (ਕਈ ਵਾਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਬੰਧਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ f(a)≥f(x) x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ f(a)≤f(x) x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ।
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ f(a)≥f(x) ਸਾਰੇ x ਲਈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a 'ਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ f(a)≤f(x) ਸਾਰੇ x ਲਈ।
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Q&A
1. ਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
2. ਨਹੀਂ। ਕੇਵਲ ਸਮ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਹੀ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, f(x)=x ਦਾ ਨਾ ਤਾਂ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 11
4. ਸਥਾਨਕ ਅਤਿਅੰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. 14 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ 20 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪਲਾਸਟਿਕ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਤੋਂ ਵਰਗ ਕੱਟ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ-ਤਲ ਵਾਲਾ ਬਾਕਸ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਚਿੱਤਰ 22 ਵਰਗੀ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾ ਕੇ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, w, ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
8. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਿਰਾ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਬਾਕਸ ਦੇ ਤਲ ਲਈ (14−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ (20−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕਸ w ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:
9. ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਕ w, 20–2w ਅਤੇ 14–2w ਹਨ, ਤਿੰਨ ਜ਼ੀਰੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 10, 7, ਅਤੇ 0 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ 0 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਜਬ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੇਵਲ 10 ਅਤੇ 7 ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ 14 ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਰਗ ਕੱਟ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ w ਦੇ ਮੁੱਲ ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ 0<w<7 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ V(w) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਵਾਜਬ w ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ—0 ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ—ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ, [0,7] 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਤਰਾ ਲਗਭਗ 340 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.75 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਪਲਬਧ ਹੋਣ 'ਤੇ ਸਾਡੀ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀਆਂ ਉੱਨਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਸਾਡੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਜ਼ੂਮ ਇਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੀ ਵਿੰਡੋ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 24 ਤਿਆਰ ਹੋ ਸਕੇ।
11. ਇਸ ਜ਼ੂਮ-ਇਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਲਗਭਗ 339 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪਾਸੇ ਮਾਪਦੇ ਹਨ।
12. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
13. f(x)=−0.2 (x−2) 3 (x+1) 2 (x−4) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੰਟਰਵਲ [−1,4] 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਮੀਡੀਆ
15. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
16. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ
17. ਮੌਖਿਕ
18. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
19. ਜੇਕਰ n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ?
20. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
21. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।
22. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
23. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ x- ਜਾਂ t-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
C( t )=2( t−4 )( t+1 )(t−6)
C( t )=3( t+2 )( t−3 )(t+5)
C( t )=4t ( t−2 ) 2 (t+1)
C( t )=2t( t−3 ) ( t+1 ) 2
C( t )=2 t 4 −8 t 3 +6 t 2
C( t )=4 t 4 +12 t 3 −40 t 2
f(x)= x 4 − x 2
f(x)= x 3 + x 2 −20x
f(x)= x 3 +6 x 2 −7x
f(x)= x 3 + x 2 −4x−4
f(x)= x 3 +2 x 2 −9x−18
f(x)=2 x 3 − x 2 −8x+4
f(x)= x 6 −7 x 3 −8
f(x)=2 x 4 +6 x 2 −8
f(x)= x 3 −3 x 2 −x+3
f(x)= x 6 −2 x 4 −3 x 2
f(x)= x 6 −3 x 4 −4 x 2
f(x)= x 5 −5 x 3 +4x
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ (ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)= x 3 −9x, x=−4 ਅਤੇ x=−2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 3 −9x, x=2 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 5 −2x, x=1 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=− x 4 +4, x=1 ਅਤੇ x=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=−2 x 3 −x, x=–1 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)= x 3 −100x+2, f(x)= x 3 −100x+2, x=0.01 ਅਤੇ x=0.1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਦੱਸੋ।
f(x)= ( x+2 ) 3 ( x−3 ) 2
f(x)= x 2 ( 2x+3 ) 5 ( x−4 ) 2
f(x)= x 3 ( x−1 ) 3 ( x+2 )
f(x)= x 2 ( x 2 +4x+4 )
f(x)= ( 2x+1 ) 3 ( 9 x 2 −6x+1 )
f(x)= ( 3x+2 ) 5 ( x 2 −10x+25 )
f(x)=x( 4 x 2 −12x+9 )( x 2 +8x+16 )
f(x)= x 6 − x 5 −2 x 4
f(x)=3 x 4 +6 x 3 +3 x 2
f(x)=4 x 5 −12 x 4 +9 x 3
f(x)=2 x 4 ( x 3 −4 x 2 +4x )
f(x)=4 x 4 ( 9 x 4 −12 x 3 +4 x 2 )
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x- x- ਅਤੇ y- y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਗੁਣਨਤਾ, ਅਤੇ ਅੰਤਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
f( x )= ( x+3 ) 2 (x−2)
g( x )=( x+4 ) ( x−1 ) 2
h( x )= ( x−1 ) 3 ( x+3 ) 2
k( x )= ( x−3 ) 3 ( x−2 ) 2
m( x )=−2x( x−1 )(x+3)
n( x )=−3x( x+2 )(x−4)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਨਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
2. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=–2, x=–2, x=1, x=1, ਅਤੇ x=3। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–4) ਤੇ।
3. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=–5, x=–5, x=–2, x=–2, ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,6) ਤੇ।
4. ਡਿਗਰੀ 5। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x=3 ਅਤੇ x=1 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦਾ ਰੂਟ x=–3 ਤੇ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,9) ਤੇ।
5. ਡਿਗਰੀ 4। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦਾ ਰੂਟ x=4 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦੇ ਰੂਟ x=1 ਅਤੇ x=–2 ਤੇ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–3) ਤੇ।
6. ਡਿਗਰੀ 5। ਡਬਲ ਜ਼ੀਰੋ x=1 ਤੇ, ਅਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਜ਼ੀਰੋ x=3 ਤੇ। ਬਿੰਦੂ (2,15) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
7. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=4, x=4, x=3, x=3, ਅਤੇ x=2। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0,−24 ) ਤੇ।
8. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=−3, x=−3, x=−2 ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,12) ਤੇ।
9. ਡਿਗਰੀ 5। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x=−3 ਅਤੇ x=2 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦਾ ਰੂਟ x=−2 ਤੇ।
10. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0, 4 ) ਤੇ।
11. ਡਿਗਰੀ 4। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x= 1/2 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦੇ ਰੂਟ x=6 ਅਤੇ x=−2 ਤੇ।
12. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0,18 ) ਤੇ।
13. ਡਬਲ ਜ਼ੀਰੋ x=−3 ਤੇ, ਅਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਜ਼ੀਰੋ x=0 ਤੇ। ਬਿੰਦੂ (1,32) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
14. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
15. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, ਜਾਂ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. f(x)= x^3 −x−1
17. f(x)=2x^3 −3x−1
18. f(x)= x^4 +x
19. f(x)=− x^4 +3x−2
20. f(x)= x^4 − x^3 +1
21. ਵਿਸਥਾਰ
22. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
24. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।
1. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ 8 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x x ਬਾਈ x x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡੱਬੇ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
2. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਉਸੇ ਆਇਤ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ 2x 2x ਬਾਈ 2x 2x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
3. ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 12 ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x+1 x+1 ਬਾਈ x+1 x+1 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡੱਬੇ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
4. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ x+2 x+2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
5. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3x+6 3x+6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ V= 1 3 π r 2 h V= 1 3 π r 2 h ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ h ਉਚਾਈ ਹੈ।