Learning Objectives
In this section, you will:
Evaluate exponential functions.
Find the equation of an exponential function.
Use compound interest formulas.
Evaluate exponential functions with base ee .
India is the second most populous country in the world with a population of about 1.39 1.39 billion people in 2021. The population is growing at a rate of about 1.2% 1.2% each year2. If this rate continues, the population of India will exceed China’s population by the year 2027. 2027. When populations grow rapidly, we often say that the growth is “exponential,” meaning that something is growing very rapidly. To a mathematician, however, the term exponential growth has a very specific meaning. In this section, we will take a look at exponential functions, which model this kind of rapid growth.
Identifying Exponential Functions
When exploring linear growth, we observed a constant rate of change—a constant number by which the output increased for each unit increase in input. For example, in the equation f(x)=3x+4, f(x)=3x+4, the slope tells us the output increases by 3 each time the input increases by 1. The scenario in the India population example is different because we have a percent change per unit time (rather than a constant change) in the number of people.
Defining an Exponential Function
A study found that the percent of the population who are vegans in the United States doubled from 2009 to 2011. In 2011, 2.5% of the population was vegan, adhering to a diet that does not include any animal products—no meat, poultry, fish, dairy, or eggs. If this rate continues, vegans will make up 10% of the U.S. population in 2015, 40% in 2019, and 80% in 2021.
What exactly does it mean to grow exponentially? What does the word double have in common with percent increase? People toss these words around errantly. Are these words used correctly? The words certainly appear frequently in the media.
Percent change refers to a change based on a percent of the original amount.
Exponential growth refers to an increase based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent increase of the original amount over time.
Exponential decay refers to a decrease based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent decrease of the original amount over time.
For us to gain a clear understanding of exponential growth, let us contrast exponential growth with linear growth. We will construct two functions. The first function is exponential. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will double the corresponding consecutive outputs. The second function is linear. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will add 2 to the corresponding consecutive outputs. See Table 1.
row: x x | f(x)= 2 x f(x)= 2 x | g(x)=2x g(x)=2x
row: 0 | 1 | 0
row: 1 | 2 | 2
row: 2 | 4 | 4
row: 3 | 8 | 6
row: 4 | 16 | 8
row: 5 | 32 | 10
row: 6 | 64 | 12
1. ਟੇਬਲ 1 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਪਿੱਛੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
2. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ, ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਮਾਨ ਵਾਧਿਆਂ ਉੱਤੇ, ਰੇਂਜ ਤੋਂ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੁਆਰਾ ਵਧਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਰੇਖੀ ਵਾਧਾ, ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਮਾਨ ਵਾਧਿਆਂ ਉੱਤੇ, ਰੇਂਜ ਤੋਂ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਵਧਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4. ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ “ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ” ਅਤੇ “ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ” ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਾਫ਼ੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਸਮਾਨ ਵਾਧਿਆਂ ਉੱਤੇ, ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਤਮਕ ਦਰ ਨੇ ਨਤੀਜਾ ਦਿੱਤਾ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੀ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਨਾਲ ਵਧਿਆ ਤਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋ ਗਿਆ। ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਸਮਾਨ ਵਾਧਿਆਂ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਨੇ ਨਤੀਜਾ ਦਿੱਤਾ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੀ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਤਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ।
5. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a b x ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, b ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
6. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
7. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ।
8. ਆਓ ਆਪਣੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚੋਂ f(x)= 2 x ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ -3 ਤੋਂ 3 ਤੱਕ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ (ਟੇਬਲ 2) ਬਣਾਵਾਂਗੇ।
9. ਕਤਾਰ: x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
10. ਕਤਾਰ: f(x)= 2 x | 2 −3 = 1/8 | 2 −2 = 1/4 | 2 −1 = 1/2 | 2 0 =1 | 2 1 =2 | 2 2 =4 | 2 3 =8
11. ਆਓ Figure 1 ਵਿੱਚ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਗਏ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁਝ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ।
12. ਆਓ f(x)= 2 x ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰੀਏ।
13. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ,
14. ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ,
15. ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x→∞, f(x)→∞,
16. ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x→−∞, f(x)→0,
17. f(x) ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ,
18. f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂਹੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਬੇਸ ਦੋ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਨਾਲ ਕਦੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ।
19. y=0 ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
20. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 1 ਹੈ।
21. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
22. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
b b is any positive real number such that b≠1. b≠1.
The domain of f f is all real numbers.
The range of f f is all positive real numbers if a>0. a>0.
The range of f f is all negative real numbers if a<0. a<0.
The y-intercept is ( 0,a ), ( 0,a ), and the horizontal asymptote is y=0. y=0.
Example 1
Identifying Exponential Functions
Which of the following equations are not exponential functions?
f(x)= 4 3( x−2 ) f(x)= 4 3( x−2 )
g(x)= x 3 g(x)= x 3
h(x)= ( 1 3 ) x h(x)= ( 1 3 ) x
j(x)= ( −2 ) x j(x)= ( −2 ) x
Solution
By definition, an exponential function has a constant as a base and an independent variable as an exponent. Thus, g(x)= x 3 g(x)= x 3 does not represent an exponential function because the base is an independent variable. In fact, g(x)= x 3 g(x)= x 3 is a power function.
Recall that the base b of an exponential function is always a positive constant, and b≠1. b≠1. Thus, j(x)= ( −2 ) x j(x)= ( −2 ) x does not represent an exponential function because the base, −2, −2, is less than 0. 0.
Try It #1
Which of the following equations represent exponential functions?
f(x)=2 x 2 −3x+1 f(x)=2 x 2 −3x+1
g(x)= 0.875 x g(x)= 0.875 x
h(x)=1.75x+2 h(x)=1.75x+2
j(x)= 1095.6 −2x j(x)= 1095.6 −2x
Evaluating Exponential Functions
Recall that the base of an exponential function must be a positive real number other than 1. 1. Why do we limit the base b b to positive values? To ensure that the outputs will be real numbers. Observe what happens if the base is not positive:
Let b=−9 b=−9 and x= 1 2 . x= 1 2 . Then f(x)=f( 1 2 )= ( −9 ) 1 2 = −9 , f(x)=f( 1 2 )= ( −9 ) 1 2 = −9 , which is not a real number.
ਅਸੀਂ ਬੇਸ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਿਉਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? 1? ਕਿਉਂਕਿ ਬੇਸ 1 1 ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਬੇਸ 1 ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: 1:
ਮੰਨ ਲਓ b=1। b=1। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ f(x)= 1 x =1 f(x)= 1 x =1। x।
f(x)= b x , f(x)= b x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ x x ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)= 2 x . f(x)= 2 x . f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਬੁਨਿਆਦੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=30 ( 2 ) x . f(x)=30 ( 2 ) x . f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਨਹੀਂ ਪਾਲਿਆ ਗਿਆ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਗਲਤ ਹੋਵੇਗਾ:
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=5 ( 3 ) x+1 . f( x )=5 ( 3 ) x+1 . ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ f( 2 ) f( 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 . f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 . ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f( 3 ) f( 3 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, "ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ" ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ b b ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ b≠1, b≠1, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ।
b b ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ x x ਲਈ ਵਿਕਾਸ ਗੁਣਕ ਜਾਂ ਵਿਕਾਸ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਹੋਰ ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬੇਸ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਦੋ ਕੰਪਨੀਆਂ, A ਅਤੇ B 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕੰਪਨੀ A ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 50 ਨਵੇਂ ਸਟੋਰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ A( x )=100+50x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। A( x )=100+50x। ਕੰਪਨੀ B ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਹਰ ਸਾਲ 50% ਦੁਆਰਾ ਸਟੋਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ B(x)=100 ( 1+0.5 ) x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। B(x)=100 ( 1+0.5 ) x।
ਇਹਨਾਂ ਕੰਪਨੀਆਂ ਲਈ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਸਾਰਣੀ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਸਾਲ, x x | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ A | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ B
row: 0 0 | 100+50( 0 )=100 100+50( 0 )=100 | 100 ( 1+0.5 ) 0 =100 100 ( 1+0.5 ) 0 =100
row: 1 1 | 100+50( 1 )=150 100+50( 1 )=150 | 100 ( 1+0.5 ) 1 =150 100 ( 1+0.5 ) 1 =150
row: 2 2 | 100+50( 2 )=200 100+50( 2 )=200 | 100 ( 1+0.5 ) 2 =225 100 ( 1+0.5 ) 2 =225
row: 3 3 | 100+50( 3 )=250 100+50( 3 )=250 | 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5
row: x x | A( x )=100+50x A( x )=100+50x | B(x)=100 ( 1+0.5 ) x B(x)=100 ( 1+0.5 ) x
The graphs comparing the number of stores for each company over a five-year period are shown in Figure 2. We can see that, with exponential growth, the number of stores increases much more rapidly than with linear growth.
Figure 2: The graph shows the numbers of stores Companies A and B opened over a five-year period.
Notice that the domain for both functions is [0,∞), [0,∞), and the range for both functions is [100,∞). [100,∞). After year 1, Company B always has more stores than Company A.
Now we will turn our attention to the function representing the number of stores for Company B, B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . In this exponential function, 100 represents the initial number of stores, 0.50 represents the growth rate, and 1+0.5=1.5 1+0.5=1.5 represents the growth factor. Generalizing further, we can write this function as B(x)=100 ( 1.5 ) x , B(x)=100 ( 1.5 ) x , where 100 is the initial value, 1.5 1.5 is called the base, and x x is called the exponent.
Example 3
Evaluating a Real-World Exponential Model
At the beginning of this section, we learned that the population of India was about 1.25 1.25 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 1.2%. 1.2%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of India be in 2031? 2031?
Solution
To estimate the population in 2031, we evaluate the models for t=18, t=18, because 2031 is 18 18 years after 2013. Rounding to the nearest thousandth,
There will be about 1.549 billion people in India in the year 2031.
Try It #3
The population of China was about 1.39 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 0.6%. 0.6%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of China be for the year 2031? How does this compare to the population prediction we made for India in Example 3?
Finding Equations of Exponential Functions
In the previous examples, we were given an exponential function, which we then evaluated for a given input. Sometimes we are given information about an exponential function without knowing the function explicitly. We must use the information to first write the form of the function, then determine the constants a a and b, b, and evaluate the function.
How To
Given two data points, write an exponential model.
If one of the data points has the form ( 0,a ), ( 0,a ), then a a is the initial value. Using a, a, substitute the second point into the equation f(x)=a ( b ) x , f(x)=a ( b ) x , and solve for b. b.
If neither of the data points have the form ( 0,a ), ( 0,a ), substitute both points into two equations with the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x . Solve the resulting system of two equations in two unknowns to find a a and b. b.
Using the a a and b b found in the steps above, write the exponential function in the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x .
4. ਉਦਾਹਰਨ 4
2. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
3. 2006 ਵਿੱਚ, 80 ਹਿਰਨ ਇੱਕ ਜੰਗਲੀ ਜੀਵ ਅਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਛੱਡੇ ਗਏ। 2012 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ ਵਧ ਕੇ 180 ਹਿਰਨ ਹੋ ਗਈ ਸੀ। ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਹੀ ਸੀ। ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ N(t) ਲਿਖੋ ਜੋ ਸਮੇਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ (N) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ-ਆਉਟਪੁਟ ਜੋੜਿਆਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: (0, 80) ਅਤੇ (6, 180)। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲਾਂ ਵਜੋਂ ਮਾਪ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, a=80, ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ N(t)=80 b^t ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
6. ਨੋਟ: ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਗੋਲ ਨਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7. ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ N(t)=80 (1.1447)^t ਹੈ। (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਉਟਪੁਟ ਵੱਧਦਾ ਜਾਵੇਗਾ, ਇੰਨਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕਿ ਮਾਡਲ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਨਾ ਹੋਵੇ।)
8. ਅਸੀਂ ਅਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0,80) ਅਤੇ (6,180) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਰੇਂਜ [80,∞) ਹੈ।
9. ਚਿੱਤਰ 3: ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, N(t)=80 (1.1447)^t, 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ t ਸਾਲ
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। 2011 ਵਿੱਚ, 129 ਬਘਿਆੜ ਗਿਣੇ ਗਏ। 2013 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ 236 ਬਘਿਆੜਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ ਸੀ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਸਮੇਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ (N) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 5
13. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
14. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
15. ਹੱਲ
16. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ f(x)=a b^x ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ a ਅਤੇ b ਲਈ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
17. (−2,6) ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ 6=a b^{-2} ਮਿਲਦਾ ਹੈ
18. (2,1) ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰਨ 'ਤੇ 1=a b^2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. a ਨੂੰ b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
20. ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
21. a ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ b ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਹੈ।
23. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
24. ਚਿੱਤਰ 4: f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮਜ਼ੋਰੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
2. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (1,3) ਅਤੇ (2,4.5) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
Q&A
3. ਕੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ?
4. ਹਾਂ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਣ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ x-ਸੰਯੋਜਕ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ। ਪਰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ ਜੋ ਘਾਤੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘਾਤੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਜੋ x ਦੇ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰੀ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
6. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਜੋਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਚੁਣੋ। ਗੋਲ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
8. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,a) ਹੈ, ਤਾਂ a ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ। a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ f(x)=a(b)^x ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ (0,a) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ f(x)=a(b)^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। a ਅਤੇ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=a(b)^x ਲਿਖੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 6
12. ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
13. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, (0,3), ਨੂੰ ਸਾਡੇ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, a=3 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, (0,3) ਤੋਂ ਕੁਝ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣੋ ਜਿਸਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੰਯੋਜਕ ਹੋਣ। ਅਜਿਹਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (2,12) ਹੈ।
16. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ b ਦੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ b=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a ਅਤੇ b ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=3(2)^x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
18. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
20. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Press [STAT].
21. ਕਾਲਮ L1 ਜਾਂ L2 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੌਜੂਦਾ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ।
22. L1 ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ x-ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
23. L2 ਵਿੱਚ, ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
24. [STAT] ਦੁਬਾਰਾ ਦਬਾਓ। CALC ਵੱਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕਰਸਰ ਕਰੋ, ExpReg (Exponential Regression) ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ।
ਸਕਰੀਨ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=a⋅ b x ਦੇ 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,24.8) ਅਤੇ (5,198.4) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਪਰੋਕਤ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ [STAT], [EDIT], [1: Edit…] ਦਬਾਓ, ਅਤੇ ਸੂਚੀਆਂ L1 ਅਤੇ L2 ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। ਅੱਗੇ, L1 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 2 ਅਤੇ 5 ਦਰਜ ਕਰੋ। L2 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 24.8 ਅਤੇ 198.4 ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰੋ।
ਹੁਣ [STAT], [CALC], [0: ExpReg] ਦਬਾਓ ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ। a=6.2 ਅਤੇ b=2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੋਣਗੇ। ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=6.2⋅ 2 x ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (3, 75.98) ਅਤੇ (6, 481.07) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਬੱਚਤ ਸਾਧਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਮਾਈਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਮੁੜ-ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡ ਅਤੇ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤੇ, ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸ਼ਬਦ 'ਕੰਪਾਊਂਡਿੰਗ' ਦਾ ਮਤਲਬ ਸਿਰਫ਼ ਮੂਲ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਹੀ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਖਾਤੇ ਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਹੋਏ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵੀ ਕਮਾਇਆ ਗਿਆ ਵਿਆਜ ਹੈ।
ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR), ਜਿਸਨੂੰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੁਆਰਾ ਕਮਾਈ ਗਈ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ। ਨਾਮਾਤਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੰਪਾਊਂਡਿੰਗ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਵਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਕੰਪਾਊਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ! ਇਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਚੱਲ (time) t, ਮੂਲ (principal) P, APR r, ਅਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਕੰਪਾਊਂਡਿੰਗ ਮਿਆਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n: ਦਾ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਰਣੀ 4 ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ $1,000 ਨੂੰ 10% 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੰਪਾਊਂਡਿੰਗ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | 1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ
ਸਤਰ: ਸਾਲਾਨਾ | $1100
ਸਤਰ: ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | $1102.50
ਸਤਰ: ਤਿਮਾਹੀ | $1103.81
ਸਤਰ: ਮਾਸਿਕ | $1104.71
ਸਤਰ: ਰੋਜ਼ਾਨਾ | $1105.16
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
A(t) ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ,
ਸਮਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
P, ਖਾਤੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੂਲਧਨ, ਜਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
r, ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR) ਹੈ ਜੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ
n, ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਸਮੇਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 3% ਵਿਆਜ ਵਾਲੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $3,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤਿਮਾਹੀ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ $3,000 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, P=3000। ਸਾਡੀ ਵਿਆਜ ਦਰ 3% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.03। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਤਿਮਾਹੀ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 4 ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ n=4। ਅਸੀਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ A(10) ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ t=10 ਹੋਵੇ।
ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ $4,045.05 ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
$100,000 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ 12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਹਫਤੇਵਾਰੀ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 52 ਹਫਤੇ ਵਰਤੋ)। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੂਲਧਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
529 ਯੋਜਨਾ ਇੱਕ ਕਾਲਜ-ਸੇਵਿੰਗ ਯੋਜਨਾ ਹੈ ਜੋ ਰਿਸ਼ਤੇਦਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬੱਚੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖੀ ਕਾਲਜ ਦੀ ਟਿਊਸ਼ਨ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਸੇ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ; ਖਾਤਾ ਟੈਕਸ-ਮੁਕਤ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲਿਲੀ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਪੋਤੀ ਲਈ 529 ਖਾਤਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਵੇ। ਉਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ) ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ 6% ਕਮਾਏਗਾ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਹੁਣ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਹੱਲ
ਨਾਮਾਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 6% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.06। ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ n=2।
ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼, P, ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ $40,000 ਹੋਵੇ। ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ P ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਹੋਣ ਲਈ ਲਿਲੀ ਨੂੰ $13,801 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿਓ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਖਾਤਾ ਤਿਮਾਹੀ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਬੇਸ e ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਕਮਾਈ ਗਈ ਰਕਮ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 5 ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਾਲਾਨਾ ਤੋਂ ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਵਾਧਾ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤੋਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁੱਛਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ 5 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ, 1 ਸਾਲ ਲਈ 100% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $1 ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਤੀ ਕਤਾਰ: ਆਵਿਰਤੀ | A(n)= ( 1+ 1 n ) n A(n)= ( 1+ 1 n ) n | ਮੁੱਲ
ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 1 ) 1 ( 1+ 1 1 ) 1 | $2
ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 2 ) 2 ( 1+ 1 2 ) 2 | $2.25
ਤਿਮਾਹੀ | ( 1+ 1 4 ) 4 ( 1+ 1 4 ) 4 | $2.441406
ਮਾਸਿਕ | ( 1+ 1 12 ) 12 ( 1+ 1 12 ) 12 | $2.613035
ਰੋਜ਼ਾਨਾ | ( 1+ 1 365 ) 365 ( 1+ 1 365 ) 365 | $2.714567
ਘੰਟੇਵਾਰ | ( 1+ 1 8760 ) 8760 ( 1+ 1 8760 ) 8760 | $2.718127
ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+ 1 525600 ) 525600 ( 1+ 1 525600 ) 525600 | $2.718279
ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+131536000 ) 31536000 ( 1+131536000 ) 31536000 | $2.718282
ਇਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ( 1+ 1 n ) n ( 1+ 1 n ) n ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੰਨੀ ਵਾਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਆਪਣਾ ਨਾਮ ਹੈ: ਅੱਖਰ e। e। ਇਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਿਸਥਾਰ ਬਿਨਾਂ ਦੁਹਰਾਏ ਸਦਾ ਲਈ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਇਸਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਕ e e
ਅੱਖਰ e ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਖਰ e ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲਾਂ ਲਈ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਧਾਰ e ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, e≈2.718282। e≈2.718282। ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਨਾਮ ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ (1707–1783) ਦੁਆਰਾ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਿਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਖੋਜ ਕੀਤੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
e 3.14 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। e 3.14। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ, [ e x ] ਲੇਬਲ ਵਾਲਾ ਬਟਨ ਦਬਾਓ। [ e x ]। ਵਿੰਡੋ [ e^( ] ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। [ e^( ]। 3.14 ਟਾਈਪ ਕਰੋ 3.14 ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰੈਕਟ ਬੰਦ ਕਰੋ, [ ) ]। [ ) ]। [ENTER] ਦਬਾਓ। 5 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, e 3.14 ≈23.10387। e 3.14 ≈23.10387। ਸਾਵਧਾਨੀ: ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ "Exp" ਬਟਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
e −0.5 ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। e −0.5। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਆਧਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ, e ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਗਿਰਾਵਟ ਮਾਡਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਮਾਡਲ ਵਿੱਤ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਗਿਆਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਜ਼ਹਿਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਤਰਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲਤਾ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ/ਗਿਰਾਵਟ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ t, t, ਅਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ r, r ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਗਿਰਾਵਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਬੀਤਿਆ ਹੋਇਆ ਸਮਾਂ ਹੈ।
ਜੇ r>0 r>0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ r<0 r<0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਬਿਜ਼ਨਸ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
P P ਮੂਲਧਨ ਜਾਂ ਆਰੰਭਿਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਨਿਵੇਸ਼ ਦੀ ਮਿਆਦ ਜਾਂ ਅਵਧੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ, ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਹਾਸ ਦੀ ਦਰ, ਅਤੇ ਸਮਾਂ t t ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਹਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ, a a , ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਿਕਾਸ ਦਰ r r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r>0 r>0 । ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਹਾਸ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r<0 r<0 ।
ਸਮਾਂ t t ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ A(t) A(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ $1,000 ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜੋ ਨਾਮਾਤਰ 10% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਿਤ ਹੋ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਖਾਤਾ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਹ ਵਿਕਾਸ ਦਰ r=0.10 r=0.10 ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ। ਆਰੰਭਿਕ ਨਿਵੇਸ਼ $1,000 ਸੀ, ਇਸ ਲਈ P=1000 P=1000 । ਅਸੀਂ t=1 t=1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ $1,105.17 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ $100,000 ਨਾਮਾਤਰ 12% ਵਿਆਜ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਿਤ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
1. ਉਦਾਹਰਨ 12
2. ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟ ਦੀ ਗਣਨਾ
3. ਰੇਡਾਨ-222 ਰੋਜ਼ਾਨਾ 17.3% ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 3 ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਘਟ ਜਾਵੇਗਾ?
4. ਹੱਲ
5. ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਰਥ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਦਰ, 17.3%, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, r=−0.173। ਰੇਡਾਨ-222 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ a=100। ਅਸੀਂ t=3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
6. ਇਸ ਲਈ 59.5115 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਚੇਗਾ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #12
8. ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਚੇਗਾ?
9. ਮੀਡੀਆ
10. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
11. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
12. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ
13. ਮੌਖਿਕ
14. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਵਧ ਰਹੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਉਂ ਪਛਾੜ ਦੇਣਗੇ।
15. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੀ ਸਿਰਫ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
16. ਆਕਸਫੋਰਡ ਡਿਕਸ਼ਨਰੀ ਸ਼ਬਦ ਨਾਮਾਤਰ ਨੂੰ "ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਜਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ" ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।3 ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਉਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਵਿਆਜ ਨੂੰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਦਲੀਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੋ।
17. ਬੀਜਗਣਿਤ
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕਥਨ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ।
19. ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਝੁੰਡ ਦੀ ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ 25 ਹੈ।
20. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਹਰ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 1/8 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਘਟਦੀ ਹੈ।
21. ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਲਾਨਾ 3.25% ਵਧਿਆ ਹੈ।
22. ਹਰੇਕ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿੱਜੀ ਟ੍ਰੇਨਰ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕਾਂ ਤੋਂ ਪਿਛਲੇ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ $5 ਘੱਟ ਚਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ।
23. ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t^2 +18t+40 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਹਰੇਕ ਸਾਲ t ਲਈ, ਦਰਖਤਾਂ ਦੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ A(t)=115 (1.025)^t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਇੱਕ ਗੁਆਂਢੀ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ, ਉਸੇ ਕਿਸਮ ਦੇ ਦਰਖਤ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ B(t)=82 (1.029)^t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। (ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
1. ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ?
2. ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਸੀ? ਕਿੰਨੇ?
3. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 2020 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੇ?
4. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 100 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੇ?
5. ਪਿਛਲੀਆਂ ਚਾਰ ਕਸਰਤਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿਉਂ? ਕਿਹੜੇ ਕਾਰਕ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਵੈਧਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
6. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ, ਘਾਤੀ ਕਮੀ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. y=300 (1−t)5
8. y=220 (1.06)x
9. y=16.5 (1.025)1x
10. y=11,701 (0.97)t
11. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
12. (0,6) ਅਤੇ (3,750)
13. (0,2000) ਅਤੇ (2,20)
14. (−1, 3/2) ਅਤੇ (3,24)
15. (−2,6) ਅਤੇ (3,1)
16. (3,1) ਅਤੇ (5,4)
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤੀ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਇਹ ਘਾਤੀ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
19. ਕਤਾਰ: f(x) | 70 | 40 | 10 | -20
20. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
21. ਕਤਾਰ: h(x) | 70 | 49 | 34.3 | 24.01
22. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
23. ਕਤਾਰ: m(x) | 80 | 61 | 42.9 | 25.61
24. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
row: f(x) f(x) | 10 | 20 | 40 | 80
row: x x | 1 | 2 | 3 | 4
row: g(x) g(x) | -3.25 | 2 | 7.25 | 12.5
For the following exercises, use the compound interest formula, A(t)=P ( 1+ r n ) nt . A(t)=P ( 1+ r n ) nt .
After a certain number of years, the value of an investment account is represented by the equation A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . What is the value of the account?
What was the initial deposit made to the account in the previous exercise?
How many years had the account from the previous exercise been accumulating interest?
An account is opened with an initial deposit of $6,500 and earns 3.6% 3.6% interest compounded semi-annually. What will the account be worth in 20 20 years?
How much more would the account in the previous exercise have been worth if the interest were compounding weekly?
Solve the compound interest formula for the principal, P P .
Use the formula found in the previous exercise to calculate the initial deposit of an account that is worth $14,472.74 $14,472.74 after earning 5.5% 5.5% interest compounded monthly for 5 5 years. (Round to the nearest dollar.)
How much more would the account in the previous two exercises be worth if it were earning interest for 5 5 more years?
Use properties of rational exponents to solve the compound interest formula for the interest rate, r. r.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded semi-annually, had an initial deposit of $9,000 and was worth $13,373.53 after 10 years.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded monthly, had an initial deposit of $5,500, and was worth $38,455 after 30 years.
For the following exercises, determine whether the equation represents continuous growth, continuous decay, or neither. Explain.
y=3742 ( e ) 0.75t y=3742 ( e ) 0.75t
y=150 ( e ) 3.25 t y=150 ( e ) 3.25 t
y=2.25 ( e ) −2t y=2.25 ( e ) −2t
Suppose an investment account is opened with an initial deposit of $12,000 $12,000 earning 7.2% 7.2% interest compounded continuously. How much will the account be worth after 30 30 years?
How much less would the account from Exercise 42 be worth after 30 30 years if it were compounded monthly instead?
Numeric
For the following exercises, evaluate each function. Round answers to four decimal places, if necessary.
f(x)=2 ( 5 ) x , f(x)=2 ( 5 ) x , for f( −3 ) f( −3 )
f(x)=− 4 2x+3 , f(x)=− 4 2x+3 , for f( −1 ) f( −1 )
f(x)= e x , f(x)= e x , for f( 3 ) f( 3 )
f(x)=−2 e x−1 , f(x)=−2 e x−1 , for f( −1 ) f( −1 )
f(x)=2.7 ( 4 ) −x+1 +1.5, f(x)=2.7 ( 4 ) −x+1 +1.5, for f( −2 ) f( −2 )
f(x)=1.2 e 2x −0.3, f(x)=1.2 e 2x −0.3, for f( 3 ) f( 3 )
f(x)=− 3 2 ( 3 ) −x + 3 2 , f(x)=− 3 2 ( 3 ) −x + 3 2 , for f( 2 ) f( 2 )
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to find the equation of an exponential function given the points on the curve.
(0,3) (0,3) and (3,375) (3,375)
(3,222.62) (3,222.62) and (10,77.456) (10,77.456)
(20,29.495) (20,29.495) and (150,730.89) (150,730.89)
(5,2.909) (5,2.909) and (13,0.005) (13,0.005)
(11,310.035) (11,310.035) and (25,356365.2) (25,356365.2)
Extensions
The annual percentage yield (APY) of an investment account is a representation of the actual interest rate earned on a compounding account. It is based on a compounding period of one year. Show that the APY of an account that compounds monthly can be found with the formula APY= ( 1+ r 12 ) 12 −1. APY= ( 1+ r 12 ) 12 −1.
Repeat the previous exercise to find the formula for the APY of an account that compounds daily. Use the results from this and the previous exercise to develop a function I(n) I(n) for the APY of any account that compounds n n times per year.
Recall that an exponential function is any equation written in the form f(x)=a⋅ b x f(x)=a⋅ b x such that a a and b b are positive numbers and b≠1. b≠1. Any positive number b b can be written as b= e n b= e n for some value of n n . Use this fact to rewrite the formula for an exponential function that uses the number e e as a base.
In an exponential decay function, the base of the exponent is a value between 0 and 1. Thus, for some number b>1, b>1, the exponential decay function can be written as f(x)=a⋅ ( 1 b ) x . f(x)=a⋅ ( 1 b ) x . Use this formula, along with the fact that b= e n , b= e n , to show that an exponential decay function takes the form f(x)=a ( e ) −nx f(x)=a ( e ) −nx for some positive number n n .
The formula for the amount A A in an investment account with a nominal interest rate r r at any time t t is given by A(t)=a ( e ) rt , A(t)=a ( e ) rt , where a a is the amount of principal initially deposited into an account that compounds continuously. Prove that the percentage of interest earned to principal at any time t t can be calculated with the formula I(t)= e rt −1. I(t)= e rt −1.
Real-World Applications
The fox population in a certain region has an annual growth rate of 9% per year. In the year 2012, there were 23,900 fox counted in the area. What is the fox population predicted to be in the year 2020?
A scientist begins with 100 milligrams of a radioactive substance that decays exponentially. After 35 hours, 50mg of the substance remains. How many milligrams will remain after 54 hours?
In the year 1985, a house was valued at $110,000. By the year 2005, the value had appreciated to $145,000. What was the annual growth rate between 1985 and 2005? Assume that the value continued to grow by the same percentage. What was the value of the house in the year 2010?
A car was valued at $38,000 in the year 2007. By 2013, the value had depreciated to $11,000 If the car’s value continues to drop by the same percentage, what will it be worth by 2017?
1. ਜੇਲਨ ਘਰ ਦੀ ਡਾਊਨ ਪੇਮੈਂਟ ਲਈ $54,000 ਬਚਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਤੱਕ 5 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਸਨੂੰ 8.2% APR ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ, ਜੋ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
2. ਕਿਓਕੋ ਕੋਲ $10,000 ਹਨ ਜੋ ਉਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਬੈਂਕ ਕੋਲ ਚੁਣਨ ਲਈ ਕਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਸਦਾ ਟੀਚਾ 6 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਸਕੂਲ ਖਤਮ ਕਰਨ ਤੱਕ $15,000 ਹੋਣਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਸਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਕਿੰਨੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਸੈਂਕੜੇ ਦੇ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ? (ਸੰਕੇਤ: ਵਿਆਜ ਦਰ ਲਈ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।)
3. ਅਲਿਸਾ ਨੇ ਸਾਲ 2000 ਵਿੱਚ 7.25% APR ਨਾਲ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤਾ ਖੋਲ੍ਹਿਆ। ਉਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ $13,500 ਸੀ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਮਾਸਿਕ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ 2025 ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਉਸਨੇ ਕਿੰਨਾ ਵੱਧ ਕਮਾਇਆ ਹੁੰਦਾ?
4. 7% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤਾ $4,000 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਨਾਲ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। 9 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਵਿਆਜ ਸਾਲਾਨਾ, ਤਿਮਾਹੀ, ਮਾਸਿਕ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।