ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਿੱਤ, ਫੋਰੈਂਸਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜੀਵਨ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਬਹੁਤੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਜੋ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸਮਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੀਕਰਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਝ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਰਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। f(x)= b x ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(x)= 2 x ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: f(x)= 2 x | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8
ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, 2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ 2 ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਅਸਲ, f(x)=a b x ਰੂਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਲਈ, b ਫਲਨ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, a ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫਲਨ f(x)= 2 x ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
f(x)= 2 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ, ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਕਮੀ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)= b x ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(x)= (1/2) x ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: g(x) = (1/2) x | 8 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8
ਦੁਬਾਰਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ 1/2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਾਰੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2 ਘਾਤ ਅਲੋਪ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨ, g(x)= ( 1 2 ) x , ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। g(x)= ( 1 2 ) x ।
g(x)= ( 1 2 ) x ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ ਹਨ, ਪਰਿਸਰ ( 0,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ y=0 ਹੈ। y=0।
ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ f(x)= b x ।
f(x)= b x ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਘਾਤ ਫਲਨ, f(x)= b x , b>0, b>0, b≠1, b≠1, ਇਹਨਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫਲਨ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ: y=0 y=0
ਪ੍ਰਦੇਸ਼: (–∞, ∞) (–∞, ∞)
ਪਰਿਸਰ: (0,∞) (0,∞)
x-ਅੰਤਰਖੰਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
y-ਅੰਤਰਖੰਡ: ( 0,1 ) ( 0,1 )
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1 b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b<1 b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਘਾਤ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅਲੋਪ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
f(x)= b x ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਘਾਤ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x)= b x , ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3 ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ( 0,1 ) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ( 0,1 )।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਪਰਿਸਰ, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਾ, y=0, ਦੱਸੋ। y=0।
ਉਦਾਹਰਨ 1
f(x) = bx ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਘਾਤ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
f(x)= 0.25 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। f(x)= 0.25 x । ਪ੍ਰਦੇਸ਼, ਪਰਿਸਰ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਾ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਕਿਉਂਕਿ b=0.25, ਜੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖੱਬਾ ਸਿਰਾ ਬੇਅੰਤ ਵਧੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਸਿਰਾ y=0 ਦੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ 3 ਵਾਂਗ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 f(x) = 0.25^x | 64 | 16 | 4 | 1 | 0.25 | 0.0625 | 0.015625 ਸਾਰਣੀ 3
y-ਅੰਤਰ, (0,1), ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ (-1,4) ਅਤੇ (1,0.25) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਾਂਗ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ y=0 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x) = 4^x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੱਸੋ।
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਘਾਤੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ, ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੋਰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x 'ਤੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੇ ਚਾਰ ਕਿਸਮਾਂ—ਸ਼ਿਫਟ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ, ਖਿੱਚ, ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ—ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਬਿਨਾਂ ਆਕਾਰ ਗੁਆਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਿਫਟ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ, ਖਿੱਚੇ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਪਰਵਲਈ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਆਪਣੇ ਆਮ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਾਤਮਕ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਪਹਿਲਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ d ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸੰਕੇਤ ਦੇ ਉਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਾਤਮਕ ਸ਼ਿਫਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x) = 2^x, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਲੰਬਾਤਮਕ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, d=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, g(x) = 2^x + 3, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ, h(x) = 2^x - 3। ਦੋਵੇਂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਸ਼ਿਫਟ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
f(x) = 2^x ਨੂੰ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ g(x) = 2^x + 3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-ਅੰਤਰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ (0,4) ਤੱਕ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ y=3 ਤੱਕ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ ( 3,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ h(x) = 2^x - 3 ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-ਅੰਤਰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ (0,−2) ਤੱਕ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵੀ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ y=−3 ਤੱਕ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ ( −3,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਗਲਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸੰਕੇਤ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ c ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, c=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ, g(x) = 2^(x+3), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ, h(x) = 2^(x-3)। ਦੋਵੇਂ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
f(x) = 2^x ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ, y=0, ਬਦਲੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੀ।
y-ਅੰਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ g(x) = 2^(x+3) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-ਅੰਤਰ (0,8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 2^(x+3) = 8 * 2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 8 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ h(x) = 2^(x-3) ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-ਅੰਤਰ (0, 1/8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਦੇਖੋ ਕਿ 2^(x-3) = (1/8) * 2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 1/8 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਅਤੇ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^(x+c) + d ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਨੂੰ
ਲੰਬਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ d ਇਕਾਈਆਂ, d ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ, c c ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ।
( 0, bc+d ). ( 0, bc+d ).
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=d ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। y=d.
ਰੇਂਜ ( d,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ( d,∞ ).
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x)= b x+c +d, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=d ਬਣਾਓ। y=d.
( −c,d ) ਵਜੋਂ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ( −c,d ). ਜੇਕਰ c c ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ c c ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ d d ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ d d ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ d d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਰੇਂਜ, ( d,∞ ), ( d,∞ ), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=d ਦੱਸੋ। y=d.
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= 2 x+1 −3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= 2 x+1 −3. ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b=2, b=2, c=1, c=1, ਅਤੇ d=−3. d=−3.
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=d y=d ਬਣਾਓ, ਇਸ ਲਈ y=−3 ਬਣਾਓ। y=−3.
( −c,d ), ( −c,d ) ਵਜੋਂ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਇਸ ਲਈ ਸ਼ਿਫਟ ( −1,−3 ) ਹੈ। ( −1,−3 ).
f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( −3,∞ ); ( −3,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=−3 ਹੈ। y=−3.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
f(x)= 2 x−1 +3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)= 2 x−1 +3. ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x, x ਲਈ f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. [Y=] ਦਬਾਓ। "Y1=" ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰੋ।
Enter the given value for f(x) f(x) in the line headed “Y2=”.
2. [WINDOW] ਦਬਾਓ। y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ "Y2=" ਲਈ ਦਰਜ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੇ।
3. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ f(x) ਮੁੱਲ ਲਈ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਲਈ [GRAPH] ਦਬਾਓ। f(x)।
4. x ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। "intersect" ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲਈ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 3
6. ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
7. 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. ਹੱਲ
9. [Y=] ਦਬਾਓ ਅਤੇ Y1= ਦੇ ਅੱਗੇ 1.2 ( 5 ) x +2.8 1.2 ( 5 ) x +2.8 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਫਿਰ Y2= ਦੇ ਅੱਗੇ 42 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x ਲਈ –3 ਤੋਂ 3 ਅਤੇ y ਲਈ –5 ਤੋਂ 55 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y। [GRAPH] ਦਬਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ x=2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਿਤੇ ਕੱਟਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। x=2।
10. ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ, [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। [5: intersect] ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 2.1661943 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖਰੀ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?) ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ, x≈2.166। x≈2.166।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
12. 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
13. ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
14. ਜਦੋਂ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ |a|>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। |a|>0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x , f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ a=3, a=3, ਨਾਲ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ, a= 1 3 , a= 1 3 , ਨਾਲ ਤਾਂ ਜੋ h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 8: (a) g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। 3। (b) h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 1 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 1 3।
16. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਦੀਆਂ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
17. ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਕ a>0, a>0 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a ( b ) x f(x)=a ( b ) x
18. ਜੇਕਰ |a|>1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|>1।
19. ਜੇਕਰ |a|<1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|<1।
20. ( 0,a ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ( 0,a )।
21. y=0, y=0, ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਦਾ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 4
23. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
24. f(x)=4 ( 1 2 ) x f(x)=4 ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b= 1 2 ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੀ ਪੂਛ ਬੇਅੰਤ ਵਧੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਪੂਛ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ a=4, f(x)= ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 4 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 f(x) =4 ( 1 2 ) x | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 ਸਾਰਣੀ 4
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ( 0,4 ), ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ( −1,8 ) ਅਤੇ ( 1,2 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ; ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ; ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= 1 2 ( 4 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਸ਼ਿਫਟਿੰਗ, ਕੰਪ੍ਰੈਸਿੰਗ ਅਤੇ ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ, g(x)= −2 x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ h(x)= 2 −x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10: (a) g(x)=− 2 x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। (b) g(x)= 2 −x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− b x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,−1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
( −∞,0 ) ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਅਤੇ ( −∞,∞ ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਣਬਦਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b −x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ, ( 0,∞ ) ਦੀ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਣਬਦਲੇ ਹੋਏ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
Find and graph the equation for a function, g(x), g(x), that reflects f(x)= ( 1 4 ) x f(x)= ( 1 4 ) x about the x-axis. State its domain, range, and asymptote.
Solution
Since we want to reflect the parent function f(x)= ( 1 4 ) x f(x)= ( 1 4 ) x about the x-axis, we multiply f(x) f(x) by −1 −1 to get, g(x)=− ( 1 4 ) x . g(x)=− ( 1 4 ) x . Next we create a table of points as in Table 5.
row: x x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
row: g(x)=− ( 1 4 ) x g(x)=−( 1 4 ) x | −64 −64 | −16 −16 | −4 −4 | −1 −1 | −0.25 −0.25 | −0.0625 −0.0625 | −0.0156 −0.0156
Plot the y-intercept, ( 0,−1 ), ( 0,−1 ), along with two other points. We can use ( −1,−4 ) ( −1,−4 ) and ( 1,−0.25 ). ( 1,−0.25 ).
Draw a smooth curve connecting the points:
The domain is ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); the range is ( −∞,0 ); ( −∞,0 ); the horizontal asymptote is y=0. y=0.
Try It #5
Find and graph the equation for a function, g(x), g(x), that reflects f(x)= 1.25 x f(x)= 1.25 x about the y-axis. State its domain, range, and asymptote.
Summarizing Translations of the Exponential Function
Now that we have worked with each type of translation for the exponential function, we can summarize them in Table 6 to arrive at the general equation for translating exponential functions.
row: Transformations of the Parent Function f(x)= b x f(x)= b x
row: Transformation | Form
row: Shift Horizontally c c units to the left Vertically d d units up | f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d
row: Stretch and Compress Stretch if | a |>1 | a |>1 Compression if 0<| a |<1 0<| a |<1 | f(x)=a b x f(x)=a b x
row: Reflect about the x-axis | f(x)=− b x f(x)=− b x
row: Reflect about the y-axis | f(x)= b −x = ( 1 b ) x f(x)= b −x = ( 1 b ) x
row: General equation for all transformations | f(x)=a b x+c +d f(x)=a b x+c +d
Translations of Exponential Functions
A translation of an exponential function has the form
Where the parent function, y= b x , y= b x , b>1, b>1, is
shifted horizontally c c units to the left.
stretched vertically by a factor of | a | | a | if | a |>0. | a |>0.
1. | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜੇ 0<| a |<1. 0<| a |<1.
2. d d ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ।
3. ਜਦੋਂ a<0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ। a<0.
4. ਖਿਸਕਾਉਣ, ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 6
6. ਵਰਣਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
7. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਰਣਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
8. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 2 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 4 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
9. ਹੱਲ
10. ਅਸੀਂ f(x)=a b x+c +d ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। f(x)=a b x+c +d. ਅਸੀਂ a, a, b, b, c, c, ਅਤੇ d ਲੱਭਣ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਣਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। d.
11. ਸਾਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= e x , f(x)= e x ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=e. b=e.
12. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=2. a=2.
13. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ x x ਨੂੰ −x −x ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ: e −x . e −x .
14. ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ d=4. d=4.
15. ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ,
16. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 4,∞ ); ( 4,∞ ); ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਸਿੰਪਟੋਟ y=4 ਹੈ। y=4.
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
19. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 1 3 , 1 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਮੀਡੀਆ
21. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
22. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
23. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
24. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ?
What is the advantage of knowing how to recognize transformations of the graph of a parent function algebraically?
Algebraic
The graph of f(x)= 3 x f(x)= 3 x is reflected about the y-axis and stretched vertically by a factor of 4. 4. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1 2 ) −x f(x)= ( 1 2 ) −x is reflected about the y-axis and compressed vertically by a factor of 1 5 . 1 5 . What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= 10 x f(x)= 10 x is reflected about the x-axis and shifted upward 7 7 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1.68 ) x f(x)= ( 1.68 ) x is shifted right 3 3 units, stretched vertically by a factor of 2, 2, reflected about the x-axis, and then shifted downward 3 3 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept (to the nearest thousandth), domain, and range.
The graph of fx=-12(14)x-2+4fx=-12(14)x-2+4 is shifted downward 4 4 units, and then shifted left 2 2 units, stretched vertically by a factor of 4, 4, and reflected about the x-axis. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
Graphical
For the following exercises, graph the function and its reflection about the y-axis on the same axes, and give the y-intercept.
f(x)=3 ( 1 2 ) x f(x)=3 ( 1 2 ) x
g(x)=−2 ( 0.25 ) x g(x)=−2 ( 0.25 ) x
h(x)=6 ( 1.75 ) −x h(x)=6 ( 1.75 ) −x
For the following exercises, graph each set of functions on the same axes.
f(x)=3 ( 1 4 ) x , f(x)=3 ( 1 4 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , and h(x)=3 ( 4 ) x h(x)=3 ( 4 ) x
f(x)= 1 4 ( 3 ) x , f(x)= 1 4 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , and h(x)=4 ( 3 ) x h(x)=4 ( 3 ) x
For the following exercises, match each function with one of the graphs in Figure 12.
f( x )=2 ( 0.69 ) x f( x )=2 ( 0.69 ) x
f( x )=2 ( 1.28 ) x f( x )=2 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 0.81 ) x f( x )=2 ( 0.81 ) x
f( x )=4 ( 1.28 ) x f( x )=4 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 1.59 ) x f( x )=2 ( 1.59 ) x
f( x )=4 ( 0.69 ) x f( x )=4 ( 0.69 ) x
For the following exercises, use the graphs shown in Figure 13. All have the form f( x )=a b x . f( x )=a b x .
Which graph has the largest value for b? b?
1. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ 'b' ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? b?
2. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ 'a' ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ? a?
3. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ 'a' ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? a?
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
5. f(x)= 1 2 ( 4 ) x
6. f(x)=3 ( 0.75 ) x −1
7. f(x)=−4 ( 2 ) x +2
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਇਸਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ, ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ।
9. f( x )= 2 −x
10. h( x )= 2 x +3
11. f( x )= 2 x−2
12. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
13. f( x )=−5 ( 4 ) x −1
14. f( x )=3 ( 1 2 ) x −2
15. f( x )=3 ( 4 ) −x +2
16. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f( x )= 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. f(x) ਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਾਓ
18. f(x) ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਸਕਾਓ
19. f(x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ
20. f(x) ਨੂੰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ
21. f(x) ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
22. f(x) ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ y= 2 x ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ। ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
1. ਅੰਕ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, x ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
3. g(x)= 1 3 ( 7 ) x−2 , g(6) ਲਈ।
4. f(x)=4 (2) x−1 −2 , f(5) ਲਈ।
5. h(x)=− 1 2 ( 1 2 ) x +6 , h(−7) ਲਈ।
6. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. −50=− ( 1 2 ) −x
9. 116= 1 4 ( 1 8 ) x
10. 12=2 ( 3 ) x +1
11. 5=3 ( 1 2 ) x−1 −2
12. −30=−4 ( 2 ) x+2 +2
13. ਵਿਸਤਾਰ
14. F(x)= ( b ) x ਅਤੇ G(x)= ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
15. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
16. f(x)= 4 x , g(x)= 4 x−2 , ਅਤੇ h(x)=( 1 16 ) 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ n ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b n ) b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
17. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।