ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਨਾਭੀ (focus) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਬਹੁਵਚਨ: ਨਾਭੀਆਂ - foci)।
ਜਦੋਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ (major and minor axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ( x,y ) ਵਿਚਕਾਰ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਖਿੱਚ ਵਾਲੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਨਾਭੀ - focus) ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
( 0,0 ) ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ (axis of symmetry) ਮੰਨ ਕੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
( 0,0 ) ਸਿਖਰ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨ ਕੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦੀ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
( h,k ) ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨ ਕੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
( h,k ) ਸਿਖਰ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨ ਕੇ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਨਾਭੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਦੋ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂਆਂ (right circular cones) ਦੇ ਜੋੜੇ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਚਾਰ ਮੁੱਢਲੇ ਆਕਾਰ ਬਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ, ਚੱਕਰ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਅਤੇ ਪਰਵਲਯ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਇੱਕ ਗੈਰ-ਅਪਭ੍ਰਸ਼ਟ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (nondegenerate conic section) ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A,B ਅਤੇ C ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। A,B, ਅਤੇ C ਦੇ ਮੁੱਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
xy ਪਦ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ x ′ ਅਤੇ y ′ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ′ y ′ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਅਟੱਲ (invariant) ਦੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਘੁਮਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲਿਆ ਨਾ ਰਹੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਅਟੱਲ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਨਾਭੀ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਨਾਭੀ P(r,θ) ਧਰੁਵ (pole) ਤੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ, ਜੋ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (polar axis) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ e = PF/PD ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ (eccentricity) e ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ (polar equation) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
2. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
3. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ (focus), ਇੱਕ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix), ਅਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ (eccentricity) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
4. ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ (rectangular form) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ (identities) r = √(x² + y²), x = rcosθ, ਅਤੇ y = rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।