ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਦਾ ਪਰਵਲਈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕੱਛੀ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮੋਹਰੀ ਗਣਿਤਿਕ ਕੰਮ ਨੇ ਅਮਰੀਕੀ ਪੁਲਾੜ ਉਡਾਣ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਈ। (ਸਰੋਤ: NASA)
ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਇੱਕ ਮੋਹਰੀ NASA ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਮਨੁੱਖੀ ਮਿਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਸਫਲ ਅਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਉਡਾਣ ਅਤੇ ਵਾਪਸੀ ਲਈ ਅਨਿੱਖੜਵੀਂ ਸੀ। ਫਿਲਮ 'ਹਿਡਨ ਫਿਗਰਜ਼' ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੰਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ, ਉਸਨੇ ਪੁਲਾੜ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਵੱਡਾ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਇਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਮਰਕਰੀ ਮਿਸ਼ਨ ਲਈ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਐਲਨ ਸ਼ੈਪਰਡ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲਾ ਪਹਿਲਾ ਅਮਰੀਕੀ ਬਣਿਆ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਟੇਡ ਸੋਪਿੰਸਕੀ ਨੇ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਟੀਕ ਕੱਛੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਵਾਪਸ ਲਿਆਉਣ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪੇਪਰ ਲਿਖਿਆ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਈ ਕੱਛਾਂ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਬਣੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸਨ, ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਉਸਦੀ ਯੋਗਤਾ ਨੇ ਬੇਮਿਸਾਲ ਪੱਧਰ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸਮਰੱਥ ਬਣਾਇਆ। ਜੌਹਨਸਨ ਨੇ ਕਿਹਾ, "ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਦੋਂ ਅਤੇ ਕਿੱਥੇ ਉਤਾਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਮੈਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕਰਕੇ ਦੱਸਾਂਗੀ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਦੋਂ ਉਡਾਣ ਭਰਨੀ ਹੈ।"
ਪਰਵਲਈ ਕੱਛਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਜਟਿਲ ਗਣਿਤ 'ਤੇ ਜੌਹਨਸਨ ਦੇ ਕੰਮ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਫਲ ਕੱਛਾਂ, ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਉਤਰਨ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਸ਼ਟਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਹੋਇਆ। ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਵੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ (ਜਾਂ ਰਿਫਲੈਕਟਰ) ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਕੈਪਚਰ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੁਣ ਦੇ ਫਾਇਦੇ ਪਰਵਲਈ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸੂਚੀ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਟੈਲੀਸਕੋਪ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਸਪੌਟਲਾਈਟ, ਅਤੇ ਕਾਰ ਹੈੱਡਲਾਈਟ, ਕੁਝ ਨਾਮ ਦੱਸਣ ਲਈ। ਪਰਵਲਈ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਕਲਪਕ ਊਰਜਾ ਉਪਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੋਲਰ ਕੁੱਕਰ ਅਤੇ ਵਾਟਰ ਹੀਟਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਸਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਰੱਖ-ਰਖਾਅ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਿਆਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੋਲਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
'ਦੀ ਐਲਿਪਸ' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉਦੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਕੋਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਸੀਮ ਵਕਰ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਕਰ ਇੱਕ ਪਰਵਲਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਪਰਵਲਿਆ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਅਤੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਿਆ (hyperbola) ਵਾਂਗ, ਪਰਵਲਿਆ ਨੂੰ ਵੀ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲਿਆ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਫੋਕਸ) ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
'ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਜ਼' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਰਵਲਿਆ ਦੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰੇ (axis of symmetry) ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਿਆ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚਰਚਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਹ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਜੋ ਫੋਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ (latus rectum) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਵਕਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਪਰਵਲਿਆ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, P ਤੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਪਰਵਲਿਆ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ (x,y) ਪਰਵਲਿਆ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (0,0), ਫੋਕਸ (0,p), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y = -p ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (x,-p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ: d = y+p। ਫੋਕਸ (0,p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੀ d ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
d ਲਈ ਦੋਨੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪਰਵਲਿਆ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ (x,y) ਤੋਂ (0,p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ (x,y) ਤੋਂ (x,-p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨੋਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y² = 4px ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x² = 4py ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ y-ਧੁਰਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਸਾਰਣੀ 1 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 5 ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ | ਸਮੀਕਰਨ | ਫੋਕਸ | ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ | ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ
row: x-axis | y 2 =4px y 2 =4px | ( p,0 ) ( p,0 ) | x=−p x=−p | ( p,±2p ) ( p,±2p )
row: y-axis | x 2 =4py x 2 =4py | ( 0,p ) ( 0,p ) | y=−p y=−p | ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Figure 5: (a) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens right. (b) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens left. (c) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens up. (d) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens down.
The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.
A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: y 2 =4px y 2 =4px or x 2 =4py. x 2 =4py.
Use the standard form identified in Step 1 to determine the axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form y 2 =4px, y 2 =4px, then the axis of symmetry is the x-axis, y=0 y=0 set 4p 4p equal to the coefficient of x in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use p p to find the coordinates of the focus, ( p,0 ) ( p,0 ) use p p to find the equation of the directrix, x=−p x=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( p,±2p ). ( p,±2p ). Alternately, substitute x=p x=p into the original equation. If the equation is in the form x 2 =4py, x 2 =4py, then the axis of symmetry is the y-axis, x=0 x=0 set 4p 4p equal to the coefficient of y in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use p p to find the coordinates of the focus, ( 0,p ) ( 0,p ) use p p to find equation of the directrix, y=−p y=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 1
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the x-axis as the Axis of Symmetry
Graph y 2 =24x. y 2 =24x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is y 2 =4px. y 2 =4px. Thus, the axis of symmetry is the x-axis. It follows that:
24=4p, 24=4p, so p=6. p=6. Since p>0, p>0, the parabola opens right
the coordinates of the focus are ( p,0 )=( 6,0 ) ( p,0 )=( 6,0 )
the equation of the directrix is x=−p=−6 x=−p=−6
the endpoints of the latus rectum have the same x-coordinate at the focus. To find the endpoints, substitute x=6 x=6 into the original equation: ( 6,±12 ) ( 6,±12 )
Next we plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola. Figure 7
Try It #1
Graph y 2 =−16x. y 2 =−16x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Example 2
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the y-axis as the Axis of Symmetry
x 2 =−6y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। x 2 =−6y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ x 2 =4py ਹੈ। x 2 =4py ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
−6=4p, −6=4p, ਇਸ ਲਈ p=− 3 2 । p=− 3 2 । ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪਰਬਲੈ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,p )=( 0,− 3 2 ) ( 0,p )=( 0,− 3 2 ) ਹਨ
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=−p= 3 2 y=−p= 3 2 ਹੈ
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y= 3 2 y= 3 2 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ( ±3,− 3 2 ) ( ±3,− 3 2 )
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਬਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
x 2 =8y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। x 2 =8y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਪਰਬਲੈ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਇਸਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ।
ਕਿਵੇਂ
ਇਸਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ ਜਾਂ y-ਧੁਰਾ। ਜੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( p,0 ), ( p,0 ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ y 2 =4px ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y 2 =4px ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,p ), ( 0,p ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ x 2 =4py ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x 2 =4py ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 4p।
ਸਟੈਪ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਟੈਪ 2 ਤੋਂ ਮੁੱਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ ਇਸਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਗਏ
ਫੋਕਸ ( − 1 2 ,0 ) ( − 1 2 ,0 ) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 1 2 x= 1 2 ਵਾਲੇ ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਫੋਕਸ ( p,0 ), ( p,0 ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y 2 =4px ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰੇਗਾ। y 2 =4px ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰੇਗਾ।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, 4p, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 4p=4( − 1 2 )=−2 ਹੈ। 4p=4( − 1 2 )=−2 ਹੈ।
4p, 4p, ਲਈ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y 2 =4px=−2x ਹੈ। y 2 =4px=−2x ਹੈ।
Therefore, the equation for the parabola is y 2 =−2x. y 2 =−2x.
Try It #3
What is the equation for the parabola with focus ( 0, 7 2 ) ( 0, 7 2 ) and directrix y=− 7 2 ? y=− 7 2 ?
Graphing Parabolas with Vertices Not at the Origin
Like other graphs we’ve worked with, the graph of a parabola can be translated. If a parabola is translated h h units horizontally and k k units vertically, the vertex will be ( h,k ). ( h,k ). This translation results in the standard form of the equation we saw previously with x x replaced by ( x−h ) ( x−h ) and y y replaced by ( y−k ). ( y−k ).
To graph parabolas with a vertex ( h,k ) ( h,k ) other than the origin, we use the standard form ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the x-axis, and ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the y-axis. These standard forms are given below, along with their general graphs and key features.
Standard Forms of Parabolas with Vertex (h, k)
Table 2 and Figure 9 summarize the standard features of parabolas with a vertex at a point ( h,k ). ( h,k ).
row: Axis of Symmetry | Equation | Focus | Directrix | Endpoints of Latus Rectum
row: y=k y=k | ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) | ( h+p,k ) ( h+p,k ) | x=h−p x=h−p | ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p )
row: x=h x=h | ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) | ( h,k+p ) ( h,k+p ) | y=k−p y=k−p | ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Figure 9: (a) When p>0, p>0, the parabola opens right. (b) When p<0, p<0, the parabola opens left. (c) When p>0, p>0, the parabola opens up. (d) When p<0, p<0, the parabola opens down.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (h, k), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) or ( x−h ) 2 =4p( y−k ). ( x−h ) 2 =4p( y−k ).
Use the standard form identified in Step 1 to determine the vertex, axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form ( y−k ) 2 =4p( x−h ), ( y−k ) 2 =4p( x−h ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of k k to determine the axis of symmetry, y=k y=k set 4p 4p equal to the coefficient of ( x−h ) ( x−h ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h+p,k ) ( h+p,k ) use h h and p p to find the equation of the directrix, x=h−p x=h−p use h,k, h,k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p ) If the equation is in the form ( x−h ) 2 =4p( y−k ), ( x−h ) 2 =4p( y−k ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of h h to determine the axis of symmetry, x=h x=h set 4p 4p equal to the coefficient of ( y−k ) ( y−k ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h,k+p ) ( h,k+p ) use k k and p p to find the equation of the directrix, y=k−p y=k−p use h, k, h, k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Plot the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 4
Graphing a Parabola with Vertex (h, k) and Axis of Symmetry Parallel to the x-axis
Graph ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). Identify and label the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is ( y−k ) 2 =4p( x−h ). ( y−k ) 2 =4p( x−h ). Thus, the axis of symmetry is parallel to the x-axis. It follows that:
the vertex is ( h,k )=( −3,1 ) ( h,k )=( −3,1 )
the axis of symmetry is y=k=1 y=k=1
−16=4p, −16=4p, ਇਸ ਲਈ p=−4. p=−4. ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪਰਬਲੈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h+p,k )=( −3+( −4 ),1 )=( −7,1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=h−p=−3−( −4 )=1 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h+p,k±2p )=( −3+( −4 ),1±2( −4 ) ), ਜਾਂ ( −7,−7 ) ਅਤੇ ( −7,9 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਬਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗ੍ਰਾਫ ( y+1 ) 2 =4( x−8 )। ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ x 2 −8x−28y−208=0। ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ x ਚੱਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਸਿਖਰ ( h,k )=( 4,−8 ) ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=h=4 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ p=7, p>0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਬਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k+p )=( 4,−8+7 )=( 4,−1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=k−p=−8−7=−15 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h±2p,k+p )=( 4±2( 7 ),−8+7 ), ਜਾਂ ( −10,−1 ) ਅਤੇ ( 18,−1 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਬਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗ੍ਰਾਫ ( x+2 ) 2 =−20( y−3 )। ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਪਰਬਲੈ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰਬਲੈ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੈਲੀਸਕੋਪ, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਅਤੇ ਰਾਡਾਰ ਉਪਕਰਨ। ਪਰਬਲੈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਨੂੰ ਰੌਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਰਬਲੈ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਤ੍ਹਾ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਿੱਧਾ ਫੋਕਸ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਜਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਪਰਬਲੈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਫੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 12: ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ
2. ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਸੂਰਜ ਦੀ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁਝ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸੈਂਕੜੇ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ ਵਾਲੇ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੂਰਜੀ ਉਤਪਾਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜੀ ਕੁੱਕਰ, ਸੂਰਜੀ ਹੀਟਰ, ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 6
4. ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ ਇਗਨਾਈਟਰ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਗਨਾਈਟਰ ਪਰਵਲੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਿਰਨਾਂ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਜਲਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
6. ⓐ ਉਸ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ।
7. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਚਿੱਤਰ 13: ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ
9. ਹੱਲ
10. ⓐ ਡਿਸ਼ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਵਲਾ x² = 4py, ਜਿੱਥੇ p>0, ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਗਨਾਈਟਰ, ਜੋ ਕਿ ਫੋਕਸ ਹੈ, ਡਿਸ਼ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 1.7 ਇੰਚ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ p=1.7 ਹੈ। x² = 4py ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (0,0) ਹੈ। x² = 4(1.7)y p ਲਈ 1.7 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। x² = 6.8y ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ⓑ ਡਿਸ਼ ਮੂਲ ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ 4.5² = 2.25 ਇੰਚ ਤੱਕ ਫੈਲੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਸ਼ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x² = 6.8y ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਲੱਭਿਆ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ। (2.25)² = 6.8y x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। y≈0.74 y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਡਿਸ਼ ਲਗਭਗ 0.74 ਇੰਚ ਡੂੰਘੀ ਹੈ।
12. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
13. ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਲਈ ਬਾਲਕੋਨੀ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਕੁੱਕਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਡਿਸ਼ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਿਆਸ 1600 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ "ਕੁੱਕਰ" ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਬੇਸ ਤੋਂ 320 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਦੂਰ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ⓐ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੂਰਜੀ ਕੁੱਕਰ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਰਵਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ਇਸਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ)।
15. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁੱਕਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਮੀਡੀਆ
17. ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
18. ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਪਰਵਲਾ ਭਾਗ 1/2
19. ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਪਰਵਲਾ ਭਾਗ 2/2
20. ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਲਾ
21. ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਲਾ
22. ਸ਼ਬਦਿਕ
23. ਪਰਵਲੇ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
24. ਜੇਕਰ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ p ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਪਰਵਾਲੇ (parabola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ p ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ p ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੱਧਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਕੀ ਅਸਰ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚੌੜਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਾ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
y² = 4 − x²
y = 4x²
3x² − 6y² = 12
(y−3)² = 8(x−2)
y² + 12x − 6y − 51 = 0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ (V), ਫੋਕਸ (F), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (d) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = 8y²
y = (1/4)x²
y = −4x²
x = (1/8)y²
x = 36y²
x = (1/36)y²
(x−1)² = 4(y−1)
(y−2)² = (4/5)(x+4)
(y−4)² = 2(x+3)
(x+1)² = 2(y+4)
(x+4)² = 24(y+1)
(y+4)² = 16(x+4)
y² + 12x − 6y + 21 = 0
x 2 −4x−24y+28=0 x 2 −4x−24y+28=0
5 x 2 −50x−4y+113=0 5 x 2 −50x−4y+113=0
y 2 −24x+4y−68=0 y 2 −24x+4y−68=0
x 2 −4x+2y−6=0 x 2 −4x+2y−6=0
y 2 −6y+12x−3=0 y 2 −6y+12x−3=0
3 y 2 −4x−6y+23=0 3 y 2 −4x−6y+23=0
x 2 +4x+8y−4=0 x 2 +4x+8y−4=0
Graphical
For the following exercises, graph the parabola, labeling the focus and the directrix.
x= 1 8 y 2 x= 1 8 y 2
y=36 x 2 y=36 x 2
y= 1 36 x 2 y= 1 36 x 2
y=−9 x 2 y=−9 x 2
( y−2 ) 2 =− 4 3 ( x+2 ) ( y−2 ) 2 =− 4 3 ( x+2 )
−5 ( x+5 ) 2 =4( y+5 ) −5 ( x+5 ) 2 =4( y+5 )
−6 ( y+5 ) 2 =4( x−4 ) −6 ( y+5 ) 2 =4( x−4 )
y 2 −6y−8x+1=0 y 2 −6y−8x+1=0
x 2 +8x+4y+20=0 x 2 +8x+4y+20=0
3 x 2 +30x−4y+95=0 3 x 2 +30x−4y+95=0
y 2 −8x+10y+9=0 y 2 −8x+10y+9=0
x 2 +4x+2y+2=0 x 2 +4x+2y+2=0
y 2 +2y−12x+61=0 y 2 +2y−12x+61=0
−2 x 2 +8x−4y−24=0 −2 x 2 +8x−4y−24=0
For the following exercises, find the equation of the parabola given information about its graph.
ਸ਼ਿਖਰ (0,0) ਹੈ; (0,0) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=4 ਹੈ, y=4 ਹੈ, ਨਾਭੀ (0,−4) ਹੈ। (0,−4)।
ਸ਼ਿਖਰ (0,0) ਹੈ; (0,0) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=4 ਹੈ, x=4 ਹੈ, ਨਾਭੀ (−4,0) ਹੈ। (−4,0)।
ਸ਼ਿਖਰ (2,2) ਹੈ; (2,2) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=2−√2 ਹੈ, x=2−√2 ਹੈ, ਨਾਭੀ (2+√2,2) ਹੈ। (2+√2,2)।
ਸ਼ਿਖਰ (−2,3) ਹੈ; (−2,3) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=−7/2 ਹੈ, x=−7/2 ਹੈ, ਨਾਭੀ (−1/2,3) ਹੈ। (−1/2,3)।
ਸ਼ਿਖਰ (2,−3) ਹੈ; (2,−3) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=2√2 ਹੈ, x=2√2 ਹੈ, ਨਾਭੀ (0,−3) ਹੈ। (0,−3)।
ਸ਼ਿਖਰ (1,2) ਹੈ; (1,2) ਹੈ; ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=11/3 ਹੈ, y=11/3 ਹੈ, ਨਾਭੀ (1, 1/3) ਹੈ। (1, 1/3)।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸ਼ਿਖਰ ਅਤੇ ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
V(0,0) V(0,0), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (2,1) (2,1), (−2,1) (−2,1)
V(0,0) V(0,0), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−2,4) (−2,4), (−2,−4) (−2,−4)
V(1,2) V(1,2), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−5,5) (−5,5), (7,5) (7,5)
V(−3,−1) V(−3,−1), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,5) (0,5), (0,−7) (0,−7)
V(4,−3) V(4,−3), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (5,−7/2) (5,−7/2), (3,−7/2) (3,−7/2)
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹੈੱਡਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਪਰਵਲੈਕ੍ਰਿਤੀ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਲਬ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੀਮੈਟਿਕ 'ਤੇ, ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²=4y ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਲਬ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਨਾਭੀ (0,0.25) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, (0,0.25), ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਲੈਕ੍ਰਿਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰਿਸੀਵਰ ਨੂੰ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਆਪਣੇ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ 4 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 8 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਾਂਗੇ?
ਇੱਕ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਲੈਕ੍ਰਿਤੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਰਚਲਾਈਟ ਦਾ ਖੁੱਲਣਾ 3 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 6 ਇੰਚ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲਣਾ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਕਮਾਨ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸਪੈਨ 100 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਕਮਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਪੈਨ 160 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 40 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਉਹ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਉਹ y=−x²+96x, y=−x²+96x, ਜਿੱਥੇ x ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਅਤੇ y ਉਚਾਈ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਵਲੈਕ੍ਰਿਤੀ ਮਾਰਗ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇ। ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ y = -0.5x² + 80x ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ ਜੋ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ (y ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ) ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ (coordinate) -b/(2a) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ax² + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਸਮੀਕਰਨ y = -0.5x² + 80x ਵਿੱਚ, a = -0.5 ਅਤੇ b = 80 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ: x = -80 / (2 * -0.5) x = -80 / -1 x = 80 ਇਸ ਲਈ, ਵਸਤੂ ਨੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 80 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ।