ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓਗੇ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋਗੇ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੇ ਪਥ, ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਧਮਾਕੇ, ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀ ਥੰਮ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸਾਂਝਾ ਹੈ? ਇਹ ਸਭ ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਦਮੇ ਵਾਲੀ ਤਰੰਗ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤਰੰਗ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਬੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਸਦਮੇ ਵਾਲੀ ਤਰੰਗ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਨੀ ਬੰਬ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦੀ ਹੈ।
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਧੁਨੀ ਬੰਬ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਪਰ ਮਨੁੱਖ ਪਹਿਲੀ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਉਡਾਣ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜ ਰਹੇ ਸਨ। ਕੋਰੜੇ ਦੀ ਚੀਰ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਦਾ ਸਿਰਾ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਹਥਿਆਰਾਂ ਤੋਂ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਵੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਬੰਦੂਕ ਦੀ ਗਰਜ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਧੁਨੀ ਬੰਬ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਅੱਧੇ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕਟੌਤੀ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਸੀਮਤ ਵਕਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀਆਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਾਂਗ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਵੀ ਇੱਕ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕਿਸੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ (x,y) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਾਂਗ, ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਦੋ ਅਕਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਕਸ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ ਜੋ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਉਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਕਸ਼ ਨੂੰ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ਼ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਕਸ਼ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਇਹਨਾਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ ਹਰ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਨ; ਇਹ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ, ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਵਧਾਓ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ; ਅਕਸ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ x- ਅਤੇ y-ਅਕਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ ਜਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ (−c,0) ਅਤੇ (c,0) ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਜੇ (a,0) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ (−c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। (c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ c−a ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
ਜੇ (x,y) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d2−d1 ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ 2a ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d2−d1=2a ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਦੀ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ (±a,0) ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (0±b) ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ (conjugate axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (asymptotes) ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b/a x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5a ਵੇਖੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a/b x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5b ਵੇਖੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c² = a² + b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5: (a) ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ (b) ਖੜਵੀਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ
ਕਿਵੇਂ
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ (transverse axis) x- ਧੁਰੇ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $a^2$ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਸ ਚੱਲ (variable) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੇ ਚੱਲ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਸਿਖਰਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(\pm a, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(\pm c, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(0, \pm a)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ $a = \sqrt{a^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $a$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
$\frac{y^2}{49} - \frac{x^2}{32} = 1$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, $x=0$ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਸਿਖਰ $(0, \pm 7)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm 9)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰਿਆਂ (conjugate axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ $c^2 = a^2 + b^2$ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates) ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(\pm a, 0)$ ਅਤੇ $(\pm c, 0)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(0, \pm a)$ ਅਤੇ $(0, \pm c)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $b^2$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $a^2$ ਅਤੇ $b^2$ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਕ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
1. ਅਤਿਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ( ±6,0 ) ( ±6,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ( ±2√10 ,0 ) ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ?
2. ਹੱਲ
3. ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/a² − y²/b² =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। x²/a² − y²/b² =1.
4. ਸਿਖਰ ( ±6,0 ) ( ±6,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=6 a=6 ਅਤੇ a²=36। a²=36.
5. ਨਾਭੀਆਂ ( ±2√10 ,0 ) ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=2√10 c=2√10 ਅਤੇ c²=40। c²=40.
6. b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, b² , ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
7. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ a²=36 a²=36 ਅਤੇ b²=4 b²=4 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, x²/a² − y²/b² =1, ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। x²/a² − y²/b² =1. ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/36 − y²/4 =1, x²/36 − y²/4 =1, ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
9. ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±2 ) ( 0,±2 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,±2√5 ) ( 0,±2√5 ) ਹਨ?
10. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ
11. ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੀ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਨੂੰ h h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k k ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਪਿਛਲੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x x ਨੂੰ (x−h) (x−h) ਅਤੇ y y ਨੂੰ (y−k) (y−k) ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
13. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ (transverse axis) ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
14. ਜਿੱਥੇ
15. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
16. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k) (h±a,k) ਹਨ
17. ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ (conjugate axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b) (h,k±b) ਹਨ
19. ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 2c, 2c, ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b² c² = a² + b²
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k) (h±c,k) ਹਨ
21. ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ (asymptotes) ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ (central rectangle) ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ (diagonals) ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਚੌੜਾਈ 2b 2b ਹੈ। ਵਿਕਰਨਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ (slopes) ±b/a, ±b/a, ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਕਰਨ ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਸੂਤਰ (point-slope formula) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸਰਲ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(b/a)(x−h)+k ਹਨ। y=±(b/a)(x−h)+k. ਚਿੱਤਰ 7a ਵੇਖੋ।
22. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
( h, k±a ) ( h, k±a ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ।
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h±b, k ) ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h, k±c ) ਹਨ।
ਉਪਰੋਕਤ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y = ±(a/b)(x−h) + k ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7b ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ। (b) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਵਾਂਗ, ਬਿੰਦੂ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ c² = a² + b² ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ ਦੇ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (y−k)²/a² − (x−h)²/b² = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣੋ।
a² ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਫਾਸਲੇ, ਜੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੋ।
ਨਾਭੀਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ h ਅਤੇ k ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c² ਲੱਭੋ।
ਸਮੀਕਰਨ b² = c² − a² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a², ਅਤੇ b² ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ।
ਉਹ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−2,−2) ਅਤੇ (8,−2) ਹਨ, ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸਿਖਰਾਂ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸਿਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ ਲੱਭ ਕੇ a² ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ c² ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±c,k) ਹਨ। ਇਸ ਲਈ (h−c,k) = (−2,−2) ਅਤੇ (h+c,k) = (8,−2)। ਅਸੀਂ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ (8,−2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ h=3 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ,
1. b 2 ਦਾ ਮੁੱਲ c 2 − a 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ: b 2 = c 2 − a 2 :
2. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
4. ਉਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (1,−2) (1,−2) ਅਤੇ (1,8) (1,8) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (1,−10) (1,−10) ਅਤੇ (1,16) (1,16) ਹਨ? (1,16)?
5. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
6. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ: ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਸੀਮਟੋਟਸ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. (0,0) (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
9. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ; ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (±a,0) (±a,0) ਹਨ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±b) (0,±b) ਹਨ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (±c,0) (±c,0) ਹਨ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b a x y=± b a x ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1, y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±a) (0,±a) ਹਨ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (±b,0) (±b,0) ਹਨ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±c) (0,±c) ਹਨ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b x y=± a b x ਹਨ।
11. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲਈ c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 . ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਬਣਾਓ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 4
14. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0, 0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ
15. y 2 64 − x 2 36 =1 y 2 64 − x 2 36 =1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਉਹ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ।
18. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±a)=(0,±64)=(0,±8) (0,±a)=(0,±64)=(0,±8) ਹਨ।
19. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (±b,0)=(±36,0)=(±6,0) (±b,0)=(±36,0)=(±6,0) ਹਨ।
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±c), (0,±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 . c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, c, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
21. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0,±10) (0,±10) ਹਨ।
22. ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b x=± 8 6 x=± 4 3 x y=± a b x=± 8 6 x=± 4 3 x ਹਨ।
23. ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਆਇਤ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਧਾਓ। ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਢਾਂਚਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਬਣਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
x 2 144 − y 2 81 =1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x 2 144 − y 2 81 =1। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (h,k) ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ (x−h) 2 a 2 − (y−k) 2 b 2 =1 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ (y−k) 2 a 2 − (x−h) 2 b 2 =1 ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਿਣ ਅਤੇ ਪਲੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ; ਇਸਦੀਆਂ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ; ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਰੂਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ; ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h) 2 a 2 − (y−k) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b a (x−h)+k ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (y−k) 2 a 2 − (x−h) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±b,k) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±c) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b (x−h)+k ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ c=± a 2 + b 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (curve) ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
9 x 2 −4 y 2 −36x−40y−388=0 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। 9 x 2 −4 y 2 −36x−40y−388=0। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਦੇ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਦਾ ਫੈਕਟਰ ਬਣਾਓ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਥਿਰ ਜੋੜ ਕੇ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ (perfect squares) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (x−h) 2 a 2 − (y−k) 2 b 2 =1 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =36 ਅਤੇ b 2 =81, ਜਾਂ a=6 ਅਤੇ b=9। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k)=(2,−5) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k)=(2±6,−5), ਜਾਂ (−4,−5) ਅਤੇ (8,−5) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b)=(2,−5±9), ਜਾਂ (2,−14) ਅਤੇ (2,4) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k), ਜਿੱਥੇ c=± a 2 + b 2 ਹਨ। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (2−3√13,−5) ਅਤੇ (2+3√13,−5) ਹਨ।
y=± b a ( x−h )+k=± 3 2 ( x−2 )−5.
ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖਗੋਲ ਵਿਗਿਆਨ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯੀ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ। ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਾਤਾਵਰਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਗਰਮੀ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਬਿਜਲੀ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਲਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯੀ ਰੂਪ ਕਾਰਨ, ਇਹ ਢਾਂਚੇ ਆਪਣੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਣ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਹਵਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ 500-ਫੁੱਟ ਟਾਵਰ ਸਿਰਫ਼ 6 ਜਾਂ 8 ਇੰਚ ਚੌੜੀ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕੰਕਰੀਟ ਸ਼ੈੱਲ ਤੋਂ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ!
ਚਿੱਤਰ 10: ਡ੍ਰੈਕਸ ਪਾਵਰ ਸਟੇਸ਼ਨ, ਉੱਤਰੀ ਯੌਰਕਸ਼ਾਇਰ, ਯੂਨਾਈਟਿਡ ਕਿੰਗਡਮ ਵਿਖੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਲੇਸ ਹੇਨਸ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਪਹਿਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯੀ ਟਾਵਰਾਂ ਨੂੰ 1914 ਵਿੱਚ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹ 35 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਸਨ। ਅੱਜ, ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਫਰਾਂਸ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ 170 ਮੀਟਰ ਦੀ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟਾਵਰ 179.6 ਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਵਿਆਸ 72 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ, ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸੇ 60 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਲਈ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਡਿਜ਼ਾਈਨ
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟਾਵਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, ਜਿੱਥੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ a 2 a 2 ਅਤੇ b 2 b 2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ a 2 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। a 2। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 2a। ਇਹ ਲੰਬਾਈ ਉਹ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਾਸੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ 60 60 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 2a=60। 2a=60। ਇਸ ਲਈ, a=30 a=30 ਅਤੇ a 2 =900। a 2 =900।
b 2 , b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x x ਅਤੇ y y ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ( x,y ) ( x,y ) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸੱਜੇ ਕੋਨੇ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਕਿਉਂਕਿ y-ਧੁਰਾ ਟਾਵਰ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, ਜਾਂ 36 ਮੀਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। y-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 79.6 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਭਾਗ 1/2
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਭਾਗ 2/2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਮੌਖਿਕ
ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ?
ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਇਸਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3 y 2 +2x=6
x 2 36 − y 2 9 =1
5 y 2 +4 x 2 =6x
25 x 2 −16 y 2 =400
−9 x 2 +18x+ y 2 +4y−14=0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
x 2 25 − y 2 36 =1
x 2 100 − y 2 9 =1
y 2 4 − x 2 81 =1
9 y 2 −4 x 2 =1
( x−1 ) 2 9 − ( y−2 ) 2 16 =1
( y−6 ) 2 36 − ( x+1 ) 2 16 =1
( x−2 ) 2 49 − ( y+7 ) 2 49 =1
4 x 2 −8x−9 y 2 −72y+112=0
−9x^2 − 54x + 9y^2 − 54y + 81 = 0
4x^2 − 24x − 36y^2 − 360y + 864 = 0
−4x^2 + 24x + 16y^2 − 128y + 156 = 0
−4x^2 + 40x + 25y^2 − 100y + 100 = 0
x^2 + 2x − 100y^2 − 1000y + 2401 = 0
−9x^2 + 72x + 16y^2 + 16y + 4 = 0
4x^2 + 24x − 25y^2 + 200y − 464 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਅਸੀਮਟੋਟਸ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
y^2/3^2 − x^2/3^2 = 1
(x−3)^2/5^2 − (y+4)^2/2^2 = 1
(y−3)^2/3^2 − (x+5)^2/6^2 = 1
9x^2 − 18x − 16y^2 + 32y − 151 = 0
16y^2 + 96y − 4x^2 + 16x + 112 = 0
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
x^2/49 − y^2/16 = 1
x^2/64 − y^2/4 = 1
y^2/9 − x^2/25 = 1
81x^2 − 9y^2 = 1
(y+5)^2/9 − (x−4)^2/25 = 1
(x−2)^2/8 − (y+3)^2/27 = 1
(y−3)^2/9 − (x−3)^2/9 = 1
−4x^2 − 8x + 16y^2 − 32y − 52 = 0
x^2 − 8x − 25y^2 − 100y − 109 = 0
− x 2 +8x+4 y 2 −40y+88=0
64 x 2 +128x−9 y 2 −72y−656=0
16 x 2 +64x−4 y 2 −8y−4=0
−100 x 2 +1000x+ y 2 −10y−2575=0
4 x 2 +16x−4 y 2 +16y+16=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਸਿਖਰ ( 3,0 ) ਅਤੇ ( −3,0 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ( 5,0 ) 'ਤੇ।
ਸਿਖਰ ( 0,6 ) ਅਤੇ ( 0,−6 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ( 0,−8 ) 'ਤੇ।
ਸਿਖਰ ( 1,1 ) ਅਤੇ ( 11,1 ) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ( 12,1 ) 'ਤੇ।
ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 0,−13 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 0, 313 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 4,2 ); ਸਿਖਰ: ( 9,2 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+ 26 ,2 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 3,5 ); ਸਿਖਰ: ( 3,11 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+2 10 ).
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ y x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x 2 4 − y 2 9 =1
y 2 9 − x 2 1 =1
( x−2 ) 2 16 − ( y+3 ) 2 25 =1
−4 x 2 −16x+ y 2 −2y−19=0
4 x 2 −24x− y 2 −4y+16=0
ਸਾਫ਼-ਸੁਥਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੁਹਾਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੇਜ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
ਹੇਜ y=x ਅਤੇ y=−x ਅਨੁਸਾਰ ਚੱਲੇਗਾ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਫੁਹਾਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 5 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਹੇਜ y=2x ਅਤੇ y=−2x ਅਨੁਸਾਰ ਚੱਲੇਗਾ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਫੁਹਾਰੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 6 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 1 2 x ਅਤੇ y=− 1 2 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 10 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 2 3 x ਅਤੇ y=− 2 3 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 12 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 3 4 x ਅਤੇ y=− 3 4 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 20 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਸਾਡੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰਾ ਵਸਤੂ ਦੇ ਮਾਰਗ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੋਵੇ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਡਾਣ ਮਾਰਗ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿਓ।
ਵਸਤੂ y=x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ 1 au (ਖਗੋਲਿਕ ਇਕਾਈ) ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਇਹ y=−x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=2x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ 0.5 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−2x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=0.5x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−0.5x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y= 1 3 x−1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=− 1 3 x+1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=3x−9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ 1 au ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−3x+9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।