ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋਗੇ।
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗਾਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: NASA Blueshift, Flickr)
ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤੇ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਗਤੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਮਾਣੂ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ। ਗ੍ਰਹਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਵੱਡੇ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਐਸਟੇਰੋਇਡਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਅਕਸਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਧੂਮਕੇਤੂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀਆਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਉਸ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਪਿੰਡ ਤੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਵਿੱਚ, ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਏਪੀਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਵੇਗ ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਵਧਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਏਪੀਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕ ਬਚਣ ਦੀ ਗਤੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕ ਪਿੰਡ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ; ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਫਾਇਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੋਕਸ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ। ਪੈਰਾਬੋਲਾ x=2+ y 2 x=2+ y 2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
'ਦ ਪੈਰਾਬੋਲਾ' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ) ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਪੋਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ P(r,θ) P(r,θ) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਜੋ ਕਿ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ F F ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਫੋਕਸ, ਅਤੇ D D ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ e e ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦਾ ਸੈੱਟ ਜਿਸ ਲਈ e= PF PD e= PF PD ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ ਕਿ F F ਤੋਂ P P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ D D ਤੱਕ P P ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਥਿਰ e ਹੈ। e.
ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e e ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ,
ਜੇਕਰ 0≤e<1, 0≤e<1, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ e=1, e=1, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੈ
ਜੇਕਰ e>1, e>1, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, x=±p, x=±p, ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e, e, ਅਤੇ ਕੋਣ θ. θ. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ r r ਅਤੇ θ. θ. ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=±p, x=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=±p, y=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਕਿਸਮ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਐਕਸੇਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e e ਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
1. e e ਦੀ ਤੁਲਨਾ 1 ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਰੂਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਜੇਕਰ ਕੋਸਾਈਨ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=p ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਾਈਨ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਤਾਂ y=p ਲਿਖੋ। x ਜਾਂ y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ e p ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 1
4. ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ
5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ੰਕੂ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
6. r= 6 3+2sinθ
7. r= 12 4+5cosθ
8. r= 7 2−2sinθ
9. ਹੱਲ
10. ਤਿੰਨ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦੇ ਉਲਟ, 1/c, ਜਿੱਥੇ c ਉਹ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 6 3+2sinθ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6( 1 3 ) 3( 1 3 )+2( 1 3 )sinθ = 2 1+ 2 3 sinθ r= 6 3+2sinθ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6( 1 3 ) 3( 1 3 )+2( 1 3 )sinθ = 2 1+ 2 3 sinθ ਕਿਉਂਕਿ sinθ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=p ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ e= 2 3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਤੋਂ, 2=ep 2= 2 3 p ( 3 2 )2=( 3 2 ) 2 3 p 3=p 2=ep 2= 2 3 p ( 3 2 )2=( 3 2 ) 2 3 p 3=p ਕਿਉਂਕਿ e<1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e= 2 3 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=3 ਹੈ।
12. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 1/4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 12 4+5cosθ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) r= 12( 1 4 ) 4( 1 4 )+5( 1 4 )cosθ r= 3 1+ 5 4 cosθ r= 12 4+5cosθ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) r= 12( 1 4 ) 4( 1 4 )+5( 1 4 )cosθ r= 3 1+ 5 4 cosθ ਕਿਉਂਕਿ cosθ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=p ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, e= 5 4 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਤੋਂ, 3=ep 3= 5 4 p ( 4 5 )3=( 4 5 ) 5 4 p 12 5 =p 3=ep 3= 5 4 p ( 4 5 )3=( 4 5 ) 5 4 p 12 5 =p ਕਿਉਂਕਿ e>1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e= 5 4 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 12 5 =2.4 ਹੈ।
13. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 7 2−2sinθ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) r= 7( 1 2 ) 2( 1 2 )−2( 1 2 )sinθ r= 7 2 1−sinθ r= 7 2−2sinθ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) r= 7( 1 2 ) 2( 1 2 )−2( 1 2 )sinθ r= 7 2 1−sinθ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, e=1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਤੋਂ, 7 2 =ep 7 2 =( 1 )p 7 2 =p 7 2 =ep 7 2 =( 1 )p 7 2 =p ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e=1 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=− 7 2 =−3.5 ਹੈ।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
15. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ੰਕੂ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ r= 2 3−cosθ ਲਈ।
16. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
17. ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਇਹ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਵਕਰ ਚੁਣਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਲੱਛਣਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਹਰ 1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ e ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ θ ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ r ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। θ ਨੂੰ 0, π/2, π, ਅਤੇ 3π/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ ਸਿਖਰ ਮਿਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਮੋਟਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕੀਏ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 2
19. ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
20. r= 5 3+3cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
21. ਹੱਲ
22. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 3 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 1/3 ਹੈ, ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
23. ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ cosθ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=p ਹੈ।
24. ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 5 3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ: A | B | C | D
ਕਤਾਰ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਕਤਾਰ: r= 5/(3+3cosθ) | 5/6 ≈0.83 | 5/3 ≈1.67 | ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ | 5/3 ≈1.67
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 4 ਵੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 8/(2−3sinθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 1/2 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 3/2, e>1, ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ sinθ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=− 8/3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ: A | B | C | D
ਕਤਾਰ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਕਤਾਰ: r= 8/(2−3sinθ) | 4 | -8 | 4 | 8/5 =1.6
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 10/(5−4cosθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 5 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 1/5 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 4/5, e<1, ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ cosθ ਪਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=− 5/2 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 3 ਅਨੁਸਾਰ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਨਾ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਦੇਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਕਤਾਰ: ਏ | ਬੀ | ਸੀ | ਡੀ
ਕਤਾਰ: ਥੀਟਾ ਥੀਟਾ | 0 0 | ਪਾਈ 2 ਪਾਈ 2 | ਪਾਈ ਪਾਈ | 3ਪਾਈ 2 3ਪਾਈ 2
ਕਤਾਰ: ਆਰ= 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਆਰ= 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ | 10 10 | 2 2 | 10 9 ≈1.1 10 9 ≈1.1 | 2 2
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਆਰ= 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਆਰ= 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਇੱਕ ਵੇਖਣ ਵਿੰਡੋ [ –3,12,1 ] [ –3,12,1 ] ਵਿੱਚ [–4,4,1],ਥੀਟਾਮਿਨ =0 [–4,4,1],ਥੀਟਾਮਿਨ =0 ਅਤੇ ਥੀਟਾਮੈਕਸ =2ਪਾਈ। ਥੀਟਾਮੈਕਸ =2ਪਾਈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗ੍ਰਾਫ ਆਰ= 2 4−ਕੋਸਥੀਟਾ। ਆਰ= 2 4−ਕੋਸਥੀਟਾ।
ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਕਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਨਿਕਸ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਸੀਂ ਮੂਲ, ਵਿਭਿੰਨਤਾ, ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਫੋਕਸ, ਵਿਭਿੰਨਤਾ, ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ। ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y, y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਮ ਪੋਲਰ ਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x, x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਮ ਪੋਲਰ ਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਪੀ<0, ਪੀ<0, ਘਟਾਓ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਪੀ>0, ਪੀ>0, ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਪੀ ਪੀ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਫਾਰਮ ਲੱਭਣਾ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ, ਈ=3 ਈ=3 ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਫਾਰਮ ਲੱਭੋ। y=−2।
ਹੱਲ
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p, y=−p ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ y=−2,–2<0, y=−2,–2<0, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ ਈ=3 ਈ=3 ਅਤੇ | −2 |=2=ਪੀ। | −2 |=2=ਪੀ।
ਇਸ ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੀ ਨਾਭੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ, e= 3/5, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=4 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=p ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਸਾਈਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x=4, 4>0, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ e= 3/5 ਅਤੇ |4|=4=p।
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੀ ਨਾਭੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ, e=1, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=−1 ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਸ਼ੰਕੂ r= 1/(5−5sinθ) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਪਛਾਣਾਂ r=√(x²+y²), x=rcosθ, ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਸ਼ੰਕੂ r= 2/(1+2cosθ) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ - 1
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ - 2
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਅਤੇ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ sinθ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਫੋਕਸ/ਫੋਕਸਾਈ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦਿਓ।
r= 6 1−2cosθ
r= 3 4−4sinθ
r= 8 4−3cosθ
r= 5 1+2sinθ
r= 16 4+3cosθ
r= 3 10+10cosθ
r= 2 1−cosθ
r= 4 7+2cosθ
r(1−cosθ)=3
r(3+5sinθ)=11
r(4−5sinθ)=1
r(7+8cosθ)=7
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
r= 4 1+3sinθ
r= 2 5−3sinθ
r= 8 3−2cosθ
r= 3 2+5cosθ
r= 4 2+2sinθ
r= 3 8−8cosθ
r= 2 6+7cosθ
r= 5 5−11sinθ
r(5+2cosθ)=6
r(2−cosθ)=1
r(2.5−2.5sinθ)=5
r= 6secθ −2+3secθ
r= 6cscθ 3+2cscθ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
r= 5 2+cosθ
r= 2 3+3sinθ
r= 10 5−4sinθ
r= 3 1+2cosθ
r= 8 4−5cosθ
r= 3 4−4cosθ
r= 2 1−sinθ
r= 6 3+2sinθ
r(1+cosθ)=5
r(3−4sinθ)=9
r(3−2sinθ)=6
r(6−4cosθ)=5
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ 'ਤੇ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਉਤਪੀੜਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ: x=4;e= 1 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ: x=−4;e=5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: y=2;e=2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: y=−2;e= 1 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=1;e=1
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=−1;e=1
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=− 1 4 ;e= 7 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: y= 2 5 ;e= 7 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: y=4;e= 3 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=−2;e= 8 3
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=−5;e= 3 4
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: y=2;e=2.5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ: x=−3;e= 1 3
ਵਿਸਥਾਰ
ਧੁਰੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ xy ਪਦ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ θ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ r ਦੇ ਨਾਲ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
xy=2
x 2 +xy+ y 2 =4
2 x 2 +4xy+2 y 2 =9
16 x 2 +24xy+9 y 2 =4
2xy+y=1