ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋਗੇ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋਗੇ।
ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਇੱਕ ਵੀਡੀਓ ਗੇਮ ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਨਵੀਂ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਮੁਹਿੰਮ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਆਪਣੀ ਵੈੱਬਸਾਈਟ, ਜਾਂ ਹਿੱਟਾਂ, 'ਤੇ ਆਨਲਾਈਨ ਵਿਜ਼ਿਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ 2 ਹਿੱਟ, ਦੂਜੇ ਦਿਨ 4 ਹਿੱਟ, ਤੀਜੇ ਦਿਨ 8 ਹਿੱਟ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਦਿਨ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …
ਸਾਰਣੀ: ਹਿੱਟ | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | …
ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਹਿੱਟਾਂ ਹੋਣਗੀਆਂ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੂਚੀਆਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੂਚੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਮੰਨਣਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੈ। ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੁਆਰਾ ਸਥਾਪਿਤ ਲੜੀ ਹੈ
ਡੌਟਸ (...) ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਲੜੀ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਹਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 2, 4, 8, 16, ਅਤੇ 32 ਹਨ।
ਇੱਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ 31 ਪਦਾਂ ਤੱਕ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਪਦ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੁਸ਼ਲ ਤਰੀਕਾ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ, ਜੋ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਉਦੋਂ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੇ ਬਿਨਾਂ ਲੜੀ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ n ਕੋਈ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਪਿਛਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ 2 ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2^1 = 2 ਹੈ, ਦੂਜਾ ਪਦ 2^2 = 4 ਹੈ, ਤੀਜਾ ਪਦ 2^3 = 8 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। ਲੜੀ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ 2 ਨੂੰ nਵੇਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਨਾਮ a, b, c... ਵਰਗੇ ਛੋਟੇ ਅੱਖਰ ਨਾਲ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ n ਨਾਲ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੁੱਛੇ ਗਏ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ 31 ਦਿਨ ਮੰਨਾਂਗੇ। ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਆਖਰੀ ਦਿਨ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ 31ਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਲਈ 31 ਨੂੰ ਬਦਲਾਂਗੇ।
ਜੇਕਰ ਦੁੱਗਣੀ ਕਰਨ ਦਾ ਰੁਝਾਨ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਆਖਰੀ ਦਿਨ 2,147,483,648 ਹਿੱਟਾਂ ਮਿਲਣਗੀਆਂ। ਇਹ 2.1 ਅਰਬ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਿੱਟਾਂ ਹਨ! ਇਹ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸੰਖਿਆ ਸ਼ਾਇਦ ਥੋੜੀ ਅਵਾਸਤਵਿਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਖਪਤਕਾਰਾਂ ਦੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਅਤੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਵਪਾਰਕ ਫੈਸਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n
ਸਾਰਣੀ: ਲੜੀ ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ, a_n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 2^n
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਲੜੀ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਮਾਨ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਾਤਕ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਹ ਖਾਸ ਲੜੀ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਖਾਸ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇੱਕ ਲੜੀ ਜੋ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ 10 ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੀ।
Sequence
A sequence is a function whose domain is the set of positive integers. A finite sequence is a sequence whose domain consists of only the first n n positive integers. The numbers in a sequence are called terms. The variable a a with a number subscript is used to represent the terms in a sequence and to indicate the position of the term in the sequence.
We call a 1 a 1 the first term of the sequence, a 2 a 2 the second term of the sequence, a 3 a 3 the third term of the sequence, and so on. The term a n a n is called the nth term of the sequence, or the general term of the sequence. An explicit formula defines the nth nth term of a sequence using the position of the term. A sequence that continues indefinitely is an infinite sequence.
Q&A
Does a sequence always have to begin with a 1 ? a 1 ?
No. In certain problems, it may be useful to define the initial term as a 0 a 0 instead of a 1 . a 1 . In these problems, the domain of the function includes 0.
How To
Given an explicit formula, write the first n n terms of a sequence.
Substitute each value of n n into the formula. Begin with n=1 n=1 to find the first term, a 1 . a 1 .
To find the second term, a 2 , a 2 , use n=2. n=2.
Continue in the same manner until you have identified all n n terms.
Example 1
Writing the Terms of a Sequence Defined by an Explicit Formula
Write the first five terms of the sequence defined by the explicit formula a n =−3n+8. a n =−3n+8.
Solution
Substitute n=1 n=1 into the formula. Repeat with values 2 through 5 for n. n.
The first five terms are {5,2,−1,−4,−7}. {5,2,−1,−4,−7}.
Analysis
The sequence values can be listed in a table. A table, such as Table 3, is a convenient way to input the function into a graphing utility.
row: n n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
row: a n a n | 5 | 2 | –1 | –4 | –7
A graph can be made from this table of values. From the graph in Figure 2, we can see that this sequence represents a linear function, but notice the graph is not continuous because the domain is over the positive integers only.
Try It #1
Write the first five terms of the sequence defined by the explicit formula t n =5n−4. t n =5n−4.
Investigating Alternating Sequences
ਕਈ ਵਾਰ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਦਲਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦਰਅਸਲ, ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੀ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਕਦਮ ਉਹੀ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾ ਬਦਲਦੇ ਹੋਣ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ n ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਘਾਟਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ। ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੂਜੇ ਪਦ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਪਦ ਤੀਜੇ ਪਦ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਪਦ ਚੌਥੇ ਪਦ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੁਝਾਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਾ ਬਦਲੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਬਦਲਵੇਂ ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
n ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ, a1, ਲੱਭਣ ਲਈ n=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ (−1)n ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, a2, ਲੱਭਣ ਲਈ n=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ n ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਬਦਲਵੇਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=1, n=2, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਬਦਲੋ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ {−1/2, 4/3, −9/4, 16/5, −25/6} ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
Q&A
ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵਿੱਚ, ਕੀ n ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ (−1) ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦੀ ਹੈ?
ਹਾਂ, ਸ਼ਕਤੀ n, n+1, n−1, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਸ਼ਮ ਸ਼ਕਤੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮ ਸ਼ਕਤੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਉਪ-ਭਾਗਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਉਪ-ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਉਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ n=1 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇੱਕ 1 , ਇੱਕ 1 , ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=1 n=1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਸ ਸੂਤਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ n=2 n=2 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇੱਕ 2 , ਇੱਕ 2 , ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=2 n=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ n n ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਲੈਂਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਉਚਿਤ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=1,n=2, n=1,n=2, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਾਓ। n 2 n 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ n n 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਨਾ ਹੋਵੇ। n 3 n 3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ n n 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੋਵੇ।
ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ { 1,4,1,16,25,2 } ਹਨ। { 1,4,1,16,25,2 }।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜਲੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟਾ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਵੇਂ ਪਦ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ, ਹਰਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ, ਘਾਤ, ਜਾਂ ਆਧਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ।
ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਪਦ ਭਿੰਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
n n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a n a n ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। n. n=1,n=2, n=1,n=2, ਅਤੇ n=3. n=3 ਲਈ ਆਪਣੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਕ੍ਰਮ ਦੇ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ⓐ { − 2 11 , 3 13 ,− 4 15 , 5 17 ,− 6 19 ,… }
ⓑ {− 2 25 ,− 2 125 ,− 2 625 ,− 2 3,125 ,− 2 15,625 ,…}
ⓒ { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 ,…}
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਵੇਖੋ।
ⓐਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ (−1) n (−1) n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ ਨੂੰ n+1. n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਨੂੰ 2n+9. 2n+9 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। a n = (−1) n (n+1) 2n+9 a n = (−1) n (n+1) 2n+9
ⓑਪਦ ਸਾਰੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭਿੰਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅੰਸ਼ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 5 n+1 . 5 n+1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। a n =− 2 5 n+1 a n =− 2 5 n+1
ⓒਪਦ e. e ਦੇ ਘਾਤ ਹਨ। n=1, n=1 ਲਈ, ਪਹਿਲਾ ਪਦ e 4 e 4 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ n+3. n+3 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। a n = e n+3 a n = e n+3
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਲੜੀ ਦੇ nਵੇਂ nਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ
ਲੜੀਆਂ ਨੈਟਲਸ ਸ਼ੈੱਲ, ਪਾਈਨਕੋਨ, ਦਰਖਤ ਦੀਆਂ ਟਾਹਣੀਆਂ ਅਤੇ ਕਈ ਹੋਰ ਕੁਦਰਤੀ ਢਾਂਚਿਆਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੱਤੇ ਜਾਂ ਟਾਹਣੀ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ, ਫੁੱਲ ਦੀਆਂ ਪੰਖੜੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਾਂ ਨੈਟਲਸ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਚੈਂਬਰਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਲੜੀ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਮਸ਼ਹੂਰ ਲੜੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…. ਹਨ। ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਸਾਰ ਤੋਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਜੋ ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਕਾਲਾ ਲਿਲੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪੰਖੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, 13 ਪੰਖੜੀਆਂ ਵਾਲਾ ਬਲੈਕ-ਆਈਡ ਸੁਜ਼ਨ, ਅਤੇ ਡੇਜ਼ੀ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 21 ਜਾਂ 34 ਪੰਖੜੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਦਾ ਹਰੇਕ ਪਦ ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੋ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ (ਜਾਂ ਪਦਾਂ) ਦਾ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a n a n ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਅਗਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ { 3,5,9,17 } { 3,5,9,17 } ਹਨ।
ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦਸਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਅੱਠਵੇਂ ਅਤੇ ਨੌਵੇਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਅੱਠਵੇਂ ਅਤੇ ਨੌਵੇਂ ਪਦ 21 ਅਤੇ 34 ਹਨ, ਇਸ ਲਈ
ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ(ਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲੜੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, ਜਾਂ ਪਦਾਂ, ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਨਹੀਂ। ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਲੜੀ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ, ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, $a_2$, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨੂੰ $a_{n-1}$ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤੀਜਾ ਪਦ, $a_3$, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ।
$n$ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲਈ, ਅਸੀਂ $a_{n-1}$ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ $\{9, 7, 1, -17, -71\}$ ਹਨ। $\{9, 7, 1, -17, -71\}$। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ, ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਪਦ, $a_2$, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਸੂਤਰ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
$n$ਵੇਂ ਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੱਕ ਦੁਹਰਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
Writing the Terms of a Sequence Defined by a Recursive Formula
Write the first six terms of the sequence defined by the recursive formula.
Solution
The first two terms are given. For each subsequent term, we replace a n−1 a n−1 and a n−2 a n−2 with the values of the two preceding terms.
The first six terms are {1,2,10,38,154,614}. {1,2,10,38,154,614}. See Figure 6.
Try It #8
Write the first 8 terms of the sequence defined by the recursive formula.
Using Factorial Notation
The formulas for some sequences include products of consecutive positive integers. n n factorial, written as n!, n!, is the product of the positive integers from 1 to n. n. For example,
An example of formula containing a factorial is a n =(n+1)!. a n =(n+1)!. The sixth term of the sequence can be found by substituting 6 for n. n.
The factorial of any whole number n n is n(n−1)! n(n−1)! We can therefore also think of 5! 5! as 5⋅4!. 5⋅4!.
n Factorial
n factorial is a mathematical operation that can be defined using a recursive formula. The factorial of n, n, denoted n!, n!, is defined for a positive integer n n as:
The special case 0! 0! is defined as 0!=1. 0!=1.
Q&A
Can factorials always be found using a calculator?
No. Factorials get large very quickly—faster than even exponential functions! When the output gets too large for the calculator, it will not be able to calculate the factorial.
Example 7
Writing the Terms of a Sequence Using Factorials
Write the first five terms of the sequence defined by the explicit formula a n = 5n (n+2)! . a n = 5n (n+2)! .
Solution
Substitute n=1,n=2, n=1,n=2, and so on in the formula.
The first five terms are { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1,008 }. { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1,008 }.
Analysis
Figure 7 shows the graph of the sequence. Notice that, since factorials grow very quickly, the presence of the factorial term in the denominator results in the denominator becoming much larger than the numerator as n n increases. This means the quotient gets smaller and, as the plot of the terms shows, the terms are decreasing and nearing zero.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
2. ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ a n = (n+1)! 2n ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ। a n = (n+1)! 2n
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਦ ਲੱਭਣਾ
6. ਮੌਖਿਕ
7. ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅਰਥ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਬਾਰੇ ਕੀ?
8. ਤਿੰਨ ਤਰੀਕੇ ਦੱਸੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਕੀ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਹੈ? ਕੀ ਇਹੋ ਹੀ ਤਰਤੀਬਵਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
10. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕਾਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ n ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ a n ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਵਰਤਾਰੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਸ਼ਬਦ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
11. ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
12. ਬੀਜਗਣਿਤ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲਿਖੋ।
14. a n = 2 n −2
15. a n =− 16 n+1
16. a n =− ( −5 ) n−1
17. a n = 2 n n 3
18. a n = 2n+1 n 3
19. a n =1.25⋅ ( −4 ) n−1
20. a n =−4⋅ ( −6 ) n−1
21. a n = n 2 2n+1
22. a n = ( −10 ) n +1
23. a n =−( 4⋅ (−5) n−1 5 )
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਟੁਕੜੇ-ਟੁਕੜੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਠ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a n ={ (−2) n −2 if nis even (3) n−1 if nis odd a n ={ (−2) n −2 if nis even (3) n−1 if nis odd
a n ={ n 2 2n+1 if n≤5 n 2 −5 if n>5 a n ={ n 2 2n+1 if n≤5 n 2 −5 if n>5
a n ={ (2n+1) 2 if nis divisible by 4 2 n if nis not divisible by 4 a n ={ (2n+1) 2 if nis divisible by 4 2 n if nis not divisible by 4
a n ={ −0.6⋅ 5 n−1 if nis prime or 1 2.5⋅ (−2) n−1 if nis composite a n ={ −0.6⋅ 5 n−1 if nis prime or 1 2.5⋅ (−2) n−1 if nis composite
a n ={ 4( n 2 −2) if n≤3or n> 6 n 2 −2 4 if 3<n≤6 a n ={ 4( n 2 −2) if n≤3or n> 6 n 2 −2 4 if 3<n≤6
For the following exercises, write an explicit formula for each sequence.
4, 7, 12, 19, 28,… 4, 7, 12, 19, 28,…
−4,2,−10,14,−34,… −4,2,−10,14,−34,…
1,1, 4 3 ,2, 16 5 ,… 1,1, 4 3 ,2, 16 5 ,…
0, 1− e 1 1+ e 2 , 1− e 2 1+ e 3 , 1− e 3 1+ e 4 , 1− e 4 1+ e 5 ,… 0, 1− e 1 1+ e 2 , 1− e 2 1+ e 3 , 1− e 3 1+ e 4 , 1− e 4 1+ e 5 ,…
1,− 1 2 , 1 4 ,− 1 8 , 1 16 ,… 1,− 1 2 , 1 4 ,− 1 8 , 1 16 ,…
For the following exercises, write the first five terms of the sequence.
a 1 =9, a n = a n−1 +n a 1 =9, a n = a n−1 +n
a 1 =3, a n =( −3 ) a n−1 a 1 =3, a n =( −3 ) a n−1
a 1 =−4, a n = a n−1 +2n a n−1 −1 a 1 =−4, a n = a n−1 +2n a n−1 −1
a 1 =−1, a n = ( −3 ) n−1 a n−1 −2 a 1 =−1, a n = ( −3 ) n−1 a n−1 −2
a 1 =−30, a n =( 2+ a n−1 ) ( 1 2 ) n a 1 =−30, a n =( 2+ a n−1 ) ( 1 2 ) n
For the following exercises, write the first eight terms of the sequence.
a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n−2 )( 3 a n−1 ) a 1 = 1 24 , a 2 =1, a n =( 2 a n−2 )( 3 a n−1 )
a 1 =−1, a 2 =5, a n = a n−2 ( 3− a n−1 ) a 1 =−1, a 2 =5, a n = a n−2 ( 3− a n−1 )
a 1 =2, a 2 =10, a n = 2( a n−1 +2 ) a n−2 a 1 =2, a 2 =10, a n = 2( a n−1 +2 ) a n−2
For the following exercises, write a recursive formula for each sequence.
−2.5,−5,−10,−20,−40,… −2.5,−5,−10,−20,−40,…
−8,−6,−3,1,6,… −8,−6,−3,1,6,…
2,4,12,48,240,… 2,4,12,48,240,…
35,38,41,44,47,… 35,38,41,44,47,…
15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 ,⋯ 15,3, 3 5 , 3 25 , 3 125 ,⋯
For the following exercises, evaluate the factorial.
6! 6!
( 12 6 )! ( 12 6 )!
12! 6! 12! 6!
100! 99! 100! 99!
For the following exercises, write the first four terms of the sequence.
a n = n! n 2 a n = n! n 2
a n = 3⋅n! 4⋅n! a n = 3⋅n! 4⋅n!
a n = n! n 2 −n−1 a n = n! n 2 −n−1
a n = 100⋅n n(n−1)! a n = 100⋅n n(n−1)!
Graphical
For the following exercises, graph the first five terms of the indicated sequence
a n = ( −1 ) n n +n a n = ( −1 ) n n +n
a n ={ 4+n 2n if nis even 3+n if nis odd a n ={ 4+n 2n if nis even 3+n if nis odd
a 1 =2, a n = ( − a n−1 +1 ) 2 a 1 =2, a n = ( − a n−1 +1 ) 2
a 1 =1, a n = a n−1 +8 a 1 =1, a n = a n−1 +8
a n = ( n+1 )! ( n−1 )! a n = ( n+1 )! ( n−1 )!
For the following exercises, write an explicit formula for the sequence using the first five points shown on the graph.
For the following exercises, write a recursive formula for the sequence using the first five points shown on the graph.
Technology
Follow these steps to evaluate a sequence defined recursively using a graphing calculator:
1. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ 'a 1 a 1' ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ।
2. ਪਿਛਲੇ ਪਦ 'a n−1' ਲਈ [2ND] ANS ਕੁੰਜੀ-ਦਬਾਓ ਦੇ ਨਾਲ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਕੇ ਰਿਅਕਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
3. ਹਰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਉਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੜੀ ਲਈ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਜਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੱਭੋ: a 1 = 87 111, a n = 4 3 a n−1 + 12 37। ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇਣ ਲਈ >Frac ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. ਲੜੀ ਦਾ 15ਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ: a 1 =625, a n =0.8 a n−1 +18।
7. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੱਭੋ: a 1 =2, a n = 2 [( a n −1)−1] +1।
8. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦਸ ਪਦ ਲੱਭੋ: a 1 =8, a n = ( a n−1 +1 )! a n−1 ! ।
9. ਲੜੀ ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ: a 1 =2, a n =n a n−1
10. ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। TI-84 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਕੰਮ ਕਰੋ।
11. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, [2ND] LIST ਦਬਾਓ।
12. OPS ਵੱਲ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਡ੍ਰੌਪਡਾਉਨ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚੋਂ "seq(" ਚੁਣੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
13. "Expr:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, n ਲਈ [X,T,θ,n] ਬਟਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟਾਈਪ ਕਰੋ।
14. "Variable:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਪਿਛਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਟਾਈਪ ਕਰੋ।
15. "start:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਲੜੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਵਾਲੇ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ।
16. "end:" ਸਿਰਲੇਖ ਵਾਲੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ, ਲੜੀ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਰਜ ਕਰੋ।
17. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਣ ਲਈ [ENTER] ਨੂੰ 3 ਵਾਰ ਦਬਾਓ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ ਲੜੀ ਦਾ ਸਿੰਟੈਕਸ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੇਖਣ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤੀਰ ਕੁੰਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. TI-83 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਕੰਮ ਕਰੋ।
19. ਘਰ ਸਕ੍ਰੀਨ ਉੱਤੇ, [2ND] LIST ਦਬਾਓ।
20. OPS ਵੱਲ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਡ੍ਰੌਪਡਾਉਨ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚੋਂ "seq(" ਚੁਣੋ। [ENTER] ਦਬਾਓ।
21. ਆਈਟਮਾਂ ਨੂੰ "Expr", "Variable", "start", "end" ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਆਈਟਮ ਦੇ ਵਰਣਨ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
22. ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਦੇਖਣ ਲਈ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤੀਰ ਕੁੰਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੜੀ ਲਈ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
24. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ: a n =− 28 9 n+ 5 3 ।
1. a n = n 3 −3.5 n 2 + 4.1n−1.5 2.4n ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
2. a n = 15n⋅ ( −2 ) n−1 47 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
3. a n = 5.7 n +0.275( n−1 )! ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
4. a n = n! n . ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕ੍ਰਮ a n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਛੇ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
5. ਵਿਸਤਾਰ
6. a n =−6−8n. ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੀ a n =−421 ਇਸ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਦ ਹੈ? ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
7. a n = n 2 +4n+4 2( n+2 ) ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਪਦ 41 ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ? ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
8. ਕ੍ਰਮ 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, .... ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ a n ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।)
9. ਕ੍ਰਮ a n = ( n+2 )! ( n−1 )! ਅਤੇ b n = n 3 +3 n 2 +2n ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਠ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
10. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।