ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਕੰਪਨੀਆਂ ਅਕਸਰ ਕਾਰੋਬਾਰੀ ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਵੱਡੀਆਂ ਖਰੀਦਾਂ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਤੇ ਵਾਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਪਲਾਈਆਂ ਦਾ ਪੁਸਤਕ ਮੁੱਲ ਹਰ ਸਾਲ ਟੈਕਸ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਕਮੀ ਘਾਟਾ ਕਹਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਘਾਟੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਿੱਧੀ-ਰੇਖਾ ਘਾਟਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੰਪਤੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਕਮ ਨਾਲ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਔਰਤ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਠੇਕੇਦਾਰੀ ਕਾਰੋਬਾਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ $25,000 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਟਰੱਕ ਖਰੀਦਦੀ ਹੈ। ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਟਰੱਕ ਨੂੰ $8,000 ਵਿੱਚ ਵੇਚ ਸਕੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ ਟਰੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕਮੀ $17,000 ਹੋਵੇਗੀ, ਜੋ ਕਿ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ $3,400 ਹੈ। ਟਰੱਕ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $21,600; ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $18,200; ਤੀਜੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $14,800; ਚੌਥੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $11,400; ਅਤੇ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ $8,000 ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੜੀਵਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਖਾਸ ਕਿਸਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਘਾਟੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਣਗੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟਰੱਕ ਦਾ ਮੁੱਲ।
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਟਰੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਰਕਮ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਪਦ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ, ਜਿਸਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ –3,400 ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੜੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਥਿਰ ਅੰਤਰ 3 ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ 3 ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a1 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ d ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਵੇਗੀ:
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਕੀ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ⓐ {1,2,4,8,16,...} {1,2,4,8,16,...}
ⓑ {−3,1,5,9,13,...} {−3,1,5,9,13,...}
ਹੱਲ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਘਟਾਓ।
ⓐ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 4 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਲੜੀਆਂ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, a ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ b ਰੇਖੀ ਹੈ। ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ।
Q&A
ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ?
ਨਹੀਂ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਦ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #1
ਕੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਕੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਦ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਅਤੇ d ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਲੱਗ ਕਰਕੇ ਕੋਈ ਵੀ ਪਦ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜੋ।
ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜੋ।
ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪਦ ਪਛਾਣੇ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੇ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਣ 2
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
a 1 =17 ਅਤੇ d=−3 ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
−3 ਜੋੜਨਾ 3 ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਗਲਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾਓ।
ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ {17,14,11,8,5} ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
a 1 =1 ਅਤੇ d=5 ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ $a_1$, $a_n$, $n$ ਨੂੰ ਸੂਤਰ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਵਿੱਚ $d$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲੋ।
$a_1$, $n$, ਅਤੇ $d$ ਦੇ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
ਜੇਕਰ $a_1 = 8$ ਅਤੇ $a_4 = 14$ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ $a_5$ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ 8 ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ $d$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੌਥਾ ਪਦ 14 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੌਥੇ ਪਦ ਦਾ ਰੂਪ $a_1 + 3d = 8 + 3d$ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੌਥੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜੋੜ ਕੇ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੂਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ, ਤੀਜਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਵਾਰ, ਚੌਥਾ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਾਰ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਨੌਂ ਵਾਰ ਜੋੜ ਕੇ ਜਾਂ ਸੂਤਰ $a_n = a_1 + (n-1)d$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਜੇਕਰ $a_3 = 7$ ਅਤੇ $a_5 = 17$ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ $a_2$ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕੁਝ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੂਤਰ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਨਿਯਮ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 5 ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਵਾਂਗ, ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ
ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ $d$ ਵਾਲੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦਾ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੱਸੋ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 4
2. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ
3. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਪਹਿਲਾ ਪਦ −18 −18 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਆਮ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਮ ਅੰਤਰ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹੈ ਜੋ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ 'ਤੇ ਬਣਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਲੜੀ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਪੈਟਰਨ 11 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅੰਤਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
Q&A
9. ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ?
10. ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਮ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
12. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
13. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
14. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਅੰਤਰ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਦਰ, ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਆਮ ਅੰਤਰ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
16. ਆਮ ਅੰਤਰ −50 −50 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ −50 −50 ਦੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। y y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ 200 ਵਿੱਚੋਂ −50 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ: 200:200−(−50)=200+50=250 200:200−(−50)=200+50=250। ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਵੀ y y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟੇਗੀ। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ y=mx+b ਹੈ। y=mx+b। ਜਦੋਂ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y y ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ a n ਅਤੇ x x ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ m m ਅਤੇ b b ਲਈ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਣ ਲਈ −50 −50 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰ ਲਈ 250 250 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੀ ਹੈ:
18. ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ a n =200−50(n−1) a n =200−50(n−1) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ a n =−50n+250 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। a n =−50n+250।
19. ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ
20. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ nth nth ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
21. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
22. ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
23. ਆਮ ਅੰਤਰ, a 2 − a 1 ਪਤਾ ਕਰੋ। a 2 − a 1।
24. a n = a 1 +d(n−1) ਵਿੱਚ ਆਮ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। a n = a 1 +d(n−1)।
5. ਮਿਸਾਲ 5
2. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ nਵੇਂ ਪਦ ਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
3. ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
6. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 10 ਹੈ। ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, 10 ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ −8 ਦਾ ਲੰਬਵਤ ਅੰਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
11. ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
12. ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਜੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ ਤਾਂ ਜੋ ਲੜੀ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ।
13. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
14. ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਕੁੱਲ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
15. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ d ਲੱਭੋ। d.
16. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a n = a 1 +d(n–1) ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। a n = a 1 +d(n–1).
17. a n ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। n.
18. ਮਿਸਾਲ 6
19. ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
20. ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
23. ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ −7 ਹੈ। −7 ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਨੂੰ nਵੇਂ ਪਦ ਦੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. a n ਲਈ −41 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। n
ਇਸ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਅੱਠ ਪਦ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, 1 ਦੇ ਸਥਾਨ 'ਤੇ 0 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣਾ ਅਕਸਰ ਸਮਝਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਬੱਚਾ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ $1 ਦੀ ਭੱਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਉਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ $2 ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ ਦੇਣ ਦਾ ਵਾਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ⓐ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦੇ ਹਫ਼ਤਾਵਾਰੀ ਭੱਤੇ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ ਜਦੋਂ ਬੱਚਾ 16 ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਭੱਤਾ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ⓐ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ ਅਤੇ n ਉਮਰ 5 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: A n = 1 + 2 n
ⓑ ਅਸੀਂ ਉਮਰ 5 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਘਟਾ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 16 − 5 = 11 ਅਸੀਂ 11 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। 16 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦੇ ਭੱਤੇ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 11 ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। A 11 = 1 + 2 ( 11 ) = 23 16 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਬੱਚੇ ਦਾ ਭੱਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ $23 ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਇੱਕ ਔਰਤ ਇਸ ਹਫ਼ਤੇ ਹਰ ਰੋਜ਼ 10 ਮਿੰਟ ਦੌੜਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ ਆਪਣੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਦੌੜ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ 4 ਮਿੰਟ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। n ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਦੌੜ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। ਅੱਜ ਤੋਂ 8 ਹਫ਼ਤੇ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਦੌੜ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਮੀਡੀਆ
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ
ਸ਼ਬਦਿਕ
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਕੀ ਹੈ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤਣ ਅਤੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤਣ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਕੀ ਹਨ?
ਦੱਸੋ ਕਿ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
{ 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... }
{ 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਅੰਕਗਣਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
{ 11.4 , 9.3 , 7.2 , 5.1 , 3 , ... }
{ 4 , 16 , 64 , 256 , 1024 , ... }
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =−25 , d=−9
a 1 =0 , d= 2 3
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =17, a 7 =−31
a 13 =−60, a 33 =−160
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 3 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 4 ਹੈ, 5ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 4 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 5 ਹੈ, 4ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 5 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 6 ਹੈ, 8ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 6 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 7 ਹੈ, 6ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 7 ਹੈ, ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ 8 ਹੈ, 7ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ a 6 =12 ਅਤੇ a 14 =28।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ a 7 =21 ਅਤੇ a 15 =42।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ a 8 =40 ਅਤੇ a 23 =115।
ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਜਾਂ a 1 ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ a 9 =54 ਅਤੇ a 17 =102।
Find the first term or a 1 a 1 of an arithmetic sequence if a 11 =11 a 11 =11 and a 21 =16. a 21 =16.
For the following exercises, find the specified term given two terms from an arithmetic sequence.
a 1 =33 a 1 =33 and a 7 =−15. a 7 =−15. Find a 4 . a 4 .
a 3 =−17.1 a 3 =−17.1 and a 10 =−15.7. a 10 =−15.7. Find a 21 . a 21 .
For the following exercises, use the recursive formula to write the first five terms of the arithmetic sequence.
a 1 =39; a n = a n−1 −3 a 1 =39; a n = a n−1 −3
a 1 =−19; a n = a n−1 −1.4 a 1 =−19; a n = a n−1 −1.4
For the following exercises, write a recursive formula for each arithmetic sequence.
a ={ 40,60,80,... } a ={ 40,60,80,... }
a ={17,26,35,...} a ={17,26,35,...}
a ={−1,2,5,...} a ={−1,2,5,...}
a ={12,17,22,...} a ={12,17,22,...}
a ={−15,−7,1,...} a ={−15,−7,1,...}
a ={8.9,10.3,11.7,...} a ={8.9,10.3,11.7,...}
a ={−0.52,−1.02,−1.52,...} a ={−0.52,−1.02,−1.52,...}
a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... } a ={ 1 5 , 9 20 , 7 10 ,... }
a ={ − 1 2 ,− 5 4 ,−2,... } a ={ − 1 2 ,− 5 4 ,−2,... }
a ={ 1 6 ,− 11 12 ,−2,... } a ={ 1 6 ,− 11 12 ,−2,... }
For the following exercises, write a recursive formula for the given arithmetic sequence, and then find the specified term.
a ={7, 4, 1, ...}; a ={7, 4, 1, ...}; Find the 17th term.
a ={4, 11, 18, ...}; a ={4, 11, 18, ...}; Find the 14th term.
a ={2, 6, 10, ...}; a ={2, 6, 10, ...}; Find the 12th term.
For the following exercises, use the explicit formula to write the first five terms of the arithmetic sequence.
a n =24−4n a n =24−4n
an = 1 2 n− 1 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a ={3,5,7,...}
a ={32,24,16,...}
a ={−5, 95, 195, ...}
a ={−17, −217, −417,...}
a ={1.8, 3.6, 5.4, ...}
a ={−18.1,−16.2,−14.3,...}
a ={15.8,18.5,21.2,...}
a ={ 1 3 ,− 4 3 ,−3, ... }
a ={ 0, 1 3 , 2 3 ,... }
a ={ −5,− 10 3 ,− 5 3 ,… }
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀਮਤ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
a ={3,−4,−11, ...,−60}
a ={1.2,1.4,1.6,...,3.8}
a ={ 1 2 ,2, 7 2 ,...,8 }
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ 5 ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
a 1 =0,d=4
a 1 =9; a n = a n−1 −10
a n =−12+5n
ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ a n =3n−2 ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ:
Press [MODE] Select SEQ in the fourth line Select DOT in the fifth line Press [ENTER]
Press [Y=] nMin nMin is the first counting number for the sequence. Set nMin=1 nMin=1 u(n) u(n) is the pattern for the sequence. Set u(n)=3n−2 u(n)=3n−2 u(nMin) u(nMin) is the first number in the sequence. Set u(nMin)=1 u(nMin)=1
Press [2ND] then [WINDOW] to go to TBLSET Set TblStart=1 TblStart=1 Set ΔTbl=1 ΔTbl=1 Set Indpnt: Auto and Depend: Auto
Press [2ND] then [GRAPH] to go to the TABLE
What are the first seven terms shown in the column with the heading u(n)? u(n)?
Use the scroll-down arrow to scroll to n=50. n=50. What value is given for u(n)? u(n)?
Press [WINDOW]. Set nMin=1 nMin=1, nMax=5nMax=5, xMin=0xMin=0, xMax=6xMax=6, yMin=−1yMin=−1, and yMax=14. yMax=14. Then press [GRAPH]. Graph the sequence as it appears on the graphing calculator.
For the following exercises, follow the steps given above to work with the arithmetic sequence a n = 1 2 n+5 a n = 1 2 n+5 using a graphing calculator.
What are the first seven terms shown in the column with the heading u(n) u(n) in the TABLE feature?
Graph the sequence as it appears on the graphing calculator. Be sure to adjust the WINDOW settings as needed.
Extensions
Give two examples of arithmetic sequences whose 4th terms are 9. 9.
Give two examples of arithmetic sequences whose 10th terms are 206. 206.
Find the 5th term of the arithmetic sequence {9b,5b,b,…}. {9b,5b,b,…}.
Find the 11th term of the arithmetic sequence {3a−2b,a+2b,−a+6b…}. {3a−2b,a+2b,−a+6b…}.
At which term does the sequence {5.4,14.5,23.6,...} {5.4,14.5,23.6,...} exceed 151?
At which term does the sequence { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } { 17 3 , 31 6 , 14 3 ,... } begin to have negative values?
For which terms does the finite arithmetic sequence { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } { 5 2 , 19 8 , 9 4 ,..., 1 8 } have integer values?
Write an arithmetic sequence using a recursive formula. Show the first 4 terms, and then find the 31st term.
Write an arithmetic sequence using an explicit formula. Show the first 4 terms, and then find the 28th term.