ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਨੌਕਰੀਆਂ ਸਾਲਾਨਾ ਜੀਵਨ-ਖਰਚ ਵਾਧਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਤਨਖਾਹਾਂ ਨੂੰ ਮਹਿੰਗਾਈ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਬਣਾਈ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਹਾਲ ਹੀ ਵਿੱਚ ਕਾਲਜ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਇੱਕ ਸੇਲਜ਼ ਮੈਨੇਜਰ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅਹੁਦਾ ਲੱਭਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ $26,000 ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਸਾਲ 2% ਜੀਵਨ-ਖਰਚ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਾਅਦਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਨੂੰ 102% ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ $26,520 ਹੋਵੇਗੀ; ਦੋ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,050.40; ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ $27,591.41; ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਤਨਖਾਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਨਖਾਹ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਵਰਣਿਤ ਸਾਲਾਨਾ ਤਨਖਾਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਹਰ ਸਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਹਰ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਪਦ 6 ਦੇ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਉਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ $a_1$ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ $r$ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਹੋਵੇਗੀ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਭਾਗਫਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣਾ
ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
ⓐ 1,2,4,8,16,...
ⓑ 48,12,4, 2,...
ਹੱਲ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ⓐ $\frac{2}{1} = 2$ $\frac{4}{2} = 2$ $\frac{8}{4} = 2$ $\frac{16}{8} = 2$ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 2 ਹੈ।
ⓑ $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
2. ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ (a) ਅਤੇ (b) ਦੋਵੇਂ ਇਸ ਦੇਖਣ ਵਾਲੀ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਰੂਪ ਜਾਪਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (a) ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਸਹੀ ਹੈ, ਪਰ (b) ਨਹੀਂ ਹੈ।
Q&A
3. ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ ਕਿ ਇੱਕ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
4. ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਲੜੀ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਦ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
6. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
8. ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
9. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
10. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a_1 = -2$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ $r=4$ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ $-2 \cdot 4$ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $-8$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ $-8 \cdot 4$ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ $-32$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ।
11. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ {-2, -8, -32, -128} ਹਨ।
12. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
13. ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਲੱਭੋ।
14. ਅਗਲੇ ਪਦ, $a_2$ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ, $a_1$ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, $a_3$ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ $a_4$ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_3$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਪਦ ਪਛਾਣ ਨਹੀਂ ਲਏ ਜਾਂਦੇ।
16. ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 2
18. ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
19. $a_1 = 5$ ਅਤੇ $r = -2$ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. $a_2$ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_1$ ਨੂੰ -2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਓ, $a_3$ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਲੱਭਣ ਲਈ $a_2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ {5, -10, 20, -40} ਹਨ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
24. $a_1 = 18$ ਅਤੇ $r = \frac{1}{3}$ ਵਾਲੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੋ।
1. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
1. ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਪਦ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 9 ਹੈ। ਤਦ ਹਰ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦਾ ਨੌਂ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਵਾਂਗ, ਮੁੱਢਲਾ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
1. ਗੁਣੋਤਰੀ ਲੜੀ ਲਈ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ
ਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ, ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਅਤੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a₁ ਹੈ,
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਕਿਸੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਉਸ ਦਾ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
1. The initial term. 1. ਮੁੱਢਲਾ ਸ਼ਬਦ ਦੱਸੋ।
1. ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ।
ਗੁਣਨ-ਖੰਡ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਜਮਾਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਪੁਨਰਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 3
1. ਜਿਉਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਆਵਰਤੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਛੇਵਾਂ ਅੰਕ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਤ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ a1 ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। a1।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਘਾਤਕ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ ਵੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹੈ?
1. ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਣ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਅਕਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
1. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲਿਆਂ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
1. ਆਓ ਆਪਾਂ ਇਸ ਲੜੀ {18, 36, 72, 144, 288, ...} ਨੂੰ ਵੇਖੀਏ। ਇਹ 2 ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੁਣੋਤਰੀ ਲੜੀ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਅਧਾਰ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਹੈ। ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਹੈ:
1. ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
2. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ
3. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
4. ਉਦਾਹਰਨ 4
5. ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ
6. a 1 =3 ਅਤੇ a 4 =24 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 2 ਲੱਭੋ।
7. ਹੱਲ
8. ਲੜੀ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੌਥੇ ਪਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ।
10. ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭੋ।
11. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
12. ਦੂਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਵਾਰ, ਚੌਥਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਾਰ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਦਸਵਾਂ ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਨੌਂ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਨੌਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
14. a 2 =4 ਅਤੇ a 3 =32 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, a 6 ਲੱਭੋ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 5
16. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ n-ਵੇਂ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
20. ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 5 ਹੈ। ਲੜੀ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
21. ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
24. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ (geometric sequences) ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ $a_1$ ਦੀ ਬਜਾਏ $a_0$ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ (initial term) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ (explicit formula) ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲਿਆਂ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2013 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 284 ਹੈ। ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹਰ ਸਾਲ 4% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ⓐ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ 284 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ (initial term) ਨਾਲ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ (geometric sequence) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦਾ 104% ਹੋਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ (common ratio) 1.04 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ P ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ n 2013 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲੇ (explicit formula) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ $P_n = 284 \cdot 1.04^n$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ 2013 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $2020 - 2013 = 7$। ਅਸੀਂ 7 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 2020 ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ n ਦੀ ਥਾਂ 7 ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। $P_7 = 284 \cdot 1.04^7 \approx 374$। 2020 ਵਿੱਚ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਗਭਗ 374 ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਇੱਕ ਕਾਰੋਬਾਰ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵੈੱਬਸਾਈਟ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਉਤਸੁਕਤਾ ਕਾਰਨ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 293 ਹੈ। ਕਾਰੋਬਾਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 2.6% ਵਧੇਗੀ।
ⓐ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ⓑ 5 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਮੀਡੀਆ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲਿਆਂ (geometric sequences) ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ
ਸਿਲਸਿਲੇ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਸਿਲਸਿਲੇ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ
ਮੌਖਿਕ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲਾ ਕੀ ਹੈ?
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ (common ratio) ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਸਿਲਸਿਲਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
ਅੰਕਗਣਿਤ ਸਿਲਸਿਲੇ (arithmetic sequence) ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ (geometric sequence) ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਦੱਸੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (exponential functions) ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਿਲਸਿਲੇ (geometric sequences) ਕਿਵੇਂ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1,3,9,27,81,...
−0.125,0.25,−0.5,1,−2,...
−2,− 1 2 ,− 1 8 ,− 1 32 ,− 1 128 ,...
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
−6,−12,−24,−48,−96,...
5,5.2,5.4,5.6,5.8,...
−1, 1 2 ,− 1 4 , 1 8 ,− 1 16 ,...
6,8,11,15,20,...
0.8,4,20,100,500,...
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =8, r=0.3
a 1 =5, r= 1 5
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 7 =64, a 10 =512
a 6 =25, a 8 =6.25
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 3 ਹੈ। 5ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ 16 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ − 1 3 ਹੈ। 4ਵਾਂ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −1,2,−4,8,... }. a 12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
a n ={ −2, 2 3 ,− 2 9 , 2 27 ,... }. a 7 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a 1 =−486, a n =−13a n−1
a 1 =7, a n =0.2a n−1
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਸਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −1,5,−25,125,... }
a n ={ −32,−16,−8,−4,... }
a n ={ 14,56,224,896,... }
a n ={ 10,−3,0.9,−0.27,... }
a n ={ 0.61,1.83,5.49,16.47,... }
a n ={ 3/5, 1/10, 1/60, 1/360,... }
a n ={ −2, 4/3,− 8/9, 16/27,... }
a n ={ 1/512,− 1/128, 1/32,− 1/8,... }
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪੰਜ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a n =−4⋅ 5 n−1
a n =12⋅ ( − 1/2 ) n−1
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
a n ={ −2,−4,−8,−16,... }
a n ={ 1,3,9,27,... }
a n ={ −4,−12,−36,−108,... }
a n ={ 0.8,−4,20,−100,... }
a n ={−1.25,−5,−20,−80,...}
a n ={ −1,− 4/5,− 16/25,− 64/125,... }
a n ={ 2, 1/3, 1/18, 1/108,... }
a n ={ 3,−1, 1/3,− 1/9,... }
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪਦ ਲੱਭੋ।
Let a 1 =4, a 1 =4, a n =−3 a n−1 . a n =−3 a n−1 . Find a 8 . a 8 .
Let a n =− ( − 1 3 ) n−1 . a n =− ( − 1 3 ) n−1 . Find a 12 . a 12 .
For the following exercises, find the number of terms in the given finite geometric sequence.
a n ={ −1,3,−9,...,2187 } a n ={ −1,3,−9,...,2187 }
a n ={ 2,1, 1 2 ,..., 1 1024 } a n ={ 2,1, 1 2 ,..., 1 1024 }
Graphical
For the following exercises, determine whether the graph shown represents a geometric sequence.
For the following exercises, use the information provided to graph the first five terms of the geometric sequence.
a 1 =1, r= 1 2 a 1 =1, r= 1 2
a 1 =3, a n =2 a n−1 a 1 =3, a n =2 a n−1
a n =27⋅ 0.3 n−1 a n =27⋅ 0.3 n−1
Extensions
Use recursive formulas to give two examples of geometric sequences whose 3rd terms are 200. 200.
Use explicit formulas to give two examples of geometric sequences whose 7th terms are 1024. 1024.
Find the 5th term of the geometric sequence {b,4b,16b,...}. {b,4b,16b,...}.
Find the 7th term of the geometric sequence {64a(−b),32a(−3b),16a(−9b),...}. {64a(−b),32a(−3b),16a(−9b),...}.
At which term does the sequence {10,12,14.4,17.28,...} {10,12,14.4,17.28,...} exceed 100? 100?
At which term does the sequence { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } begin to have integer values?
For which term does the geometric sequence a n =−36 ( 2 3 ) n−1 a n =−36 ( 2 3 ) n−1 first have a non-integer value?
Use the recursive formula to write a geometric sequence whose common ratio is an integer. Show the first four terms, and then find the 10th term.
Use the explicit formula to write a geometric sequence whose common ratio is a decimal number between 0 and 1. Show the first 4 terms, and then find the 8th term.
Is it possible for a sequence to be both arithmetic and geometric? If so, give an example.