ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
n ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਕਸਟਮਾਈਜ਼ੇਬਲ ਕੇਸ ਵੇਚਦੀ ਹੈ। ਹਰ ਕੇਸ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਫੀਸ ਲਈ ਨਿੱਜੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਨਿੱਜੀਕਰਨ ਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ, ਦੋ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਚਿੱਤਰਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਰੱਖਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗਾਹਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਮੋਨੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਨੀ ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਭਾਰੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਮੁਹਿੰਮ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਏਜੰਸੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨਾ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੈ!
ਅਸੀਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਸਮਰਪਿਤ ਹੈ। ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਪਾਸਵਰਡ, ਘੋੜ ਦੌੜ ਦੇ ਨਤੀਜੇ, ਅਤੇ ਕਾਲਜ ਸ਼ਡਿਊਲਿੰਗ ਚੋਣਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਸਟਮਾਈਜ਼ੇਬਲ ਕੇਸ ਵੇਚਣ ਵਾਲੀ ਕੰਪਨੀ ਟੈਬਲੇਟਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨਾਂ ਲਈ ਕੇਸ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। 3 ਸਮਰਥਿਤ ਟੈਬਲੇਟ ਮਾਡਲ ਅਤੇ 5 ਸਮਰਥਿਤ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਮਾਡਲ ਹਨ। ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟੈਬਲੇਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਕੁੱਲ 8 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੋੜ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ m+n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਅਤੇ 5 ਮੀਟ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸ਼ਾਕਾਹਾਰੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮੀਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕੁੱਲ 7 ਵਿਕਲਪ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਖਰੀਦ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 3 ਡੈਸਕਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ 4 ਲੈਪਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਉਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੋਣ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ, ਇੱਕ ਐਂਟਰੀ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਡੇਜ਼ਰਟ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਡਿਨਰ ਮੀਨੂ 'ਤੇ 2 ਐਪੀਟਾਈਜ਼ਰ ਵਿਕਲਪ, 3 ਐਂਟਰੀ ਵਿਕਲਪ, ਅਤੇ 2 ਡੇਜ਼ਰਟ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਤਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਕੁੱਲ 12 ਸੰਭਾਵਿਤ ਚੋਣਾਂ ਹਨ।
1. ਸੰਭਵ ਚੋਣਾਂ ਇਹ ਹਨ:
2. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
3. ਸੂਪ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
4. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
5. ਸੂਪ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
6. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
7. ਸੂਪ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
8. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਕੇਕ
9. ਸਲਾਦ, ਚਿਕਨ, ਪੁਡਿੰਗ
10. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਕੇਕ
11. ਸਲਾਦ, ਮੱਛੀ, ਪੁਡਿੰਗ
12. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਕੇਕ
13. ਸਲਾਦ, ਸਟੀਕ, ਪੁਡਿੰਗ
14. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸੰਭਵ ਡਿਨਰਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸਿਰਫ਼ 12 ਸੰਭਵ ਡਿਨਰ ਚੋਣਾਂ ਦਾ ਸਿੱਟਾ ਵੀ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
17. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ m ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਵਾਪਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ m×n ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸਿਧਾਂਤ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 2
19. ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
20. ਡਾਇਨ ਨੇ ਆਪਣੀ ਵਪਾਰਕ ਯਾਤਰਾ ਲਈ 2 ਸਕਰਟਾਂ, 4 ਬਲਾਊਜ਼ ਅਤੇ 2 ਸਵੈਟਰ ਪੈਕ ਕੀਤੇ। ਉਸਨੂੰ ਹਰ ਪਹਿਰਾਵੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਰਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਲਾਊਜ਼ ਚੁਣਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਪਾਉਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਕੁੱਲ ਪਹਿਰਾਵਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਕਰਟ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਬਲਾਊਜ਼ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਸਵੈਟਰ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
23. 16 ਸੰਭਵ ਪਹਿਰਾਵੇ ਹਨ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦਾ ਸੈਂਡਵਿਚ, ਇੱਕ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੀਣ ਵਾਲਾ ਪਦਾਰਥ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਸੈਂਡਵਿਚਾਂ ਦੀਆਂ 3 ਕਿਸਮਾਂ, 4 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪ, ਅਤੇ 5 ਪੀਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੀਆਂ ਚੋਣਾਂ ਹਨ। ਸੰਭਵ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨ-ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੱਖਰਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਲਾਈਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਕਮਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਜਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵੀ। ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ (permutation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨ-ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਲਈ ਲਾਈਨ ਸੈਗਮੈਂਟ ਬਣਾਉਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵਿਕਲਪ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਤਸਵੀਰਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਤਸਵੀਰਾਂ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਤਿੰਨ ਲਾਈਨਾਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਲਈ ਚਾਰ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 4 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 3 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਭਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੀਜੀ ਥਾਂ ਲਈ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤੀਜੀ ਲਾਈਨ 'ਤੇ 2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੇ 24 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਹਨ।
ਪਹਿਲੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੂਜੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਿਕਲਪ ਬਚੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸਾਰੇ ਸਥਾਨ ਭਰ ਜਾਣ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੁਣਨ-ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕ੍ਰਮ-ਚੁਣਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਤੈਰਾਕੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ, ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਇੱਕ ਦੌੜ ਵਿੱਚ ਮੁਕਾਬਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ⓐਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ⓑਉਹ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ, ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦੀ ਤੈਰਾਕ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ? (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨਾਮ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮੁਕਾਬਲੇਬਾਜ਼ ਹੈ।)
ⓒਸਾਰੇ ਨੌਂ ਤੈਰਾਕ ਫੋਟੋ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲਾਈਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ⓐਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 504 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ⓑਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਏਰੀਅਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ 1 ਵਿਕਲਪ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 8 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਤੀਜੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 7 ਬਾਕੀ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਏਰੀਅਲ ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ ਜਿੱਤਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ 56 ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
© ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਪਹਿਲੇ ਸਥਾਨ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ, ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਲਈ 8, ਤੀਜੇ ਲਈ 7, ਚੌਥੇ ਲਈ 6, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਆਖਰੀ ਸਥਾਨ ਲਈ ਸਿਰਫ 1 ਵਿਅਕਤੀ ਬਾਕੀ ਨਾ ਰਹਿ ਜਾਵੇ। ਤੈਰਾਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਲਈ 362,880 ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਭਾਗ 'c' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ 9 ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੇ 9! ਤਰੀਕੇ ਸਨ। n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ n! ਦੁਆਰਾ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। n!।
ਪੰਜ ਜੀਆਂ ਦਾ ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰਾਂ ਖਿਚਵਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਫੋਟੋਗ੍ਰਾਫਰ 3 ਪਰਿਵਾਰਕ ਮੈਂਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਪਰਿਵਾਰ ਤਸਵੀਰ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇ ਮਾਪਿਆਂ ਨੂੰ ਹਰ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ
ਕੁਝ ਕ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਿੱਖੀਏ, ਆਓ ਕ੍ਰਮਾਂ ਲਈ ਦੋ ਆਮ ਸੰਕੇਤਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ P(n,r) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। P(n,r)। ਇਸਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ n P r ਹੈ, n P r, ਇੱਕ ਸੰਕੇਤ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। P(n,r) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, P(n,r), ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n! ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ (n-r)! (n-r)! ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ (n-r) (n-r) ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ।
ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲੱਬ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਧਾਨ, ਇੱਕ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਬਾਕੀ ਪੰਜ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਉਪ-ਪ੍ਰਧਾਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਚਾਰ ਲੋਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਖਜ਼ਾਨਚੀ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਉਹ 6×5×4=120 ਹੈ। 6×5×4=120। ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
6 ਮੈਂਬਰਾਂ ਵਾਲੀ ਕਲੱਬ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਅਧਿਕਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ 120 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 6 ਵਿੱਚੋਂ 3 ਵਾਰ ਲਏ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਜੇ ਵੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ (n-n)! (n-n)! ਜਾਂ 0!, 0! ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ n ਵਾਰ ਲਏ ਗਏ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n! 1 n! 1 ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ n! ਹੈ। n!।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ 12 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਟੈਸਟ ਬੈਂਕ ਵਿੱਚੋਂ 9 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਤਿਆਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਉਹ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਅਤੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=12 ਅਤੇ r=9 ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ 79,833,600 ਸੰਭਾਵੀ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ!
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਅਸੀਂ 12 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, nPr ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਬਾਵਾਂਗੇ, 9 ਦਰਜ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਬਾਵਾਂਗੇ। nPr ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?
ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਉੱਤਰ ਲੱਭਣ ਲਈ 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ।
ਇੱਕ ਨਾਟਕ ਵਿੱਚ 7 ਅਭਿਨੇਤਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਸਟ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪਰਦੇ ਦੇ ਸੱਦੇ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੋ ਰਹੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #6
7 ਅਭਿਨੇਤਾ ਕਿਵੇਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #7
7 ਅਭਿਨੇਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂਆਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿੱਥੇ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਨੂੰ C(n,r) ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ, C(n,r) ਨੂੰ nCr ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਆਮ ਸੂਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਕੰਧ 'ਤੇ ਲਗਾਉਣ ਲਈ 4 ਸੰਭਾਵੀ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਚੁਣਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ 4 ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਦੇ 24 ਤਰੀਕੇ ਸਨ। ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਾ ਹੁੰਦੀ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿਉਂਕਿ ਚਿੱਤਰ 1, 2, 3 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਿੱਤਰ 2, 3, 1 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। 4 ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਕ੍ਰਮ-ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 3 ਚਿੱਤਰਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਵੰਡੋ। 3 ਚਿੱਤਰਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ 3!=3·2·1=6 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। 4 ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 24/6, ਜਾਂ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 3 ਚਿੱਤਰ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 1 ਚਿੱਤਰ ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। 4 ਚਿੱਤਰ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਇਨਕਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 4 ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਚਿੱਤਰਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ 4 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ
n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ n ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ n ਅਤੇ r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
1. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 5
3. ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
4. ਇੱਕ ਫਾਸਟ ਫੂਡ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਪੰਜ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਵਿਕਲਪ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਭੋਜਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
5. ⓐਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
6. ⓑਤੁਸੀਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
7. ਹੱਲ
8. ⓐਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,2)= 5! 2!(5−2)! =10
9. ⓑਅਸੀਂ 5 ਵਿਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਸਾਈਡ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। C(5,3)= 5! 3!(5−3)! =10
10. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
11. ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 5 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਫਿਰ n C r ਦਬਾਓ, 3 ਦਰਜ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਬਾਓ। n C r ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੇ ਨਾਲ MATH ਮੀਨੂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਸਥਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
Q&A
12. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇ ਭਾਗ (a) ਅਤੇ (b) ਦੇ ਜਵਾਬ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ?
13. ਨਹੀਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (n–r) ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਨਹੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। ਇਸ ਲਈ, C(n,r)=C(n,n–r)।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
15. ਇੱਕ ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦੀ ਦੁਕਾਨ 10 ਆਈਸ ਕਰੀਮ ਦੇ ਫਲੇਵਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਨਾਣਾ ਸਪਲਿਟ ਲਈ 3 ਫਲੇਵਰ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
17. ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਸੰਯੋਜਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਪੀਜ਼ਾ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ 5 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੀਜ਼ੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
18. ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲੇ ਪੀਜ਼ੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦਾ C(5,0)=1 ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਟੌਪਿੰਗ ਵਾਲਾ ਪੀਜ਼ਾ ਆਰਡਰ ਕਰਨ ਦੇ C(5,1)=5 ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. 32 ਸੰਭਵ ਪੀਜ਼ੇ ਹਨ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ 2^5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
20. ਸਾਨੂੰ ਚੋਣਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। n ਵਸਤੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਚੋਣਾਂ ਹਨ: ਇਸਨੂੰ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ ਜਾਂ ਨਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਲਈ ਪੂਰੇ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਲਈ ਅਸੀਂ n ਚੋਣਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ 2·2·2·…·2 ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਖਾਲੀ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਨਹੀਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸਲ ਸਮੂਹ ਤੱਕ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਦੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਾਰ "ਹਾਂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
21. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਸੂਤਰ
22. n ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ 2^n ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਬੇਕਡ ਆਲੂ ਲਈ ਬਟਰ, ਚੀਜ਼, ਚਾਈਵਜ਼ ਅਤੇ ਖੱਟੀ ਮਲਾਈ ਨੂੰ ਟੌਪਿੰਗ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਲੂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ 4 ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=4 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਆਲੂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 16 ਸੰਭਵ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਵਿਆਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਡੇ ਬਾਰ ਵਿੱਚ ਚੁਣਨ ਲਈ 6 ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਟੌਪਿੰਗਜ਼ ਚੁਣੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਸੰਡੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਮਲ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਅਭੇਦ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 12 ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ ਸਟਿੱਕਰ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 12! ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, 4 ਸਟਿੱਕਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਤਾਰੇ ਹਨ, ਅਤੇ 3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਚੰਦਰਮਾ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ, 12! ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਲੱਖਣ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ 4 ਤਾਰਿਆਂ ਦੇ ਆਰਡਰ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ 3 ਚੰਦਰਮਾਵਾਂ ਦੇ ਆਰਡਰ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਦੇਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਤਾਰਿਆਂ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 4! ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਅਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 3! ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
ਸਟਿੱਕਰਾਂ ਦੀ ਸ਼ੀਟ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦੇਣ ਦੇ 3,326,400 ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ n ਤੱਤ ਹਨ ਅਤੇ r1 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r2 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, r3 ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ rk ਤੱਕ, ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 7
n ਗੈਰ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
DISTINCT ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
8 ਅੱਖਰ ਹਨ। I ਅਤੇ T ਦੋਵੇਂ 2 ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ n=8, r1=2, ਅਤੇ r2=2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
10,080 ਵਿਵਸਥਾਪਨ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
CARRIER ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਾਪਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸੰਯੋਜਨ
ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ
1. ਕਿਰਿਆਤਮਕ
2. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਵਾਪਰਨ ਦੇ n ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਘਟਨਾ B ਵਾਪਰਨ ਦੇ m ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਅਤੇ A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
3. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਜਾਂ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
4. ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਅਤੇ B ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
6. ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ? ਕਿਹੜੇ ਸੰਯੋਜਕ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਿਹੜੀਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ?
7. ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ n ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ, n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਦੇ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
8. ਜਦੋਂ n ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ r ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ r ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਉਸ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਕੀ ਸ਼ਬਦ ਹੈ? ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਹੈ?
9. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
10. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰੋ।
11. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ A={−5,−3,−1,2,3,4,5,6} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮੂਹ B={−23,−16,−7,−2,20,36,48,72} ਹੈ। A ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
13. ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਪੱਤੇ ਵਾਲੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲਾਲ ਏਕਾ ਜਾਂ ਇੱਕ ਚਿੜੀ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
14. 5 ਹਰੇ ਰੰਗ ਦੇ ਸ਼ੇਡ, 4 ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਸ਼ੇਡ, ਜਾਂ 7 ਪੀਲੇ ਰੰਗ ਦੇ ਸ਼ੇਡ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਰੰਗ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
15. ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਉਛਾਲਣ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
16. ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ਅਤੇ 6-ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਡਾਈ ਨੂੰ ਰੋਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ?
17. ਸਮੂਹ A={b,c,d} ਅਤੇ B={a,e,i,o,u} ਤੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਦੋ-ਅੱਖਰੀ ਸਤਰਾਂ—ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ A ਤੋਂ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੱਖਰ B ਤੋਂ—ਬਣਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
18. ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
19. ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ 3 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
20. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
21. P(5,2)
22. P(8,4)
23. P(3,3)
24. P(9,6)
P(11,5) P(11,5)
C(8,5) C(8,5)
C(12,4) C(12,4)
C(26,3) C(26,3)
C(7,6) C(7,6)
C(10,3) C(10,3)
For the following exercises, find the number of subsets in each given set.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{a,b,c,…,z} {a,b,c,…,z}
A set containing 5 distinct numbers, 4 distinct letters, and 3 distinct symbols
The set of even numbers from 2 to 28
The set of two-digit numbers between 1 and 100 containing the digit 0
For the following exercises, find the distinct number of arrangements.
The letters in the word “juggernaut”
The letters in the word “academia”
The letters in the word “academia” that begin and end in “a”
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,%
The symbols in the string #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,% that begin and end with “%”
Extensions
The set, S S consists of 900,000,000 900,000,000 whole numbers, each being the same number of digits long. How many digits long is a number from S? S? (Hint: use the fact that a whole number cannot start with the digit 0.)
The number of 5-element subsets from a set containing n n elements is equal to the number of 6-element subsets from the same set. What is the value of n? n? (Hint: the order in which the elements for the subsets are chosen is not important.)
Can C(n,r) C(n,r) ever equal P(n,r)? P(n,r)? Explain.
Suppose a set A A has 2,048 subsets. How many distinct objects are contained in A? A?
How many arrangements can be made from the letters of the word “mountains” if all the vowels must form a string?
1. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਰਤੋਂਆਂ
2. ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 2 ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਅਤੇ 3 ਬੱਚੇ ਹਨ, ਨੇ ਤਸਵੀਰ ਖਿਚਵਾਉਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 2 ਪਰਿਵਾਰਕ ਮੈਂਬਰ ਅੱਗੇ ਅਤੇ 3 ਪਿੱਛੇ ਬੈਠਣਗੇ।
3. ⓐ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
4. ⓑ ਜੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਅੱਗੇ ਬੈਠਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
5. ⓒ ਜੇ ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਨਾਲ ਬੈਠਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਸੰਭਵ ਹਨ?
6. ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਪਨੀ 6 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵੌਇਸ ਪੈਕੇਜ ਅਤੇ 8 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਡਾਟਾ ਪੈਕੇਜ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 3 ਪੈਕੇਜਾਂ ਵਿੱਚ ਵੌਇਸ ਅਤੇ ਡਾਟਾ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸਿਰਫ਼ ਵੌਇਸ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਡਾਟਾ ਚੁਣਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਪਰ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ?
7. ਘੋੜ ਦੌੜ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ "ਟ੍ਰਾਈਫੈਕਟਾ" ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਬੇਟਰ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਫਿਨਿਸ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਕ੍ਰਮ (ਪਹਿਲਾ ਸਥਾਨ, ਦੂਜਾ ਸਥਾਨ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਸਥਾਨ) ਵਿੱਚ ਚੁਣ ਕੇ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦੌੜ ਵਿੱਚ 14 ਘੋੜੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟ੍ਰਾਈਫੈਕਟਾ ਸੰਭਵ ਹਨ?
8. ਇੱਕ ਥੋਕ ਟੀ-ਸ਼ਰਟ ਕੰਪਨੀ ਆਰਗੈਨਿਕ ਜਾਂ ਨਾਨ-ਆਰਗੈਨਿਕ ਕਪਾਹ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ, ਦਰਮਿਆਨੇ, ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਐਕਸਟਰਾ-ਲਾਰਜ ਸਾਈਜ਼ ਅਤੇ ਚਿੱਟੇ, ਕਾਲੇ, ਸਲੇਟੀ, ਨੀਲੇ ਅਤੇ ਲਾਲ ਰੰਗਾਂ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਚੁਣਨ ਲਈ ਕਿੰਨੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟੀ-ਸ਼ਰਟਾਂ ਹਨ?
9. ਹੇਕਟਰ ਆਪਣੇ ਨਵੇਂ ਕਾਰੋਬਾਰ ਲਈ ਪੂਰੇ ਕਾਊਂਟੀ ਵਿੱਚ ਬਿਲਬੋਰਡ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਕਾਊਂਟੀ ਵਿੱਚ 30 ਮੁਹੱਲੇ ਹਨ ਤਾਂ ਹੇਕਟਰ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰ ਦੇਣ ਲਈ 15 ਮੁਹੱਲਿਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
10. ਇੱਕ ਆਰਟ ਸਟੋਰ ਵਿੱਚ 12 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਅਤੇ 3 ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਸਿਆਹੀ ਵਿੱਚ ਪੇਂਟ ਪੈੱਨਾਂ ਦੇ 4 ਬ੍ਰਾਂਡ ਹਨ। ਚੁਣਨ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਪੇਂਟ ਪੈੱਨ ਹਨ?
11. 8 ਫਰੈਸ਼ਮੈਨ ਅਤੇ 11 ਜੂਨੀਅਰਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਫਰੈਸ਼ਮੈਨ ਅਤੇ 4 ਜੂਨੀਅਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਮੇਟੀ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
12. ਜੇ ਟੀਮ ਵਿੱਚ 15 ਖਿਡਾਰੀ ਹੋਣ ਤਾਂ ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਕੋਚ 9 ਬੱਲੇਬਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ?
13. ਇੱਕ ਸੰਚਾਲਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਾਜਦੂਤ ਸਮਾਗਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ 5 ਸੈਲਿਸਟਾਂ ਅਤੇ 5 ਵਾਇਲਨਿਸਟਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਹ ਸੰਗੀਤਕ ਮੁਹਾਰਤ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਆਰਕੈਸਟਰਾ ਦੇ 10 ਸੈਲਿਸਟਾਂ ਅਤੇ 16 ਵਾਇਲਨਿਸਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਵ ਕੁੱਲ ਸੈਲਿਸਟ ਰੈਂਕਿੰਗਾਂ ਦਾ ਸੰਭਵ ਕੁੱਲ ਵਾਇਲਨਿਸਟ ਰੈਂਕਿੰਗਾਂ ਨਾਲ ਕੀ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ?
14. ਇੱਕ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਵਿੱਚ 10 ਚੌਪਰ, 6 ਬੌਬਰ ਅਤੇ 5 ਕੈਫੇ ਰੇਸਰ ਹਨ—ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਵਿੰਟੇਜ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ। ਦੁਕਾਨ ਹਫਤੇ ਦੇ ਅੰਤ ਦੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਲਈ 3 ਚੌਪਰ, 5 ਬੌਬਰ ਅਤੇ 2 ਕੈਫੇ ਰੇਸਰ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੀ ਹੈ?
15. ਇੱਕ ਸਕੇਟਬੋਰਡ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਵਿੱਚ 10 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਬੋਰਡ ਡੇਕ, 3 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਟਰੱਕ ਅਤੇ 4 ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਪਹੀਏ ਸਟਾਕ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਕੇਟਬੋਰਡ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
16. ਜਸਟ-ਫਾਰ-ਕਿਕਸ ਸਨੀਕਰ ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਔਨਲਾਈਨ ਕਸਟਮਾਈਜ਼ਿੰਗ ਸੇਵਾ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਕੋਈ ਗਾਹਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਜੁੱਤੀ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ 11 ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਯੋਗ ਵਿਕਲਪਾਂ ਤੱਕ ਚੁਣ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜਸਟ-ਫਾਰ-ਕਿਕਸ ਸਨੀਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਸਟਮ ਜੋੜੀ ਨੂੰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ?
17. ਇੱਕ ਕਾਰ ਵਾਸ਼ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਾਸ਼ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਸੇਵਾਵਾਂ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਕਲੀਅਰ ਕੋਟ ਵੈਕਸ, ਟ੍ਰਿਪਲ ਫੋਮ ਪਾਲਿਸ਼, ਅੰਡਰਕੈਰੀਜ ਵਾਸ਼, ਰਸਟ ਇਨਿਬਿਟਰ, ਵ੍ਹੀਲ ਬ੍ਰਾਈਟਨਰ, ਏਅਰ ਫਰੈਸ਼ਨਰ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਰੀਅਰ ਸ਼ੈਂਪੂ। ਕਿੰਨੇ ਵਾਸ਼ ਸੰਭਵ ਹਨ ਜੇਕਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਵਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਵਿਕਲਪ ਜੋੜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
18. ਸੁਨੀ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬਾਗ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ 20 ਪੌਦੇ ਖਰੀਦੇ। ਜੇ ਪੌਦੇ 6 ਟਿਊਲਿਪ, 6 ਗੁਲਾਬ ਅਤੇ 8 ਡੇਜ਼ੀਜ਼ ਦੇ ਬਣੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖਰੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਬਣਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
19. 9 ਲਾਲ, 10 ਹਰੇ, 6 ਚਿੱਟੇ, ਅਤੇ 12 ਸੋਨੇ ਦੇ ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਬਲਬਾਂ ਤੋਂ ਕ੍ਰਿਸਮਸ ਲਾਈਟਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਵਿਲੱਖਣ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?