ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਉੱਚ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਥਕਾਊ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਲੈਣ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ (x+y) n (x+y) n ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ n n ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। (x+y) n (x+y) n ਲੱਭਣ ਦੇ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਜੋ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ C(n,r), C(n,r) ਦੀ ਬਜਾਏ ( n r ) ( n r ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ
ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨ ( n r ) ( n r ) ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ( 5 2 )=C(5,2)=10 ਹੈ। ( 5 2 )=C(5,2)=10।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ
ਜੇਕਰ n n ਅਤੇ r r 0 ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਜਿੱਥੇ n≥r, n≥r, ਤਾਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
ⓐ ( 5 3 ) ( 5 3 )
ⓑ ( 9 2 ) ( 9 2 )
ⓒ ( 9 7 ) ( 9 7 )
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ n C r n C r ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ⓐ ( 5 3 )= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10 ( 5 3 )= 5! 3!(5−3)! = 5⋅4⋅3! 3!2! =10
ⓑ ( 9 2 )= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36 ( 9 2 )= 9! 2!(9−2)! = 9⋅8⋅7! 2!7! =36
ⓒ ( 9 7 )= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36 ( 9 7 )= 9! 7!(9−7)! = 9⋅8⋅7! 7!2! =36
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ (b) ਅਤੇ (c) ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਦੋ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕ੍ਰਮ ਉਲਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕੰਬੀਨੇਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
2. ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ⓐ ( 7 3 ) ( 7 3 )
4. ⓑ ( 11 4 ) ( 11 4 )
5. ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
6. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ (x+y) n (x+y) n ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ (x+y) 52 (x+y) 52 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (x+y) (x+y) ਨੂੰ ਬਵੰਜਾ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਘੰਟੇ ਲੱਗ ਸਕਦੇ ਹਨ! ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਸਧਾਰਨ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣਗੇ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨਾਲ, x x ਲਈ ਘਾਤ ਘੱਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ y y ਲਈ ਘਾਤ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਦੋਨਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹਰੇਕ ਪਦ ਲਈ n n ਹੈ।
8. ਅੱਗੇ, ਆਓ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਵਧਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘੱਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:
9. ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਸਾਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
10. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਆਮ ਰੂਪ, x+y, x+y, ਦੀ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ, ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਤਾਂ 1, 2, 3, ਅਤੇ 4 ਤੱਕ।
11. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀ (x+y) 5 (x+y) 5 ਲਈ ਅਗਲੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?
12. ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ, ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ:
13. (x+y) n (x+y) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ n+1 n+1 ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
14. ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (ਜਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ) n ਹੈ। n.
15. x x ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ n n ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ 0 ਤੱਕ ਘੱਟਦੀਆਂ ਹਨ।
16. y y ਉੱਤੇ ਘਾਤਾਂ 0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ n n ਤੱਕ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ।
17. ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
18. (x+y) 5 (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n=5, n=5, ਇਸ ਲਈ, 5+1 = 6 ਪਦ ਹੋਣਗੇ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਸੰਯੁਕਤ ਡਿਗਰੀ 5 ਹੈ। x x ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਉਤਰਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਪੈਟਰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
19. x 5 x 5 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਅਗਲੇ ਪਦ ਲਈ x x ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਘਟਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ x 0 =1 x 0 =1 ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ।
20. y 0 =1 y 0 =1 ਪੇਸ਼ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ y y ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ 1 ਵਧਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ y 5 y 5 ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ। x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5 x 5 , x 4 y, x 3 y 2 , x 2 y 3 ,x y 4 , y 5
21. ਅਗਲਾ ਵਿਸਤਾਰ ਹੋਵੇਗਾ
22. ਪਰ ਉਹ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਰੇ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਆਵਿਸ਼ਕਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਨੀਹਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨੂੰ 1500 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਵਿਕਸਤ ਅਤੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਪਹਿਲਾਂ ਦੂਜੀ ਸਦੀ ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਵਿੱਚ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ (ਅਤੇ ਕਵੀ) ਪਿੰਗਲਾ ਦੁਆਰਾ। ਏਸ਼ੀਆ ਅਤੇ ਯੂਰਪ ਵਿੱਚ ਹੋਰਾਂ ਨੇ ਇਸ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਓਮਰ ਖਯਾਮ, ਇੱਕ ਈਰਾਨੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਖਗੋਲ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਈਰਾਨ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਨਾਮ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਨੇ ਇਸਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਕੇ ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਬਣਾਇਆ।
23. ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ 1 ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਕਤਾਰ, ਕਤਾਰ 2, ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ 1 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰਾਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਸੰਖਿਆ, 2, ਲੱਭਣ ਲਈ 1+1 1+1 ਜੋੜੋ। nਵੀਂ nਵੀਂ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਕਤਾਰ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ 1's ਨਾਲ ਫਲੈਂਕ ਕਰੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਦੋ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
24. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੀਏ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋ-ਪਦੀ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=0 ਤੋਂ k=n ਤੱਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x+y) 5
ⓑ ( 3x−y ) 4
ਹੱਲ
ⓐ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=5 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=5 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (x+y) 5 =( 5 0 ) x 5 y 0 +( 5 1 ) x 4 y 1 +( 5 2 ) x 3 y 2 +( 5 3 ) x 2 y 3 +( 5 4 ) x 1 y 4 +( 5 5 ) x 0 y 5 (x+y) 5 = x 5 +5 x 4 y+10 x 3 y 2 +10 x 2 y 3 +5x y 4 + y 5
ⓑ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ n=4 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। k=0 ਤੋਂ k=4 ਤੱਕ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 3x, ਉਸ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਹੈ ਜੋ x ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ –y, ਉਸ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਹੈ ਜੋ y ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲ ਕਰੋ। (3x−y) 4 =( 4 0 ) (3x) 4 (−y) 0 +( 4 1 ) (3x) 3 (−y) 1 +( 4 2 ) (3x) 2 (−y) 2 +( 4 3 ) (3x) 1 (−y) 3 +( 4 4 ) (3x) 0 (−y) 4 (3x−y) 4 =81 x 4 −108 x 3 y+54 x 2 y 2 −12x y 3 + y 4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਭਾਗ b ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ (−y) ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ (−y) ਨੂੰ ਸਮ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰੇਗਾ ਜਦੋਂ ਵੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ⓐ (x−y) 5
ⓑ (2x+5y) 3
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
(x+2y) 16 ਵਰਗੀ ਉੱਚੀ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਲੰਮੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਦੇ-ਕਦੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਖਾਸ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. (x+y) 5 . (x+y) 5 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
2. ਦੂਜੀ ਪਦਵੀ ( 5 1 ) x 4 y ਹੈ। ਤੀਜੀ ਪਦਵੀ ( 5 2 ) x 3 y 2 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ
4. (x+y) n (x+y) n ਦੇ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ ਹੈ:
5. ਕਿਵੇਂ
6. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦੋਪਦੀ, ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਦਵੀ ਲਿਖੋ।
7. ਘਾਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ n n ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. (r+1) (r+1) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
9. r r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ (r+1)ਵੀਂ (r+1)ਵੀਂ ਪਦਵੀ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ r r ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 3
12. ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪਦਵੀ ਲਿਖਣਾ
13. (x+2y) 16 (x+2y) 16 ਦੀ ਦਸਵੀਂ ਪਦਵੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦਸਵੀਂ ਪਦਵੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, r+1=10, r+1=10, ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ r=9 r=9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
17. (3x−y) 9 (3x−y) 9 ਦੀ ਛੇਵੀਂ ਪਦਵੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭੋ।
18. ਮੀਡੀਆ
19. ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
20. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ
21. ਦੋਪਦੀ ਥਿਊਰਮ ਉਦਾਹਰਨ
22. ਜ਼ਬਾਨੀ
23. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
24. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੇ ਹਨ? ਕੀ ਉਹ ਕਿਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਨ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਪਯੋਗ ਕੀ ਹੈ?
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਫਾਇਦੇਮੰਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
( 6 2 ) ( 6 2 )
( 5 3 ) ( 5 3 )
( 7 4 ) ( 7 4 )
( 9 7 ) ( 9 7 )
( 10 9 ) ( 10 9 )
( 25 11 ) ( 25 11 )
( 17 6 ) ( 17 6 )
( 200 199 ) ( 200 199 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(4a−b) 3 (4a−b) 3
(5a+2) 3 (5a+2) 3
(3a+2b) 3 (3a+2b) 3
(2x+3y) 4 (2x+3y) 4
(4x+2y) 5 (4x+2y) 5
(3x−2y) 4 (3x−2y) 4
(4x−3y) 5 (4x−3y) 5
( 1 x +3y ) 5 ( 1 x +3y ) 5
( x −1 +2 y −1 ) 4 ( x −1 +2 y −1 ) 4
( x − y ) 5 ( x − y ) 5
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖਣ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(a+b) 17
(x−1) 18
(a−2b) 15
(x−2y) 8
(3a+b) 20
(2a+4b) 7
( x 3 − y ) 8
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿਨੋਮਿਅਲ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਰੇਕ ਬਿਨੋਮਿਅਲ ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
(2x−3y) 4 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
(3x−2y) 5 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
(6x−3y) 7 ਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ
(7+5y) 14 ਦਾ ਅੱਠਵਾਂ ਪਦ
(a+b) 11 ਦਾ ਸੱਤਵਾਂ ਪਦ
(x−y) 7 ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ
(x−1) 12 ਦਾ ਦਸਵਾਂ ਪਦ
(a−3 b 2 ) 11 ਦਾ ਨੌਵਾਂ ਪਦ
( x 3 − 1 2 ) 10 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
( y 2 + 2 x ) 9 ਦਾ ਅੱਠਵਾਂ ਪਦ
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿਨੋਮੀਅਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿਨੋਮੀਅਲ f(x)= (x+3) 4 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੈੱਟ 'ਤੇ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f 1 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਨਾਲ f 1 (x) f 1 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੋਵੇ।
f 2 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਨਾਲ f 2 (x) f 2 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
f 3 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਨਾਲ f 3 (x) f 3 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
f 4 (x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਨਾਲ f 4 (x) f 4 (x) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਵੇ।
1. ਪੰਜਵੇਂ ਪਦ (f 5 (x)) ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਨਾਲ f 5 (x) f 5 (x) ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਹੋਵੇ।
2. ਵਿਸਤਾਰ
3. (5x+3y) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ( n k ) a n–k b k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਲਗਾਤਾਰ 0,1,2,...,n ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ( n k )=( 7 2 ) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਦ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
4. ( a+b ) n ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, a n−k b k ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, ਕਿਸ ਹੋਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
5. (x+b) 40 ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। kਵੇਂ ਪਦ ਵਿੱਚ b ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਕੀ ਹੈ?
6. ( n k−1 )+( n k ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ( n k ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਸਿੱਧ ਕਰੋ। ਸੰਕੇਤ: ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ p, ਜੋ p≥1 ਹੈ, ਲਈ p!=p(p−1)! ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7. ਕਿਹੜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਤਾਰ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
8. ( x 2 −2x+1)
9. ( a +4 a −5) 8
10. ( x 3 +2 y 2 −z) 5
11. (3 x 2 − 2 y 3 ) 12