Review Exercises
Add and Subtract Polynomials
Identify Polynomials, Monomials, Binomials and Trinomials
In the following exercises, determine if each of the following polynomials is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.
ⓐ 11c4−23c2+111c4−23c2+1 ⓑ 9p3+6p2−p−59p3+6p2−p−5 ⓒ 37x+51437x+514 ⓓ 10 ⓔ 2y−122y−12
ⓐ a2−b2a2−b2 ⓑ 24d324d3 ⓒ x2+8x−10x2+8x−10 ⓓ m2n2−2mn+6m2n2−2mn+6 ⓔ 7y3+y2−2y−47y3+y2−2y−4
Determine the Degree of Polynomials
In the following exercises, determine the degree of each polynomial.
ⓐ 3x2+9x+103x2+9x+10
ⓑ 14a2bc14a2bc
ⓒ 6y+16y+1
ⓓ n3−4n2+2n−8n3−4n2+2n−8
ⓔ −19−19
ⓐ 5p3−8p2+10p−45p3−8p2+10p−4
ⓑ −20q4−20q4
ⓒ x2+6x+12x2+6x+12
ⓓ 23r2s2−4rs+523r2s2−4rs+5
ⓔ 100
Add and Subtract Monomials
In the following exercises, add or subtract the monomials.
5y 3 + 8 y 3 5y 3 + 8 y 3
−14 k + 19 k −14 k + 19 k
12 q − ( −6 q ) 12 q − ( −6 q )
−9 c − 18 c −9 c − 18 c
12x − 4y − 9x
3m² + 7n² − 3m²
6x²y − 4x + 8xy²
13a + b
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
(5x² + 12x + 1) + (6x² − 8x + 3)
(9p² − 5p + 3) + (4p² − 4)
(10m² − 8m − 1) − (5m² + m − 2)
(7y² − 8y) − (y − 4)
(3s² + 10) ਨੂੰ (15s² − 2s + 8) ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ
(a² + 6a + 9) ਅਤੇ (5a³ − 7) ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਚਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3y² − y + 1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ:
y = 5
y = −1
y = 0
10 − 12x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ:
x = 3
x = 0
x = −1
ਰਾਂਡੀ 200 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਚੱਟਾਨ ਤੋਂ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਸੁੱਟਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ −16t² + 200 ਚੱਟਾਨ ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਦੇ t ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਪੱਥਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। t = 3 ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਟੀਰੀਓ ਸਾਊਂਡ ਸਪੀਕਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਿਰਮਾਤਾ ਨੇ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ p ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਪੀਕਰ ਵੇਚਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈ ਆਮਦਨ ਬਹੁਪਦ −4p² + 460p ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ p = 75 ਡਾਲਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਆਮਦਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
10⁴ 10⁴
17¹ 17¹
(2⁹)² (2⁹)²
(0.5)³ (0.5)³
(−2)⁶ (−2)⁶
−2⁶ −2⁶
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
x⁴ · x³ x⁴ · x³
p¹⁵ · p¹⁶ p¹⁵ · p¹⁶
4¹⁰ · 4⁶ 4¹⁰ · 4⁶
8¹ · 8⁵ 8¹ · 8⁵
n¹ · n² · n⁴ n¹ · n² · n⁴
yᶜ · y³ yᶜ · y³
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
(m³)⁵ (m³)⁵
(5³) ² (5³) ²
(y⁴)ˣ (y⁴)ˣ
(3r)ˢ (3r)ˢ
ਸ਼ਕਤੀ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
In the following exercises, simplify each expression.
( 4 a ) 2 ( 4 a ) 2
( −5 y ) 3 ( −5 y ) 3
( 2 m n ) 5 ( 2 m n ) 5
( 10 x y z ) 3 ( 10 x y z ) 3
Simplify Expressions by Applying Several Properties
In the following exercises, simplify each expression.
( p 2 ) 5 · ( p 3 ) 6 ( p 2 ) 5 · ( p 3 ) 6
( 4 a 3 b 2 ) 3 ( 4 a 3 b 2 ) 3
( 5 x ) 2 ( 7 x ) ( 5 x ) 2 ( 7 x )
( 2 q 3 ) 4 ( 3 q ) 2 ( 2 q 3 ) 4 ( 3 q ) 2
( 1 3 x 2 ) 2 ( 1 2 x ) 3 ( 1 3 x 2 ) 2 ( 1 2 x ) 3
( 2 5 m 2 n ) 3 ( 2 5 m 2 n ) 3
Multiply Monomials
In the following exercises 8, multiply the monomials.
( −15 x 2 ) ( 6 x 4 ) ( −15 x 2 ) ( 6 x 4 )
( −9 n 7 ) ( −16 n ) ( −9 n 7 ) ( −16 n )
( 7 p 5 q 3 ) ( 8 p q 9 ) ( 7 p 5 q 3 ) ( 8 p q 9 )
( 5 9 a b 2 ) ( 27 a b 3 ) ( 5 9 a b 2 ) ( 27 a b 3 )
Multiply Polynomials
Multiply a Polynomial by a Monomial
In the following exercises, multiply.
7 ( a + 9 ) 7 ( a + 9 )
−4 ( y + 13 ) −4 ( y + 13 )
−5 ( r − 2 ) −5 ( r − 2 )
p ( p + 3 ) p ( p + 3 )
− m ( m + 15 ) − m ( m + 15 )
−6 u ( 2 u + 7 ) −6 u ( 2 u + 7 )
9 ( b 2 + 6 b + 8 ) 9 ( b 2 + 6 b + 8 )
3q2(q2−7q+6)3q2(q2−7q+6) 3
( 5 z − 1 ) z ( 5 z − 1 ) z
( b − 4 ) · 11 ( b − 4 ) · 11
Multiply a Binomial by a Binomial
In the following exercises, multiply the binomials using: ⓐ the Distributive Property, ⓑ the FOIL method, ⓒ the Vertical Method.
( x − 4 ) ( x + 10 ) ( x − 4 ) ( x + 10 )
( 6 y − 7 ) ( 2 y − 5 ) ( 6 y − 7 ) ( 2 y − 5 )
In the following exercises, multiply the binomials. Use any method.
( x + 3 ) ( x + 9 ) ( x + 3 ) ( x + 9 )
( y − 4 ) ( y − 8 ) ( y − 4 ) ( y − 8 )
( p − 7 ) ( p + 4 ) ( p − 7 ) ( p + 4 )
( q + 16 ) ( q − 3 ) ( q + 16 ) ( q − 3 )
( 5 m − 8 ) ( 12 m + 1 ) ( 5 m − 8 ) ( 12 m + 1 )
( u 2 + 6 ) ( u 2 − 5 ) ( u 2 + 6 ) ( u 2 − 5 )
( 9 x − y ) ( 6 x − 5 ) ( 9 x − y ) ( 6 x − 5 )
( 8 m n + 3 ) ( 2 m n − 1 ) ( 8 m n + 3 ) ( 2 m n − 1 )
Multiply a Trinomial by a Binomial
In the following exercises, multiply using ⓐ the Distributive Property, ⓑ the Vertical Method.
( n + 1 ) ( n 2 + 5 n − 2 ) ( n + 1 ) ( n 2 + 5 n − 2 )
( 3 x − 4 ) ( 6 x 2 + x − 10 ) ( 3 x − 4 ) ( 6 x 2 + x − 10 )
In the following exercises, multiply. Use either method.
( y − 2 ) ( y 2 − 8 y + 9 ) ( y − 2 ) ( y 2 − 8 y + 9 )
( 7 m + 1 ) ( m 2 − 10 m − 3 ) ( 7 m + 1 ) ( m 2 − 10 m − 3 )
Special Products
Square a Binomial Using the Binomial Squares Pattern
In the following exercises, square each binomial using the Binomial Squares Pattern.
( c + 11 ) 2 ( c + 11 ) 2
( q − 15 ) 2 ( q − 15 ) 2
( x + 1 3 ) 2 ( x + 1 3 ) 2
( 8 u + 1 ) 2 ( 8 u + 1 ) 2
( 3 n 3 − 2 ) 2 ( 3 n 3 − 2 ) 2
( 4 a − 3 b ) 2 ( 4 a − 3 b ) 2
Multiply Conjugates Using the Product of Conjugates Pattern
In the following exercises, multiply each pair of conjugates using the Product of Conjugates Pattern.
( s − 7 ) ( s + 7 ) ( s − 7 ) ( s + 7 )
( y + 2 5 ) ( y − 2 5 ) ( y + 2 5 ) ( y − 2 5 )
( 12 c + 13 ) ( 12 c − 13 ) ( 12 c + 13 ) ( 12 c − 13 )
( 6 − r ) ( 6 + r ) ( 6 − r ) ( 6 + r )
( u + 3 4 v ) ( u − 3 4 v ) ( u + 3 4 v ) ( u − 3 4 v )
( 5 p 4 − 4 q 3 ) ( 5 p 4 + 4 q 3 ) ( 5 p 4 − 4 q 3 ) ( 5 p 4 + 4 q 3 )
Recognize and Use the Appropriate Special Product Pattern
In the following exercises, find each product.
( 3 m + 10 ) 2 ( 3 m + 10 ) 2
( 6 a + 11 ) ( 6 a − 11 ) ( 6 a + 11 ) ( 6 a − 11 )
( 5 x + y ) ( x − 5 y ) ( 5 x + y ) ( x − 5 y )
( c 4 + 9 d ) 2 ( c 4 + 9 d ) 2
( p 5 + q 5 ) ( p 5 − q 5 ) ( p 5 + q 5 ) ( p 5 − q 5 )
( a 2 + 4 b ) ( 4 a − b 2 ) ( a 2 + 4 b ) ( 4 a − b 2 )
Divide Monomials
Simplify Expressions Using the Quotient Property for Exponents
In the following exercises, simplify.
u 24 u 6 u 24 u 6
10 25 10 5 10 25 10 5
3 4 3 6 3 4 3 6
v 12 v 48 v 12 v 48
x x 5 x x 5
5 5 8 5 5 8
Simplify Expressions with Zero Exponents
In the following exercises, simplify.
75 0 75 0
x 0 x 0
− 12 0 − 12 0
( − 12 0 ) ( − 12 0 ) ( −12 ) 0 ( −12 ) 0
25 x 0 25 x 0
( 25 x ) 0 ( 25 x ) 0
19 n 0 − 25 m 0 19 n 0 − 25 m 0
( 19 n ) 0 − ( 25 m ) 0 ( 19 n ) 0 − ( 25 m ) 0
ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮ ਨਾਲ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
( ਞ ਙ ) ਞ ( ਞ ਙ ) ਞ
( ਮ 3 ) 4 ( ਮ 3 ) 4
1. (ਰਸ) ੮ (ਰਸ) ੮
( x 2 y ) 6 ( x 2 y ) 6
ਸਰਲਤਾ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਕਈ ਗੁਣਾਂ ਰਾਹੀਂ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।
( ਤਿੰਨ ਵਾਰ ) ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਨੌਂ ( ਤਿੰਨ ਵਾਰ ) ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਨੌਂ
10 ( 5 ) 2 10 ( 5 ) 2
(ਕ 6 ਕ 8) 3 (ਕ 6 ਕ 8) 3
( ਰ 8 ਰ 3 ) 4 ( ਰ 8 ਰ 3 ) 4
1. ( ਦੋ ਸੌ ਪੰਜਾਹ ਦੋ ) ਨੌ ( ਦੋ ਸੌ ਪੰਜਾਹ ਦੋ ) ਨੌ
(ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਚਾਰ ਘਾਤ ਦੋ ਵਾਏ ਘਾਤ ਦੋ) ਪੰਜ (ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਚਾਰ ਘਾਤ ਦੋ ਵਾਏ ਘਾਤ ਦੋ) ਪੰਜ
( v 3 v 9 v 6 ) 4 ( v 3 v 9 v 6 ) 4
( 3 ਨ 2 ) 4 ( −5 ਨ 4 ) 3 ( −2 ਨ 5 ) 2 ( 3 ਨ 2 ) 4 ( −5 ਨ 4 ) 3 ( −2 ਨ 5 ) 2
ਮੋਨੋਮੀਅਲ (ਇਕ-ਪਦ) ਵੰਡੋ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਕ-ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
−65 y 14 ÷ 5 y 2 −65 y 14 ÷ 5 y 2
64 ਅ 5 ਬ 9 −16 ਅ 10 ਬ 3 64 ਅ 5 ਬ 9 −16 ਅ 10 ਬ 3
੧੪੪ x ੧੫ y ੮ z ੩ ੧੮ x ੧੦ y ੨ z ੧੨ ੧੪੪ x ੧੫ y ੮ z ੩ ੧੮ x ੧੦ y ੨ z ੧੨
(8 ਪ 6 ਕੁ 2) (9 ਪ 3 ਕੁ 5) 16 ਪ 8 ਕੁ 7 (8 ਪ 6 ਕੁ 2) (9 ਪ 3 ਕੁ 5) 16 ਪ 8 ਕੁ 7
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕਪਦੀ ਨਾਲ ਵੰਡੋ
In the following exercises, divide each polynomial by the monomial.
42 z 2 − 18 z 6 42 z 2 − 18 z 6
( 35 x 2 − 75 x ) ÷ 5 x ( 35 x 2 − 75 x ) ÷ 5 x
81 n 4 + 105 n 2 −3 81 n 4 + 105 n 2 −3
550 p 6 − 300 p 4 10 p 3 550 p 6 − 300 p 4 10 p 3
( 63 x y 3 + 56 x 2 y 4 ) ÷ ( 7 x y ) ( 63 x y 3 + 56 x 2 y 4 ) ÷ ( 7 x y )
96 a 5 b 2 − 48 a 4 b 3 − 56 a 2 b 4 8 a b 2 96 a 5 b 2 − 48 a 4 b 3 − 56 a 2 b 4 8 a b 2
57 m 2 − 12 m + 1 −3 m 57 m 2 − 12 m + 1 −3 m
105 y 5 + 50 y 3 − 5 y 5 y 3 105 y 5 + 50 y 3 − 5 y 5 y 3
Divide a Polynomial by a Binomial
In the following exercises, divide each polynomial by the binomial.
( k 2 − 2 k − 99 ) ÷ ( k + 9 ) ( k 2 − 2 k − 99 ) ÷ ( k + 9 )
( v 2 − 16 v + 64 ) ÷ ( v − 8 ) ( v 2 − 16 v + 64 ) ÷ ( v − 8 )
( 3 x 2 − 8 x − 35 ) ÷ ( x − 5 ) ( 3 x 2 − 8 x − 35 ) ÷ ( x − 5 )
( n 2 − 3 n − 14 ) ÷ ( n + 3 ) ( n 2 − 3 n − 14 ) ÷ ( n + 3 )
( 4 m 3 + m − 5 ) ÷ ( m − 1 ) ( 4 m 3 + m − 5 ) ÷ ( m − 1 )
( u 3 − 8 ) ÷ ( u − 2 ) ( u 3 − 8 ) ÷ ( u − 2 )
Integer Exponents and Scientific Notation
Use the Definition of a Negative Exponent
In the following exercises, simplify.
9 −2 9 −2
( −5 ) −3 ( −5 ) −3
3 · 4 −3 3 · 4 −3
( 6 u ) −3 ( 6 u ) −3
( 2 5 ) −1 ( 2 5 ) −1
( 3 4 ) −2 ( 3 4 ) −2
Simplify Expressions with Integer Exponents
In the following exercises, simplify.
p −2 · p 8 p −2 · p 8
q −6 · q −5 q −6 · q −5
( c −2 d ) ( c −3 d −2 ) ( c −2 d ) ( c −3 d −2 )
( y 8 ) −1 ( y 8 ) −1
( q −4 ) −3 ( q −4 ) −3
a 8 a 12 a 8 a 12
n 5 n −4 n 5 n −4
r −2 r −3 r −2 r −3
Convert from Decimal Notation to Scientific Notation
In the following exercises, write each number in scientific notation.
8,500,000
0.00429
The thickness of a dime is about 0.053 inches.
In 2015, the population of the world was about 7,200,000,000 people.
Convert Scientific Notation to Decimal Form
In the following exercises, convert each number to decimal form.
3.8 × 10 5 3.8 × 10 5
1.5 × 10 10 1.5 × 10 10
9.1 × 10 −7 9.1 × 10 −7
5.5 × 10 −1 5.5 × 10 −1
1. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ( 2 × 10 5 ) ( 4 × 10 −3 ) ( 2 × 10 5 ) ( 4 × 10 −3 )
4. ( 3.5 × 10 −2 ) ( 6.2 × 10 −1 ) ( 3.5 × 10 −2 ) ( 6.2 × 10 −1 )
5. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
6. 8 × 10 5 4 × 10 −1 8 × 10 5 4 × 10 −1
7. 9 × 10 −5 3 × 10 2 9 × 10 −5 3 × 10 2