ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਬਹੁਪਦਾਂ, ਇੱਕਪਦੀਆਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 8x+3x.8x+3x. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.2
ਘਟਾਓ: (5n+8)−(2n−1).(5n+8)−(2n−1). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.139 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.3
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: a5.a5. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.14 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ, ਇੱਕਪਦੀਆਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਤੁਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਹ axmaxm ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ aa ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ mm ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ 8,−2x2,4y3,ਅਤੇ11z78,−2x2,4y3,ਅਤੇ11z7 ਹਨ।
ਇੱਕਪਦੀਆਂ
ਇੱਕ ਇੱਕਪਦੀ axmaxm ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ aa ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ mm ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਇੱਕਪਦੀ, ਜਾਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਮਿਲਾ ਕੇ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਨਾਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਇੱਕਪਦੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ ਕੋਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਨਾਮ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਬਹੁਪਦ
ਬਹੁਪਦ—ਇੱਕ ਇੱਕਪਦੀ, ਜਾਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਮਿਲਾ ਕੇ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕਪਦੀ—ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋਪਦੀ—ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨਪਦੀ—ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਤਿੰਨਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Here are some examples of polynomials.
Polynomialb+14y2−7y+24x4+x3+8x2−9x+1Monomial148y2−9x3y5−13Binomiala+74b−5y2−163x3−9x2Trinomialx2−7x+129y2+2y−86m4−m3+8mz4+3z2−1Polynomialb+14y2−7y+24x4+x3+8x2−9x+1Monomial148y2−9x3y5−13Binomiala+74b−5y2−163x3−9x2Trinomialx2−7x+129y2+2y−86m4−m3+8mz4+3z2−1
Notice that every monomial, binomial, and trinomial is also a polynomial. They are just special members of the “family” of polynomials and so they have special names. We use the words monomial, binomial, and trinomial when referring to these special polynomials and just call all the rest polynomials.
Example 6.1
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.
ⓐ 4y2−8y−64y2−8y−6
ⓑ −5a4b2−5a4b2
ⓒ 2x5−5x3−9x2+3x+42x5−5x3−9x2+3x+4
ⓓ 13−5m313−5m3
ⓔ qq
Solution
row: Polynomial | Number of terms | Type
row: ⓐ | 4y2−8y−64y2−8y−6 | 33 | Trinomial
row: ⓑ | −5a4b2−5a4b2 | 11 | Monomial
row: ⓒ | 2x5−5x3−9x2+3x+42x5−5x3−9x2+3x+4 | 55 | Polynomial
row: ⓓ | 13−5m313−5m3 | 22 | Binomial
row: ⓔ | qq | 11 | Monomial
Try It 6.1
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial:
ⓐ 5b5b ⓑ 8y3−7y2−y−38y3−7y2−y−3 ⓒ −3x2−5x+9−3x2−5x+9 ⓓ 81−4a281−4a2 ⓔ −5x6−5x6
Try It 6.2
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial:
ⓐ 27z3−827z3−8 ⓑ 12m3−5m2−2m12m3−5m2−2m ⓒ 5656 ⓓ 8x4−7x2−6x−58x4−7x2−6x−5 ⓔ −n4−n4
Determine the Degree of Polynomials
The degree of a polynomial and the degree of its terms are determined by the exponents of the variable.
A monomial that has no variable, just a constant, is a special case. The degree of a constant is 0—it has no variable.
Degree of a Polynomial
The degree of a term is the sum of the exponents of its variables.
The degree of a constant is 0.
The degree of a polynomial is the highest degree of all its terms.
Let’s see how this works by looking at several polynomials. We’ll take it step by step, starting with monomials, and then progressing to polynomials with more terms.
A polynomial is in standard form when the terms of a polynomial are written in descending order of degrees. Get in the habit of writing the term with the highest degree first.
Example 6.2
Find the degree of the following polynomials.
ⓐ 10y10y
ⓑ 4x3−7x+54x3−7x+5
ⓒ −15−15
ⓓ −8b2+9b−2−8b2+9b−2
ⓔ 8xy2+2y8xy2+2y
Solution
row: ⓐ The exponent of yy is one. y=y1y=y1 | 10y10y The degree is 1.
row: ⓑ The highest degree of all the terms is 3. | 4x3−7x+54x3−7x+5 The degree is 3.
row: ⓒ The degree of a constant is 0. | −15−15 The degree is 0.
row: ⓓ The highest degree of all the terms is 2. | −8b2+9b−2−8b2+9b−2 The degree is 2.
row: ⓔ The highest degree of all the terms is 3. | 8xy2+2y8xy2+2y The degree is 3.
Try It 6.3
Find the degree of the following polynomials:
ⓐ −15b−15b ⓑ 10z4+4z2−510z4+4z2−5 ⓒ 12c5d4+9c3d9−712c5d4+9c3d9−7 ⓓ 3x2y−4x3x2y−4x ⓔ −9−9
Try It 6.4
Find the degree of the following polynomials:
ⓐ 5252 ⓑ a4b−17a4a4b−17a4 ⓒ 5x+6y+2z5x+6y+2z ⓓ 3x2−5x+73x2−5x+7 ⓔ −a3−a3
Add and Subtract Monomials
You have learned how to simplify expressions by combining like terms. Remember, like terms must have the same variables with the same exponent. Since monomials are terms, adding and subtracting monomials is the same as combining like terms. If the monomials are like terms, we just combine them by adding or subtracting the coefficient.
Example 6.3
Add: 25y2+15y225y2+15y2.
Solution
row: 25y2+15y225y2+15y2
row: Combine like terms. | 40y240y2
Try It 6.5
Add: 12q2+9q2.12q2+9q2.
Try It 6.6
Add: −15c2+8c2.−15c2+8c2.
Example 6.4
Subtract: 16p−(−7p)16p−(−7p).
Solution
row: 16p−(−7p)16p−(−7p)
row: Combine like terms. | 23p23p
Try It 6.7
Subtract: 8m−(−5m).8m−(−5m).
Try It 6.8
Subtract: −15z3−(−5z3).−15z3−(−5z3).
Remember that like terms must have the same variables with the same exponents.
Example 6.5
Simplify: c2+7d2−6c2c2+7d2−6c2.
Solution
row: c2+7d2−6c2c2+7d2−6c2
row: Combine like terms. | −5c2+7d2−5c2+7d2
Try It 6.9
Add: 8y2+3z2−3y2.8y2+3z2−3y2.
Try It 6.10
Add: 3m2+n2−7m2.3m2+n2−7m2.
Example 6.6
Simplify: u2v+5u2−3v2u2v+5u2−3v2.
Solution
row: u2v+5u2−3v2u2v+5u2−3v2
row: There are no like terms to combine. | u2v+5u2−3v2u2v+5u2−3v2
Try It 6.11
Simplify: m2n2−8m2+4n2.m2n2−8m2+4n2.
Try It 6.12
Simplify: pq2−6p−5q2.pq2−6p−5q2.
Add and Subtract Polynomials
We can think of adding and subtracting polynomials as just adding and subtracting a series of monomials. Look for the like terms—those with the same variables and the same exponent. The Commutative Property allows us to rearrange the terms to put like terms together.
Example 6.7
Find the sum: (5y2−3y+15)+(3y2−4y−11).(5y2−3y+15)+(3y2−4y−11).
Solution
row: Identify like terms.
1. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.13
4. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: (7x2−4x+5)+(x2−7x+3)।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.14
6. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: (14y2+6y−4)+(3y2+8y+5)।
7. ਉਦਾਹਰਨ 6.8
8. ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (9w2−7w+5)−(2w2−4)।
9. ਹੱਲ
10. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
13. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.15
14. ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (8x2+3x−19)−(7x2−14)।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.16
16. ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (9b2−5b−4)−(3b2−5b−7)।
17. ਉਦਾਹਰਨ 6.9
18. (c2−4c+7) ਨੂੰ (7c2−5c+3) ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।
19. ਹੱਲ
20. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
23. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.17
24. (5z2−6z−2) ਨੂੰ (7z2+6z−4) ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।
Try It 6.18
Subtract: (x2−5x−8)(x2−5x−8) from (6x2+9x−1)(6x2+9x−1).
Example 6.10
Find the sum: (u2−6uv+5v2)+(3u2+2uv)(u2−6uv+5v2)+(3u2+2uv).
Solution
row: (u2−6uv+5v2)+(3u2+2uv)(u2−6uv+5v2)+(3u2+2uv)
row: Distribute. | u2−6uv+5v2+3u2+2uvu2−6uv+5v2+3u2+2uv
row: Rearrange the terms, to put like terms together. | u2+3u2−6uv+2uv+5v2u2+3u2−6uv+2uv+5v2
row: Combine like terms. | 4u2−4uv+5v24u2−4uv+5v2
Try It 6.19
Find the sum: (3x2−4xy+5y2)+(2x2−xy)(3x2−4xy+5y2)+(2x2−xy).
Try It 6.20
Find the sum: (2x2−3xy−2y2)+(5x2−3xy)(2x2−3xy−2y2)+(5x2−3xy).
Example 6.11
Find the difference: (p2+q2)−(p2+10pq−2q2)(p2+q2)−(p2+10pq−2q2).
Solution
row: (p2+q2)−(p2+10pq−2q2)(p2+q2)−(p2+10pq−2q2)
row: Distribute. | p2+q2−p2−10pq+2q2p2+q2−p2−10pq+2q2
row: Rearrange the terms, to put like terms together. | p2−p2−10pq+q2+2q2p2−p2−10pq+q2+2q2
row: Combine like terms. | −10pq+3q2−10pq+3q2
Try It 6.21
Find the difference: (a2+b2)−(a2+5ab−6b2)(a2+b2)−(a2+5ab−6b2).
Try It 6.22
Find the difference: (m2+n2)−(m2−7mn−3n2)(m2+n2)−(m2−7mn−3n2).
Example 6.12
Simplify: (a3−a2b)−(ab2+b3)+(a2b+ab2)(a3−a2b)−(ab2+b3)+(a2b+ab2).
Solution
row: (a3−a2b)−(ab2+b3)+(a2b+ab2)(a3−a2b)−(ab2+b3)+(a2b+ab2)
row: Distribute. | a3−a2b−ab2−b3+a2b+ab2a3−a2b−ab2−b3+a2b+ab2
row: Rearrange the terms, to put like terms together. | a3−a2b+a2b−ab2+ab2−b3a3−a2b+a2b−ab2+ab2−b3
row: Combine like terms. | a3−b3a3−b3
Try It 6.23
Simplify: (x3−x2y)−(xy2+y3)+(x2y+xy2)(x3−x2y)−(xy2+y3)+(x2y+xy2).
Try It 6.24
Simplify: (p3−p2q)+(pq2+q3)−(p2q+pq2)(p3−p2q)+(pq2+q3)−(p2q+pq2).
Evaluate a Polynomial for a Given Value
We have already learned how to evaluate expressions. Since polynomials are expressions, we’ll follow the same procedures to evaluate a polynomial. We will substitute the given value for the variable and then simplify using the order of operations.
Example 6.13
Evaluate 5x2−8x+45x2−8x+4 when
ⓐ x=4x=4
ⓑ x=−2x=−2
ⓒ x=0x=0
Solution
row: ⓐ x=4x=4
row: Simplify the exponents.
row: Multiply.
row: Simplify.
row: ⓑ x=−2x=−2
1. ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
3. ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ⓒ x=0x=0
5. ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
6. ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
7. ਸਰਲ ਕਰੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.25
9. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 3x2+2x−153x2+2x−15 ਜਦੋਂ
10. ⓐ x=3x=3
11. ⓑ x=−5x=−5
12. ⓒ x=0x=0
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.26
14. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 5z2−z−45z2−z−4 ਜਦੋਂ
15. ⓐ z=−2z=−2
16. ⓑ z=0z=0
17. ⓒ z=2z=2
18. ਉਦਾਹਰਨ 6.14
19. ਬਹੁਪਦ −16t2+250−16t2+250 ਇੱਕ 250 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। t=2t=2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਸਤਰ: −16t2+250−16t2+250
22. ਸਤਰ: t=2t=2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | −16(2)2+250−16(2)2+250
23. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −16·4+250−16·4+250
24. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −64+250−64+250
ਸਰਲ ਕਰੋ।
2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ 186 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.27
ਬਹੁਪਦ −16t^2+250, 250 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। t=0 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.28
ਬਹੁਪਦ −16t^2+250, 250 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। t=3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.15
ਬਹੁਪਦ 6x^2+15xy, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ x ਫੁੱਟ ਦੇ ਵਰਗ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ ਅਤੇ y ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ। x=4 ਫੁੱਟ ਅਤੇ y=6 ਫੁੱਟ ਵਾਲੇ ਡੱਬੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਡੱਬੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ $456 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.29
ਬਹੁਪਦ 6x^2+15xy, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ x ਫੁੱਟ ਦੇ ਵਰਗ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ ਅਤੇ y ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ। x=6 ਫੁੱਟ ਅਤੇ y=4 ਫੁੱਟ ਵਾਲੇ ਡੱਬੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.30
ਬਹੁਪਦ 6x^2+15xy, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ x ਫੁੱਟ ਦੇ ਵਰਗ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ ਅਤੇ y ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਹਨ। x=5 ਫੁੱਟ ਅਤੇ y=8 ਫੁੱਟ ਵਾਲੇ ਡੱਬੇ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ 1
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ 2
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ 3
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ 4
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
Identify Polynomials, Monomials, Binomials, and Trinomials
In the following exercises, determine if each of the following polynomials is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.
ⓐ 81b5−24b3+181b5−24b3+1 ⓑ 5c3+11c2−c−85c3+11c2−c−8 ⓒ 1415y+171415y+17 ⓓ 5 ⓔ 4y+174y+17
ⓐ x2−y2x2−y2 ⓑ −13c4−13c4 ⓒ x2+5x−7x2+5x−7 ⓓ x2y2−2xy+8x2y2−2xy+8 ⓔ 19
ⓐ 8−3x8−3x ⓑ z2−5z−6z2−5z−6 ⓒ y3−8y2+2y−16y3−8y2+2y−16 ⓓ 81b5−24b3+181b5−24b3+1 ⓔ −18−18
ⓐ 11y211y2 ⓑ −73−73 ⓒ 6x2−3xy+4x−2y+y26x2−3xy+4x−2y+y2 ⓓ 4y+174y+17 ⓔ 5c3+11c2−c−85c3+11c2−c−8
Determine the Degree of Polynomials
In the following exercises, determine the degree of each polynomial.
ⓐ 6a2+12a+146a2+12a+14 ⓑ 18xy2z18xy2z ⓒ 5x+25x+2 ⓓ y3−8y2+2y−16y3−8y2+2y−16 ⓔ −24−24
ⓐ 9y3−10y2+2y−69y3−10y2+2y−6 ⓑ −12p4−12p4 ⓒ a2+9a+18a2+9a+18 ⓓ 20x2y2−10a2b2+3020x2y2−10a2b2+30 ⓔ 17
ⓐ 14−29x14−29x ⓑ z2−5z−6z2−5z−6 ⓒ y3−8y2+2y−16y3−8y2+2y−16 ⓓ 23ab2−1423ab2−14 ⓔ −3−3
ⓐ 62y262y2 ⓑ 15 ⓒ 6x2−3xy+4x−2y+y26x2−3xy+4x−2y+y2 ⓓ 10−9x10−9x ⓔ m4+4m3+6m2+4m+1m4+4m3+6m2+4m+1
Add and Subtract Monomials
In the following exercises, add or subtract the monomials.
7x 2 + 5 x 2 7x 2 + 5 x 2
4y 3 + 6 y 3 4y 3 + 6 y 3
−12 w + 18 w −12 w + 18 w
−3 m + 9 m −3 m + 9 m
4a − 9 a 4a − 9 a
− y − 5 y − y − 5 y
28 x − ( −12 x ) 28 x − ( −12 x )
13 z − ( −4 z ) 13 z − ( −4 z )
−5 b − 17 b −5 b − 17 b
−10 x − 35 x −10 x − 35 x
12 ਏ + 5 ਬੀ − 22 ਏ
14x − 3 y − 13 x
2 ਏ^2 + ਬੀ^2 − 6 ਏ^2
5 u^2 + 4 v^2 − 6 u^2
x y^2 − 5 x − 5 y^2
p q^2 − 4 p − 3 q^2
a^2 b − 4 a − 5 a b^2
x^2 y − 3 x + 7 x y^2
12a + 8 b
19y + 5 z
ਜੋੜੋ: 4a, −3b, −8a
ਜੋੜੋ: 4x, 3y, −3x
6x^6 ਵਿੱਚੋਂ 5x^6 ਘਟਾਓ।
4p^4 ਵਿੱਚੋਂ 2p^4 ਘਟਾਓ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
( 5 y^2 + 12 y + 4 ) + ( 6 y^2 − 8 y + 7 )
( 4 y^2 + 10 y + 3 ) + ( 8 y^2 − 6 y + 5 )
( x^2 + 6 x + 8 ) + ( −4 x^2 + 11 x − 9 )
( y^2 + 9 y + 4 ) + ( −2 y^2 − 5 y − 1 )
( 8 x^2 − 5 x + 2 ) + ( 3 x^2 + 3 )
( 7 x^2 − 9 x + 2 ) + ( 6 x^2 − 4 )
( 5 a^2 + 8 ) + ( a^2 − 4 a − 9 )
( p^2 − 6 p − 18 ) + ( 2 p^2 + 11 )
(4m² − 6m − 3) − (2m² + m − 7)
(3b² − 4b + 1) − (5b² − b − 2)
(a² + 8a + 5) − (a² − 3a + 2)
(b² − 7b + 5) − (b² − 2b + 9)
(12s² − 15s) − (s − 9)
(10r² − 20r) − (r − 8)
(12x² − x + 6) − (9x² + 2)
(10y² − 8y − 20) − (5y² − y + 12)
(8w² − w + 6) − (7w² − 4w + 2)
(9x² − 6x − 20) − (5x² − x + 12)
(2p³ − 8) + (p² + 9p + 18)
(q² + 4q + 13) + (7q³ − 3)
(8a³ − 8a) + (a² + 6a + 12)
(b² + 5b + 13) + (4b³ − 6)
(w² + w − 42) − (w² − 10w + 24)
(z² − 3z − 18) − (z² + 5z − 20)
(c² + 4c − 33) − (c² − 8c + 12)
(t² − 5t − 15) − (t² + 4t − 17)
(7x² − 2xy + 6y²) + (3x² − 5xy)
(−5x² − 4xy − 3y²) + (2x² − 7xy)
(7m² + mn − 8n²) + (3m² + 2mn)
(2r² − 3rs − 2s²) + (5r² − 3rs)
(a² − b²) − (a² + 3ab − 4b²)
(m² + 2n²) − (m² − 8mn − n²)
( u 2 − v 2 ) − ( u 2 − 4 u v − 3 v 2 ) ( u 2 − v 2 ) − ( u 2 − 4 u v − 3 v 2 )
( j 2 − k 2 ) − ( j 2 − 8 j k − 5 k 2 ) ( j 2 − k 2 ) − ( j 2 − 8 j k − 5 k 2 )
( p 3 − 3 p 2 q ) + ( 2 p q 2 + 4 q 3 ) − ( 3 p 2 q + p q 2 ) ( p 3 − 3 p 2 q ) + ( 2 p q 2 + 4 q 3 ) − ( 3 p 2 q + p q 2 )
( a 3 − 2 a 2 b ) + ( a b 2 + b 3 ) − ( 3 a 2 b + 4 a b 2 ) ( a 3 − 2 a 2 b ) + ( a b 2 + b 3 ) − ( 3 a 2 b + 4 a b 2 )
( x 3 − x 2 y ) − ( 4 x y 2 − y 3 ) + ( 3 x 2 y − x y 2 ) ( x 3 − x 2 y ) − ( 4 x y 2 − y 3 ) + ( 3 x 2 y − x y 2 )
( x 3 − 2 x 2 y ) − ( x y 2 − 3 y 3 ) − ( x 2 y − 4 x y 2 ) ( x 3 − 2 x 2 y ) − ( x y 2 − 3 y 3 ) − ( x 2 y − 4 x y 2 )
Evaluate a Polynomial for a Given Value
In the following exercises, evaluate each polynomial for the given value.
Evaluate 8y2−3y+28y2−3y+2 when:
ⓐ y=5y=5 ⓑ y=−2y=−2 ⓒ y=0y=0
Evaluate 5y2−y−75y2−y−7 when:
ⓐ y=−4y=−4 ⓑ y=1y=1 ⓒ y=0y=0
Evaluate 4−36x4−36x when:
ⓐ x=3x=3 ⓑ x=0x=0 ⓒ x=−1x=−1
Evaluate 16−36x216−36x2 when:
ⓐ x=−1x=−1 ⓑ x=0x=0 ⓒ x=2x=2
A painter drops a brush from a platform 75 feet high. The polynomial −16t2+75−16t2+75 gives the height of the brush tt seconds after it was dropped. Find the height after t=2t=2 seconds.
A girl drops a ball off a cliff into the ocean. The polynomial −16t2+250−16t2+250 gives the height of a ball tt seconds after it is dropped from a 250-foot tall cliff. Find the height after t=2t=2 seconds.
A manufacturer of stereo sound speakers has found that the revenue received from selling the speakers at a cost of p dollars each is given by the polynomial −4p2+420p.−4p2+420p. Find the revenue received when p=60p=60 dollars.
A manufacturer of the latest basketball shoes has found that the revenue received from selling the shoes at a cost of p dollars each is given by the polynomial −4p2+420p.−4p2+420p. Find the revenue received when p=90p=90 dollars.
Everyday Math
Fuel Efficiency The fuel efficiency (in miles per gallon) of a car going at a speed of xx miles per hour is given by the polynomial −1150x2+13x−1150x2+13x. Find the fuel efficiency when x=30mphx=30mph.
Stopping Distance The number of feet it takes for a car traveling at xx miles per hour to stop on dry, level concrete is given by the polynomial 0.06x2+1.1x0.06x2+1.1x. Find the stopping distance when x=40mphx=40mph.
Rental Cost The cost to rent a rug cleaner for dd days is given by the polynomial 5.50d+255.50d+25. Find the cost to rent the cleaner for 6 days.
1. ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ (ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਬਹੁਪਦੀ −16t2+60t+90−16t2+60t+90 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। t=2.5t=2.5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਤਾਪਮਾਨ ਪਰਿਵਰਤਨ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਬਹੁਪਦੀ 95c+3295c+32 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ cc ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ c=65°c=65° ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
4. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੋਨੋਮੀਅਲ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
5. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਬਹੁਪਦੀ ਅਤੇ 5 ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੀ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
6. ਅਰਿਆਨਾ ਸੋਚਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੋੜ 6y2+5y46y2+5y4 11y611y6 ਹੈ। ਉਸਦੀ ਤਰਕ ਵਿੱਚ ਕੀ ਗਲਤ ਹੈ?
7. ਜੋਨਾਥਨ ਸੋਚਦਾ ਹੈ ਕਿ 1313 ਅਤੇ 1x1x ਦੋਵੇਂ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਹਨ। ਉਸਦੀ ਤਰਕ ਵਿੱਚ ਕੀ ਗਲਤ ਹੈ?
8. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
9. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ⓑ ਜੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
11. …ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਵਰਤੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਕਿਵੇਂ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਬਣੋ।
12. …ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਉਹ ਸਫਲਤਾ ਦੇ ਰਾਹ ਵਿੱਚ ਖੱਡੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸ ਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
13. …ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।