ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਘਾਤ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਕਈ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਮੋਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 34·34·34·34। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.68 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.5
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: (−2)(−2)(−2)·(−2)(−2)(−2)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.50 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2424 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ 2 ਨੂੰ 4 ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਇਸ ਲਈ 2424 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ 2·2·2·22·2·2·2।
ਆਓ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਲਈ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ।
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਇਸਨੂੰ 'ਏ' ਦੀ 'ਐਮ'ਵੀਂ ਘਾਤ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਿਅੰਜਨ amam ਵਿੱਚ, ਘਾਤ mm ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ 'ਏ' ਨੂੰ ਗੁਣਕ ਵਜੋਂ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਸਿਰਫ਼ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਈਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.16
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ 4343 ⓑ 7171 ⓒ (56)2(56)2 ⓓ (0.63)2.(0.63)2।
ਹੱਲ
row: ⓐ | 4343
row: Multiply three factors of 4. | 4·4·44·4·4
row: Simplify. | 6464
row: ⓑ | 7171
row: Multiply one factor of 7. | 77
row: ⓒ | (56)2(56)2
row: Multiply two factors. | (56)(56)(56)(56)
row: Simplify. | 25362536
row: ⓓ | (0.63)2(0.63)2
row: Multiply two factors. | (0.63)(0.63)(0.63)(0.63)
row: Simplify. | 0.39690.3969
Try It 6.31
Simplify: ⓐ 6363 ⓑ 151151 ⓒ (37)2(37)2 ⓓ (0.43)2.(0.43)2.
Try It 6.32
Simplify: ⓐ 2525 ⓑ 211211 ⓒ (25)3(25)3 ⓓ (0.218)2.(0.218)2.
Example 6.17
Simplify: ⓐ (−5)4(−5)4 ⓑ −54.−54.
Solution
row: ⓐ | (−5)4(−5)4
row: Multiply four factors of −5−5. | (−5)(−5)(−5)(−5)(−5)(−5)(−5)(−5)
row: Simplify. | 625625
row: ⓑ | −54−54
row: Multiply four factors of 5. | −(5·5·5·5)−(5·5·5·5)
row: Simplify. | −625−625
Try It 6.33
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−3)4(−3)4 ⓑ −34.−34.
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.34
3. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−13)2(−13)2 ⓑ −132.−132.
4. ਮਿਸਾਲ 6.17ⓐ ਅਤੇ ਮਿਸਾਲ 6.17ⓑ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ! ਜਵਾਬ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਉਂ ਹਨ? ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕੋਠੜੀਆਂ ਸਾਨੂੰ (−5)(−5) ਨੂੰ 4 ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਭਾਗ ⓑ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ 5 ਨੂੰ 4 ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਿਰੋਧੀ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
5. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
6. ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਘਾਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਘਾਤਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਈ ਵਾਰ ਆਧਾਰ ਵੀ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
7. ਅਸੀਂ ਕਈ ਮਿਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਿਸਾਲ ਵੱਲ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
9. ਕਤਾਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਕ ਹਨ?
10. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
11. ਕਤਾਰ: ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 5 ਘਾਤਾਂ, 2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
12. ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
13. ਆਧਾਰ ਉਹੀ ਰਿਹਾ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ। ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ
15. ਜੇਕਰ aa ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ mandnmandn ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
16. ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
17. ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਿਸਾਲ ਇਸ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।
18. ਮਿਸਾਲ 6.18
19. ਸਰਲ ਕਰੋ: y5·y6.y5·y6.
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ, am · an = am+n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
23. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.35
24. ਸਰਲ ਕਰੋ: b9·b8.b9·b8.
੧. ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੩੬
੨. ਸਰਲ ਕਰੋ: x¹²·x⁴·x¹²·x⁴.
੩. ਉਦਾਹਰਨ ੬.੧੯
੪. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 25·2925·29 ⓑ 3·34.3·34.
੫. ਹੱਲ
੬. ⓐ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, am · an = am+n. ਸਰਲ ਕਰੋ।
੭. ⓑ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, am · an = am+n. ਸਰਲ ਕਰੋ।
੮. ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੩੭
੯. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 5·555·55 ⓑ 49·49.49·49.
੧੦. ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੩੮
੧੧. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 76·7876·78 ⓑ 10·1010.10·1010.
੧੨. ਉਦਾਹਰਨ ੬.੨੦
੧੩. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ a⁷·aa⁷·a ⓑ x²⁷·x¹³.x²⁷·x¹³.
੧੪. ਹੱਲ
੧੫. ⓐ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, a = a¹. ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, am · an = am+n. ਸਰਲ ਕਰੋ।
੧੬. ⓑ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ।
੧੭. ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੩੯
੧੮. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ p⁵·pp⁵·p ⓑ y¹⁴·y²⁹.y¹⁴·y²⁹.
੧੯. ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੪੦
੨੦. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ z·z⁷z·z⁷ ⓑ b¹⁵·b³⁴.b¹⁵·b³⁴.
੨੧. ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਧਰਮ ਨੂੰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
੨੨. ਉਦਾਹਰਨ ੬.੨੧
੨੩. ਸਰਲ ਕਰੋ: d⁴·d⁵·d².d⁴·d⁵·d².
੨੪. ਹੱਲ
1. ਘਾਤਾਂ ਜੋੜੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ।
2. ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.41
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: x6·x4·x8.x6·x4·x8.
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.42
6. ਸਰਲ ਕਰੋ: b5·b9·b5.b5·b9·b5.
7. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
8. ਹੁਣ ਆਓ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਵੇਖੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ, ਘਾਤ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਆਮ ਗੁਣ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਕ ਹਨ?
10. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
11. ਕਤਾਰ: ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 6, ਘਾਤਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
12. ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
13. ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ
15. ਜੇਕਰ 'a' ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ 'm' ਅਤੇ 'n' ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
16. ਘਾਤ ਨੂੰ ਘਾਤ ਉੱਤੇ ਚੜ੍ਹਾਉਣ ਲਈ, ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 6.22
19. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (y5)9(y5)9 ⓑ (44)7.(44)7.
20. ਹੱਲ
21. ⓐ
22. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (am)n = am·n।
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ⓑ
1. ਸਤਰ: ਸ਼ਕਤੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.43
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (b7)5(b7)5 ⓑ (54)3.(54)3.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.44
6. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (z6)9(z6)9 ⓑ (37)7.(37)7.
7. ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
8. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ?
9. ਸਤਰ: (2x)3(2x)3
10. ਸਤਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? | 2x·2x·2x2x·2x·2x
11. ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। | 2·2·2·x·x·x2·2·2·x·x·x
12. ਸਤਰ: 2 ਅਤੇ x ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਕਾਰਕ ਹਨ? | 23·x323·x3
13. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ (2x)3(2x)3, 23·x323·x3 ਹੈ।
14. ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ: | (2x)3(2x)3
15. ਸਤਰ: 23·x323·x3
16. ਘਾਤ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ! ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਘਾਤ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਘਾਤ ਗੁਣ
18. ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ m ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ
19. ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਉਸ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ।
20. ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ:
21. ਉਦਾਹਰਨ 6.23
22. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−9d)2(−9d)2 ⓑ (3mn)3.(3mn)3.
23. ਹੱਲ
24. ⓐ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ab)m = ambm। ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ Use Power of a Product Property, (ab)m = ambm. Simplify.
Try It 6.45
Simplify: ⓐ (−12y)2(−12y)2 ⓑ (2wx)5.(2wx)5.
Try It 6.46
Simplify: ⓐ (5wx)3(5wx)3 ⓑ (−3y)3.(−3y)3.
Simplify Expressions by Applying Several Properties
We now have three properties for multiplying expressions with exponents. Let’s summarize them and then we’ll do some examples that use more than one of the properties.
Properties of Exponents
If aandbaandb are real numbers, and mandnmandn are whole numbers, then
row: Product Property | am·an=am+nam·an=am+n
row: Power Property | (am)n=am·n(am)n=am·n
row: Product to a Power | (ab)m=ambm(ab)m=ambm
All exponent properties hold true for any real numbers mandnmandn. Right now, we only use whole number exponents.
Example 6.24
Simplify: ⓐ (y3)6(y5)4(y3)6(y5)4 ⓑ (−6x4y5)2.(−6x4y5)2.
Solution
row: ⓐ | (y3)6(y5)4(y3)6(y5)4
row: Use the Power Property. | y18·y20y18·y20
row: Add the exponents. | y38y38
row: ⓑ | (−6x4y5)2(−6x4y5)2
row: Use the Product to a Power Property. | (−6)2(x4)2(y5)2(−6)2(x4)2(y5)2
row: Use the Power Property. | (−6)2(−6)2
row: Simplify. | 36x8y1036x8y10
Try It 6.47
Simplify: ⓐ (a4)5(a7)4(a4)5(a7)4 ⓑ (−2c4d2)3.(−2c4d2)3.
Try It 6.48
Simplify: ⓐ (−3x6y7)4(−3x6y7)4 ⓑ (q4)5(q3)3.(q4)5(q3)3.
Example 6.25
Simplify: ⓐ (5m)2(3m3)(5m)2(3m3) ⓑ (3x2y)4(2xy2)3.(3x2y)4(2xy2)3.
Solution
row: ⓐ | (5m)2(3m3)(5m)2(3m3)
row: Raise 5m5m to the second power. | 52m2·3m352m2·3m3
row: Simplify. | 25m2·3m325m2·3m3
row: Use the Commutative Property. | 25·3·m2·m325·3·m2·m3
row: Multiply the constants and add the exponents. | 75m575m5
row: ⓑ | (3x2y)4(2xy2)3(3x2y)4(2xy2)3
row: Use the Product to a Power Property. | (34x8y4)(23x3y6)(34x8y4)(23x3y6)
row: Simplify. | (81x8y4)(8x3y6)(81x8y4)(8x3y6)
row: Use the Commutative Property. | 81·8·x8·x3·y4·y681·8·x8·x3·y4·y6
row: Multiply the constants and add the exponents. | 648x11y10648x11y10
Try It 6.49
Simplify: ⓐ (5n)2(3n10)(5n)2(3n10) ⓑ (c4d2)5(3cd5)4.(c4d2)5(3cd5)4.
Try It 6.50
Simplify: ⓐ (a3b2)6(4ab3)4(a3b2)6(4ab3)4 ⓑ (2x)3(5x7).(2x)3(5x7).
Multiply Monomials
Since a monomial is an algebraic expression, we can use the properties of exponents to multiply monomials.
Example 6.26
Multiply: (3x2)(−4x3).(3x2)(−4x3).
Solution
row: (3x2)(−4x3)(3x2)(−4x3)
row: Use the Commutative Property to rearrange the terms. | 3·(−4)·x2·x33·(−4)·x2·x3
row: Multiply. | −12x5−12x5
Try It 6.51
Multiply: (5y7)(−7y4).(5y7)(−7y4).
Try It 6.52
Multiply: (−6b4)(−9b5).(−6b4)(−9b5).
Example 6.27
Multiply: (56x3y)(12xy2).(56x3y)(12xy2).
Solution
row: (56x3y)(12xy2)(56x3y)(12xy2)
row: Use the Commutative Property to rearrange the terms. | 56·12·x3·x·y·y256·12·x3·x·y·y2
row: Multiply. | 10x4y310x4y3
Try It 6.53
Multiply: (25a4b3)(15ab3).(25a4b3)(15ab3).
Try It 6.54
Multiply: (23r5s)(12r6s7).(23r5s)(12r6s7).
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with using multiplication properties of exponents:
Multiplication Properties of Exponents
Practice Makes Perfect
Simplify Expressions with Exponents
In the following exercises, simplify each expression with exponents.
ⓐ 3535 ⓑ 9191 ⓒ (13)2(13)2 ⓓ (0.2)4(0.2)4
ⓐ 104104 ⓑ 171171 ⓒ (29)2(29)2 ⓓ (0.5)3(0.5)3
ⓐ 2626 ⓑ 141141 ⓒ (25)3(25)3 ⓓ (0.7)2(0.7)2
ⓐ 8383 ⓑ 8181 ⓒ (34)3(34)3 ⓓ (0.4)3(0.4)3
ⓐ (−6)4(−6)4 ⓑ −64−64
ⓐ (−2)6(−2)6 ⓑ −26−26
ⓐ −(14)4−(14)4 ⓑ (−14)4(−14)4
ⓐ −(23)2−(23)2 ⓑ (−23)2(−23)2
ⓐ −0.52−0.52 ⓑ (−0.5)2(−0.5)2
ⓐ −0.14−0.14 ⓑ (−0.1)4(−0.1)4
Simplify Expressions Using the Product Property for Exponents
In the following exercises, simplify each expression using the Product Property for Exponents.
d 3 · d 6 d 3 · d 6
x 4 · x 2 x 4 · x 2
n 19 · n 12 n 19 · n 12
q 27 · q 15 q 27 · q 15
ⓐ 45·4945·49 ⓑ 89·889·8
ⓐ 310·36310·36 ⓑ 5·545·54
ⓐ y·y3y·y3 ⓑ z25·z8z25·z8
ⓐ w5·ww5·w ⓑ u41·u53u41·u53
w · w 2 · w 3 w · w 2 · w 3
y · y 3 · y 5 y · y 3 · y 5
a 4 · a 3 · a 9 a 4 · a 3 · a 9
c 5 · c 11 · c 2 c 5 · c 11 · c 2
m x · m 3 m x · m 3
n y · n 2 n y · n 2
y a · y b y a · y b
x p · x q x p · x q
Simplify Expressions Using the Power Property for Exponents
In the following exercises, simplify each expression using the Power Property for Exponents.
ⓐ (m4)2(m4)2 ⓑ (103)6(103)6
ⓐ (b2)7(b2)7 ⓑ (38)2(38)2
ⓐ (y3)x(y3)x ⓑ (5x)y(5x)y
ⓐ (x2)y(x2)y ⓑ (7a)b(7a)b
Simplify Expressions Using the Product to a Power Property
In the following exercises, simplify each expression using the Product to a Power Property.
ⓐ (6a)2(6a)2 ⓑ (3xy)2(3xy)2
ⓐ (5x)2(5x)2 ⓑ (4ab)2(4ab)2
ⓐ (−4m)3(−4m)3 ⓑ (5ab)3(5ab)3
ⓐ (−7n)3(−7n)3 ⓑ (3xyz)4(3xyz)4
Simplify Expressions by Applying Several Properties
In the following exercises, simplify each expression.
ⓐ (y2)4·(y3)2(y2)4·(y3)2 ⓑ (10a2b)3(10a2b)3
ⓐ (w4)3·(w5)2(w4)3·(w5)2 ⓑ (2xy4)5(2xy4)5
ⓐ (−2r3s2)4(−2r3s2)4 ⓑ (m5)3·(m9)4(m5)3·(m9)4
ⓐ (−10q2p4)3(−10q2p4)3 ⓑ (n3)10·(n5)2(n3)10·(n5)2
ⓐ (3x)2(5x)(3x)2(5x) ⓑ (5t2)3(3t)2(5t2)3(3t)2
ⓐ (2y)3(6y)(2y)3(6y) ⓑ (10k4)3(5k6)2(10k4)3(5k6)2
ⓐ (5a)2(2a)3(5a)2(2a)3 ⓑ (12y2)3(23y)2(12y2)3(23y)2
ⓐ (4b)2(3b)3(4b)2(3b)3 ⓑ (12j2)5(25j3)2(12j2)5(25j3)2
ⓐ (25x2y)3(25x2y)3 ⓑ (89xy4)2(89xy4)2
ⓐ (2r2)3(4r)2(2r2)3(4r)2 ⓑ (3x3)3(x5)4(3x3)3(x5)4
ⓐ (m2n)2(2mn5)4(m2n)2(2mn5)4 ⓑ (3pq4)2(6p6q)2(3pq4)2(6p6q)2
Multiply Monomials
In the following exercises, multiply the monomials.
( 6 y 7 ) ( −3 y 4 ) ( 6 y 7 ) ( −3 y 4 )
( −10 x 5 ) ( −3 x 3 ) ( −10 x 5 ) ( −3 x 3 )
( −8 u 6 ) ( −9 u ) ( −8 u 6 ) ( −9 u )
( −6 c 4 ) ( −12 c ) ( −6 c 4 ) ( −12 c )
( 1 5 f 8 ) ( 20 f 3 ) ( 1 5 f 8 ) ( 20 f 3 )
( 1 4 d 5 ) ( 36 d 2 ) ( 1 4 d 5 ) ( 36 d 2 )
( 4 a 3 b ) ( 9 a 2 b 6 ) ( 4 a 3 b ) ( 9 a 2 b 6 )
( 6 m 4 n 3 ) ( 7 m n 5 ) ( 6 m 4 n 3 ) ( 7 m n 5 )
( 4 7 r s 2 ) ( 14 r s 3 ) ( 4 7 r s 2 ) ( 14 r s 3 )
( 5 8 x 3 y ) ( 24 x 5 y ) ( 5 8 x 3 y ) ( 24 x 5 y )
( 2 3 x 2 y ) ( 3 4 x y 2 ) ( 2 3 x 2 y ) ( 3 4 x y 2 )
( 3 5 m 3 n 2 ) ( 5 9 m 2 n 3 ) ( 3 5 m 3 n 2 ) ( 5 9 m 2 n 3 )
Mixed Practice
In the following exercises, simplify each expression.
( x 2 ) 4 · ( x 3 ) 2 ( x 2 ) 4 · ( x 3 ) 2
( y 4 ) 3 · ( y 5 ) 2 ( y 4 ) 3 · ( y 5 ) 2
( a 2 ) 6 · ( a 3 ) 8 ( a 2 ) 6 · ( a 3 ) 8
( 7 b 5 ) 2 ( 6 b 2 ) 2
( 3 m 6 ) 2
( 4 y 2 ) 2
( 3 x 2 y ) 2
( 5 n 4 ) 2
( 4 b 2 ) 2
( 3 v 4 ) 2
( 3 x 2 y ) 2
( 2 q 4 ) 2
( 2 a 3 ) 2 ( 4 a 2 ) 2
( 3 r 2 ) 2 ( 2 r 3 ) 2
( 3 p 4 ) 2 ( 2 p 6 ) 2
( 3 x 3 ) 2 ( 4 x 5 ) 2
( 4 y 3 ) 2 ( 2 y 3 ) 2
( 4 n 2 ) 2 ( 2 n 3 ) 2
( 2 n 2 ) 2 ( 4 n 5 ) 2
( 3 q 4 ) 2 ( 2 q 6 ) 2
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਕੇਟ ਦਸ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਾਇਰ ਈਮੇਲ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਦਸ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਵਰਡ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਅੱਗੇ ਆਪਣੇ ਦਸ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਵਰਡ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ ਚਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਦੌਰ ਵਿੱਚ ਈਮੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 10^210^2 ਹੈ, ਤੀਜੇ ਦੌਰ ਵਿੱਚ 10^310^3 ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਛੇਵੇਂ ਦੌਰ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕ ਈਮੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਗੇ? ਈਮੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਦੌਰ: ਦੌਰ | ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
1 | 10
2 | 10^210^2
3 | 10^310^3
… | …
row: 6 | ?
Salary Jamal’s boss gives him a 3% raise every year on his birthday. This means that each year, Jamal’s salary is 1.03 times his last year’s salary. If his original salary was $35,000, his salary after 1 year was $35,000(1.03)$35,000(1.03), after 2 years was $35,000(1.03)2$35,000(1.03)2, after 3 years was $35,000(1.03)3$35,000(1.03)3, as shown in the table below. What will Jamal’s salary be after 10 years? Simplify the expression, to show Jamal’s salary in dollars.
row: Year | Salary
row: 1 | $35,000(1.03)$35,000(1.03)
row: 2 | $35,000(1.03)2$35,000(1.03)2
row: 3 | $35,000(1.03)3$35,000(1.03)3
row: … | …
row: 10 | ?
Clearance A department store is clearing out merchandise in order to make room for new inventory. The plan is to mark down items by 30% each week. This means that each week the cost of an item is 70% of the previous week’s cost. If the original cost of a sofa was $1,000, the cost for the first week would be $1,000(0.70)$1,000(0.70) and the cost of the item during the second week would be $1,000(0.70)2$1,000(0.70)2. Complete the table shown below. What will be the cost of the sofa during the fifth week? Simplify the expression, to show the cost in dollars.
row: Week | Cost
row: 1 | $1,000(0.70)$1,000(0.70)
row: 2 | $1,000(0.70)2$1,000(0.70)2
row: 3
row: 4 | …
row: 5 | ?
Depreciation Once a new car is driven away from the dealer, it begins to lose value. Each year, a car loses 10% of its value. This means that each year the value of a car is 90% of the previous year’s value. If a new car was purchased for $20,000, the value at the end of the first year would be $20,000(0.90)$20,000(0.90) and the value of the car after the end of the second year would be $20,000(0.90)2$20,000(0.90)2. Complete the table shown below. What will be the value of the car at the end of the eighth year? Simplify the expression, to show the value in dollars.
row: Year | Cost
row: 1 | $20,000(0.90)$20,000(0.90)
row: 2 | $20,000(0.90)2$20,000(0.90)2
row: 3
row: … | …
row: 8 | ?
Writing Exercises
Use the Product Property for Exponents to explain why x·x=x2x·x=x2.
Explain why −53=(−5)3−53=(−5)3 but −54≠(−5)4−54≠(−5)4.
Jorge thinks (12)2(12)2 is 1. What is wrong with his reasoning?
Explain why x3·x5x3·x5 is x8x8, and not x15x15.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all goals?