ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭਣ ਲਈ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢਣ ਲਈ
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
56 ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.7 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.2
18 ਅਤੇ 24 ਦਾ ਲਘੁੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.10 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.3
−3(6a+11)−3(6a+11) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.135 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਾਂਗੇ। ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਲਘੁੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ (LCM) ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਜੋ ਵਿਧੀ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਉਸ ਵਿਧੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ LCM ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਸੀ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ GCF ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.1
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਏ
54 ਅਤੇ 36 ਦਾ GCF ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ GCF ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, 54 ਅਤੇ 36 ਨੂੰ 18 ਦੇ ਗੁਣਜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.1
48 ਅਤੇ 80 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ 7.2 ਅਜ਼ਮਾਓ
18 ਅਤੇ 40 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। ਸਾਰੀਆਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ—ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਓ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਜੋ ਸਾਰੇ ਵਿਅੰਜਨ ਸਾਂਝੇ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, GCF ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਸੀ। ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਵਿੱਚ ਚਲ ਮਿਲਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.2
27x³ ਅਤੇ 18x⁴ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 27x³ ਅਤੇ 18x⁴ ਦਾ GCF 9x³ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ 7.3 ਅਜ਼ਮਾਓ
GCF ਪਤਾ ਕਰੋ: 12x², 18x³
ਇਸਨੂੰ 7.4 ਅਜ਼ਮਾਓ
GCF ਪਤਾ ਕਰੋ: 16y², 24y³
ਉਦਾਹਰਨ 7.3
4x²y, 6xy³ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
1. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
1. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: 4x²y⁴x²y ਅਤੇ 6xy³6xy³ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ 2xy²xy ਹੈ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.5
1. ਮਹਾਂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਪਤਾ ਕਰੋ: 6ab4, 8a2b6ab4, 8a2b।
1. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.6
1. ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਲੱਭੋ: 9m⁵n², 12m³n⁹m⁵n², 12m³n.
7.4. ਮਿਸਾਲ 7.4
1. ਦਾ ਸ.ਵ.ਗ. ਪਤਾ ਕਰੋ: 21x3, 9x2, 15x21x3, 9x2, 15x।
1. ਹੱਲ
1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਸਮੇਤ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
1. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. 21x321x3, 9x29x2 ਅਤੇ 15x15x ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ (GCF) 3x.3x ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.7
1. 5m2 ਲੱਭੋ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ: 25m4,35m3,20m225m4,35m3,20m2.
੧. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ੭.੮
14x^3, 70x^2, 105x^2, 70x^2, 105x ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ (GCF) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚੋਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ
ਜਿਵੇਂ ਅੰਕ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਈ ਵਾਰ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 12 ਨੂੰ 2·6 ਜਾਂ 3·4 ਵਜੋਂ), ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
1. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2x+142x+14, ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ, 2(x+7)2(x+7), ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ "ਉਲਟੇ" ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਇੱਥੇ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ "ਉਲਟੇ ਪਾਸੇ"।
1. ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ
2. ਜੇਕਰ a,b,c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
3. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹੋ!
5. ਉਦਾਹਰਨ 7.5
6. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕਿਵੇਂ ਕੱਢੀਏ
7. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 4x+12
8. ਹੱਲ
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.9
10. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 6a+24
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.10
12. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 2b+14
13. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
14. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕੱਢੋ।
15. ਕਦਮ 1. ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭੋ।
16. ਕਦਮ 2. ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
17. ਕਦਮ 3. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ "ਉਲਟੇ" ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ (reverse Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
19. ਗੁਣਨਖੰਡ: ਨਾਮ ਅਤੇ ਕਿਰਿਆ ਵਜੋਂ
20. ਅਸੀਂ "ਗੁਣਨਖੰਡ" (factor) ਨੂੰ ਨਾਮ (noun) ਅਤੇ ਕਿਰਿਆ (verb) ਦੋਵਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 7.6
22. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 5a+5
23. ਹੱਲ
24. ਕਤਾਰ: 5a ਅਤੇ 5 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
2. ਕਤਾਰ: GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਗੁਣ (Distributive Property) ਨੂੰ "ਉਲਟਾ" ਵਰਤੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਸਲ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: 5(a+1)5(a+1)
5. ਕਤਾਰ: 5⋅a+5⋅15⋅a+5⋅1
6. ਕਤਾਰ: 5a+5✓5a+5✓
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.11
8. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 14x+1414x+14.
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.12
10. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 12p+1212p+12.
11. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ ਦੇ ਕਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ GCF ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 7.7
13. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 12x−6012x−60.
14. ਹੱਲ
15. ਕਤਾਰ: 12x ਅਤੇ 60 ਦਾ GCF ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
17. ਕਤਾਰ: GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
18. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
19. ਕਤਾਰ: 12(x−5)12(x−5)
20. ਕਤਾਰ: 12⋅x−12⋅512⋅x−12⋅5
21. ਕਤਾਰ: 12x−60✓12x−60✓
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.13
23. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 18u−3618u−36.
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.14
30y−60 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕੱਢਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦਾ GCF ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.8
4y2+24y+28 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦਾ GCF ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਫ (row): 4y2, 24y ਅਤੇ 28 ਦਾ GCF ਲੱਭੋ।
ਸਫ (row): ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਸਫ (row): GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਸਫ (row): ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
4(y2+6y+7)
4⋅y2+4⋅6y+4⋅7
4y2+24y+28✓
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.15
5x2−25x+15 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.16
3y2−12y+27 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.9
5x3−25x2 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਫ (row): 5x3 ਅਤੇ 25x2 ਦਾ GCF ਲੱਭੋ।
ਸਫ (row): ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਸਫ (row): GCF ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਸਫ (row): ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
row: 5x2(x−5)5x2(x−5)
row: 5x2⋅x−5x2⋅55x2⋅x−5x2⋅5
row: 5x3−25x2✓5x3−25x2✓
Try It 7.17
Factor: 2x3+12x22x3+12x2.
Try It 7.18
Factor: 6y3−15y26y3−15y2.
Example 7.10
Factor: 21x3−9x2+15x21x3−9x2+15x.
Solution
In a previous example we found the GCF of 21x3,9x2,15x21x3,9x2,15x to be 3x3x.
row: Rewrite each term using the GCF, 3x.
row: Factor the GCF.
row: Check.
row: 3x(7x2−3x+5)3x(7x2−3x+5)
row: 3x⋅7x2−3x⋅3x+3x⋅53x⋅7x2−3x⋅3x+3x⋅5
row: 21x3−9x2+15x✓21x3−9x2+15x✓
Try It 7.19
Factor: 20x3−10x2+14x20x3−10x2+14x.
Try It 7.20
Factor: 24y3−12y2−20y24y3−12y2−20y.
Example 7.11
Factor: 8m3−12m2n+20mn28m3−12m2n+20mn2.
Solution
row: Find the GCF of 8m38m3, 12m2n12m2n, 20mn220mn2.
row: Rewrite each term.
row: Factor the GCF.
row: Check.
row: 4m(2m2−3mn+5n2)4m(2m2−3mn+5n2)
row: 4m⋅2m2−4m⋅3mn+4m⋅5n24m⋅2m2−4m⋅3mn+4m⋅5n2
row: 8m3−12m2n+20mn2✓8m3−12m2n+20mn2✓
Try It 7.21
Factor: 9xy2+6x2y2+21y39xy2+6x2y2+21y3.
Try It 7.22
Factor: 3p3−6p2q+9pq33p3−6p2q+9pq3.
When the leading coefficient is negative, we factor the negative out as part of the GCF.
Example 7.12
Factor: −8y−24−8y−24.
Solution
When the leading coefficient is negative, the GCF will be negative.
row: Ignoring the signs of the terms, we first find the GCF of 8y and 24 is 8. Since the expression −8y − 24 has a negative leading coefficient, we use −8 as the GCF.
row: Rewrite each term using the GCF.
row: Factor the GCF.
row: Check.
row: −8(y+3)−8(y+3)
row: −8⋅y+(−8)⋅3−8⋅y+(−8)⋅3
row: −8y−24✓−8y−24✓
Try It 7.23
Factor: −16z−64−16z−64.
Try It 7.24
Factor: −9y−27−9y−27.
Example 7.13
Factor: −6a2+36a−6a2+36a.
Solution
The leading coefficient is negative, so the GCF will be negative?
row: Since the leading coefficient is negative, the GCF is negative, −6a.
row: Rewrite each term using the GCF.
row: Factor the GCF.
row: Check.
row: −6a(a−6)−6a(a−6)
row: −6a⋅a+(−6a)(−6)−6a⋅a+(−6a)(−6)
row: −6a2+36a✓−6a2+36a✓
Try It 7.25
Factor: −4b2+16b−4b2+16b.
Try It 7.26
Factor: −7a2+21a−7a2+21a.
Example 7.14
Factor: 5q(q+7)−6(q+7)5q(q+7)−6(q+7).
Solution
The GCF is the binomial q+7q+7.
row: Factor the GCF, (q + 7).
row: Check on your own by multiplying.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.27
ਗੁਣਨਖੰਡ: 4m(m+3)−7(m+3)
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.28
ਗੁਣਨਖੰਡ: 8n(n−4)+5(n−4)
ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਮੂਹੀਕਰਨ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਜਦੋਂ ਚਾਰ ਪਦ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ, ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਦ ਹੋਣ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਵਿੱਚੋਂ ਮ.ਸ.ਵ. (GCF) ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਮਿਲੇਗਾ।
(ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਜਿਵੇਂ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਭਾਜ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੁਝ ਬਹੁਪਦ ਵੀ ਅਭਾਜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।)
ਉਦਾਹਰਨ 7.15
ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਖੰਡ: xy+3y+2x+6
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.29
ਗੁਣਨਖੰਡ: xy+8y+3x+24
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.30
ਗੁਣਨਖੰਡ: ab+7b+8a+56
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਕਦਮ 3. ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ।
ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.16
ਗੁਣਨਖੰਡ: x^2+3x−2x−6
ਹੱਲ
ਚਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। x 2 + 3 x −2 x − 6 ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। x 2 + 3 x ⎵ −2 x − 6 ⎵ ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ। ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢਣ ਵੇਲੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ। x ( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x − 2 ) ਆਪਣੇ ਆਪ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਚਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। x 2 + 3 x −2 x − 6 ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। x 2 + 3 x ⎵ −2 x − 6 ⎵ ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ। ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢਣ ਵੇਲੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ। x ( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x − 2 ) ਆਪਣੇ ਆਪ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 7.31
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x2+2x−5x−10x2+2x−5x−10।
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ 7.32
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: y2+4y−7y−28y2+4y−7y−28।
ਮੀਡੀਆ
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCFs) ਅਤੇ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF)
ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕੱਢਣਾ
ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF)
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਨਿਪੁੰਨਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।
8, 18
24, 40
72, 162
150, 275
10a, 50
5b, 30
3 x , 10 x 2
21 b 2 , 14 b
8 w 2 , 24 w 3
30 x 2 , 18 x 3
10 p 3 q , 12 p q 2
8 a 2 b 3 , 10 a b 2 8 a 2 b 3 , 10 a b 2
12 m 2 n 3 , 30 m 5 n 3 12 m 2 n 3 , 30 m 5 n 3
28 x 2 y 4 , 42 x 4 y 4 28 x 2 y 4 , 42 x 4 y 4
10 a 3 , 12 a 2 , 14 a 10 a 3 , 12 a 2 , 14 a
20 y 3 , 28 y 2 , 40 y 20 y 3 , 28 y 2 , 40 y
35 x 3 , 10 x 4 , 5 x 5 35 x 3 , 10 x 4 , 5 x 5
27 p 2 , 45 p 3 , 9 p 4 27 p 2 , 45 p 3 , 9 p 4
Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial
In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.
4 x + 20 4 x + 20
8 y + 16 8 y + 16
6 m + 9 6 m + 9
14 p + 35 14 p + 35
9 q + 9 9 q + 9
7 r + 7 7 r + 7
8 m − 8 8 m − 8
4 n − 4 4 n − 4
9 n − 63 9 n − 63
45 b − 18 45 b − 18
3 x 2 + 6 x − 9 3 x 2 + 6 x − 9
4 y 2 + 8 y − 4 4 y 2 + 8 y − 4
8 p 2 + 4 p + 2 8 p 2 + 4 p + 2
10 q 2 + 14 q + 20 10 q 2 + 14 q + 20
8 y 3 + 16 y 2 8 y 3 + 16 y 2
12 x 3 − 10 x 12 x 3 − 10 x
5 x 3 − 15 x 2 + 20 x 5 x 3 − 15 x 2 + 20 x
8 m 2 − 40 m + 16 8 m 2 − 40 m + 16
12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3 12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3
21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3 21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3
−2 x − 4 −2 x − 4
−3 b + 12 −3 b + 12
5 x ( x + 1 ) + 3 ( x + 1 ) 5 x ( x + 1 ) + 3 ( x + 1 )
2 x ( x − 1 ) + 9 ( x − 1 ) 2 x ( x − 1 ) + 9 ( x − 1 )
3 b ( b − 2 ) − 13 ( b − 2 ) 3 b ( b − 2 ) − 13 ( b − 2 )
6 m ( m − 5 ) − 7 ( m − 5 ) 6 m ( m − 5 ) − 7 ( m − 5 )
Factor by Grouping
In the following exercises, factor by grouping.
x y + 2 y + 3 x + 6 x y + 2 y + 3 x + 6
m n + 4 n + 6 m + 24 m n + 4 n + 6 m + 24
u v − 9 u + 2 v − 18 u v − 9 u + 2 v − 18
p q − 10 p + 8 q − 80 p q − 10 p + 8 q − 80
b 2 + 5 b − 4 b − 20 b 2 + 5 b − 4 b − 20
m 2 + 6 m − 12 m − 72 m 2 + 6 m − 12 m − 72
p 2 + 4 p − 9 p − 36 p 2 + 4 p − 9 p − 36
x 2 + 5 x − 3 x − 15 x 2 + 5 x − 3 x − 15
Mixed Practice
In the following exercises, factor.
−20 x − 10 −20 x − 10
5 x 3 − x 2 + x
3 x 3 − 7 x 2 + 6 x − 14
x 3 + x 2 − x − 1
x 2 + x y + 5 x + 5 y
5 x 3 + 3 x 2 − 5 x − 3
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ 6 ਘੱਟ ਹੈ, $w^2-6w$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $w$ ਚੌੜਾਈ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ।
ਬੇਸਬਾਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਨੂੰ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ $t$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਉਚਾਈ $-16t^2+80t+4$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ।
ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
36 ਅਤੇ 60 ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ 12 ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
$y^4$, $y^5$, ਅਤੇ $y^{10}$ ਦਾ GCF ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਆਮ ਨਿਯਮ ਲਿਖੋ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ $y^a$, $y^b$, ਅਤੇ $y^c$ ਦਾ GCF ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੱਸੇ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
…ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ! ਤੁਸੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਕਿਵੇਂ ਯਕੀਨ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਬਣੋ!
…ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮੁਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹੈ—ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
…ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।