ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨਾ
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ x^2+bxy+cy^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰੀ 7.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x+4)(x+5)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.38 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 7.5
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −9+(−6) ⓑ −9+6। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.37 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 7.6
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ −9(6) ⓑ −9(−6)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.46 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 7.7
ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ |−5| ⓑ |3|। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.33 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
x^2 + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ
ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹੋ। ਹੁਣ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਗੁਣਾ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ—ਉਤਪਾਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਖਤਮ ਕਰਨਾ। ਆਓ ਤੁਹਾਡੀ ਯਾਦ ਨੂੰ ਤਾਜ਼ਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨਾ ਮਤਲਬ ਉਤਪਾਦ, x^2+5x+6, ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ, (x+2)(x+3), ਨਾਲ ਖਤਮ ਕਰਨਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਆਇਆ। ਇਸ ਲਈ ਉਤਪਾਦ ਵਿੱਚ x^2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ x ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਪਦ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਆਇਆ। ਇਸ ਲਈ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਨੰਬਰ 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ?
6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਅਤੇ 6, ਜਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਜੋੜਾ ਵਰਤਣਾ ਹੈ?
ਮੱਧ ਪਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਬਾਹਰੀ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਆਇਆ।
ਇਸ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 6 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 7.1 ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ—ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਨੰਬਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰੋਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਾਰਣੀ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗੀ।
ਸਾਰਣੀ: 6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1,6 | 1+6=7
2,32,3 | 2+3=52+3=5
ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2 ਅਤੇ 3 ਉਹ ਅੰਕ ਹਨ ਜੋ 6 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ 5 ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x^2+5x+6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਉਹ (x+2)(x+3) ਹਨ।
ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਪਿੱਛੇ ਮੁੜ ਕੇ ਵੇਖਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ x^2+5x+6 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b=5 ਅਤੇ c=6 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ (x+m) ਅਤੇ (x+n) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ।
ਸਹੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅੰਕ m ਅਤੇ n ਲੱਭੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ c ਅਤੇ ਜੋੜ b ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.17
x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਏ ਜਾਣ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x^2+7x+12।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.33
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x^2+6x+8।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.34
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: y^2+8y+15।
ਆਓ ਉਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ x ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: (x)(x)।
ਕਦਮ 2. ਦੋ ਅੰਕ m ਅਤੇ n ਲੱਭੋ ਜੋ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ c ਬਣਦੇ ਹਨ, m·n=c ਜੋੜ ਕੇ b ਬਣਦੇ ਹਨ, m+n=b
ਕਦਮ 3. m ਅਤੇ n ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ: (x+m)(x+n)।
ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.18
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: u^2+11u+24।
ਹੱਲ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ u ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ u ਹੋਣਗੇ।
u 2 + 11 u + 24 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ u ਹਨ। ( u ) ( u ) u 2 + 11 u + 24 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ u ਹਨ। ( u ) ( u )
ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 24 ਅਤੇ ਜੋੜਨ 'ਤੇ 11 ਬਣਨ।
ਸਾਰਣੀ: 24 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1,24 | 1+24=25
ਸਾਰਣੀ: 2,12 | 2+12=14
ਸਾਰਣੀ: 3,8 | 3+8=11*
ਸਾਰਣੀ: 4,6 | 4+6=10
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਵਜੋਂ 3 ਅਤੇ 8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ( u + 3 ) ( u + 8 ) ਪਰਖੋ। ( u + 3 ) ( u + 8 ) u 2 + 3 u + 8 u + 24 u 2 + 11 u + 24 ✓ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਵਜੋਂ 3 ਅਤੇ 8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ( u + 3 ) ( u + 8 ) ਪਰਖੋ। ( u + 3 ) ( u + 8 ) u 2 + 3 u + 8 u + 24 u 2 + 11 u + 24 ✓
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.35
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: q2+10q+24q2+10q+24।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.36
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: t2+14t+24t2+14t+24।
ਉਦਾਹਰਣ 7.19
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: y2+17y+60y2+17y+60।
ਹੱਲ
y 2 + 17 y + 60 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ y ਹਨ। ( y ) ( y ) y 2 + 17 y + 60 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ y ਹਨ। ( y ) ( y )
ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ 60 ਅਤੇ ਜੋੜਨ 'ਤੇ 17 ਬਣਨ।
ਸਾਰਣੀ: 60 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1,60 | 1+60=61
ਸਾਰਣੀ: 2,30 | 2+30=32
ਸਾਰਣੀ: 3,20 | 3+20=23
ਸਾਰਣੀ: 4,15 | 4+15=19
ਸਾਰਣੀ: 5,12 | 5+12=17*
ਸਾਰਣੀ: 6,10 | 6+10=16
1. 5 ਅਤੇ 12 ਨੂੰ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ। ( y + 5 ) ( y + 12 ) ਪਰਖੋ। ( y + 5 ) ( y + 12 ) ( y 2 + 12 y + 5 y + 60 ) ( y 2 + 17 y + 60 ) ✓
2. ਇਸਨੂੰ 7.37 ਅਜ਼ਮਾਓ
3. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x2+19x+60x2+19x+60।
4. ਇਸਨੂੰ 7.38 ਅਜ਼ਮਾਓ
5. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: v2+23v+60v2+23v+60।
6. x2 + bx + c ਰੂਪ ਦੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਜਿੱਥੇ b ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ
7. ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਨ। ਜਦੋਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇਹ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
8. ਯਾਦ ਰੱਖੋ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ।
9. ਦੁਬਾਰਾ, FOIL ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਹਰ ਪਦ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ,
10. ਪਹਿਲਾ ਪਦ, x2x2, ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ, x ਅਤੇ y ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ;
11. ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੋ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ
12. ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਬਾਹਰੀ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ।
13. ਤੁਸੀਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜੋੜ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ? ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 7.20
15. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: t2−11t+28t2−11t+28।
16. ਹੱਲ
17. ਦੁਬਾਰਾ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅੰਤਿਮ ਪਦ, 28, ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ, −11t−11t ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜੋ 28 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ −11−11 ਜੋੜਦੀਆਂ ਹਨ।
18. t 2 − 11 t + 28 ਪਹਿਲੇ ਪਦ t ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ। ( t ) ( t ) t 2 − 11 t + 28 ਪਹਿਲੇ ਪਦ t ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ। ( t ) ( t )
19. ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜੋ: 28 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ −11−11 ਜੋੜਦੀਆਂ ਹਨ।
20. ਕਤਾਰ: 2828 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
21. ਕਤਾਰ: −1,−28−1,−28 | −1+(−28)=−29−1+(−28)=−29
22. ਕਤਾਰ: −2,−14−2,−14 | −2+(−14)=−16−2+(−14)=−16
23. ਕਤਾਰ: −4,−7−4,−7 | −4+(−7)=−11*−4+(−7)=−11*
24. ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਵਜੋਂ −4 , −7 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ( t − 4 ) ( t − 7 ) ਪਰਖੋ। ( t − 4 ) ( t − 7 ) t 2 − 7 t − 4 t + 28 t 2 − 11 t + 28 ✓
Try It 7.39
Factor: u2−9u+18u2−9u+18.
Try It 7.40
Factor: y2−16y+63y2−16y+63.
Factor Trinomials of the Form x2+bx+cx2+bx+c with c Negative
Now, what if the last term in the trinomial is negative? Think about FOIL. The last term is the product of the last terms in the two binomials. A negative product results from multiplying two numbers with opposite signs. You have to be very careful to choose factors to make sure you get the correct sign for the middle term, too.
Remember: To get a negative product, the numbers must have different signs.
Example 7.21
Factor: z2+4z−5z2+4z−5.
Solution
To get a negative last term, multiply one positive and one negative. We need factors of −5−5 that add to positive 4.
row: Factors of −5−5 | Sum of factors
row: 1,−51,−5 | 1+(−5)=−41+(−5)=−4
row: −1,5−1,5 | −1+5=4*−1+5=4*
Notice: We listed both 1,−5and−1,51,−5and−1,5 to make sure we got the sign of the middle term correct.
row: z2+4z−5z2+4z−5
row: Factors will be two binomials with first terms z. | (z)(z)(z)(z)
row: Use −1, 5 as the last terms of the binomials. | (z−1)(z+5)(z−1)(z+5)
row: Check.(z−1)(z+5)z2+5z−1z−5z2+4z−5✓(z−1)(z+5)z2+5z−1z−5z2+4z−5✓
Try It 7.41
Factor: h2+4h−12h2+4h−12.
Try It 7.42
Factor: k2+k−20k2+k−20.
Let’s make a minor change to the last trinomial and see what effect it has on the factors.
7.22 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਗੁਣਨਖੰਡ: z^2−4z−5
ਹੱਲ
ਇਸ ਵਾਰ, ਸਾਨੂੰ −5 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ −4 ਤੱਕ ਜੋੜੇ ਜਾਣ।
ਸਾਰਣੀ: −5 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1,−5 | 1+(−5)=−4
ਸਾਰਣੀ: −1,5 | −1+5=4
z^2−4z−5
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ z ਹੋਣਗੇ। | (z)(z)
ਸਾਰਣੀ: ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਵਜੋਂ 1, −5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | (z+1)(z−5)
ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (z+1)(z−5) = z^2−5z+1z−5 = z^2−4z−5 ✓
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ z^2−4z−5 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ z^2+4z−5 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਰਗੇ ਹੀ ਹਨ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜੋੜਾ ਚੁਣੋ ਜੋ ਮੱਧ ਪਦ ਦੇ ਸਹੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
7.43 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਨਖੰਡ: x^2−4x−12
7.44 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਗੁਣਨਖੰਡ: y^2−y−20
7.23 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਗੁਣਨਖੰਡ: q^2−2q−15
ਹੱਲ
q^2−2q−15 ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ q ਹੋਣਗੇ। (q)(q) ਤੁਸੀਂ 3, −5 ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹੋ। (q+3)(q−5)
ਸਾਰਣੀ: −15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1,−15 | 1+(−15)=−14
ਸਾਰਣੀ: −1,15 | −1+15=14
ਸਾਰਣੀ: 3,−5 | 3+(−5)=−2
1. ਕਤਾਰ: −3,5−3,5 | −3+5=2−3+5=2
2. ਪਰਖੋ।
3. ( q + 3 ) ( q − 5 ) ( q + 3 ) ( q − 5 )
4. q 2 − 5 q + 3 q − 15 q 2 − 5 q + 3 q − 15
5. q 2 − 2 q − 15 ✓ q 2 − 2 q − 15 ✓
6. ਪਰਖੋ ਇਹ 7.45
7. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: r2−3r−40r2−3r−40।
8. ਪਰਖੋ ਇਹ 7.46
9. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: s2−3s−10s2−3s−10।
10. ਕੁਝ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਅਭਾਜ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਅਭਾਜ ਹੈ, ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 7.24
12. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: y2−6y+15y2−6y+15।
13. ਹੱਲ
14. ਕਤਾਰ: y2−6y+15y2−6y+15
15. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ y ਹਨ। | (y)(y)(y)(y)
16. ਕਤਾਰ: 15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
17. ਕਤਾਰ: −1,−15−1,−15 | −1+(−15)=−16−1+(−15)=−16
18. ਕਤਾਰ: −3,−5−3,−5 | −3+(−5)=−8−3+(−5)=−8
19. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ −6−6 ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਜੋੜਦਾ; ਇਸ ਲਈ, ਵਿਅੰਜਨ ਅਭਾਜ ਹੈ।
20. ਪਰਖੋ ਇਹ 7.47
21. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: m2+4m+18m2+4m+18।
22. ਪਰਖੋ ਇਹ 7.48
23. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: n2−10n+12n2−10n+12।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7.25
1. ਗੁਣਨਖੰਡ: 2x+x2−482x+x2−48
2. ਹੱਲ
3. ਕਤਾਰ: 2x+x2−482x+x2−48
4. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਘਾਤ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। | x2+2x−48x2+2x−48
5. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੋ ਦੋਪਦੀ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ x ਹੋਣਗੇ। | (x)(x)(x)(x)
6. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਵਜੋਂ −6,8−6,8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
7. ਕਤਾਰ: −48−48 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
8. ਕਤਾਰ: −1,48−1,48 | −1+48=47−1+48=47
9. ਕਤਾਰ: −2,24−2,24 −3,16−3,16 −4,12−4,12 −6,8−6,8 | −2+24=22−2+24=22 −3+16=13−3+16=13 −4+12=8−4+12=8 −6+8=2−6+8=2
10. ਪਰਖ।
11. ( x − 6 ) ( x + 8 ) ( x − 6 ) ( x + 8 )
12. x 2 − 6 x + 8 x − 48 x 2 − 6 x + 8 x − 48
13. x 2 + 2 x − 48 ✓ x 2 + 2 x − 48 ✓
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.49
15. ਗੁਣਨਖੰਡ: 9m+m2+189m+m2+18.
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.50
17. ਗੁਣਨਖੰਡ: −7n+12+n2−7n+12+n2.
18. ਆਓ ਅਸੀਂ x2+bx+cx2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਸਾਰ ਦੱਸੀਏ।
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
20. ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
21. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿੰਨਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
22. ਜਦੋਂ c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ m ਅਤੇ n ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇੱਕੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
23. ਜਦੋਂ c ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ m ਅਤੇ n ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿਰੋਧੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
24. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਿਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ m ਅਤੇ n ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿਰੋਧੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਵੱਡੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ b ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ x² + bxy + cy² ਹੋਵੇ
ਕਈ ਵਾਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x² + 12xy + 36y², ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ, x², ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ, x·x, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਿੱਚ y² ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ y ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ b ਅਤੇ c ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਉਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.26
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x² + 12xy + 36y²
ਹੱਲ
row: x² + 12xy + 36y²
row: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਪਦ x ਹਨ, ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ y ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। | (x\_y)(x\_y)
ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜੋ 36 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ 12 ਨੂੰ ਜੋੜਦੀਆਂ ਹਨ।
row: 36 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
row: 1, 36 | 1+36=37
row: 2, 18 | 2+18=20
row: 3, 12 | 3+12=15
row: 4, 9 | 4+9=13
row: 6, 6 | 6+6=12
row: 6 ਅਤੇ 6 ਨੂੰ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ। | (x+6y)(x+6y)
row: ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (x+6y)(x+6y) = x² + 6xy + 6xy + 36y² = x² + 12xy + 36y² ✓
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.51
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: u² + 11uv + 28v²
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.52
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x² + 13xy + 42y²
ਉਦਾਹਰਨ 7.27
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: r² - 8rs - 9s²
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ r r ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ s s ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਆਖਰੀ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
r^2 - 8rs - 9s^2 ਪਹਿਲੇ ਪਦ r ਹਨ, ਅੰਤਿਮ ਪਦ s ਹਨ। (r _ s) (r _ s)
ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ -9 ਆਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜਨ 'ਤੇ -8 ਆਵੇ।
ਪੰਕਤੀ: -9 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਪੰਕਤੀ: 1, -9 | 1 + (-9) = -8
ਪੰਕਤੀ: -1, 9 | -1 + 9 = 8
ਪੰਕਤੀ: 3, -3 | 3 + (-3) = 0
ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ 1, -9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। (r + s) (r - 9s) ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (r - 9s) (r + s) r^2 + rs - 9rs - 9s^2 r^2 - 8rs - 9s^2 ✓
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.53
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: a^2 - 11ab + 10b^2.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.54
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: m^2 - 13mn + 12n^2.
ਉਦਾਹਰਨ 7.28
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: u^2 - 9uv - 12v^2.
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ u ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ v ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿਰੋਧੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਪੰਕਤੀ: u^2 - 9uv - 12v^2
ਪੰਕਤੀ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ u ਹਨ, ਅੰਤਿਮ ਪਦ v ਹਨ। | (u_v)(u_v)
ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ -12 ਆਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜਨ 'ਤੇ -9 ਆਵੇ।
ਪੰਕਤੀ: -12 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਪੰਕਤੀ: 1, -12 | 1 + (-12) = -11
ਪੰਕਤੀ: -1, 12 | -1 + 12 = 11
ਪੰਕਤੀ: 2, -6 | 2 + (-6) = -4
ਪੰਕਤੀ: -2, 6 | -2 + 6 = 4
ਪੰਕਤੀ: 3, -4 | 3 + (-4) = -1
1. ਕਤਾਰ: −3,4−3,4 | −3+4=1−3+4=1
2. ਧਿਆਨ ਦੇਵੋ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜੋੜੀ ਸਾਨੂੰ −9−9 ਦਾ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੀ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਅਭਾਜ ਹੈ।
3. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.55
4. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x2−7xy−10y2x2−7xy−10y2.
5. ਯਤਨ ਕਰੋ 7.56
6. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: p2+15pq+20q2p2+15pq+20q2.
7. ਅਭਿਆਸ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
8. x2+bx+cx2+bx+c ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, x2+bx+cx2+bx+c ਰੂਪ ਦੀ ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
10. x 2 + 4 x + 3 x 2 + 4 x + 3
11. y 2 + 8 y + 7 y 2 + 8 y + 7
12. m 2 + 12 m + 11 m 2 + 12 m + 11
13. b 2 + 14 b + 13 b 2 + 14 b + 13
14. a 2 + 9 a + 20 a 2 + 9 a + 20
15. m 2 + 7 m + 12 m 2 + 7 m + 12
16. p 2 + 11 p + 30 p 2 + 11 p + 30
17. w 2 + 10 w + 21 w 2 + 10 w + 21
18. n 2 + 19 n + 48 n 2 + 19 n + 48
19. b 2 + 14 b + 48 b 2 + 14 b + 48
20. a 2 + 25 a + 100 a 2 + 25 a + 100
21. u 2 + 101 u + 100 u 2 + 101 u + 100
22. x 2 − 8 x + 12 x 2 − 8 x + 12
23. q 2 − 13 q + 36 q 2 − 13 q + 36
24. y 2 − 18 y + 45 y 2 − 18 y + 45
m 2 − 13 m + 30
x 2 − 8 x + 7
y 2 − 5 y + 6
p 2 + 5 p − 6
n 2 + 6 n − 7
y 2 − 6 y − 7
v 2 − 2 v − 3
x 2 − x − 12
r 2 − 2 r − 8
a 2 − 3 a − 28
b 2 − 13 b − 30
w 2 − 5 w − 36
t 2 − 3 t − 54
x 2 + x + 5
x 2 − 3 x − 9
8 − 6 x + x 2
7 x + x 2 + 6
x 2 − 12 − 11 x
−11 − 10 x + x 2
x2+bxy+cy2 ਰੂਪ ਦੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, x2+bxy+cy2 ਰੂਪ ਦੇ ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। ਜੇ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ "ਅਭਾਜ" ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
p 2 + 3 p q + 2 q 2
m 2 + 6 m n + 5 n 2
r 2 + 15 r s + 36 s 2
u^2 + 10uv + 24v^2
m^2 - 12mn + 20n^2
p^2 - 16pq + 63q^2
x^2 - 2xy - 80y^2
p^2 - 8pq - 65q^2
m^2 - 64mn - 65n^2
p^2 - 2pq - 35q^2
a^2 + 5ab - 24b^2
r^2 + 3rs - 28s^2
x^2 - 3xy - 14y^2
u^2 - 8uv - 24v^2
m^2 - 5mn + 30n^2
c^2 - 7cd + 18d^2
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
u^2 - 12u + 36
w^2 + 4w - 32
x^2 - 14x - 32
y^2 + 41y + 40
r^2 - 20rs + 64s^2
x^2 - 16xy + 64y^2
k^2 + 34k + 120
m^2 + 29m + 120
y^2 + 10y + 15
z^2 - 3z + 28
m^2 + mn - 56n^2
q^2 - 29qr - 96r^2
u^2 - 17uv + 30v^2
m^2 - 31mn + 30n^2
c^2 - 8cd + 26d^2
r^2 + 11rs + 36s^2
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਡੀਅਰਡਰੇ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਰਹੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 56 ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ x^2+x−56 ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੇਸ਼ੌਨ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 182 ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ x^2+x−182 ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ (x+m)(x+n) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ m ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹੋ।
ਤੁਸੀਂ x^2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਅਤੇ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ b ਅਤੇ c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
ਵਿਲ ਨੇ x^2−x−20 ਨੂੰ (x+5)(x−4) ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ। ਬਿਲ ਨੇ ਇਸਨੂੰ (x+4)(x−5) ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ। ਫਿਲ ਨੇ ਇਸਨੂੰ (x−5)(x−4) ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ। ਕੌਣ ਸਹੀ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਬਾਕੀ ਦੋ ਗਲਤ ਕਿਉਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.19 ਨੂੰ ਦੇਖੋ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ y^2+17y+60 ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ। ਅਸੀਂ 60 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਈ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਮਦਦਗਾਰ ਲੱਗਦੀ ਹੈ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਟੀਚਿਆਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?