PunjabiUni

ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼

ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:

ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ

ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ

ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ

ਵਿਰੋਧੀ ਕਾਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ

ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.1

ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਭਾਗ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।

ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 90y15y2.90y15y2. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.66 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।

ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.2

ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 6x2−7x+2.6x2−7x+2. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.34 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।

ਤਿਆਰ ਰਹੋ 8.3

ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: n3+8.n3+8. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਵਾਲ ਗਲਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.54 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।

ਅਧਿਆਇ 1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।

ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ

ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ p(x)q(x),p(x)q(x) ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p ਅਤੇ q ਬਹੁਪਦ ਹਨ ਅਤੇ q≠0.q≠0।

ਯਾਦ ਰੱਖੋ, 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।

ਇੱਥੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ:

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉੱਪਰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਪਹਿਲਾ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ, −1342,−1342, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਦੋ ਸਥਿਰਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਵੇ।

ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਉਹੀ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ, ਜੋੜਾਂਗੇ, ਘਟਾਵਾਂਗੇ, ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਾਂਗੇ।

ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਚਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਚੱਲ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਦੇਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਣ।

If the denominator is zero, the rational expression is undefined. The numerator of a rational expression may be 0—but not the denominator.

So before we begin any operation with a rational expression, we examine it first to find the values that would make the denominator zero. That way, when we solve a rational equation for example, we will know whether the algebraic solutions we find are allowed or not.

How To

Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined.

Step 1. Set the denominator equal to zero.

Step 2. Solve the equation in the set of reals, if possible.

Example 8.1

Determine the values for which the rational expression is undefined:

ⓐ 9yx9yx ⓑ 4b−32b+54b−32b+5 ⓒ x+4x2+5x+6x+4x2+5x+6

Solution

The expression will be undefined when the denominator is zero.

ⓐ

row: 9yx9yx

row: Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. | x=0x=0

row: 9yxis undefined forx=0.9yxis undefined forx=0.

ⓑ

row: 4b−32b+54b−32b+5

row: Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. | 2b+5=02b=−5b=−522b+5=02b=−5b=−52

row: 4b−32b+54b−32b+5 is undefined for b=−52.b=−52.

ⓒ

row: x+4x2+5x+6x+4x2+5x+6

row: Set the denominator equal to zero. Solve for the variable. | x2+5x+6=0(x+2)(x+3)=0x+2=0orx+3=0x=−2orx=−3x2+5x+6=0(x+2)(x+3)=0x+2=0orx+3=0x=−2orx=−3

row: x+4x2+5x+6x+4x2+5x+6 is undefined for x=−2orx=−3.x=−2orx=−3.

Saying that the rational expression x+4x2+5x+6x+4x2+5x+6 is undefined for x=−2orx=−3x=−2orx=−3 is similar to writing the phrase “void where prohibited” in contest rules.

Try It 8.1

Determine the values for which the rational expression is undefined:

ⓐ 3yx3yx ⓑ 8n−53n+18n−53n+1 ⓒ a+10a2+4a+3a+10a2+4a+3

Try It 8.2

Determine the values for which the rational expression is undefined:

ⓐ 4p5q4p5q ⓑ y−13y+2y−13y+2 ⓒ m−5m2+m−6m−5m2+m−6

Evaluate Rational Expressions

To evaluate a rational expression, we substitute values of the variables into the expression and simplify, just as we have for many other expressions in this book.

Example 8.2

Evaluate 2x+33x−52x+33x−5 for each value:

ⓐ x=0x=0 ⓑ x=2x=2 ⓒ x=−3x=−3

Solution

ⓐ

row: Simplify.

ⓑ

row: Simplify.

ⓒ

row: Simplify.

Try It 8.3

Evaluate y+12y−3y+12y−3 for each value:

ⓐ y=1y=1 ⓑ y=−3y=−3 ⓒ y=0y=0

Try It 8.4

Evaluate 5x−12x+15x−12x+1 for each value:

ⓐ x=1x=1 ⓑ x=−1x=−1 ⓒ x=0x=0

Example 8.3

Evaluate x2+8x+7x2−4x2+8x+7x2−4 for each value:

ⓐ x=0x=0 ⓑ x=2x=2 ⓒ x=−1x=−1

Solution

ⓐ

row: Simplify.

ⓑ

row: Simplify.

row: This rational expression is undefined for x = 2.

ⓒ

row: Simplify.

Try It 8.5

Evaluate x2+1x2−3x+2x2+1x2−3x+2 for each value:

ⓐ x=0x=0 ⓑ x=−1x=−1 ⓒ x=3x=3

Try It 8.6

Evaluate x2+x−6x2−9x2+x−6x2−9 for each value:

ⓐ x=0x=0 ⓑ x=−2x=−2 ⓒ x=1x=1

Remember that a fraction is simplified when it has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator. When we evaluate a rational expression, we make sure to simplify the resulting fraction.

Example 8.4

Evaluate a2+2ab+b23ab2a2+2ab+b23ab2 for each value:

ⓐ a=1,b=2a=1,b=2 ⓑ a=−2,b=−1a=−2,b=−1 ⓒ a=13,b=0a=13,b=0

Solution

ⓐ

row: a2+2ab+b23ab2a2+2ab+b23ab2 when a=1,b=2a=1,b=2.

row: Simplify.

ⓑ

row: a2+2ab+b23ab2a2+2ab+b23ab2 when a=−2,b=−1a=−2,b=−1.

row: Simplify.

ⓒ

row: a2+2ab+b23ab2a2+2ab+b23ab2 when a=13,b=0a=13,b=0.

row: Simplify.

row: The expression is undefined.

Try It 8.7

Evaluate 2a3ba2+2ab+b22a3ba2+2ab+b2 for each value:

ⓐ a=−1,b=2a=−1,b=2 ⓑ a=0,b=−1a=0,b=−1 ⓒ a=1,b=12a=1,b=12

Try It 8.8

Evaluate a2−b28ab3a2−b28ab3 for each value:

ⓐ a=1,b=−1a=1,b=−1 ⓑ a=12,b=−1a=12,b=−1 ⓒ a=−2,b=1a=−2,b=1

Simplify Rational Expressions

Just like a fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator, a rational expression is simplified if it has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.

Simplified Rational Expression

A rational expression is considered simplified if there are no common factors in its numerator and denominator.

For example:

2323 is simplified because there are no common factors of 2 and 3.

2x3x2x3x is not simplified because x is a common factor of 2x and 3x.

We use the Equivalent Fractions Property to simplify numerical fractions. We restate it here as we will also use it to simplify rational expressions.

Equivalent Fractions Property

If a, b, and c are numbers where b≠0,c≠0b≠0,c≠0, then ab=a·cb·cab=a·cb·c and a·cb·c=aba·cb·c=ab.

Notice that in the Equivalent Fractions Property, the values that would make the denominators zero are specifically disallowed. We see b≠0,c≠0b≠0,c≠0 clearly stated. Every time we write a rational expression, we should make a similar statement disallowing values that would make a denominator zero. However, to let us focus on the work at hand, we will omit writing it in the examples.

Let’s start by reviewing how we simplify numerical fractions.

Example 8.5

Simplify: −3663.−3663.

Solution

row: Rewrite the numerator and denominator showing the common factors.

row: Simplify using the Equivalent Fractions Property.

Notice that the fraction −47−47 is simplified because there are no more common factors.

Try It 8.9

Simplify: −4581.−4581.

Try It 8.10

Simplify: −4254.−4254.

Throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example, x≠0x≠0 and y≠0y≠0.

Example 8.6

Simplify: 3xy18x2y2.3xy18x2y2.

Solution

row: Rewrite the numerator and denominator showing the common factors.

row: Simplify using the Equivalent Fractions Property.

Did you notice that these are the same steps we took when we divided monomials in Polynomials?

Try It 8.11

Simplify: 4x2y12xy2.4x2y12xy2.

Try It 8.12

Simplify: 16x2y2xy2.16x2y2xy2.

To simplify rational expressions we first write the numerator and denominator in factored form. Then we remove the common factors using the Equivalent Fractions Property.

Be very careful as you remove common factors. Factors are multiplied to make a product. You can remove a factor from a product. You cannot remove a term from a sum.

Note that removing the x’s from x+5xx+5x would be like cancelling the 2’s in the fraction 2+522+52!

Example 8.7

How to Simplify Rational Binomials

Simplify: 2x+85x+20.2x+85x+20.

Solution

Try It 8.13

Simplify: 3x−62x−4.3x−62x−4.

Try It 8.14

Simplify: 7y+355y+25.7y+355y+25.

We now summarize the steps you should follow to simplify rational expressions.

How To

Simplify a Rational Expression.

Step 1. Factor the numerator and denominator completely.

Step 2. Simplify by dividing out common factors.

Usually, we leave the simplified rational expression in factored form. This way it is easy to check that we have removed all the common factors!

We’ll use the methods we covered in Factoring to factor the polynomials in the numerators and denominators in the following examples.

Example 8.8

Simplify: x2+5x+6x2+8x+12.x2+5x+6x2+8x+12.

Solution

x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 Factor the numerator and denominator. ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 6 ) Remove the common factor x + 2 from the numerator and the denominator. ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 6 ) x + 3 x + 6 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 Factor the numerator and denominator. ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 6 ) Remove the common factor x + 2 from the numerator and the denominator. ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 6 ) x + 3 x + 6

Can you tell which values of x must be excluded in this example?

Try It 8.15

Simplify: x2−x−2x2−3x+2.x2−x−2x2−3x+2.

Try It 8.16

Simplify: x2−3x−10x2+x−2.x2−3x−10x2+x−2.

Example 8.9

Simplify: y2+y−42y2−36.y2+y−42y2−36.

Solution

y 2 + y − 42 y 2 − 36 Factor the numerator and denominator. ( y + 7 ) ( y − 6 ) ( y + 6 ) ( y − 6 ) Remove the common factor y − 6 from the numerator and the denominator. ( y + 7 ) ( y − 6 ) ( y + 6 ) ( y − 6 ) y + 7 y + 6 y 2 + y − 42 y 2 − 36 Factor the numerator and denominator. ( y + 7 ) ( y − 6 ) ( y + 6 ) ( y − 6 ) Remove the common factor y − 6 from the numerator and the denominator. ( y + 7 ) ( y − 6 ) ( y + 6 ) ( y − 6 ) y + 7 y + 6

Try It 8.17

Simplify: x2+x−6x2−4.x2+x−6x2−4.

Try It 8.18

Simplify: x2+8x+7x2−49.x2+8x+7x2−49.

Example 8.10

Simplify: p3−2p2+2p−4p2−7p+10.p3−2p2+2p−4p2−7p+10.

Solution

p 3 − 2 p 2 + 2 p − 4 p 2 − 7 p + 10 Factor the numerator and denominator, using grouping to factor the numerator. p 2 ( p − 2 ) + 2 ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) ( p 2 + 2 ) ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) Remove the common factor of p − 2 from the numerator and the denominator. ( p 2 + 2 ) ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) p 2 + 2 p − 5 p 3 − 2 p 2 + 2 p − 4 p 2 − 7 p + 10 Factor the numerator and denominator, using grouping to factor the numerator. p 2 ( p − 2 ) + 2 ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) ( p 2 + 2 ) ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) Remove the common factor of p − 2 from the numerator and the denominator. ( p 2 + 2 ) ( p − 2 ) ( p − 5 ) ( p − 2 ) p 2 + 2 p − 5

Try It 8.19

Simplify: y3−3y2+y−3y2−y−6.y3−3y2+y−3y2−y−6.

Try It 8.20

Simplify: p3−p2+2p−2p2+4p−5.p3−p2+2p−2p2+4p−5.

Example 8.11

Simplify: 2n2−14n4n2−16n−48.2n2−14n4n2−16n−48.

Solution

2 n 2 − 14 n 4 n 2 − 16 n − 48 Factor the numerator and denominator, first factoring out the GCF. 2 n ( n − 7 ) 4 ( n 2 − 4 n − 12 ) 2 n ( n − 7 ) 4 ( n − 6 ) ( n + 2 ) Remove the common factor, 2. 2 n ( n − 7 ) 2 · 2 ( n − 6 ) ( n + 2 ) n ( n − 7 ) 2 ( n − 6 ) ( n + 2 ) 2 n 2 − 14 n 4 n 2 − 16 n − 48 Factor the numerator and denominator, first factoring out the GCF. 2 n ( n − 7 ) 4 ( n 2 − 4 n − 12 ) 2 n ( n − 7 ) 4 ( n − 6 ) ( n + 2 ) Remove the common factor, 2. 2 n ( n − 7 ) 2 · 2 ( n − 6 ) ( n + 2 ) n ( n − 7 ) 2 ( n − 6 ) ( n + 2 )

Try It 8.21

Simplify: 2n2−10n4n2−16n−20.2n2−10n4n2−16n−20.

Try It 8.22

Simplify: 4x2−16x8x2−16x−64.4x2−16x8x2−16x−64.

Example 8.12

Simplify: 3b2−12b+126b2−24.3b2−12b+126b2−24.

Solution

3 b 2 − 12 b + 12 6 b 2 − 24 Factor the numerator and denominator, first factoring out the GCF. 3 ( b 2 − 4 b + 4 ) 6 ( b 2 − 4 ) 3 ( b − 2 ) ( b − 2 ) 6 ( b + 2 ) ( b − 2 ) Remove the common factors of b − 2 and 3 . 3 ( b − 2 ) ( b − 2 ) 3 · 2 ( b + 2 ) ( b − 2 ) b − 2 2 ( b + 2 ) 3 b 2 − 12 b + 12 6 b 2 − 24 Factor the numerator and denominator, first factoring out the GCF. 3 ( b 2 − 4 b + 4 ) 6 ( b 2 − 4 ) 3 ( b − 2 ) ( b − 2 ) 6 ( b + 2 ) ( b − 2 ) Remove the common factors of b − 2 and 3 . 3 ( b − 2 ) ( b − 2 ) 3 · 2 ( b + 2 ) ( b − 2 ) b − 2 2 ( b + 2 )

Try It 8.23

Simplify: 2x2−12x+183x2−27.2x2−12x+183x2−27.

Try It 8.24

Simplify: 5y2−30y+252y2−50.5y2−30y+252y2−50.

Example 8.13

Simplify: m3+8m2−4.m3+8m2−4.

Solution

m 3 + 8 m 2 − 4 Factor the numerator and denominator, using the formulas for sum of cubes and difference of squares. ( m + 2 ) ( m 2 − 2 m + 4 ) ( m + 2 ) ( m − 2 ) Remove the common factor of m + 2 . ( m + 2 ) ( m 2 − 2 m + 4 ) ( m + 2 ) ( m − 2 ) m 2 − 2 m + 4 m − 2 m 3 + 8 m 2 − 4 Factor the numerator and denominator, using the formulas for sum of cubes and difference of squares. ( m + 2 ) ( m 2 − 2 m + 4 ) ( m + 2 ) ( m − 2 ) Remove the common factor of m + 2 . ( m + 2 ) ( m 2 − 2 m + 4 ) ( m + 2 ) ( m − 2 ) m 2 − 2 m + 4 m − 2

Try It 8.25

Simplify: p3−64p2−16.p3−64p2−16.

Try It 8.26

Simplify: x3+8x2−4.x3+8x2−4.

Simplify Rational Expressions with Opposite Factors

Now we will see how to simplify a rational expression whose numerator and denominator have opposite factors. Let’s start with a numerical fraction, say 7−77−7. We know this fraction simplifies to −1−1. We also recognize that the numerator and denominator are opposites.

In Foundations, we introduced opposite notation: the opposite of aa is −a−a. We remember, too, that −a=−1·a−a=−1·a.

We simplify the fraction a−aa−a, whose numerator and denominator are opposites, in this way:

a−aWe could rewrite this.1·a−1·aRemove the common factors.1−1Simplify.−1a−aWe could rewrite this.1·a−1·aRemove the common factors.1−1Simplify.−1

So, in the same way, we can simplify the fraction x−3−(x−3)x−3−(x−3):

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x−3 ਨੂੰ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ x−3 ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾਓ। 1−1 ਸਰਲ ਕਰੋ। −1

ਪਰ x−3 ਦਾ ਉਲਟਾ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

−(x−3) ਗੁਣਕ ਵੰਡੋ। −x+3 ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। 3−x

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਭਿੰਨ x−33−x, −1 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ a−b ਦੇ ਉਲਟੇ ਨੂੰ b−a ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ a−bb−a, −1 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਉਲਟੇ

a−b ਦਾ ਉਲਟਾ b−a ਹੈ।

ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਉਲਟਾ −1 ਤੱਕ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਉਲਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 8.14

ਸਰਲ ਕਰੋ: x−88−x.

ਹੱਲ

x − 8 8 − x ਪਛਾਣੋ ਕਿ x − 8 ਅਤੇ 8 − x ਉਲਟੇ ਹਨ। −1

ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ 8.27

ਸਰਲ ਕਰੋ: y−22−y.

ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ 8.28

ਸਰਲ ਕਰੋ: n−99−n.

ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਕ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 8.15

ਸਰਲ ਕਰੋ: 14−2xx2−49.

ਹੱਲ

row: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕ ਬਣਾਓ।

row: ਪਛਾਣੋ ਕਿ 7−x ਅਤੇ x−7 ਉਲਟੇ ਹਨ।

row: ਸਰਲ ਕਰੋ।

Try It 8.29

Simplify: 10−2yy2−25.10−2yy2−25.

Try It 8.30

Simplify: 3y−2781−y2.3y−2781−y2.

Example 8.16

Simplify: x2−4x−3264−x2.x2−4x−3264−x2.

Solution

row: Factor the numerator and denominator.

row: Recognize the factors that are opposites.

row: Simplify.

Try It 8.31

Simplify: x2−4x−525−x2.x2−4x−525−x2.

Try It 8.32

Simplify: x2+x−21−x2.x2+x−21−x2.

Practice Makes Perfect

In the following exercises, determine the values for which the rational expression is undefined.

Evaluate Rational Expressions

In the following exercises, evaluate the rational expression for the given values.

2 x x − 1 2 x x − 1

4y - 15y - 3

2p + 3p² + 1

x + 3 / (2 - 3x)

(y² + 5y + 6) / (y² - 1)

(z² + 3z - 10) / (z² - 1)

(a² - 4) / (a² + 5a + 4)

(b² + 2) / (b² - 3b - 4)

(x² + 3xy + 2y²) / (2x³y)

ⓐ x=1,y=−1

ⓑ x=2,y=1

(c² + cd - 2d²) / (cd³)

ⓐ c=2,d=−1

ⓑ c=1,d=−1

(m² - 4n²) / (5mn³)

ⓐ m=2,n=1

ⓑ ਮੈਂ=-1, ਨ=−1

੧. ਛੇ, ਦੋ ਛੇ

1. ਦੋ ਸੱਚ ਦੋ ਤੱਤ ਸੱਚ ਦੋ — ਨੌਂ ਤੱਤ ਦੋ ਸੱਚ ਦੋ ਤੱਤ ਸੱਚ ਦੋ — ਨੌਂ ਤੱਤ

1. ਏ ਸ=4, ਟੀ=1

ⓑ ਸ = −1, ਟ = −1 ਸ = −1, ਟ = −1

1. ਸਿਰਫ਼ ਸਿਰਫ਼ ਸਿਰਫ਼ ਸਿਰਫ਼

੧. ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ

1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਕਰੋ।

1. − ਪੰਜਾਹਵਾਂ − ਪੰਜਾਹਵਾਂ

− ਚਾਲੀ ਪੰਜ ਪੰਜ − ਚਾਲੀ ਪੰਜ ਪੰਜ

1. ੫੬ ੬੩ ੫੬ ੬੩

65 104 65 104

6 ਅ ਬ 2 12 ਅ 2 ਬ 6 ਅ ਬ 2 12 ਅ 2 ਬ

1. ੧੫ x y ੩ x ੩ y ੩ ੧੫ x y ੩ x ੩ y ੩

8 ਮਨ 3 ਮਨ 12 ਮਨ 2 8 ਮਨ 3 ਮਨ 12 ਮਨ 2

36 ਵਾਰ 3 ਵਾਰ 2 27 ਵਾਰ 3 36 ਵਾਰ 3 ਵਾਰ 2 27 ਵਾਰ 3

3 ਅ + 6 4 ਅ + 8 3 ਅ + 6 4 ਅ + 8

1. ਪੰਜ ਬੀਜ ਅਤੇ ਪੰਜ ਬੀਜ ਅਤੇ ਛੇ ਬੀਜ ਅਤੇ ਛੇ ਬੀਜ ਅਤੇ ਪੰਜ ਬੀਜ ਅਤੇ ਪੰਜ ਬੀਜ ਅਤੇ ਛੇ ਬੀਜ ਅਤੇ ਛੇ

3 c − 9 5 c − 15 3 c − 9 5 c − 15

4 ਦਿਲ + 8 9 ਦਿਲ + 18 4 ਦਿਲ + 8 9 ਦਿਲ + 18

7 ਮੀਲ + 63 ਮੀਲ + 45 ਮੀਲ + 63 ਮੀਲ + 45

8 ਨ - 963 ਨ - 36 8 ਨ - 963 ਨ - 36

1. 12 ਪ - 240 5 ਪ - 100 12 ਪ - 240 5 ਪ - 100

6 ਗੁਣ + 210 5 ਗੁਣ + 175 6 ਗੁਣ + 210 5 ਗੁਣ + 175

a 2 − a − 12 a 2 − 8 a + 16 a 2 − a − 12 a 2 − 8 a + 16

x 2 + 4 x − 5 x 2 − 2 x + 1 x 2 + 4 x − 5 x 2 − 2 x + 1

y 2 + 3 y − 4 y 2 − 6 y + 5 y 2 + 3 y − 4 y 2 − 6 y + 5

v 2 + 8 v + 15 v 2 − v − 12 v 2 + 8 v + 15 v 2 − v − 12

x 2 − 25 x 2 + 2 x − 15 x 2 − 25 x 2 + 2 x − 15

a 2 − 4 a 2 + 6 a − 16 a 2 − 4 a 2 + 6 a − 16

y 2 − 2 y − 3 y 2 − 9 y 2 − 2 y − 3 y 2 − 9

b 2 + 9 b + 18 b 2 − 36 b 2 + 9 b + 18 b 2 − 36

y 3 + y 2 + y + 1 y 2 + 2 y + 1 y 3 + y 2 + y + 1 y 2 + 2 y + 1

p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6

x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25

q 3 + 3 q 2 − 4 q − 12 q 2 − 4 q 3 + 3 q 2 − 4 q − 12 q 2 − 4

3 a 2 + 15 a 6 a 2 + 6 a − 36 3 a 2 + 15 a 6 a 2 + 6 a − 36

8 b 2 − 32 b 2 b 2 − 6 b − 80 8 b 2 − 32 b 2 b 2 − 6 b − 80

−5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

4 d 2 − 24 d 2 d 2 − 4 d − 48 4 d 2 − 24 d 2 d 2 − 4 d − 48

3 m 2 + 30 m + 75 4 m 2 − 100 3 m 2 + 30 m + 75 4 m 2 − 100

5 n 2 + 30 n + 45 2 n 2 − 18 5 n 2 + 30 n + 45 2 n 2 − 18

5 r 2 + 30 r − 35 r 2 − 49 5 r 2 + 30 r − 35 r 2 − 49

3 s 2 + 30 s + 72 3 s 2 − 48 3 s 2 + 30 s + 72 3 s 2 − 48

t 3 − 27 t 2 − 9 t 3 − 27 t 2 − 9

v 3 − 1 v 2 − 1 v 3 − 1 v 2 − 1

w 3 + 216 w 2 − 36 w 3 + 216 w 2 − 36

v 3 + 125 v 2 − 25 v 3 + 125 v 2 − 25

ਵਿਰੋਧੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ

ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।

a − 5 5 − a a − 5 5 − a

b − 12 12 − b b − 12 12 − b

11 − c c − 11 11 − c c − 11

5 − d d − 5 5 − d d − 5

12 − 2 x x 2 − 36 12 − 2 x x 2 − 36

20 − 5 y y 2 − 16 20 − 5 y y 2 − 16

4 v − 32 64 − v 2 4 v − 32 64 − v 2

7 w − 21 9 − w 2 7 w − 21 9 − w 2

y 2 − 11 y + 24 9 − y 2 y 2 − 11 y + 24 9 − y 2

z 2 − 9 z + 20 16 − z 2 z 2 − 9 z + 20 16 − z 2

a 2 − 5 a − 36 81 − a 2 a 2 − 5 a − 36 81 − a 2

b 2 + b − 42 36 − b 2 b 2 + b − 42 36 − b 2

ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ

ਕਰ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ 2015 ਦੇ ਟੈਕਸ ਸਾਲ ਲਈ, $37,450 ਅਤੇ $90,750 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਮਾਉਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਦੇਣਦਾਰ ਟੈਕਸ ਦੀ ਰਕਮ, ਫਾਰਮੂਲਾ 0.25x−4206.25 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਆਮਦਨ ਹੈ। ਇਸ ਆਮਦਨ ਲਈ ਔਸਤ ਟੈਕਸ ਦਰ ਫਾਰਮੂਲਾ 0.25x−4206.25x ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। $50,000 ਕਮਾਉਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਲਈ ਔਸਤ ਟੈਕਸ ਦਰ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?

ਕੰਮ ਦੋ ਲੋਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਕੱਠੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ xyx+y ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਟੌਮ 45 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਡੈਨ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਭਰਾ ਬੌਬੀ ਇਸਨੂੰ 60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪੇਂਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਕੱਠੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਮਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ?

ਲਿਖਣ ਦੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ

ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ x2−x−20x2−4x2−x−20x2−4 ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।

ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ p2+4p−219−p2 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁੱਕੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।

ਸਵੈ-ਜਾਂਚ

ⓐ ਕਸਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਚੈੱਕ ਸਨ:

…ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ! ਤੁਸੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੁਸ਼ਲਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹੋ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਬਣੋ!

…ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਮੁੱਦੇ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਮਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਰਾਹ ਵਿੱਚ ਖੱਡੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਤਰਤੀਬਵਾਰ ਹੈ - ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ ਉੱਤੇ ਉਸਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੀ ਨੀਂਹ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੋਵੇ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸ ਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹੋਣ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਹੁਨਰ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?

…ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆ ਰਹੀ! ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਬੇਹਾਲ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।