ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਜੋੜਨ ਲਈ
ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਘਟਾਉਣ ਲਈ
ਉਲਟ ਹਰ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਲਈ
ਤਿਆਰੀ 8.9
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਗਲਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਭਾਗ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜੋੜੋ: y³+9³. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗਲਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.77 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.10
ਘਟਾਓ: 10x−2x. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗਲਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.79 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.11
ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 8n⁵−20n³. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗਲਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.59 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.12
ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 45a³−5ab². ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗਲਤ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.62 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਜੋੜੋ
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕੀ ਚੁੱਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੀ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋ। ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਲੱਭਦੇ ਹੋ।
ਇਹ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੈ। ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਹਰ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋ।
ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨ ਜੋੜ
ਜੇਕਰ p, q, ਅਤੇ r ਬਹੁਪਦ ਹਨ ਜਿੱਥੇ r≠0, ਤਾਂ
ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਾਂਗੇ, ਇਹ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.30
ਜੋੜੋ: 5/18+7/18.
Solution
row: 518+718518+718
row: The fractions have a commondenominator, so add the numerators andplace the sum over the common denominator. | 5+7185+718
row: Add in the numerator. | 12181218
row: Factor the numerator and denominator toshow the common factors. | 6·26·36·26·3
row: Remove common factors. | 6·26·36·26·3
row: Simplify. | 2323
Try It 8.59
Add: 716+516.716+516.
Try It 8.60
Add: 310+110.310+110.
Remember, we do not allow values that would make the denominator zero. What value of yy should be excluded in the next example?
Example 8.31
Add: 3y4y−3+74y−3.3y4y−3+74y−3.
Solution
row: 3y4y−3+74y−33y4y−3+74y−3
row: The fractions have a commondenominator, so add the numerators andplace the sum over the common denominator. | 3y+74y−33y+74y−3
The numerator and denominator cannot be factored. The fraction is simplified.
Try It 8.61
Add: 5x2x+3+22x+3.5x2x+3+22x+3.
Try It 8.62
Add: xx−2+1x−2.xx−2+1x−2.
Example 8.32
Add: 7x+12x+3+x2x+3.7x+12x+3+x2x+3.
Solution
row: 7x+12x+3+x2x+37x+12x+3+x2x+3
row: The fractions have a commondenominator, so add the numerators andplace the sum over the common denominator. | 7x+12+x2x+37x+12+x2x+3
row: Write the degrees in descending order. | x2+7x+12x+3x2+7x+12x+3
row: Factor the numerator. | (x+3)(x+4)x+3(x+3)(x+4)x+3
row: Simplify by removing common factors. | (x+3)(x+4)x+3(x+3)(x+4)x+3
row: Simplify. | x+4x+4
Try It 8.63
Add: 9x+14x+7+x2x+7.9x+14x+7+x2x+7.
Try It 8.64
Add: x2+8xx+5+15x+5.x2+8xx+5+15x+5.
Subtract Rational Expressions with a Common Denominator
To subtract rational expressions, they must also have a common denominator. When the denominators are the same, you subtract the numerators and place the difference over the common denominator.
Rational Expression Subtraction
If p,q,andrp,q,andr are polynomials where r≠0r≠0, then
To subtract rational expressions, subtract the numerators and place the difference over the common denominator.
We always simplify rational expressions. Be sure to factor, if possible, after you subtract the numerators so you can identify any common factors.
Example 8.33
Subtract: n2n−10−100n−10.n2n−10−100n−10.
Solution
row: n2n−10−100n−10n2n−10−100n−10
row: The fractions have a commondenominator, so subtract the numeratorsand place the difference over the common denominator. | n2−100n−10n2−100n−10
row: Factor the numerator. | (n−10)(n+10)n−10(n−10)(n+10)n−10
row: Simplify by removing common factors. | (n−10)(n+10)n−10(n−10)(n+10)n−10
row: Simplify. | n+10n+10
Try It 8.65
Subtract: x2x+3−9x+3.x2x+3−9x+3.
Try It 8.66
Subtract: 4x22x−5−252x−5.4x22x−5−252x−5.
Be careful of the signs when you subtract a binomial!
Example 8.34
Subtract: y2y−6−2y+24y−6.y2y−6−2y+24y−6.
Solution
row: y2y−6−2y+24y−6y2y−6−2y+24y−6
row: The fractions have a commondenominator, so subtract the numeratorsand place the difference over the common denominator. | y2−(2y+24)y−6y2−(2y+24)y−6
row: Distribute the sign in the numerator. | y2−2y−24y−6y2−2y−24y−6
row: Factor the numerator. | (y−6)(y+4)y−6(y−6)(y+4)y−6
row: Remove common factors. | (y−6)(y+4)y−6(y−6)(y+4)y−6
row: Simplify. | y+4y+4
Try It 8.67
Subtract: n2n−4−n+12n−4.n2n−4−n+12n−4.
Try It 8.68
Subtract: y2y−1−9y−8y−1.y2y−1−9y−8y−1.
Example 8.35
Subtract: 5x2−7x+3x2−3x–18−4x2+x−9x2−3x–18.5x2−7x+3x2−3x–18−4x2+x−9x2−3x–18.
Solution
row: 5x2−7x+3x2−3x–18−4x2+x−9x2−3x–185x2−7x+3x2−3x–18−4x2+x−9x2−3x–18
row: Subtract the numerators and place thedifference over the common denominator. | 5x2−7x+3−(4x2+x−9)x2−3x–185x2−7x+3−(4x2+x−9)x2−3x–18
row: Distribute the sign in the numerator. | 5x2−7x+3−4x2−x+9x2−3x−185x2−7x+3−4x2−x+9x2−3x−18
row: Combine like terms. | x2−8x+12x2−3x−18x2−8x+12x2−3x−18
row: Factor the numerator and the denominator. | (x−2)(x−6)(x+3)(x−6)(x−2)(x−6)(x+3)(x−6)
row: Simplify by removing common factors. | (x−2)(x−6)(x+3)(x−6)(x−2)(x−6)(x+3)(x−6)
row: Simplify. | (x−2)(x+3)(x−2)(x+3)
Try It 8.69
Subtract: 4x2−11x+8x2−3x+2−3x2+x−3x2−3x+2.4x2−11x+8x2−3x+2−3x2+x−3x2−3x+2.
Try It 8.70
Subtract: 6x2−x+20x2−81−5x2+11x−7x2−81.6x2−x+20x2−81−5x2+11x−7x2−81.
Add and Subtract Rational Expressions whose Denominators are Opposites
When the denominators of two rational expressions are opposites, it is easy to get a common denominator. We just have to multiply one of the fractions by −1−1−1−1.
Let’s see how this works.
row: Multiply the second fraction by −1−1−1−1.
row: The denominators are the same.
row: Simplify.
Example 8.36
Add: 4u−13u−1+u1−3u.4u−13u−1+u1−3u.
Solution
row: The denominators are opposites, so multiply the second fraction by −1−1−1−1.
row: Simplify the second fraction.
row: The denominators are the same. Add the numerators.
row: Simplify.
row: Simplify.
Try It 8.71
Add: 8x−152x−5+2x5−2x.8x−152x−5+2x5−2x.
Try It 8.72
Add: 6y2+7y−104y−7+2y2+2y+117−4y.6y2+7y−104y−7+2y2+2y+117−4y.
Example 8.37
Subtract: m2−6mm2−1−3m+21−m2.m2−6mm2−1−3m+21−m2.
Solution
row: The denominators are opposites, so multiply the second fraction by −1−1−1−1.
row: Simplify the second fraction.
row: The denominators are the same. Subtract the numerators.
row: Distribute. | m2−6m+3m+2m2−1m2−6m+3m+2m2−1
row: Combine like terms.
row: Factor the numerator and denominator.
row: Simplify by removing common factors.
row: Simplify.
Try It 8.73
Subtract: y2−5yy2−4−6y−64−y2.y2−5yy2−4−6y−64−y2.
Try It 8.74
Subtract: 2n2+8n−1n2−1−n2−7n−11−n2.2n2+8n−1n2−1−n2−7n−11−n2.
Practice Makes Perfect
Add Rational Expressions with a Common Denominator
In the following exercises, add.
2 15 + 7 15 2 15 + 7 15
4 21 + 3 21 4 21 + 3 21
7 24 + 11 24 7 24 + 11 24
7 36 + 13 36 7 36 + 13 36
3 a a − b + 1 a − b 3 a a − b + 1 a − b
3 c 4 c − 5 + 5 4 c − 5 3 c 4 c − 5 + 5 4 c − 5
d d + 8 + 5 d + 8 d d + 8 + 5 d + 8
7 m 2 m + n + 4 2 m + n 7 m 2 m + n + 4 2 m + n
p 2 + 10 p p + 2 + 16 p + 2 p 2 + 10 p p + 2 + 16 p + 2
q 2 + 12 q q + 3 + 27 q + 3 q 2 + 12 q q + 3 + 27 q + 3
2 r 2 2 r − 1 + 15 r − 8 2 r − 1 2 r 2 2 r − 1 + 15 r − 8 2 r − 1
3 s 2 3 s − 2 + 13 s − 10 3 s − 2 3 s 2 3 s − 2 + 13 s − 10 3 s − 2
8 t 2 t + 4 + 32 t t + 4 8 t 2 t + 4 + 32 t t + 4
6 v 2 v + 5 + 30 v v + 5 6 v 2 v + 5 + 30 v v + 5
2 w 2 w 2 − 16 + 8 w w 2 − 16 2 w 2 w 2 − 16 + 8 w w 2 − 16
7 x 2 x 2 − 9 + 21 x x 2 − 9 7 x 2 x 2 − 9 + 21 x x 2 − 9
Subtract Rational Expressions with a Common Denominator
In the following exercises, subtract.
y 2 y + 8 − 64 y + 8 y 2 y + 8 − 64 y + 8
z 2 z + 2 − 4 z + 2 z 2 z + 2 − 4 z + 2
9 a 2 3 a − 7 − 49 3 a − 7 9 a 2 3 a − 7 − 49 3 a − 7
25 b 2 5 b − 6 − 36 5 b − 6 25 b 2 5 b − 6 − 36 5 b − 6
c 2 c − 8 − 6 c + 16 c − 8 c 2 c − 8 − 6 c + 16 c − 8
d 2 d − 9 − 6 d + 27 d − 9 d 2 d − 9 − 6 d + 27 d − 9
3 m 2 6 m − 30 − 21 m − 30 6 m − 30 3 m 2 6 m − 30 − 21 m − 30 6 m − 30
2 n 2 4 n − 32 − 18 n − 16 4 n − 32 2 n 2 4 n − 32 − 18 n − 16 4 n − 32
6 p 2 + 3 p + 4 p 2 + 4 p − 5 − 5 p 2 + p + 7 p 2 + 4 p − 5 6 p 2 + 3 p + 4 p 2 + 4 p − 5 − 5 p 2 + p + 7 p 2 + 4 p − 5
5 q 2 + 3 q − 9 q 2 + 6 q + 8 − 4 q 2 + 9 q + 7 q 2 + 6 q + 8 5 q 2 + 3 q − 9 q 2 + 6 q + 8 − 4 q 2 + 9 q + 7 q 2 + 6 q + 8
5 r 2 + 7 r − 33 r 2 − 49 − 4 r 2 + 5 r + 30 r 2 − 49 5 r 2 + 7 r − 33 r 2 − 49 − 4 r 2 + 5 r + 30 r 2 − 49
7 t 2 − t − 4 t 2 − 25 − 6 t 2 + 12 t − 44 t 2 − 25 7 t 2 − t − 4 t 2 − 25 − 6 t 2 + 12 t − 44 t 2 − 25
Add and Subtract Rational Expressions whose Denominators are Opposites
In the following exercises, add.
10 v 2 v − 1 + 2 v + 4 1 − 2 v 10 v 2 v − 1 + 2 v + 4 1 − 2 v
20 w 5 w − 2 + 5 w + 6 2 − 5 w 20 w 5 w − 2 + 5 w + 6 2 − 5 w
10 x 2 + 16 x − 7 8 x − 3 + 2 x 2 + 3 x − 1 3 − 8 x 10 x 2 + 16 x − 7 8 x − 3 + 2 x 2 + 3 x − 1 3 − 8 x
6 y 2 + 2 y − 11 3 y − 7 + 3 y 2 − 3 y + 17 7 − 3 y 6 y 2 + 2 y − 11 3 y − 7 + 3 y 2 − 3 y + 17 7 − 3 y
In the following exercises, subtract.
z 2 + 6 z z 2 − 25 − 3 z + 20 25 − z 2 z 2 + 6 z z 2 − 25 − 3 z + 20 25 − z 2
a 2 + 3 a a 2 − 9 − 3 a − 27 9 − a 2 a 2 + 3 a a 2 − 9 − 3 a − 27 9 − a 2
2 b 2 + 30 b − 13 b 2 − 49 − 2 b 2 − 5 b − 8 49 − b 2 2 b 2 + 30 b − 13 b 2 − 49 − 2 b 2 − 5 b − 8 49 − b 2
c 2 + 5 c − 10 c 2 − 16 − c 2 − 8 c − 10 16 − c 2 c 2 + 5 c − 10 c 2 − 16 − c 2 − 8 c − 10 16 − c 2
Everyday Math
Sarah ran 8 miles and then biked 24 miles. Her biking speed is 4 mph faster than her running speed. If rr represents Sarah’s speed when she ran, then her running time is modeled by the expression 8r8r and her biking time is modeled by the expression 24r+4.24r+4. Add the rational expressions 8r+24r+48r+24r+4 to get an expression for the total amount of time Sarah ran and biked.
If Pete can paint a wall in pp hours, then in one hour he can paint 1p1p of the wall. It would take Penelope 3 hours longer than Pete to paint the wall, so in one hour she can paint 1p+31p+3 of the wall. Add the rational expressions 1p+1p+31p+1p+3 to get an expression for the part of the wall Pete and Penelope would paint in one hour if they worked together.
Writing Exercises
Donald thinks that 3x+4x3x+4x is 72x.72x. Is Donald correct? Explain.
Explain how you find the Least Common Denominator of x2+5x+4x2+5x+4 and x2−16.x2−16.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?