ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜ ਲੱਭਣਾ
ਸਮਾਨ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਲੱਭਣਾ
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਜਾਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਜਾਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਤਿਆਰੀ 8.13
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਭਾਗ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜੋੜੋ: 710+815.710+815. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.81 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.14
ਘਟਾਓ: 6(2x+1)−4(x−5).6(2x+1)−4(x−5). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.139 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.15
9x2y39x2y3 ਅਤੇ 12xy512xy5 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.3 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 8.16
−48n−12−48n−12 ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.11 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਜਾਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਭਾਜਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਰਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗ ਜਾਵੇਗਾ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਆਓ ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਤੋਂ ਉਦਾਹਰਨ 712+518712+518 ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਕਿਉਂਕਿ ਭਾਜ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜ (LCD) ਲੱਭਣਾ ਸੀ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, LCD ਭਾਜਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ ਹੈ। ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਭਾਜ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
12 ਅਤੇ 18 ਦੇ LCD ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਂਝੇ ਅਭਾਜਾਂ ਨੂੰ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਬੱਧ ਕੀਤਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਤੋਂ ਇੱਕ ਅਭਾਜ "ਲਿਆ"। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ LCD ਲੱਭਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ।
ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ LCD ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
Step 2. List the factors of each expression. Match factors vertically when possible.
Step 3. Bring down the columns.
Step 4. Multiply the factors.
Remember, we always exclude values that would make the denominator zero. What values of x should we exclude in this next example?
Example 8.38
Find the LCD for 8x2−2x−3,3xx2+4x+38x2−2x−3,3xx2+4x+3.
Solution
row: Find the LCD for8x2−2x−3,3xx2+4x+3.Find the LCD for8x2−2x−3,3xx2+4x+3.
row: Factor each expression completely, liningup common factors.Bring down the columns. | x2−2x−3=(x+1)(x−3)x2+4x+3=(x+1)(x+3)LCD=(x+1)(x−3)(x+3)x2−2x−3=(x+1)(x−3)x2+4x+3=(x+1)(x+3)LCD=(x+1)(x−3)(x+3)
row: Multiply the factors. | The LCD is(x+1)(x−3)(x+3).The LCD is(x+1)(x−3)(x+3).
Try It 8.75
Find the LCD for 2x2−x−12,1x2−162x2−x−12,1x2−16.
Try It 8.76
Find the LCD for xx2+8x+15,5x2+9x+18xx2+8x+15,5x2+9x+18.
Find Equivalent Rational Expressions
When we add numerical fractions, once we find the LCD, we rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD.
We will do the same thing for rational expressions.
Example 8.39
Rewrite as equivalent rational expressions with denominator (x+1)(x−3)(x+3)(x+1)(x−3)(x+3): 8x2−2x−3,3xx2+4x+3.8x2−2x−3,3xx2+4x+3.
Solution
row: Factor each denominator.
row: Find the LCD.
row: Multiply each denominator by the 'missing' factor and multiply each numerator by the same factor.
row: Simplify the numerators.
Try It 8.77
Rewrite as equivalent rational expressions with denominator (x+3)(x−4)(x+4)(x+3)(x−4)(x+4):2x2−x−12,1x2−16.2x2−x−12,1x2−16.
Try It 8.78
Rewrite as equivalent rational expressions with denominator (x+3)(x+5)(x+6)(x+3)(x+5)(x+6):xx2+8x+15,5x2+9x+18.xx2+8x+15,5x2+9x+18.
Add Rational Expressions with Different Denominators
Now we have all the steps we need to add rational expressions with different denominators. As we have done previously, we will do one example of adding numerical fractions first.
Example 8.40
Add: 712+518.712+518.
Solution
row: Find the LCD of 12 and 18.
row: Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD.
row: Add the fractions.
row: The fraction cannot be simplified.
Try It 8.79
Add: 1130+712.1130+712.
Try It 8.80
Add: 38+920.38+920.
Now we will add rational expressions whose denominators are monomials.
Example 8.41
Add: 512x2y+421xy2.512x2y+421xy2.
Solution
row: Find the LCD of 12x2y12x2y and 21xy221xy2.
row: Rewrite each rational expression as an equivalent fraction with the LCD.
row: Simplify.
row: Add the rational expressions.
row: There are no factors common to the numerator and denominator. The fraction cannot be simplified.
Try It 8.81
Add: 215a2b+56ab2.215a2b+56ab2.
Try It 8.82
Add: 516c+38cd2.516c+38cd2.
Now we are ready to tackle polynomial denominators.
Example 8.42
How to Add Rational Expressions with Different Denominators
Add: 3x−3+2x−2.3x−3+2x−2.
Solution
Try It 8.83
Add: 2x−2+5x+3.2x−2+5x+3.
Try It 8.84
Add: 4m+3+3m+4.4m+3+3m+4.
The steps to use to add rational expressions are summarized in the following procedure box.
How To
Add rational expressions.
Step 1. Determine if the expressions have a common denominator. Yes – go to step 2. No – Rewrite each rational expression with the LCD. Find the LCD. Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
Step 2. Add the rational expressions.
Step 3. Simplify, if possible.
Example 8.43
Add: 2a2ab+b2+3a4a2−b2.2a2ab+b2+3a4a2−b2.
Solution
row: Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD.
row: Find the LCD.
row: Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
row: Simplify the numerators.
row: Add the rational expressions.
row: Simplify the numerator.
row: Factor the numerator.
row: There are no factors common to the numerator and denominator. The fraction cannot be simplified.
Try It 8.85
Add: 5xxy−y2+2xx2−y2.5xxy−y2+2xx2−y2.
Try It 8.86
Add: 72m+6+4m2+4m+3.72m+6+4m2+4m+3.
Avoid the temptation to simplify too soon! In the example above, we must leave the first rational expression as 2a(2a−b)b(2a+b)(2a−b)2a(2a−b)b(2a+b)(2a−b) to be able to add it to 3a·b(2a+b)(2a−b)·b3a·b(2a+b)(2a−b)·b. Simplify only after you have combined the numerators.
Example 8.44
Add: 8x2−2x−3+3xx2+4x+3.8x2−2x−3+3xx2+4x+3.
Solution
row: Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD.
row: Find the LCD.
row: Rewrite each rational expression as an equivalent fraction with the LCD.
row: Simplify the numerators.
row: Add the rational expressions.
row: Simplify the numerator.
row: The numerator is prime, so there are no common factors.
Try It 8.87
Add: 1m2−m−2+5mm2+3m+2.1m2−m−2+5mm2+3m+2.
Try It 8.88
Add: 2nn2−3n−10+6n2+5n+6.2nn2−3n−10+6n2+5n+6.
Subtract Rational Expressions with Different Denominators
The process we use to subtract rational expressions with different denominators is the same as for addition. We just have to be very careful of the signs when subtracting the numerators.
Example 8.45
How to Subtract Rational Expressions with Different Denominators
Subtract: xx−3−x−2x+3.xx−3−x−2x+3.
Solution
Try It 8.89
Subtract: yy+4−y−2y−5.yy+4−y−2y−5.
Try It 8.90
Subtract: z+3z+2−zz+3.z+3z+2−zz+3.
The steps to take to subtract rational expressions are listed below.
How To
Subtract rational expressions.
Step 1. Determine if they have a common denominator. Yes – go to step 2. No – Rewrite each rational expression with the LCD. Find the LCD. Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
Step 2. Subtract the rational expressions.
Step 3. Simplify, if possible.
Example 8.46
Subtract: 8yy2−16−4y−4.8yy2−16−4y−4.
Solution
row: Do the expressions have a common denominator? No. Rewrite each expression with the LCD.
row: Find the LCD.
1. ਹਰੇਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ LCD ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਲਈ ਵੇਖਣ ਵਾਸਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾਓ।
1. ਸਤਿ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.91
2xx2−4−1x+2.2xx2−4−1x+2.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.92
3z+3−6zz2−9 ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
1. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਨ। ਬਹੁਤ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ!
8.47. There is no being which is not in motion, nor any motion which is not in being. ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਂਦ ਐਸੀ ਨਹੀਂ ਜੋ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਗਤੀ ਐਸੀ ਹੈ ਜੋ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਵੇ।
−9n2−11n+29
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਪੰਕਤੀ: ਹਰ ਦਾ ਭਾਜਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
1. ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ n−2n−2 ਅਤੇ 2−n2−n ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1−1−1−1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਸਤਰ: ਕੀ ਇਹਨਾਂ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਆਧਾਰ ਹੈ? ਨਹੀਂ।
1. ਕਤਾਰ: ਲਘੁਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ।
1. ਹਰੇਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ LCD ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
row: Factor the numerator to look for common factors.
row: Simplify.
Try It 8.93
Subtract: 3x−1x2−5x−6−26−x.3x−1x2−5x−6−26−x.
Try It 8.94
Subtract: −2y−2y2+2y−8−y−12−y.−2y−2y2+2y−8−y−12−y.
When one expression is not in fraction form, we can write it as a fraction with denominator 1.
Example 8.48
Subtract: 5c+4c−2−3.5c+4c−2−3.
Solution
row: Write 33 as 3131 to have 2 rational expressions.
row: Do the rational expressions have a common denominator? No.
row: Find the LCD of c−2c−2 and 1.1. LCD = c−2.c−2.
row: Rewrite 3131 as an equivalent rational expression with the LCD.
row: Simplify.
row: Subtract the rational expressions.
row: Simplify.
row: Factor to check for common factors.
row: There are no common factors; the rational expression is simplified.
Try It 8.95
Subtract: 2x+1x−7−3.2x+1x−7−3.
Try It 8.96
Subtract: 4y+32y−1−5.4y+32y−1−5.
How To
Add or subtract rational expressions.
Step 1. Determine if the expressions have a common denominator. Yes – go to step 2. No – Rewrite each rational expression with the LCD. Find the LCD. Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
Step 2. Add or subtract the rational expressions.
Step 3. Simplify, if possible.
We follow the same steps as before to find the LCD when we have more than two rational expressions. In the next example we will start by factoring all three denominators to find their LCD.
Example 8.49
Simplify: 2uu−1+1u−2u−1u2−u.2uu−1+1u−2u−1u2−u.
Solution
row: Do the rational expressions have a common denominator? No.
row: Find the LCD.
row: Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD.
row: Write as one rational expression.
row: Simplify.
row: Factor the numerator, and remove common factors.
row: Simplify.
Try It 8.97
Simplify: vv+1+3v−1−6v2−1.vv+1+3v−1−6v2−1.
Try It 8.98
Simplify: 3ww+2+2w+7−17w+4w2+9w+14.3ww+2+2w+7−17w+4w2+9w+14.
Practice Makes Perfect
In the following exercises, find the LCD.
5 x 2 − 2 x − 8 , 2 x x 2 − x − 12 5 x 2 − 2 x − 8 , 2 x x 2 − x − 12
8 y 2 + 12 y + 35 , 3 y y 2 + y − 42 8 y 2 + 12 y + 35 , 3 y y 2 + y − 42
9 z 2 + 2 z − 8 , 4 z z 2 − 4 9 z 2 + 2 z − 8 , 4 z z 2 − 4
6 a 2 + 14 a + 45 , 5 a a 2 − 81 6 a 2 + 14 a + 45 , 5 a a 2 − 81
4 b 2 + 6 b + 9 , 2 b b 2 − 2 b − 15 4 b 2 + 6 b + 9 , 2 b b 2 − 2 b − 15
5 c 2 − 4 c + 4 , 3 c c 2 − 10 c + 16 5 c 2 − 4 c + 4 , 3 c c 2 − 10 c + 16
2 3 d 2 + 14 d − 5 , 5 d 3 d 2 − 19 d + 6 2 3 d 2 + 14 d − 5 , 5 d 3 d 2 − 19 d + 6
3 5 m 2 − 3 m − 2 , 6 m 5 m 2 + 17 m + 6 3 5 m 2 − 3 m − 2 , 6 m 5 m 2 + 17 m + 6
In the following exercises, write as equivalent rational expressions with the given LCD.
5x2−2x−8,2xx2−x−125x2−2x−8,2xx2−x−12LCD (x−4)(x+2)(x+3)(x−4)(x+2)(x+3)
8y2+12y+35,3yy2+y−428y2+12y+35,3yy2+y−42LCD (y+7)(y+5)(y−6)(y+7)(y+5)(y−6)
9z2+2z−8,4zz2−49z2+2z−8,4zz2−4LCD (z−2)(z+4)(z+2)(z−2)(z+4)(z+2)
6a2+14a+45,5aa2−816a2+14a+45,5aa2−81LCD (a+9)(a+5)(a−9)(a+9)(a+5)(a−9)
4b2+6b+9,2bb2−2b−154b2+6b+9,2bb2−2b−15LCD (b+3)(b+3)(b−5)(b+3)(b+3)(b−5)
5c2−4c+4,3cc2−10c+165c2−4c+4,3cc2−10c+16LCD (c−2)(c−2)(c−8)(c−2)(c−2)(c−8)
23d2+14d−5,5d3d2−19d+623d2+14d−5,5d3d2−19d+6LCD (3d−1)(d+5)(d−6)(3d−1)(d+5)(d−6)
35m2−3m−2,6m5m2+17m+635m2−3m−2,6m5m2+17m+6LCD (5m+2)(m−1)(m+3)(5m+2)(m−1)(m+3)
In the following exercises, add.
5 24 + 11 36 5 24 + 11 36
7 30 + 13 45 7 30 + 13 45
9 20 + 11 30 9 20 + 11 30
8 27 + 7 18 8 27 + 7 18
7 10 x 2 y + 4 15 x y 2 7 10 x 2 y + 4 15 x y 2
1 12 a 3 b 2 + 5 9 a 2 b 3 1 12 a 3 b 2 + 5 9 a 2 b 3
1 2 m + 7 8 m 2 n 1 2 m + 7 8 m 2 n
5 6 p 2 q + 1 4 p 5 6 p 2 q + 1 4 p
3 r + 4 + 2 r − 5 3 r + 4 + 2 r − 5
4ਸ − 7 + 5ਸ + 3
8ਟ + 5 + 6ਟ − 5
7ਵ + 5 + 9ਵ − 5
53ਡਬਲਯੂ − 2 + 2ਡਬਲਯੂ + 1
42ਐਕਸ + 5 + 2ਐਕਸ − 1
2ਵਾਈਵਾਈ + 3 + 3ਵਾਈ − 1
3ਜ਼ਜ਼ − 2 + 1ਜ਼ + 5
5ਬੀਏ^2ਬੀ − 2ਏ^2 + 2ਬੀਬੀ^2 − 4
4ਸੀਡੀ + 3ਸੀ + 1ਡੀ^2 − 9
2ਐਮ^3ਐਮ − 3 + 5ਐਮਐਮ^2 + 3ਐਮ − 4
34ਐਨ + 4 + 6ਐਨ^2 − ਐਨ − 2
3ਐਨ^2 + 3ਐਨ − 18 + 4ਐਨਐਨ^2 + 8ਐਨ + 12
6ਕਿਊ^2 − 3ਕਿਊ − 10 + 5ਕਿਊਕਿਊ^2 − 8ਕਿਊ + 15
3ਆਰਆਰ^2 + 7ਆਰ + 6 + 9ਆਰ^2 + 4ਆਰ + 3
2ਐਸਐਸ^2 + 2ਐਸ − 8 + 4ਐਸ^2 + 3ਐਸ − 10
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਟਾਓ।
ਟੀਟੀ − 6 − ਟੀ − 2ਟੀ + 6
ਵੀਵੀ − 3 − ਵੀ − 6ਵੀ + 1
ਡਬਲਯੂ + 2ਡਬਲਯੂ + 4 − ਡਬਲਯੂਡਬਲਯੂ − 2
ਐਕਸ − 3ਐਕਸ + 6 − ਐਕਸਐਕਸ + 3
ਵਾਈ − 4ਵਾਈ + 1 − 1ਵਾਈ + 7
ਜ਼ + 8ਜ਼ − 3 − ਜ਼ਜ਼ − 2
5ਏਏ + 3 − ਏ + 2ਏ + 6
3ਬੀਬੀ − 2 − ਬੀ − 6ਬੀ − 8
6 c c 2 − 25 − 3 c + 5 6 c c 2 − 25 − 3 c + 5
4 d d 2 − 81 − 2 d + 9 4 d d 2 − 81 − 2 d + 9
6 m + 6 − 12 m m 2 − 36 6 m + 6 − 12 m m 2 − 36
4 n + 4 − 8 n n 2 − 16 4 n + 4 − 8 n n 2 − 16
−9 p − 17 p 2 − 4 p − 21 − p + 1 7 − p −9 p − 17 p 2 − 4 p − 21 − p + 1 7 − p
− 13 q − 8 q 2 + 2 q − 24 − q + 2 4 − q − 13 q − 8 q 2 + 2 q − 24 − q + 2 4 − q
−2 r − 16 r 2 + 6 r − 16 − 5 2 − r −2 r − 16 r 2 + 6 r − 16 − 5 2 − r
2 t − 30 t 2 + 6 t − 27 − 2 3 − t 2 t − 30 t 2 + 6 t − 27 − 2 3 − t
5 v − 2 v + 3 − 4 5 v − 2 v + 3 − 4
6 w + 5 w − 1 + 2 6 w + 5 w − 1 + 2
2 x + 7 10 x − 1 + 3 2 x + 7 10 x − 1 + 3
8 y − 4 5 y + 2 − 6 8 y − 4 5 y + 2 − 6
In the following exercises, add and subtract.
5 a a − 2 + 9 a − 2 a + 18 a 2 − 2 a 5 a a − 2 + 9 a − 2 a + 18 a 2 − 2 a
2 b b − 5 + 3 2 b − 2 b − 15 2 b 2 − 10 b 2 b b − 5 + 3 2 b − 2 b − 15 2 b 2 − 10 b
c c + 2 + 5 c − 2 − 10 c c 2 − 4 c c + 2 + 5 c − 2 − 10 c c 2 − 4
6 d d − 5 + 1 d + 4 − 7 d − 5 d 2 − d − 20 6 d d − 5 + 1 d + 4 − 7 d − 5 d 2 − d − 20
In the following exercises, simplify.
6 a 3 a b + b 2 + 3 a 9 a 2 − b 2 6 a 3 a b + b 2 + 3 a 9 a 2 − b 2
2 c 2 c + 10 + 7 c c 2 + 9 c + 20 2 c 2 c + 10 + 7 c c 2 + 9 c + 20
6 d d 2 − 64 − 3 d − 8 6 d d 2 − 64 − 3 d − 8
5 n + 7 − 10 n n 2 − 49 5 n + 7 − 10 n n 2 − 49
4 m m 2 + 6 m − 7 + 2 m 2 + 10 m + 21 4 m m 2 + 6 m − 7 + 2 m 2 + 10 m + 21
3 p p 2 + 4 p − 12 + 1 p 2 + p − 30 3 p p 2 + 4 p − 12 + 1 p 2 + p − 30
−5n − 5n² + n − 6 + n + 12 − n
−4b − 24b² + b − 30 + b + 75 − b
7¹⁵p + 5¹⁸pq
3²⁰a² + 11¹²ab²
4x − 2 + 3x + 5
6m + 4 + 9m − 8
2q + 7q + 4 − 2
3y − 1y + 4 − 2
z + 2z − 5 − zz + 1
t² − 5t − 1t + 5
3d(d + 2) + 4d − d(8d² + 2d)
2q(q + 5) + 3q − 3 − 13q + 15q² + 2q − 15
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਕੱਪਕੇਕ ਸਜਾਉਣਾ ਵਿਕਟੋਰੀਆ ਇੱਕ ਵਿਆਹ ਲਈ ਕੱਪਕੇਕ ਦਾ ਇੱਕ ਆਰਡਰ tt ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਉਹ ਕੱਪਕੇਕ ਦਾ 1t1t ਹਿੱਸਾ ਸਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਭੈਣ ਨੂੰ ਉਸੇ ਆਰਡਰ ਦੇ ਕੱਪਕੇਕ ਸਜਾਉਣ ਵਿੱਚ 3 ਘੰਟੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਲੱਗਣਗੇ, ਇਸ ਲਈ 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਉਹ ਕੱਪਕੇਕ ਦਾ 1t+31t+3 ਹਿੱਸਾ ਸਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ⓐ ਵਿਕਟੋਰੀਆ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਭੈਣ, ਇਕੱਠੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਸਜਾਉਣ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਪੂਰਾ ਕਰਨਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ 1t+1t+3.1t+1t+3 ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਜਦੋਂ t=5.t=5 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਾਇਆਕਿੰਗ ਜਦੋਂ ਟ੍ਰੀਨਾ ਨਦੀ ਦੇ ਉੱਪਰ ਕਾਇਆਕਿੰਗ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ 5 ਮੀਲ ਜਾਣ ਲਈ 53−c53−c ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ cc ਨਦੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਨਦੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 5 ਮੀਲ ਕਾਇਆਕਿੰਗ ਕਰਨ ਲਈ 53+c53+c ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ।
ⓐ ਨਦੀ ਦੇ ਉੱਪਰ 5 ਮੀਲ ਕਾਇਆਕਿੰਗ ਕਰਨ ਅਤੇ ਫਿਰ 53−c+53+c.53−c+53+c ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਵਾਪਸ ਆਉਣ ਲਈ ਟ੍ਰੀਨਾ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਣਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਜਦੋਂ c=1c=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗ ਸਕੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਨਦੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੀ ਗਤੀ 1 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਟ੍ਰੀਨਾ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਣਗੇ।
ਲੇਖਣ ਅਭਿਆਸ
ਫੇਲਿਪ ਸੋਚਦਾ ਹੈ ਕਿ 1x+1y1x+1y, 2x+y.2x+y ਹੈ।
ⓐ x ਅਤੇ y ਲਈ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਅਤੇ 1x+1y.1x+1y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੇ ਗਏ x ਅਤੇ y ਦੇ ਸਮਾਨ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ 2x+y2x+y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓒ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਫੇਲਿਪ ਗਲਤ ਕਿਉਂ ਹੈ।
1. 1x+1y ਦਾ ਸਹੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਲੱਭੋ।
2. 4n²+6n+9−1n²−9 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
3. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
4. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ 'ਤੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੱਦੇਨਜ਼ਰ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਨੂੰ 1-10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਜਾ ਦਿਓਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?