1. ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
3. ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ
4. ਇੱਕ-ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰਨਾ
5. ਦੋ-ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰਨਾ
6. ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.12
7. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
8. 48 ਦੇ ਹਰ ਵਾਲਾ 5858 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.64 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
9. ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.13
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: (5)2(5)2। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
11. ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.14
12. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (7+3x)(7−3x)(7+3x)(7−3x)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.54 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
13. ਵਰਗ ਮੂਲ ਵੰਡੋ
14. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਮੂਲ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 9.60
16. ਸਰਲ ਕਰੋ: 546546।
17. ਹੱਲ
18. ਕਤਾਰ: 546546
19. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 9·669·66
20. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 366366
21. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ। | 363·2363·2
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6262
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.119
24. ਸਰਲ ਕਰੋ: 328328।
9.120 ਅਜ਼ਮਾਓ
75157515 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
9.61 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
6−24126−2412 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
6−24126−2412 ਦੀ ਕਤਾਰ
ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6−4·6126−4·612
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 6−26126−2612
ਅੰਸ਼ ਤੋਂ ਸਾਂਝਾ ਕਾਰਕ ਕੱਢੋ। | 2(3−6)2·62(3−6)2·6
ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ। | 2(3−6)2·62(3−6)2·6
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 3−663−66
9.121 ਅਜ਼ਮਾਓ
8−40108−4010 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
9.122 ਅਜ਼ਮਾਓ
10−752010−7520 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਨੂੰ 'ਉਲਟੇ ਪਾਸੇ' ਵਰਤਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਤਾਂ ਜੋ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕੇ ਇਕੱਠੇ ਦੇਖ ਸਕੀਏ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ: ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚੱਲ (variables) ਸਿਫ਼ਰ ਜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ।
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ a, b ਅਣ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ b≠0b≠0, ਤਾਂ
ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਨੂੰ 'ਉਲਟੇ ਪਾਸੇ' ਉਦੋਂ ਵਰਤਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭਿੰਨ ਦੋ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਰੈਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
9.62 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
27752775 ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਸਤਰ: 27752775
1. ਪੰਕਤੀ: ਨਾ ਤਾਂ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 27752775
1. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 925925
1. ਕਤਾਰ: 3535
ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.123
ਸਰਲ ਕਰੋ: 4810848108.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.124
ਸਰਲ ਕਰੋ: 96549654.
1. ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੂਲ ਅੰਦਰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਚੱਲ (variable) ਹੋਣ।
9.63 | 9.63
ਸਰਲ ਕਰੋ: 6y52y6y52y.
1. ਹੱਲ
1. ਸਤਿਗੁਰੂ ਜੀ ਨੇ ਸੇਵਾ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕੀਤਾ।
1. ਕਤਾਰ: ਨਾ ਤਾਂ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵਰਗ ਮੂਲ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 6y52y6y52y
1. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ। | 2·3·y4·y2·y2·3·y4·y2·y
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.125
ਸਰਲ ਕਰੋ: ੧੨ਰ੩੬ਰ੧੨ਰ੩੬ਰ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.126
1. ਸਰਲ ਕਰੋ: 14p92p514p92p5.
9.64 | 9.64
ਸਰਲ ਕਰੋ: 72x3162x72x3162x.
Solution
row: 72x3162x72x3162x
row: Rewrite using the quotient property of square roots. | 72x3162x72x3162x
row: Remove common factors. | 18·4·x2·x18·9·x18·4·x2·x18·9·x
row: Simplify. | 4x294x29
row: Simplify the radical. | 2x32x3
Try It 9.127
Simplify: 50s3128s50s3128s.
Try It 9.128
Simplify: 75q5108q75q5108q.
Example 9.65
Simplify: 147ab83a3b4147ab83a3b4.
Solution
row: 147ab83a3b4147ab83a3b4
row: Rewrite using the quotient property of square roots. | 147ab83a3b4147ab83a3b4
row: Remove common factors. | 49b4a249b4a2
row: Simplify the radical. | 7b2a7b2a
Try It 9.129
Simplify: 162x10y22x6y6162x10y22x6y6.
Try It 9.130
Simplify: 300m3n73m5n300m3n73m5n.
Rationalize a One Term Denominator
Before the calculator became a tool of everyday life, tables of square roots were used to find approximate values of square roots. Figure 9.3 shows a portion of a table of squares and square roots. Square roots are approximated to five decimal places in this table.
Figure 9.3: A table of square roots was used to find approximate values of square roots before there were calculators.
ਜੇ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਹਰ (root) ਦੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ (fraction) ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ (decimal places) ਵਾਲੇ ਭਾਜਕ (divisor) ਨਾਲ ਲੰਬੀ ਵੰਡ (long division) ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ। ਇਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਔਖਾ ਕੰਮ ਸੀ।
ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ (rationalize) ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ। ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ (radical) ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (integer) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਅੱਜ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ।
ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨਾ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕਲ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਿਸਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ, ਨੂੰ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ (square roots) ਜੋ ਪੂਰਨ ਵਰਗ (perfect squares) ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (irrational numbers) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ (rational number) ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵੇਖੀਏ।
ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਨੂੰ ਭਿੰਨ 1/2 ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। 2 ਦਾ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅੰਦਾਜ਼ਾ 1.41421 ਹੈ। 1/1.41421। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੰਡ ਕਰਨਾ ਚਾਹੋਗੇ? 1/1.41421।
ਪਰ ਅਸੀਂ 1/√2 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ √2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਹੁਣ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ 2/√2 ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਸੌਖਾ ਹੈ।
ਭਾਵੇਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਗਭਗ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ, ਫਿਰ ਵੀ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕਲ ਵਾਲੀ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵਰਗਮੂਲ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ (simplified) ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਜੇ ਰੇਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਹੋਵੇ।
ਸਰਲ ਵਰਗਮੂਲ
ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ:
ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਗੁਣਕ (perfect-square factors) ਨਾ ਹੋਣ
ਰੇਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭਿੰਨ ਨਾ ਹੋਵੇ
ਭਿੰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾ ਹੋਵੇ
ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ (property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (√a)² = a। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.66
ਸਰਲ ਕਰੋ: 4/√3।
ਹੱਲ
ਹਰ ਨੂੰ ਤਰਕਸੰਗਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗੁਣਕ (factor) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4/√3
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ √3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 4√3 / (√3)² = 4√3 / 3
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 433433
2. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.131
3. ਸਰਲ ਕਰੋ: 5353.
4. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.132
5. ਸਰਲ ਕਰੋ: 6565.
6. ਉਦਾਹਰਨ 9.67
7. ਸਰਲ ਕਰੋ: −836−836.
8. ਹੱਲ
9. ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਵਰਗਮੂਲ ਹਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ 66 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
10. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ 66 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹਟਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
14. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.133
15. ਸਰਲ ਕਰੋ: 525525.
16. ਯਤਨ ਕਰੋ 9.134
17. ਸਰਲ ਕਰੋ: −943−943.
18. ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਅਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 9.68
20. ਸਰਲ ਕਰੋ: 512512.
21. ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: ਭਿੰਨ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ
24. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
9.135 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 718718।
9.136 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 332332।
9.69 ਉਦਾਹਰਨ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 11281128।
ਹੱਲ
ਸਾਰਣੀ: ਭਾਗ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
9.137 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 327327।
9.138 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 10501050।
ਦੋ-ਪਦ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲੇ ਦੋਪਦ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
9.70 ਉਦਾਹਰਨ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 44+244+2।
ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
2. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
5. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਤੋਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
6. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.139
8. ਸਰਲ ਕਰੋ: 22+322+3.
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.140
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: 55+355+3.
11. ਉਦਾਹਰਨ 9.71
12. ਸਰਲ ਕਰੋ: 52−352−3.
13. ਹੱਲ
14. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
19. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.141
20. ਸਰਲ ਕਰੋ: 31−531−5.
21. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.142
22. ਸਰਲ ਕਰੋ: 24−624−6.
23. ਉਦਾਹਰਨ 9.72
24. ਸਰਲ ਕਰੋ: 3u−63u−6.
ਹੱਲ
ਸਫਾ: ਹਰ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਫਾ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਫਾ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.143
ਸਰਲ ਕਰੋ: 5x+25x+2।
ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.144
ਸਰਲ ਕਰੋ: 10y−310y−3।
ਉਦਾਹਰਨ 9.73
ਸਰਲ ਕਰੋ: x+7x−7x+7x−7।
ਹੱਲ
ਸਫਾ: ਹਰ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਫਾ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਯੁਗਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਫਾ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਫਾ: ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.145
ਸਰਲ ਕਰੋ: p+2p−2p+2p−2।
ਇਹਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.146
ਸਰਲ ਕਰੋ: q−10q+10q−10q+10।
ਮੀਡੀਆ
ਭਾਗ ਕਰਨ ਅਤੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਵਰਗ ਮੂਲ ਵੰਡੋ
ਸਰਲ ਕਰੋ।
੨੭ ੬ ੨੭ ੬
੫੦ ੧੦ ੫੦ ੧੦
੭੨ ੯ ੭੨ ੯
੨੪੩ ੬ ੨੪੩ ੬
੨ − ੩੨ ੮ ੨ − ੩੨ ੮
੩ + ੨੭ ੯ ੩ + ੨੭ ੯
੬ + ੪੫ ੬ ੬ + ੪੫ ੬
੧੦ − ੨੦੦ ੨੦ ੧੦ − ੨੦੦ ੨੦
੮੦ ੧੨੫ ੮੦ ੧੨੫
੭੨ ੨੦੦ ੭੨ ੨੦੦
੧੨੮ ੭੨ ੧੨੮ ੭੨
੪੮ ੭੫ ੪੮ ੭੫
ⓐ ੮x੬੨x੨੮x੬੨x੨ ⓑ ੨੦੦m੫੯੮m੨੦੦m੫੯੮m
ⓐ ੧੦y੩੫y੧੦y੩੫y ⓑ ੧੦੮n੭੨੪੩n੩੧੦੮n੭੨੪੩n੩
੭੫ r ੩ ੧੦੮ r ੭੫ r ੩ ੧੦੮ r
੧੯੬ q ੫ ੪੮੪ q ੧੯੬ q ੫ ੪੮੪ q
੧੦੮ p ੫ q ੨ ੩ p ੩ q ੬ ੧੦੮ p ੫ q ੨ ੩ p ੩ q ੬
੯੮ r s ੧੦ ੨ r ੩ s ੪ ੯੮ r s ੧੦ ੨ r ੩ s ੪
੩੨੦ m n ੫ ੪੫ m ੭ n ੩ ੩੨੦ m n ੫ ੪੫ m ੭ n ੩
੮੧੦ c ੩ d ੭ ੧੦੦੦ c ੫ d ੮੧੦ c ੩ d ੭ ੧੦੦੦ c ੫ d
੯੮ ੧੪ ੯੮ ੧੪
੭੨ ੧੮ ੭੨ ੧੮
੫ + ੧੨੫ ੧੫ ੫ + ੧੨੫ ੧੫
6 − 45 12 6 − 45 12
96 150 96 150
28 63 28 63
26 y 7 2 y 26 y 7 2 y
15 x 3 3 x 15 x 3 3 x
ਇੱਕ-ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਤਰਕਸੰਗਤ ਰੂਪ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਰੂਪ ਦਿਓ।
10 6 10 6
8 3 8 3
6 7 6 7
4 5 4 5
3 13 3 13
10 11 10 11
10 3 10 10 3 10
2 5 2 2 5 2
4 9 5 4 9 5
9 2 7 9 2 7
− 9 2 3 − 9 2 3
− 8 3 6 − 8 3 6
3 20 3 20
4 27 4 27
7 40 7 40
8 45 8 45
19 175 19 175
17 192 17 192
Rationalize a Two-Term Denominator
In the following exercises, simplify by rationalizing the denominator.
ⓐ 33+1133+11 ⓑ 81−581−5
ⓐ 44+744+7 ⓑ 72−672−6
ⓐ 55+655+6 ⓑ 63−763−7
ⓐ 66+566+5 ⓑ 54−1154−11
3 m − 5 3 m − 5
5 n − 7 5 n − 7
2 x − 6 2 x − 6
7 y + 3 7 y + 3
r + 5 r − 5 r + 5 r − 5
s − 6 s + 6 s − 6 s + 6
150 x 2 y 6 6 x 4 y 2 150 x 2 y 6 6 x 4 y 2
80 p 3 q 5 p q 5 80 p 3 q 5 p q 5
15 5 15 5
3 5 8 3 5 8
8 54 8 54
12 20 12 20
3 5 + 5 3 5 + 5
20 4 − 3 20 4 − 3
2 x − 3 2 x − 3
5 y − 7 5 y − 7
x + 8 x − 8 x + 8 x − 8
1. 3 ਮ - 3 ਮ + 3 ਮ - 3 ਮ + 3
2. ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
3. ਇੱਕ ਸਪਲਾਈ ਕਿੱਟ 250 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਹੇ ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਪਲਾਈ ਕਿੱਟ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ 250√1625016 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
4. 1,200 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਹੇ ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਲੇਅਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਲੇਅਰ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ 1200√16120016 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
5. ਲਿਖਣ ਦੇ ਅਭਿਆਸ
6. ⓐ 27√3273 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. ⓑ 27√5275 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
8. ⓒ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਉਂ ਹਨ?
9. ⓐ ਲੰਬੇ ਭਾਗ (long division) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 11.41411.414 ਨੂੰ 12√12 ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਇਸ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
10. ⓑ 12√12 ਦੇ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ (rationalizing) ਕਰਨ ਨਾਲ 22.22 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬੇ ਭਾਗ (long division) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 1.41421.4142 ਨੂੰ 22√22 ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਇਸ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
11. ⓒ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਹਿਮਤ ਹੋ ਕਿ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ (rationalizing) ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
12. ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
13. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?