ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਗੁਣਨਖੰਡ, ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਅਤੇ ਲਘੁੱਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ ਲੱਭਣ
ਚਲਾਂ ਅਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ
ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ
ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ
ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ
ਇੱਕ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 1.1
ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਉਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਸਮੀਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਅਲਜਬਰਾ ਕੋਰਸ ਵਿੱਚ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਅਲਜਬਰਾ 2e ਅਧਿਆਇ, ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅੱਖਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਅਣਜਾਣ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ a, b, c, m, n, x, ਅਤੇ y ਹਨ। ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਦੀ ਹੋਰ ਚਰਚਾ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ।
ਗੁਣਨਖੰਡ, ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਅਤੇ ਲਘੁੱਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ ਲੱਭੋ
2, 4, 6, 8, 10, 12 ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 2 ਦਾ ਗੁਣਜ 2 ਅਤੇ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ 3 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਜ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
ਸਤਰ: 2 ਦੇ ਗੁਣਜ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24
ਸਤਰ: 3 ਦੇ ਗੁਣਜ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36
ਸਤਰ: 4 ਦੇ ਗੁਣਜ | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48
ਸਤਰ: 5 ਦੇ ਗੁਣਜ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60
ਸਤਰ: 6 ਦੇ ਗੁਣਜ | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72
ਸਤਰ: 7 ਦੇ ਗੁਣਜ | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84
ਸਤਰ: 8 ਦੇ ਗੁਣਜ | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96
ਸਤਰ: 9 ਦੇ ਗੁਣਜ | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108
ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਗੁਣਨ
ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ nn ਦਾ ਗੁਣਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ n.n ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇ।
ਇਹ ਕਹਿਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਕਿ 15, 3 ਦਾ ਗੁਣਨ ਹੈ, ਇਹ ਕਹਿਣਾ ਹੈ ਕਿ 15, 3 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 15 ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, 15÷315÷3 5 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 15, 5·3.5·3 ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗਤਾ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ mm, n ਦਾ ਗੁਣਨ ਹੈ, ਤਾਂ m, n ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2 ਤੋਂ 9 ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਭਾਜਯੋਗਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ ਮਿਲਣਗੇ:
ਭਾਜਯੋਗਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ
ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਭਾਜਯੋਗ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
2 ਨਾਲ ਜੇਕਰ ਅੰਤਿਮ ਅੰਕ 0, 2, 4, 6, ਜਾਂ 8 ਹੋਵੇ।
3 ਨਾਲ ਜੇਕਰ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 3 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੋਵੇ।3.
5 ਨਾਲ ਜੇਕਰ ਅੰਤਿਮ ਅੰਕ 5 ਜਾਂ 0 ਹੋਵੇ।0.
6 ਨਾਲ ਜੇਕਰ ਉਹ 2 ਅਤੇ 3 ਦੋਵਾਂ ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੋਵੇ।3.
10 ਨਾਲ ਜੇਕਰ ਉਹ 0 ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੋਵੇ।0.
ਉਦਾਹਰਨ 1.1
ਕੀ 5,625 ⓐ 2? ⓑ 3? ⓒ 5 ਜਾਂ 10? ⓓ 6? ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
ਹੱਲ
ⓐ
ਕੀ 5,625, 2 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
ਕੀ ਇਹ 0, 2, 4, 6 ਜਾਂ 8 ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? | ਨਹੀਂ। 5,625, 2 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ
ਕੀ 5,625, 3 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕੀ ਹੈ? | 5+6+2+5=185+6+2+5=18
ਕੀ ਜੋੜ 3 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ? | ਹਾਂ। 5,625, 3 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ।
ⓒ
1. ਕਤਾਰ: ਕੀ 5,625, 5 ਜਾਂ 10 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
2. ਕਤਾਰ: ਅਖੀਰਲਾ ਅੰਕ ਕਿਹੜਾ ਹੈ? ਇਹ 5 ਹੈ। | 5,625, 5 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ ਪਰ 10 ਨਾਲ ਨਹੀਂ।
3. ⓓ
4. ਕਤਾਰ: ਕੀ 5,625, 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
5. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਇਹ 2 ਅਤੇ 3 ਦੋਵਾਂ ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ? | ਨਹੀਂ, 5,625, 2 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 5,625, 6 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.1
7. ਕੀ 4,962, ⓐ 2? ⓑ 3? ⓒ 5? ⓓ 6? ⓔ 10? ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.2
9. ਕੀ 3,765, ⓐ 2? ⓑ 3? ⓒ 5? ⓓ 6? ⓔ 10? ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ?
10. ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਕਸਰ ਇੱਕੋ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ m, n ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ m, n ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ 72, 8 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 72, 8 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 72, 9 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 72, 9 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਿਉਂਕਿ 8·9=72, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 8 ਅਤੇ 9, 72 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 72=8·9 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ 72 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕੀਤਾ ਹੈ।
12. 72 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਦੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ 1·72, 2·36, 3·24, 4·18, ਅਤੇ 6·12 ਹਨ। 72 ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, ਅਤੇ 72।
13. ਗੁਣਨਖੰਡ
14. a·b ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਵਿੱਚ, a ਅਤੇ b ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ a·b=m, ਅਤੇ a ਅਤੇ b ਦੋਵੇਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ, ਤਾਂ a ਅਤੇ b, m ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
15. ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 72, ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਅਤੇ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਆਪ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
16. ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ
17. ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਅਤੇ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਆਪ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
18. ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਭਾਜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ ਦੇ 1 ਅਤੇ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਆਪ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
19. 2 ਤੋਂ 20 ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਲਈ "ਅਭਾਜ" ਜਾਂ "ਭਾਜਯੋਗ" ਲੇਬਲ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੋਣਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ!
20. 20 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ਅਤੇ 19 ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਕਲੌਤੀ ਸਮ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ 2 ਹੈ।
21. ਇੱਕ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕੋਰਸ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲੱਭਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ।
22. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
23. ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ ਜੋ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਇੱਕ ਭਾਜਯੋਗ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਭਾਜ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਪੂਰੀ ਹੋ ਗਈ ਹੈ। ਉਸ ਅਭਾਜ ਨੂੰ ਘੇਰੋ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਟਰੈਕ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਭਾਜ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ। ਜਦੋਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜਾਂ 'ਤੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਮੁਕੰਮਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਹੁਣ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.2
ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਏ
48 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2·2·2·2·3, 48 ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਭਾਜਾਂ ਨੂੰ ਚੜ੍ਹਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 48 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਰੀਏ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ 6·8 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਅਜੇ ਵੀ ਉਹੀ ਰਹੇਗਾ। ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਆਪਣੇ ਆਪ ਲਈ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.3
80 ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.4
60 ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲੱਭੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 1. ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਭਾਜ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਮੁਕੰਮਲ ਹੈ। ਅਭਾਜ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਲਗਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਰੁੱਖ 'ਤੇ ਪੱਤੀ।
ਕਦਮ 3. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਭਾਜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਕਦਮ 4. ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਏ ਗਏ ਅਭਾਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਅਸੀਂ ਅਭਾਜਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੇ ਕਾਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਜ (LCM) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ। ਇਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹਰਾਂ ਵਾਲੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਵੇਲੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ (LCM) ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ।
ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 12 ਅਤੇ 18 ਦਾ LCM ਲੱਭੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.3
ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਏ
ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 12 ਅਤੇ 18 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ (LCM) ਲੱਭੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 12 (2·2·3)(2·2·3) ਅਤੇ 18 (2·3·3)(2·3·3) ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ LCM (2·2·3·3).(2·2·3·3) ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ 36, 12 ਅਤੇ 18 ਦਾ ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ ਹੈ।
3. ਸਾਂਝੇ ਅਭਾਜਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਹਰੇਕ ਸਾਂਝਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤੁਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ ਕਿ 36 ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ ਹੈ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.5
5. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 9 ਅਤੇ 12 ਦਾ LCM ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.6
7. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 18 ਅਤੇ 24 ਦਾ LCM ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
9. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
11. ਕਦਮ 2. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਭਾਜਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਜਿੱਥੇ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਅਭਾਜਾਂ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਮਿਲਾਓ।
12. ਕਦਮ 3. ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
13. ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
14. ਚਰ ਅਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
15. ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੱਖਰ ਦਾ ਇੱਕ ਅੱਖਰ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਚਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਚਰਾਂ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅੱਖਰ x,y,a,b,c ਹਨ।
16. ਚਰ
17. ਇੱਕ ਚਰ ਇੱਕ ਅੱਖਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ।
18. ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
19. ਸਥਿਰ
20. ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
21. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਸੰਚਾਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਚਰਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਚਾਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅੰਕਗਣਿਤਿਕ ਸੰਚਾਲਨ ਹਨ: ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ, ਅਤੇ ਭਾਗ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਚਾਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਾਂਗੇ।
22. ਸੰਚਾਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ
23. ਕਤਾਰ: ਸੰਚਾਲਨ | ਨੋਟੇਸ਼ਨ | ਕਹੋ: | ਨਤੀਜਾ ਹੈ…
24. ਕਤਾਰ: ਜੋੜ | a+ba+b | ਏ ਏ ਜਮਾ ਬੀ ਬੀ | ਏ ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਬੀ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
ਘਟਾਓ | ਘਟਾਓ | ਘਟਾਓ | ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ
ਗੁਣਾ | ਗੁਣਾ | ਗੁਣਾ | ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
ਭਾਗ | ਭਾਗ | ਭਾਗ | ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ; 'a' ਨੂੰ ਭਾਗਯ, ਅਤੇ 'b' ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ
ਜਦੋਂ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਬਰਾਬਰਤਾ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ
a=b ਨੂੰ "a, b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ" ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
"=" ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੱਡੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ "<" ਅਤੇ ">" ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅਸਮਾਨਤਾ
a<b ਜਾਂ a>b ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ,
ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ
ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਸ਼ਬਦ
a≠b | a, b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
a<b | a, b ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ।
a≤b | a, b ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
a>b | a, b ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ।
a≥b | a, b ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਅਲਪਵਿਰਾਮ, ਕੋਲਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਵਿਆਕਰਨਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਰਗੇ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਜਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਤੋਂ ਬਣ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਕਾਰਜ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ
ਇੱਥੇ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਕੰਸ਼ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਇੱਕ ਵਾਕੰਸ਼ ਇੱਕ ਇਕੱਲੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਅਧੂਰਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਬਿਆਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਕ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਿਰਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਜਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਕਾਰਜ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਵਾਕ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਵਾਕੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਿਰਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਾਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕਿਰਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ 2 ਨੂੰ ਨੌਂ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ 2·2·2·2·2·2·2·2·2 ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਿਹਨਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਨੇ ਸਾਰੇ 2 ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ 2·2·2 ਨੂੰ 2³ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ 2·2·2·2·2·2·2·2·2 ਨੂੰ 2⁹ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। 2³ ਵਰਗੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ, 2 ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਘਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਾਤ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਸੰਕੇਤ
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2³ ਘਾਤੀ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ 2·2·2 ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਹੈ।
aⁿ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ a ਨੂੰ n ਵਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ।
aⁿ ਪਦ ਨੂੰ 'a ਦੀ nਵੀਂ ਘਾਤ' ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ aⁿ ਨੂੰ 'a ਦੀ nਵੀਂ ਘਾਤ' ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ a² ਅਤੇ a³ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਨਾਮ ਕਿਉਂ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ 1.1 ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਪਦ | ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ
ਸਤਰ: 7² | 7 ਦੀ ਦੂਜੀ ਘਾਤ ਜਾਂ | 7 ਵਰਗ
ਸਤਰ: 5³ | 5 ਦੀ ਤੀਜੀ ਘਾਤ ਜਾਂ | 5 ਘਣ
ਸਤਰ: 9⁴ | 9 ਦੀ ਚੌਥੀ ਘਾਤ
ਸਤਰ: 12⁵ | 12 ਦੀ ਪੰਜਵੀਂ ਘਾਤ
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਗਣਿਤ ਕਰਨਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4·2+1 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 4·2 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ 8 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ 1 ਜੋੜ ਕੇ 9 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਆਦਤ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪੰਨੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ, ਹਰ ਕਦਮ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਕਦਮ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਣਾ। ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਗਈ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗੀ:
ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾ ਕਰਕੇ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਉਲਝਣ ਤੋਂ ਬਚ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਕਿਸੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਪਦ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਪਦਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਰਥ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4+3·7 ਪਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੁਝ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇਸਨੂੰ 49 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, 4+3 ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ 7 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ। ਦੂਸਰੇ 25 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਪਹਿਲਾਂ 3·7 ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ 4 ਜੋੜ ਕੇ।
ਇੱਕੋ ਪਦ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਕੁਝ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਾਰਜ-ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਗ਼ 1. ਕੋਹਕਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕੋਹਕਾਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਾਰੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਹਕਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਪਗ਼ 2. ਘਾਤਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪਗ਼ 3. ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨ ਤਰਜੀਹ ਹੈ।
ਪਗ਼ 4. ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਕਰੋ। ਇਹਨਾਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨ ਤਰਜੀਹ ਹੈ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਕਸਰ ਪੁੱਛਦੇ ਹਨ, “ਮੈਂ ਕ੍ਰਮ ਕਿਵੇਂ ਯਾਦ ਰੱਖਾਂਗਾ?” ਇਸ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ: ਹਰੇਕ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਲਓ ਅਤੇ ਮੂਰਖਤਾ ਭਰੀ ਵਾਕੰਸ਼ “Please Excuse My Dear Aunt Sally” ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਇਹ ਚੰਗਾ ਹੈ ਕਿ “My Dear” ਇਕੱਠੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀ ਸਮਾਨ ਤਰਜੀਹ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਭਾਗ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਭਾਗ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, “Aunt Sally” ਇਕੱਠੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀ ਵੀ ਸਮਾਨ ਤਰਜੀਹ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.4
ਸਰਲ ਕਰੋ: 18÷6+4(5−2)।18÷6+4(5−2)।
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਕੋਹਕ? ਹਾਂ, ਪਹਿਲਾਂ ਘਟਾਓ।
ਕਤਾਰ: ਘਾਤਾਂ? ਨਹੀਂ।
ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਕੋਈ ਹੋਰ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਕੋਈ ਹੋਰ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ? ਨਹੀਂ।
ਕਤਾਰ: ਕੋਈ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.7
ਸਰਲ ਕਰੋ: 30÷5+10(3−2)।30÷5+10(3−2)।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.8
70÷10+4(6−2) = 7+4(4) = 7+16 = 23.
ਜਦੋਂ ਕਈ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਠੇ (parentheses) ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.5
5+23+3[6−3(4−2)] = 5+23+3[6−3(2)] = 5+23+3[6−6] = 5+23+3[0] = 5+23+0 = 28.
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਕੀ ਕੋਈ ਕੋਠੇ (ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਮੂਹਕ ਚਿੰਨ੍ਹ) ਹਨ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਠਿਆਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰੋ। ਘਟਾਓ।
ਕਤਾਰ: ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਕਤਾਰ: ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲੀਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਕੀ ਕੋਈ ਘਾਤ (exponents) ਹਨ? ਹਾਂ। ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਕੀ ਕੋਈ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਹੈ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਤਾਰ: ਕੀ ਕੋਈ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੈ? ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ।
ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.9
9+53−[4(9+3)] = 9+53−[4(12)] = 9+53−48 = 62−48 = 14.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.10
72−2[4(5+1)] = 72−2[4(6)] = 72−2[24] = 72−48 = 24.
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਆਖਰੀ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ (order of operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ—ਫਿਰ ਤੋਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਚਲ (variable) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ।
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਚਲ (variable) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ।
1. ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਸ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਚਲ (variable) ਦੀ ਥਾਂ ਉਹ ਅੰਕ ਪਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 1.6
3. ਜਦੋਂ x=4 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ x^2 ⓑ 3x ⓒ 2x^2+3x+8.
4. ਹੱਲ
5. ⓐ
6. ਸਤਰ: ਘਾਤ (exponent) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤੋ।
7. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
8. ⓑ
9. ਸਤਰ: ਘਾਤ (exponent) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤੋ।
10. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
11. ⓒ
12. ਸਤਰ: ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ (order of operations) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ।
13. ਯਤਨ ਕਰੋ 1.11
14. ਜਦੋਂ x=3 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ x^2 ⓑ 4x ⓒ 3x^2+4x+1.
15. ਯਤਨ ਕਰੋ 1.12
16. ਜਦੋਂ x=6 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ x^3 ⓑ 2x^2 ⓒ 6x^2−4x−7.
17. ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ (like terms) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
18. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਪਦਾਂ (terms) ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ (variables) ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਪਦ
20. ਇੱਕ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ 7, y, 5x^2, 9a, ਅਤੇ b^5 ਹਨ।
22. ਜਿਹੜਾ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਚਲ (variable) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
23. ਗੁਣਾਂਕ
24. ਕਿਸੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਉਹ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਚਲ (variable) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਚੱਲ (variable) ਦੇ ਅੱਗੇ ਲੱਗੀ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ। 3x ਦਾ ਗੁਣਕ 3 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗੁਣਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ x = 1·x।
ਕੁਝ ਪਦ (terms) ਸਾਂਝੇ ਗੁਣ ਸਾਂਝੇ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਪਦ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constants) ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਚੱਲ ਅਤੇ ਘਾਤ (exponent) ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਹਨ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ 6 ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕਿਹੜੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣ ਜਾਪਦੇ ਹਨ?
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ,
77 ਅਤੇ 44 ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਹਨ।
5x ਅਤੇ 3x ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਹਨ।
n² ਅਤੇ 9n² ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਹਨ।
ਸਾਂਝੇ ਪਦ
ਜਿਹੜੇ ਪਦ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਚੱਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਏ ਗਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ (simplify) ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਚੱਲ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.7
ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਹੈ
ਸਰਲ ਕਰੋ: 2x²+3x+7+x²+4x+5।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.13
ਸਰਲ ਕਰੋ: 3x²+7x+9+7x²+9x+8।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.14
ਸਰਲ ਕਰੋ: 4y²+5y+2+8y²+4y+5।
ਕਿਵੇਂ
ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਂਝੇ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਹੋ ਜਾਣ।
ਕਦਮ 3. ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਚੱਲ ਰੱਖੋ।
ਇੱਕ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਕਈ ਕਾਰਜ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ। ਸਾਰਣੀ 1.2 ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਕਾਰਜ | ਵਾਕਾਂਸ਼ | ਸਮੀਕਰਨ
ਸਾਰਣੀ: ਜੋੜ | a ਜਮਾ b, a ਅਤੇ b ਦਾ ਜੋੜ, b ਦੁਆਰਾ a ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ, a ਤੋਂ b ਵੱਧ, a ਅਤੇ b ਦਾ ਜੋੜਫਲ, a ਵਿੱਚ b ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ | a+ba+b
ਸਾਰਣੀ: ਘਟਾਓ | a ਘਟਾ b, a ਅਤੇ b ਦਾ ਅੰਤਰ, b ਦੁਆਰਾ a ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ, a ਤੋਂ b ਘੱਟ, a ਵਿੱਚੋਂ b ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ | a−ba−b
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਾ | a ਗੁਣਾ b, a ਅਤੇ b ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, a ਦਾ ਦੁਗਣਾ | a·b,ab,a(b),(a)(b)a·b,ab,a(b),(a)(b)2a2a
ਸਾਰਣੀ: ਭਾਗ | a ਨੂੰ b ਨਾਲ ਭਾਗ, a ਅਤੇ b ਦਾ ਭਾਗਫਲ, a ਅਤੇ b ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, a ਵਿੱਚ b ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ | a÷b,a/b,ab,baa÷b,a/b,ab,ba
ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ:
ਹਰ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ 'of' ਅਤੇ 'and' ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.8
ਹਰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
ⓐ 14x14x ਅਤੇ 9 ਦਾ ਅੰਤਰ ⓑ 8y28y2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਭਾਗਫਲ ⓒ y ਤੋਂ ਬਾਰਾਂ ਵੱਧ ⓓ 49x249x2 ਤੋਂ ਸੱਤ ਘੱਟ
ਹੱਲ
ⓐ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ 'ਅੰਤਰ' ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜ ਘਟਾਓ ਹੈ। ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ 'of' ਅਤੇ 'and' ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ⓑ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ 'ਭਾਗਫਲ' ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜ ਭਾਗ ਹੈ।
ⓒ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ 'ਵੱਧ' ਹਨ। ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਾਰਜ ਜੋੜ ਹੈ। 'ਵੱਧ' ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ "ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ"।
ⓓ ਮੁੱਖ ਸ਼ਬਦ 'ਘੱਟ' ਹਨ। ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਘਟਾਓ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। 'ਘੱਟ' ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ "ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ"।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.15
ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
ⓐ 14x214x2 ਅਤੇ 13 ਦਾ ਅੰਤਰ ⓑ 12x12x ਅਤੇ 2 ਦਾ ਭਾਗਫਲ ⓒ z ਤੋਂ 13 ਵੱਧ ⓓ 8x8x ਤੋਂ 18 ਘੱਟ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.16
ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
ⓐ 17y217y2 ਅਤੇ 19 ਦਾ ਜੋੜ ⓑ 77 ਅਤੇ y ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ⓒ x ਤੋਂ ਗਿਆਰਾਂ ਵੱਧ ⓓ 11a ਤੋਂ ਚੌਦਾਂ ਘੱਟ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਜੋੜਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਫਰਕ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.9
1. ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
2. ⓐ x ਅਤੇ y ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ⓑ ਅੱਠ ਗੁਣਾ x ਅਤੇ y ਦਾ ਜੋੜ
3. ਹੱਲ
4. ਦੋ ਕਾਰਜ ਸ਼ਬਦ ਹਨ—ਗੁਣਾ ਸਾਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋੜ ਸਾਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ।
5. ⓐ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 8 ਨੂੰ ਜੋੜ ਦੇ ਗੁਣਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ x ਅਤੇ y ਦੇ ਜੋੜ, (x+y) ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਜੋੜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।)
6. ⓑ ਜੋੜ ਲੈਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ "ਦੇ" ਅਤੇ "ਅਤੇ" ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਅੱਠ ਗੁਣਾ x ਅਤੇ y ਦਾ ਜੋੜ ਲੈ ਰਹੇ ਹਾਂ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.17
8. ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
9. ⓐ p ਅਤੇ q ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ⓑ ਚਾਰ ਗੁਣਾ p ਅਤੇ q ਦਾ ਜੋੜ
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.18
11. ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ:
12. ⓐ ਦੋ ਗੁਣਾ x ਅਤੇ 8 ਦਾ ਅੰਤਰ ⓑ x ਅਤੇ 8 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਦੋ ਗੁਣਾ
13. ਇਸ ਕੋਰਸ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਹੁਨਰਾਂ ਨੂੰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਇੱਕ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 1.10
15. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ 14 ਘੱਟ ਹੈ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ l ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਵਾਕੰਸ਼ ਲਿਖੋ। | ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ 14 ਘੱਟ
18. ਕਤਾਰ: "ਲੰਬਾਈ" ਲਈ l ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | l
19. ਕਤਾਰ: "ਤੋਂ ਘੱਟ" ਨੂੰ "ਤੋਂ ਘਟਾਇਆ" ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | l ਤੋਂ 14 ਘਟਾਇਆ
20. ਕਤਾਰ: ਵਾਕੰਸ਼ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | l − 14
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.19
22. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ 7 ਘੱਟ ਹੈ। ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ w ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.20
24. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ 6 ਘੱਟ ਹੈ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ l ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
1. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਜਲਦੀ ਹੀ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਆਮ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣਗੇ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 1.11
3. ਜੂਨ ਕੋਲ ਉਸਦੇ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਡਾਈਮ ਅਤੇ ਕੁਆਰਟਰ ਹਨ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਸੱਤ ਘੱਟ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ q ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਕਤਾਰ: ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਵਾਕ ਲਿਖੋ। | ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਸੱਤ ਘੱਟ
6. ਕਤਾਰ: ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ q ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | 7 ਘੱਟ 4 ਗੁਣਾ q
7. ਕਤਾਰ: 4 ਗੁਣਾ q ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | 7 ਘੱਟ 4q
8. ਕਤਾਰ: ਵਾਕ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | 4q − 7
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.21
10. ਜੈਫਰੀ ਕੋਲ ਉਸਦੀ ਜੇਬ ਵਿੱਚ ਡਾਈਮ ਅਤੇ ਕੁਆਰਟਰ ਹਨ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਅੱਠ ਘੱਟ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ q ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 1.22
12. ਲੌਰੇਨ ਕੋਲ ਉਸਦੇ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਡਾਈਮ ਅਤੇ ਨਿੱਕਲ ਹਨ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿੱਕਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਵੱਧ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ n ਨਿੱਕਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਡਾਈਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
13. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
14. ਗੁਣਜ ਅਤੇ ਗੁਣਕ ਪਛਾਣੋ
15. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਜਯੋਗਤਾ ਦੀਆਂ ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ 2, 3, 5, 6, ਅਤੇ 10 ਨਾਲ ਭਾਜਯੋਗ ਹੈ।
16. 84
17. 96
18. 896
19. 942
20. 22,335
21. 39,075
22. ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਤੇ ਲਘੂਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ ਲੱਭੋ
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।
24. 86
78
455
400
432
627
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜੇ ਦਾ ਲਘੁਤਮ ਸਮਾਪਵਰਤਕ (LCM) ਪਤਾ ਕਰੋ।
8, 12
12, 16
28, 40
84, 90
55, 88
60, 72
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
2 3 − 12 ÷ ( 9 − 5 )
3 2 − 18 ÷ ( 11 − 5 )
2 + 8 ( 6 + 1 )
4 + 6 ( 3 + 6 )
20 ÷ 4 + 6 ( 5 − 1 )
33 ÷ 3 + 4 ( 7 − 2 )
3 ( 1 + 9 · 6 ) − 4 2
5 ( 2 + 8 · 4 ) − 7 2
2 [ 1 + 3 ( 10 − 2 ) ]
5 [ 2 + 4 ( 3 − 2 ) ]
8 + 2 [ 7 − 2 ( 5 − 3 ) ] − 3 2 8 + 2 [ 7 − 2 ( 5 − 3 ) ] − 3 2
10 + 3 [ 6 − 2 ( 4 − 2 ) ] − 2 4 10 + 3 [ 6 − 2 ( 4 − 2 ) ] − 2 4
Evaluate an Expression
In the following exercises, evaluate the following expressions.
When x=2,x=2,ⓐ x6x6ⓑ 4x4xⓒ 2x2+3x−72x2+3x−7
When x=3,x=3,ⓐ x5x5ⓑ 5x5xⓒ 3x2−4x−83x2−4x−8
When x=4,y=1x=4,y=1x2+3xy−7y2x2+3xy−7y2
When x=3,y=2x=3,y=26x2+3xy−9y26x2+3xy−9y2
When x=10,y=7x=10,y=7(x−y)2(x−y)2
When a=3,b=8a=3,b=8a2+b2a2+b2
Simplify Expressions by Combining Like Terms
In the following exercises, simplify the following expressions by combining like terms.
7 x + 2 + 3 x + 4 7 x + 2 + 3 x + 4
8 y + 5 + 2 y − 4 8 y + 5 + 2 y − 4
10 a + 7 + 5 a − 2 + 7 a − 4 10 a + 7 + 5 a − 2 + 7 a − 4
7 c + 4 + 6 c − 3 + 9 c − 1 7 c + 4 + 6 c − 3 + 9 c − 1
3 x 2 + 12 x + 11 + 14 x 2 + 8 x + 5 3 x 2 + 12 x + 11 + 14 x 2 + 8 x + 5
5 b 2 + 9 b + 10 + 2 b 2 + 3 b − 4 5 b 2 + 9 b + 10 + 2 b 2 + 3 b − 4
Translate an English Phrase to an Algebraic Expression
In the following exercises, translate the phrases into algebraic expressions.
ⓐ the difference of 5x25x2 and 6xy6xyⓑ the quotient of 6y26y2 and 5x5xⓒ Twenty-one more than y2y2ⓓ 6x6x less than 81x281x2
ⓐ the difference of 17x217x2 and 5xy5xyⓑ the quotient of 8y38y3 and 3x3xⓒ Eighteen more than a2a2;ⓓ 11b11b less than 100b2100b2
ⓐ the sum of 4ab24ab2 and 3a2b3a2bⓑ the product of 4y24y2 and 5x5xⓒ Fifteen more than mmⓓ 9x9x less than 121x2121x2
ⓐ the sum of 3x2y3x2y and 7xy27xy2ⓑ the product of 6xy26xy2 and 4z4zⓒ Twelve more than 3x23x2ⓓ 7x27x2 less than 63x363x3
ⓐ yy ਅਤੇ ਨੌਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਅੱਠ ਗੁਣਾ ⓑ ਅੱਠ yy ਅਤੇ 9 ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ
੧. ⓐ yy ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ⓑ yy ਦੇ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਅਤੇ 1 ਦਾ ਅੰਤਰ
੧. ⓐ ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ x ਅਤੇ y ਗੁਣਾ y ਦਾ ਜੋੜ ⓑ ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ x ਅਤੇ y ਗੁਣਾ y ਦਾ ਜੋੜ
⑪ ਗੁਣਾ (4x24x2 + 5x5xⓑ) ਦਾ ਜੋੜ
ਦੋ ਗੁਣਾ ਦੇਸ਼ੀ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ 14 ਵੱਧ ਚੱਟਾਨ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੇਸ਼ੀ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'c' ਹੈ, ਤਾਂ ਚੱਟਾਨ ਗੀਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
8 + 2mm
ਪੱਬਾਂ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੇਗ ਕੋਲ ਨਿੱਕਲ ਅਤੇ ਪੈਸੇ ਹਨ। ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿੱਕਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ ਸੱਤ ਘੱਟ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ n ਨਿੱਕਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
ਛੇ ਗੁਣਾ ਦਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਵੱਧ ਪੰਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ 'ਟੀ' ਦਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੰਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ।
1. ਲਿਖਣ-ਅਭਿਆਸ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉਸਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡ ਸਕੇ। ਫਿਰ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਭਾਗਫਲ 1 ਨਾ ਰਹਿ ਜਾਵੇ। ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜਿਸ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਹ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਸਾਰੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਮੂਲ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਕਿਉਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ?
ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। 'a' ਦੇ ਵਰਗ ਵਾਲੇ ਪਦ ਹਨ 8a^2 ਅਤੇ -a^2। 'a' ਵਾਲੇ ਪਦ ਹਨ 4a। ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਹਨ 9 ਅਤੇ -1।
4 ਗੁਣਾ (x ਅਤੇ y ਦੇ ਜੋੜ) ਅਤੇ (4 ਗੁਣਾ x) ਅਤੇ y ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
1. ਆਤਮ-ਪੜਤਾਲ
1. ⓐ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੧. ਜੇ ਤੁਹਾਡੇ ਬਹੁਤੇ ਚੈੱਕ ਇਹ ਸਨ:
1. …ਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਕੰਮਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
…ਕੁਝ ਸਹਾਇਤਾ ਨਾਲ। ਇਸ ਦਾ ਜਲਦ ਨਿਬੇੜਾ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਮਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੇ ਰਾਹ ਵਿੱਚ ਖੱਡੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ ਉੱਤੇ ਉਸਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਕਿਸ ਤੋਂ ਮਦਦ ਮੰਗ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਅਧਿਆਪਕ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਹੁਨਰ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
…ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ-ਵਟਾਂਦਰਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਮਿਲ ਕੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।