ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉ
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉ
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਚਰ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ
ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 1.2
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਅਲਜਬਰਾ 2e ਅਧਿਆਇ, ਫਾਊਂਡੇਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉ
ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ 0 ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 1.2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 1.2: ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ, ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ, ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 22 ਅਤੇ −2−2 ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 22 ਦਾ ਉਲਟ −2,−2 ਹੈ, ਅਤੇ −2−2 ਦਾ ਉਲਟ 2.2 ਹੈ।
ਉਲਟ
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ ਪਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.3 ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.3: 3 ਦਾ ਉਲਟ −3−3 ਹੈ।
ਉਲਟ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ 3 ਅਤੇ −3−3 ਵਰਗੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉਲਟ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ 0 ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ। ਉਹ ਦੋਵੇਂ 0 ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਦੂਰ ਹਨ। 0 ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਉਸਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ nn ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ |n||n| ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ |n|≥0|n|≥0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮਨੁੱਖੀ ਜੀਵਨ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਪਵੇਗਾ।
1. ਚਿੱਤਰ 1.4 ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 1.4: ਸੰਖਿਆ 5 ਅਤੇ −5−5, 0 ਤੋਂ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕਦੇ ਵੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੂਰੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਸਿਫ਼ਰ ਇਕੱਲੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ 0 ਤੋਂ 0 ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਸਿਫ਼ਰ ਇਕਾਈਆਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਵਾਕਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕਰਾਂਗੇ।
1. ਮਿਸਾਲ 1.12
1. <, >, <, >
1. ⓐ |−5|__−|−5||−5|__−|−5| ⓑ 8__−|−8|8__−|−8| ⓒ −9__−|−9|−9__−|−9| ⓓ −(−16)__|−16|.−(−16)__|−16|.
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: |−5|__−|−5||−5|__−|−5|
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 5__−55__−5
1. ਕਤਾਰ: ਕ੍ਰਮ। | 5>−55>−5
1. ਸਤਰ: |−5|>−|−5||−5|>−|−5|
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: 8__−|−8|8__−|−8|
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਕ੍ਰਮ। | 8>−88>−8
1. ਸਤਰ: ੮>−|−੮|੮>−|−੮|
1. ਓਮ
1. ਕਤਾਰ: −9__−|−9|−9__−|−9|
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | −9__−9−9__−9
1. ਕਤਾਰ: ਕ੍ਰਮ। | −9=−9−9=−9
1. ਕਤਾਰ: −9=−|−9|−9=−|−9|
2. ⓓ
3. ਕਤਾਰ: −(−16)__|−16|−(−16)__|−16|
4. ਸਰਲ ਕਰੋ। | 16__1616__16
5. ਕ੍ਰਮ। | 16=1616=16
6. ਕਤਾਰ: −(−16)=|−16|−(−16)=|−16|
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.23
8. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਲਈ <, >, <, >, ਜਾਂ == ਭਰੋ:
9. ⓐ −9__−|−9|−9__−|−9| ⓑ 2__−|−2|2__−|−2| ⓒ −8__|−8|−8__|−8| ⓓ −(−9)__|−9|.−(−9)__|−9|.
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.24
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਲਈ <, >, <, >, ਜਾਂ == ਭਰੋ:
12. ⓐ 7__−|−7|7__−|−7| ⓑ −(−10)__|−10|−(−10)__|−10| ⓒ |−4|__−|−4||−4|__−|−4| ⓓ −1__|−1|.−1__|−1|.
13. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਸਮੂਹ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
14. ਸਮੂਹ ਚਿੰਨ੍ਹ
15. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕੋਠੀਆਂ (parentheses) ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 1.13
17. ਸਰਲ ਕਰੋ: 24−|19−3(6−2)|.24−|19−3(6−2)|.
18. ਹੱਲ
19. ਕਤਾਰ: 24−|19−3(6−2)|24−|19−3(6−2)|
20. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਠੀਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੰਮ ਕਰੋ:
21. ਕਤਾਰ: 6 ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾਓ। | 24−|19−3(4)|24−|19−3(4)|
22. ਕਤਾਰ: 3(4) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 24−|19−12|24−|19−12|
23. ਕਤਾਰ: ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘਟਾਓ। | 24−|7|24−|7|
24. ਕਤਾਰ: ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲਓ। | 24−724−7
ਘਟਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.25
ਸਰਲ ਕਰੋ: 19−|11−4(3−1)|.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 1.26
ਸਰਲ ਕਰੋ: 9−|8−4(7−5)|.
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਕੇਵਲ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ।
ਸਾਡਾ ਵਿਰੋਧੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ…−3,−2,−1,0,1,2,3……−3,−2,−1,0,1,2,3…
ਪੂਰਨ ਅੰਕ
ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਤੱਥਾਂ ਨਾਲ ਆਰਾਮਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਰਿਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕੋ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੰਗ (ਨੀਲਾ) ਨੂੰ ਧਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਕ ਮੰਨਾਂਗੇ। ਦੂਜਾ ਰੰਗ (ਲਾਲ) ਰਿਣਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਧਨ ਕਾਊਂਟਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਿਣ ਕਾਊਂਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਹੈ:
ਪਹਿਲਾ ਉਦਾਹਰਨ, 5+3, 5 ਧਨ ਅਤੇ 3 ਧਨ ਜੋੜਦਾ ਹੈ—ਦੋਵੇਂ ਧਨ।
ਦੂਜਾ ਉਦਾਹਰਨ, −5+(−3), 5 ਰਿਣ ਅਤੇ 3 ਰਿਣ ਜੋੜਦਾ ਹੈ—ਦੋਵੇਂ ਰਿਣ।
ਜਦੋਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਕਾਊਂਟਰ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਰੰਗ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਇੱਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ 8 ਮਿਲਦਾ ਹੈ—ਜਾਂ ਤਾਂ 8 ਧਨ ਜਾਂ 8 ਰਿਣ।
ਤਾਂ ਫਿਰ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ? ਆਓ −5+3 ਅਤੇ 5+(−3) ਜੋੜੀਏ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਧਨ ਜਾਂ ਰਿਣ ਕਾਊਂਟਰ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋੜ ਧਨ ਜਾਂ ਰਿਣ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.14
ਜੋੜੋ: ⓐ −1+(−4) ⓑ −1+5 ⓒ 1+(−5).
ਹੱਲ
1. ⓐ
2. ਕਤਾਰ: 1 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ 4 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜੋੜ ਕੇ 5 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਣਦੇ ਹਨ।
3. ⓑ
4. ਕਤਾਰ: ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਧੇਰੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜੋੜ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ।
5. ⓒ
6. ਕਤਾਰ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਧੇਰੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜੋੜ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.27
8. ਜੋੜੋ: ⓐ −2+(−4) ⓑ −2+4 ⓒ 2+(−4)
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.28
10. ਜੋੜੋ: ⓐ −2+(−5) ⓑ −2+5 ⓒ 2+(−5)
11. ਅਸੀਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹਾਂਗੇ। ਸ਼ਾਇਦ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਛੋਟੇ ਸੀ, ਤੁਸੀਂ "5−3" ਨੂੰ "5 ਵਿੱਚੋਂ 3 ਕੱਢੋ" ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਸੀ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ!
12. ਅਸੀਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ:
13. ਪਹਿਲਾ ਉਦਾਹਰਨ, 5−3, ਅਸੀਂ 5 ਧਨਾਤਮਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਧਨਾਤਮਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ 2 ਧਨਾਤਮਕ ਬਚਦੇ ਹਨ।
14. ਦੂਜਾ ਉਦਾਹਰਨ, −5−(−3), ਅਸੀਂ 5 ਨਕਾਰਾਤਮਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਨਕਾਰਾਤਮਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ 2 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਚਦੇ ਹਨ।
15. ਹਰੇਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੰਗ ਦੇ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ "ਕੱਢਣ" ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਸੀ।
16. ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ? ਸਾਨੂੰ ਨੀਲੇ ਅਤੇ ਲਾਲ ਦੋਵੇਂ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਕੁਝ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੱਢਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਾਊਂਟਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜਾ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ। ਇਹ ਕੁਆਰਟਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿੱਕਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਵਰਗਾ ਹੈ—ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
17. ਆਓ −5−3 ਅਤੇ 5−(−3) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।
18. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓ।
19. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
20. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਸੰਖਿਆ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਊਂਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਹਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
21. ਕਤਾਰ: ਜੋ ਬਚਿਆ ਹੈ ਉਸਨੂੰ ਗਿਣੋ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 1.15
23. ਘਟਾਓ: ⓐ 3−1 ⓑ −3−(−1) ⓒ −3−1 ⓓ 3−(−1).
24. ਹੱਲ
ⓐ
row: Take 1 negative from 3 negatives and get 2 negatives positives.
ⓑ
row: Take 1 positive from 3 negatives and get 2 negatives.
ⓒ
row: Take 1 positive from the one added neutral pair.
ⓓ
row: Take 1 negative from the one added neutral pair.
Try It 1.29
Subtract: ⓐ 6−46−4 ⓑ −6−(−4)−6−(−4) ⓒ −6−4−6−4 ⓓ 6−(−4).6−(−4).
Try It 1.30
Subtract: ⓐ 7−47−4 ⓑ −7−(−4)−7−(−4) ⓒ −7−4−7−4 ⓓ 7−(−4).7−(−4).
Have you noticed that subtraction of signed numbers can be done by adding the opposite? In the last example, −3−1−3−1 is the same as −3+(−1)−3+(−1) and 3−(−1)3−(−1) is the same as 3+1.3+1. You will often see this idea, the Subtraction Property, written as follows:
Subtraction Property
Subtracting a number is the same as adding its opposite.
Example 1.16
Simplify: ⓐ 13−813−8 and 13+(−8)13+(−8) ⓑ −17−9−17−9 and −17+(−9)−17+(−9) ⓒ 9−(−15)9−(−15) and 9+159+15 ⓓ −7−(−4)−7−(−4) and −7+4.−7+4.
Solution
ⓐ
row: Subtract. | 13−8and13+(−8)5513−8and13+(−8)55
ⓑ
row: Subtract. | −17−9and−17+(−9) −26−26−17−9and−17+(−9) −26−26
ⓒ
row: Subtract. | 9−(−15)and9+15 24249−(−15)and9+15 2424
1. ⓓ
2. ਕਤਾਰ: ਘਟਾਓ। | −7−(−4)ਅਤੇ−7+4 −3−3−7−(−4)ਅਤੇ−7+4 −3−3
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.31
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 21−1321−13 ਅਤੇ 21+(−13)21+(−13) ⓑ −11−7−11−7 ਅਤੇ −11+(−7)−11+(−7) ⓒ 6−(−13)6−(−13) ਅਤੇ 6+136+13 ⓓ −5−(−1)−5−(−1) ਅਤੇ −5+1.−5+1.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.32
6. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 15−715−7 ਅਤੇ 15+(−7)15+(−7) ⓑ −14−8−14−8 ਅਤੇ −14+(−8)−14+(−8) ⓒ 4−(−19)4−(−19) ਅਤੇ 4+194+19 ⓓ −4−(−7)−4−(−7) ਅਤੇ −4+7.−4+7.
7. ਜਦੋਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਆਮ ਵਾਂਗ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 1.17
9. ਸਰਲ ਕਰੋ: 7−(−4−3)−9.7−(−4−3)−9.
10. ਹੱਲ
11. ਕਤਾਰ: 7−(−4−3)−97−(−4−3)−9
12. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 7−(−7)−97−(−7)−9
13. ਕਤਾਰ: ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਘਟਾਓ। | 14−914−9
14. ਕਤਾਰ: ਘਟਾਓ। | 55
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.33
16. ਸਰਲ ਕਰੋ: 8−(−3−1)−9.8−(−3−1)−9.
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.34
18. ਸਰਲ ਕਰੋ: 12−(−9−6)−14.12−(−9−6)−14.
19. ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ
20. ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾ ਦੁਹਰਾਈ ਗਈ ਜੋੜ ਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਖੇਪ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇਸ ਠੋਸ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਰਤਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਸਨ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਪੈਟਰਨ ਖੋਜਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
21. ਅਸੀਂ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a·ba·b ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ a ਨੂੰ b ਵਾਰ ਜੋੜਨਾ।
22. ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਧੇਰੇ ਦਿਲਚਸਪ ਹਨ। 5 ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ?−3? ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ 5 ਨੂੰ 3 ਵਾਰ ਘਟਾਉਣਾ।5,35,3 ਵਾਰ। ਘਟਾਓ ਨੂੰ "ਲੈਣਾ" ਵਜੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ 5 ਨੂੰ 3 ਵਾਰ ਲੈਣਾ। ਪਰ ਲੈਣ ਲਈ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਰਕਸਪੇਸ 'ਤੇ ਨਿਰਪੱਖ ਜੋੜੇ ਜੋੜ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
23. ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ:
24. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਲਈ, ਜਦੋਂ
ਭਾਗ ਕੀ ਹੈ? ਭਾਗ ਗੁਣਾ ਦਾ ਉਲਟਾ ਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 15÷3=5 ਕਿਉਂਕਿ 5·3=15। ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ 15 ਨੂੰ 3 ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ 5-5 ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੰਜ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ 15 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਭਾਗ, ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ
ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਲਈ:
ਸਾਰਣੀ: ਸਮਾਨ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਨਤੀਜਾ
ਸਾਰਣੀ: • ਦੋ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ | ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ
ਸਾਰਣੀ: • ਦੋ ਨੈਗੇਟਿਵ | ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ
ਜੇਕਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: ਵੱਖਰੇ ਚਿੰਨ੍ਹ | ਨਤੀਜਾ
ਸਾਰਣੀ: • ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗੇਟਿਵ | ਨੈਗੇਟਿਵ
ਸਾਰਣੀ: • ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਤੇ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ | ਨੈਗੇਟਿਵ
ਜੇਕਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.18
ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ: ⓐ −100÷(−4) ⓑ 7·6 ⓒ 4(−8) ⓓ −27÷3.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਾਰਣੀ: −100÷(−4)
ਸਾਰਣੀ: ਭਾਗ ਕਰੋ, ਸਮਾਨ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਭਾਗਫਲ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। | 25
ⓑ
ਸਾਰਣੀ: 7·6
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਸਮਾਨ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ। | 42
ⓒ
ਸਾਰਣੀ: 4(−8)
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਵੱਖਰੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ। | −32
ⓓ
row: −27÷3−27÷3
row: Divide, with different signs, the quotient is negative. | −9−9
Try It 1.35
Multiply or divide: ⓐ −115÷(−5)−115÷(−5) ⓑ 5·125·12 ⓒ 9(−7)9(−7) ⓓ −63÷7.−63÷7.
Try It 1.36
Multiply or divide: ⓐ −117÷(−3)−117÷(−3) ⓑ 3·133·13 ⓒ 7(−4)7(−4) ⓓ −42÷6.−42÷6.
When we multiply a number by 1, the result is the same number. Each time we multiply a number by −1,−1, we get its opposite!
Multiplication by −1 −1
Multiplying a number by −1−1 gives its opposite.
Simplify Expressions with Integers
What happens when there are more than two numbers in an expression? The order of operations still applies when negatives are included. Remember Please Excuse My Dear Aunt Sally?
Let’s try some examples. We’ll simplify expressions that use all four operations with integers—addition, subtraction, multiplication, and division. Remember to follow the order of operations.
Example 1.19
Simplify: ⓐ (−2)4(−2)4 ⓑ −24.−24.
Solution
Notice the difference in parts (a) and (b). In part (a), the exponent means to raise what is in the parentheses, the −2−2 to the 4th power. In part (b), the exponent means to raise just the 2 to the 4th power and then take the opposite.
ⓐ
row: (−2)4(−2)4
row: Write in expanded form. | (−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)
row: Multiply. | 4(−2)(−2)4(−2)(−2)
row: Multiply. | −8(−2)−8(−2)
row: Multiply. | 1616
ⓑ
1. ਕਤਾਰ: −24−24
2. ਕਤਾਰ: ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | −(2·2·2·2)−(2·2·2·2)
3. ਕਤਾਰ: ਸਾਨੂੰ 2424 ਦੇ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ।
4. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −(4·2·2)−(4·2·2)
5. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −(8·2)−(8·2)
6. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −16−16
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.37
8. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−3)4(−3)4 ⓑ −34.−34.
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 1.38
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−7)2(−7)2 ⓑ −72.−72.
11. ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੇ ਸਾਨੂੰ (−2)4(−2)4 ਅਤੇ −24.−24. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਦਿਖਾਇਆ। ਇਹ ਭੇਦ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਗਲਤੀਆਂ ਨੂੰ ਰੋਕਣ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਸਾਨੂੰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਂਦੀ ਹੈ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 1.20
13. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 8(−9)÷(−2)38(−9)÷(−2)3 ⓑ −30÷2+(−3)(−7).−30÷2+(−3)(−7).
14. ਹੱਲ
15. ⓐ
16. ਕਤਾਰ: 8(−9)÷(−2)38(−9)÷(−2)3
17. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤਾਂਕ। | 8(−9)÷(−8)8(−9)÷(−8)
18. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −72÷(−8)−72÷(−8)
19. ਕਤਾਰ: ਭਾਗ ਕਰੋ। | 99
20. ⓑ
21. ਕਤਾਰ: −30÷2+(−3)(−7)−30÷2+(−3)(−7)
22. ਕਤਾਰ: ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ, ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ। | −15+(−3)(−7)−15+(−3)(−7)
23. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −15+21−15+21
24. ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ। | 66
1.39 ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 12(−9)÷(−3)312(−9)÷(−3)3 ⓑ −27÷3+(−5)(−6).−27÷3+(−5)(−6).
3. 1.40 ਅਜ਼ਮਾਓ
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 18(−4)÷(−2)318(−4)÷(−2)3 ⓑ −32÷4+(−2)(−7).−32÷4+(−2)(−7).
5. ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਚੱਲ ਅਭਿਅੰਜਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
6. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਭਿਅੰਜਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਅਭਿਅੰਜਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਚੱਲ ਦੇ ਸਥਾਨ ਤੇ ਬਦਲਣਾ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 1.21
8. 4x2−2xy+3y24x2−2xy+3y2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=2,y=−1.x=2,y=−1.
9. ਹੱਲ
10. ਕਤਾਰ: ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
12. ਕਤਾਰ: ਘਟਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: ਜੋੜੋ।
14. 1.41 ਅਜ਼ਮਾਓ
15. ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ: 3x2−2xy+6y23x2−2xy+6y2 ਜਦੋਂ x=1,y=−2.x=1,y=−2.
16. 1.42 ਅਜ਼ਮਾਓ
17. ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ: 4x2−xy+5y24x2−xy+5y2 ਜਦੋਂ x=−2,y=3.x=−2,y=3.
18. ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਅਭਿਅੰਜਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ
19. ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਦਾ ਸਾਡਾ ਪਿਛਲਾ ਕੰਮ ਅਜਿਹੇ ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 1.22
21. ਅਨੁਵਾਦ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ: 8 ਅਤੇ −12 ਦਾ ਜੋੜ, 3 ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਤਾਰ: 8 ਅਤੇ −12 ਦਾ ਜੋੜ 3 ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ
24. ਕਤਾਰ: ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | [8+(−12)]+3[8+(−12)]+3
ਸਰਲ ਕਰੋ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਗਲਤ ਨਾ ਸਮਝਣ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ। | (−4)+3(−4)+3
ਜੋੜੋ। | −1−1
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.43
9 ਅਤੇ −16,−16, ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 4 ਵਧਾ ਕੇ, ਅਨੁਵਾਦ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.44
−8−8 ਅਤੇ −12,−12, ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 7 ਵਧਾ ਕੇ, ਅਨੁਵਾਦ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ
ਅਸੀਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਨਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕੀ ਕਹਿਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੁਝ ਲੱਭਣਾ ਔਖਾ ਹੈ! ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿ ਰਹੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਵਾਬ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.23
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਸਵੇਰ ਵੇਲੇ, ਕੈਂਡਲਵਿਲੇ, ਇੰਡੀਆਨਾ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ 11 ਡਿਗਰੀ ਸੀ। ਦੁਪਹਿਰ ਤੱਕ, ਤਾਪਮਾਨ −9−9 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਡਿੱਗ ਗਿਆ ਸੀ। ਸਵੇਰ ਅਤੇ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.45
ਸਵੇਰ ਵੇਲੇ, ਐਂਕਰੇਜ, ਅਲਾਸਕਾ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ 1515 ਡਿਗਰੀ ਸੀ। ਦੁਪਹਿਰ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ ਸਿਫਰ ਤੋਂ 30 ਡਿਗਰੀ ਹੇਠਾਂ ਡਿੱਗ ਗਿਆ ਸੀ। ਸਵੇਰ ਅਤੇ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਸੀ?
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 1.46
ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਵੇਲੇ ਡੇਨਵਰ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ −6−6 ਡਿਗਰੀ ਸੀ। ਸੂਰਜ ਡੁੱਬਣ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ −15−15 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਡਿੱਗ ਗਿਆ ਸੀ। ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਡੁੱਬਣ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਸੀ?
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ। ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਅਤੇ ਵਿਚਾਰ ਸਮਝੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਦਮ 3. ਇਸਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਾਕਾਂਸ਼ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 4. ਵਾਕਾਂਸ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 6. ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਵਾਕ ਨਾਲ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੈ।
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ <, >, <, >, ਜਾਂ == ਭਰੋ।
ⓐ |−7|___−|−7||−7|___−|−7|ⓑ 6___−|−6|6___−|−6|ⓒ |−11|___−11|−11|___−11ⓓ −(−13)___−|−13|−(−13)___−|−13|
ⓐ −|−9|___|−9|−|−9|___|−9|ⓑ −8___|−8|−8___|−8|ⓒ |−1|___−1|−1|___−1ⓓ −(−14)___−|−14|−(−14)___−|−14|
ⓐ −|2|___−|−2|−|2|___−|−2|ⓑ −12___−|−12|−12___−|−12|ⓒ |−3|___−3|−3|___−3ⓓ |−19|___−(−19)|−19|___−(−19)
ⓐ −|−4|___−|4|−|−4|___−|4|ⓑ 5___−|−5|5___−|−5|ⓒ −|−10|___−10−|−10|___−10ⓓ −|−0|___−(−0)−|−0|___−(−0)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
| 15 − 7 | − | 14 − 6 | | 15 − 7 | − | 14 − 6 |
| 17 − 8 | − | 13 − 4 | | 17 − 8 | − | 13 − 4 |
18 − | 2 ( 8 − 3 ) | 18 − | 2 ( 8 − 3 ) |
15 − | 3 ( 8 − 5 ) | 15 − | 3 ( 8 − 5 ) |
18 − | 12 − 4 ( 4 − 1 ) + 3 | 18 − | 12 − 4 ( 4 − 1 ) + 3 |
27 − | 19 + 4 ( 3 − 1 ) − 7 | 27 − | 19 + 4 ( 3 − 1 ) − 7 |
10 − 3 | 9 − 3 ( 3 − 1 ) | 10 − 3 | 9 − 3 ( 3 − 1 ) |
13 − 2 | 11 − 2 ( 5 − 2 ) | 13 − 2 | 11 − 2 ( 5 − 2 ) |
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓐ −7+(−4)−7+(−4)ⓑ −7+4−7+4ⓒ 7+(−4).7+(−4).
ⓐ −5+(−9)−5+(−9)ⓑ −5+9−5+9ⓒ 5+(−9)5+(−9)
48 + ( −16 ) 48 + ( −16 )
34 + ( −19 ) = 15
−14 + ( −12 ) + 4 = −22
−17 + ( −18 ) + 6 = −29
19 + 2 ( −3 + 8 ) = 29
24 + 3 ( −5 + 9 ) = 36
ⓐ 13−7=6ⓑ −13−(−7)=−6ⓒ −13−7=−20ⓓ 13−(−7)=20
ⓐ 15−8=7ⓑ −15−(−8)=−7ⓒ −15−8=−23ⓓ 15−(−8)=23
−17 − 42 = −59
−58 − ( −67 ) = 9
−14 − ( −27 ) + 9 = 22
64 + ( −17 ) − 9 = 38
ⓐ 44−28=16ⓑ 44+(−28)=16
ⓐ 35−16=19ⓑ 35+(−16)=19
ⓐ 27−(−18)=45ⓑ 27+18=45
ⓐ 46−(−37)=83ⓑ 46+37=83
( 2 − 7 ) − ( 3 − 8 ) = 0
( 1 − 8 ) − ( 2 − 9 ) = 0
− ( 6 − 8 ) − ( 2 − 4 ) = 4
− ( 4 − 5 ) − ( 7 − 8 ) = 2
25 − [ 10 − ( 3 − 12 ) ] = 16
32 − [ 5 − ( 15 − 20 ) ] = 22
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ⓐ −4·8=−32ⓑ 13(−5)=−65ⓒ −24÷6=−4ⓓ −52÷(−4)=13
ⓐ −3·9−3·9ⓑ 9(−7)9(−7)ⓒ 35÷(−7)35÷(−7)ⓓ −84÷(−6)−84÷(−6)
ⓐ −28÷7−28÷7ⓑ −180÷15−180÷15ⓒ 3(−13)3(−13)ⓓ −1(−14)−1(−14)
ⓐ −36÷4−36÷4ⓑ −192÷12−192÷12ⓒ 9(−7)9(−7)ⓓ −1(−19)−1(−19)
Simplify and Evaluate Expressions with Integers
In the following exercises, simplify each expression.
ⓐ (−2)6(−2)6 ⓑ −26−26
ⓐ (−3)5(−3)5 ⓑ −35−35
5 ( −6 ) + 7 ( −2 ) − 3 5 ( −6 ) + 7 ( −2 ) − 3
8 ( −4 ) + 5 ( −4 ) − 6 8 ( −4 ) + 5 ( −4 ) − 6
−3 ( −5 ) ( 6 ) −3 ( −5 ) ( 6 )
−4 ( −6 ) ( 3 ) −4 ( −6 ) ( 3 )
( 8 − 11 ) ( 9 − 12 ) ( 8 − 11 ) ( 9 − 12 )
( 6 − 11 ) ( 8 − 13 ) ( 6 − 11 ) ( 8 − 13 )
26 − 3 ( 2 − 7 ) 26 − 3 ( 2 − 7 )
23 − 2 ( 4 − 6 ) 23 − 2 ( 4 − 6 )
65 ÷ ( −5 ) + ( −28 ) ÷ ( −7 ) 65 ÷ ( −5 ) + ( −28 ) ÷ ( −7 )
52 ÷ ( −4 ) + ( −32 ) ÷ ( −8 ) 52 ÷ ( −4 ) + ( −32 ) ÷ ( −8 )
9 − 2 [ 3 − 8 ( −2 ) ] 9 − 2 [ 3 − 8 ( −2 ) ]
11 − 3 [ 7 − 4 ( −2 ) ] 11 − 3 [ 7 − 4 ( −2 ) ]
8 − | 2 − 4 ( 4 − 1 ) + 3 | 8 − | 2 − 4 ( 4 − 1 ) + 3 |
7 − | 5 − 3 ( 4 − 1 ) − 6 | 7 − | 5 − 3 ( 4 − 1 ) − 6 |
9 − 3 | 2 ( 2 − 6 ) − ( 3 − 7 ) | 9 − 3 | 2 ( 2 − 6 ) − ( 3 − 7 ) |
5 − 2 | 2 ( 1 − 4 ) − ( 2 − 5 ) | 5 − 2 | 2 ( 1 − 4 ) − ( 2 − 5 ) |
( −3 ) 2 − 24 ÷ ( 8 − 2 ) ( −3 ) 2 − 24 ÷ ( 8 − 2 )
( −4 ) 2 − 32 ÷ ( 12 − 4 ) ( −4 ) 2 − 32 ÷ ( 12 − 4 )
In the following exercises, evaluate each expression.
y+(−14)y+(−14) whenⓐ y=−33y=−33 ⓑ y=30y=30
x+(−21)x+(−21) whenⓐ x=−27x=−27 ⓑ x=44x=44
(x+y)2(x+y)2 whenx=−3,y=14x=−3,y=14
(y+z)2(y+z)2 wheny=−3,z=15y=−3,z=15
9a−2b−89a−2b−8 whena=−6a=−6 and b=−3b=−3
7m−4n−27m−4n−2 whenm=−4m=−4 and n=−9n=−9
3x2−4xy+2y23x2−4xy+2y2 whenx=−2,y=−3x=−2,y=−3
4x2−xy+3y24x2−xy+3y2 whenx=−3,y=−2x=−3,y=−2
Translate English Phrases to Algebraic Expressions
In the following exercises, translate to an algebraic expression and simplify if possible.
the sum of 3 and −15,−15, increased by 7
the sum of −8−8 and −9,−9, increased by 2323
ⓐ the difference of 1010 and −18−18ⓑ subtract 1111 from −25−25
ⓐ the difference of −5−5 and −30−30ⓑ subtract −6−6 from −13−13
the quotient of −6−6 and the sum of aa and bb
the product of −13−13 and the difference of cc and dd
Use Integers in Applications
In the following exercises, solve.
Temperature On January 15, the high temperature in Anaheim, California, was 84°. That same day, the high temperature in Embarrass, Minnesota, was −12°.−12°. What was the difference between the temperature in Anaheim and the temperature in Embarrass?
Temperature On January 21, the high temperature in Palm Springs, California, was 89°,89°, and the high temperature in Whitefield, New Hampshire, was −31°.−31°. What was the difference between the temperature in Palm Springs and the temperature in Whitefield?
Football On the first down, the Chargers had the ball on their 25-yard line. They lost 6 yards on the first-down play, gained 10 yards on the second-down play, and lost 8 yards on the third-down play. What was the yard line at the end of the third-down play?
Football On first down, the Steelers had the ball on their 30-yard line. They gained 9 yards on the first-down play, lost 14 yards on the second-down play, and lost 2 yards on the third-down play. What was the yard line at the end of the third-down play?
1. ਜਮ੍ਹਾਂ ਖਾਤਾ ਮਾਇਰਾ ਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ 124 ਡਾਲਰ ਹਨ। ਉਸਨੇ 152 ਡਾਲਰ ਦਾ ਚੈੱਕ ਲਿਖਿਆ। ਉਸਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਵੀਂ ਬਕਾਇਆ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
2. ਜਮ੍ਹਾਂ ਖਾਤਾ ਰੇਮੋਂਟ ਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ −49 ਡਾਲਰ ਦੀ ਬਕਾਇਆ ਹੈ। ਉਹ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ 281 ਡਾਲਰ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨਵੀਂ ਬਕਾਇਆ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
3. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ −8 ਅਤੇ 2 ਦਾ ਜੋੜ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਪਰ 8 ਅਤੇ −2 ਦਾ ਜੋੜ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਆਪਣੇ ਜੀਵਨ ਦੇ ਤਜਰਬੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿਓ।
6. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੱਸੋ।
7. −43=(−4)3−43=(−4)3 ਕਿਉਂ ਹੈ?
8. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
9. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?