ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਦਲਣ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਮਿਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਵਿਧੀ ਚੁਣਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 4.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਮੀਕਰਨ y=23x−4,y=23x−4 ਲਈ, ⓐ ਕੀ (6,0)(6,0) ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ? ⓑ ਕੀ (−3,−2)(−3,−2) ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 4.2
ਰੇਖਾ 3x−y=12.3x−y=12 ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.16 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 4.3
ਰੇਖਾ 2x−3y=12.2x−3y=12 ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.8 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਿਕ ਹਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ
ਜਦੋਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਿਕ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਕੰਮ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੱਡੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਬ੍ਰੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2x+y=7,2x+y=7, ਦਾ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਰ ਹੱਲ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (x,y)(x,y) ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (x,y).(x,y) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ (system) ਦਾ ਹੱਲ (solution) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਲਾਂ (variables) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ (values) ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਜੋੜੀ (ordered pair) ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਸਿੱਧ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉਸ ਪ੍ਰਬੰਧ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.1
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜਾ ਪ੍ਰਬੰਧ {x−y=−12x−y=−5.{x−y=−12x−y=−5. ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ⓐ (−2,−1)(−2,−1) ⓑ (−4,−3)(−4,−3)
ਹੱਲ
ⓐ
ⓑ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.1
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜਾ ਪ੍ਰਬੰਧ {3x+y=0x+2y=−5.{3x+y=0x+2y=−5. ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ⓐ (1,−3)(1,−3) ⓑ (0,0)(0,0)
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.2
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜਾ ਪ੍ਰਬੰਧ {x−3y=−8−3x−y=4.{x−3y=−8−3x−y=4. ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ⓐ (2,−2)(2,−2) ⓑ (−2,2)(−2,2)
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ (graphing) ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਵਿਧੀਆਂ (methods) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲੀ ਵਿਧੀ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਉਹ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਹ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਅਤੇ, ਉਹਨਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਕੀ ਹੈ, ਇਹ ਲੱਭ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਬੰਧ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭ ਲਵਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਚੱਲ (variable) ਵਾਲੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ (contradictions) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਰਬਸਮਤਾ (identities) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲਈ ਸਾਰੇ ਅੰਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ (plane) ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਦੋ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵਿਤ ਸਥਿਤੀਆਂ (cases) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਉਸੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਉੱਤੇ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰੋਗੇ ਕਿ ਇਸ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.2
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਬੰਧ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ {2x+y=7x−2y=6.{2x+y=7x−2y=6.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.3
1. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−3y=−3x+y=5.{x−3y=−3x+y=5.
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.4
3. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {−x+y=13x+2y=12.{−x+y=13x+2y=12.
4. ਇੱਥੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕਦਮ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
5. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
6. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7. ਕਦਮ 1. ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
8. ਕਦਮ 2. ਉਸੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
9. ਕਦਮ 3. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਜਾਂ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਹਨ।
10. ਕਦਮ 4. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
11. ਕਦਮ 5. ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
12. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਡੇ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਲਦੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਦੇਵੇਗਾ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 4.3
14. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+y=−12x+y=0.{3x+y=−12x+y=0.
15. ਹੱਲ
16. ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕੀਏ।
17. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
22. ਕਤਾਰ: ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। | ਰੇਖਾਵਾਂ (−1,2).(−1,2) 'ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ।
23. ਕਤਾਰ: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ (−1,2).(−1,2) ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.5
2. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {−x+y=12x+y=10.{−x+y=12x+y=10.
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.6
4. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=6x+y=1.{2x+y=6x+y=1.
5. ਹੁਣ ਤੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਸਨ ਅਤੇ ਹੱਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਸੀ। ਅਗਲੇ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 4.4
7. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=12x−3x−2y=4.{y=12x−3x−2y=4.
8. ਹੱਲ
9. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
10. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
11. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
12. ਕਤਾਰ: ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। | ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.7
14. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=−14x+2x+4y=−8.{y=−14x+2x+4y=−8.
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 4.8
16. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=3x−16x−2y=6.{y=3x−16x−2y=6.
17. ਕਈ ਵਾਰ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 4.5
19. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=2x−3−6x+3y=−9.{y=2x−3−6x+3y=−9.
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
24. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ! ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੰਤ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
If you write the second equation in slope-intercept form, you may recognize that the equations have the same slope and same y-intercept.
Try It 4.9
Solve the system by graphing: { y=−3x−66x+2y=−12.{ y=−3x−66x+2y=−12.
Try It 4.10
Solve the system by graphing: {y=12x−42x−4y=16.{y=12x−42x−4y=16.
When we graphed the second line in the last example, we drew it right over the first line. We say the two lines are coincident. Coincident lines have the same slope and same y-intercept.
Coincident Lines
Coincident lines have the same slope and same y-intercept.
The systems of equations in Example 4.2 and Example 4.3 each had two intersecting lines. Each system had one solution.
In Example 4.5, the equations gave coincident lines, and so the system had infinitely many solutions.
The systems in those three examples had at least one solution. A system of equations that has at least one solution is called a consistent system.
A system with parallel lines, like Example 4.4, has no solution. We call a system of equations like this inconsistent. It has no solution.
Consistent and Inconsistent Systems
A consistent system of equations is a system of equations with at least one solution.
An inconsistent system of equations is a system of equations with no solution.
We also categorize the equations in a system of equations by calling the equations independent or dependent. If two equations are independent, they each have their own set of solutions. Intersecting lines and parallel lines are independent.
If two equations are dependent, all the solutions of one equation are also solutions of the other equation. When we graph two dependent equations, we get coincident lines.
Let’s sum this up by looking at the graphs of the three types of systems. See below and Table 4.1.
row: Lines | Intersecting | Parallel | Coincident
row: Number of solutions | 1 point | No solution | Infinitely many
row: Consistent/inconsistent | Consistent | Inconsistent | Consistent
row: Dependent/ independent | Independent | Independent | Dependent
Example 4.6
Without graphing, determine the number of solutions and then classify the system of equations.
ⓐ {y=3x−16x−2y=12{y=3x−16x−2y=12 ⓑ {2x+y=−3x−5y=5{2x+y=−3x−5y=5
Solution
ⓐ We will compare the slopes and intercepts of the two lines.
row: The first equation is already in slope-intercept form. | {y=3x−16x−2y=12y=3x−1{y=3x−16x−2y=12y=3x−1
row: Write the second equation in slope-intercept form. | 6x−2y=12−2y=−6x+12−2y−2=−6x+12−2y=3x−66x−2y=12−2y=−6x+12−2y−2=−6x+12−2y=3x−6
row: Find the slope and intercept of each line. | y=3x−1y=3x−6m=3m=3b=−1b=−6y=3x−1y=3x−6m=3m=3b=−1b=−6
row: Since the slopes are the same and y-intercepts are different, the lines are parallel.
A system of equations whose graphs are parallel lines has no solution and is inconsistent and independent.
ⓑ We will compare the slope and intercepts of the two lines.
row: {2x+y=−3x−5y=5{2x+y=−3x−5y=5
row: Write both equations in slope–intercept form. | 2x+y=−3x−5y=5y=−2x−3−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−12x+y=−3x−5y=5y=−2x−3−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−1
row: Find the slope and intercept of each line. | y=−2x−3y=15x−1m=−2m=15b=−3b=−1y=−2x−3y=15x−1m=−2m=15b=−3b=−1
row: Since the slopes are different, the lines intersect.
A system of equations whose graphs are intersect has 1 solution and is consistent and independent.
Try It 4.11
Without graphing, determine the number of solutions and then classify the system of equations.
ⓐ {y=−2x−44x+2y=9{y=−2x−44x+2y=9 ⓑ {3x+2y=22x+y=1{3x+2y=22x+y=1
Try It 4.12
Without graphing, determine the number of solutions and then classify the system of equations.
ⓐ {y=13x−5x−3y=6{y=13x−5x−3y=6 ⓑ {x+4y=12−x+y=3{x+4y=12−x+y=3
Solving systems of linear equations by graphing is a good way to visualize the types of solutions that may result. However, there are many cases where solving a system by graphing is inconvenient or imprecise. If the graphs extend beyond the small grid with x and y both between −10−10 and 10, graphing the lines may be cumbersome. And if the solutions to the system are not integers, it can be hard to read their values precisely from a graph.
Solve a System of Equations by Substitution
We will now solve systems of linear equations by the substitution method.
We will use the same system we used first for graphing.
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਜਾਂ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਲ (variable) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ—ਪਰ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਵਿਕਲਪ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਏ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਚੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ!
ਇੱਕ ਚੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿਆਂਗੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.7
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ (substitution) ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (system) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=7x−2y=6.{2x+y=7x−2y=6.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.13
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {−2x+y=−11x+3y=9.{−2x+y=−11x+3y=9.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.14
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=−14x+3y=3.{2x+y=−14x+3y=3.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਕਦਮ 1 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਕਦਮ 3. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 4. ਦੂਜੇ ਚੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਦਮ 3 ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਕਦਮ 5. ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (ordered pair) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 6. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ (signs) ਦਾ ਬਹੁਤ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.8
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {4x+2y=46x−y=8.{4x+2y=46x−y=8.
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ −2x+2−2x+2 ਲਿਖੋ।
y ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ −2x+2.−2x+2 ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
y ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ 4x+2y=44x+2y=4 ਵਿੱਚ x=54x=54 ਲਿਖੋ।
ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (54,−12).(54,−12) ਹੈ।
ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਖੋ।
ਹੱਲ (54,−12).(54,−12) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.15
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−4y=−4−3x+4y=0.{x−4y=−4−3x+4y=0.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.16
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {4x−y=02x−3y=5.{4x−y=02x−3y=5.
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਅਤੇ ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਗੁਣਕ ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਹੱਲ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਿੰਨਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਤੀਜੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ (Elimination Method) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ। ਇਹ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਵੀ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉੱਥੇ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਤਰੀਕਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ (Elimination Method) ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣ (Addition Property of Equality) 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ। ਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਜੋੜ ਗੁਣ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅਜੇ ਵੀ ਸਮਾਨਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਜੋੜ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਇਹ ਕਹਿਣ ਲਈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਬਰਾਬਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ a, b, c, ਅਤੇ d ਲਈ।
ਹਟਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਟਾਉਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਗੁਣਕ ਵਿਰੋਧੀ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜ ਸਕੀਏ ਅਤੇ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕੀਏ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
y's ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਜੁੜ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ:
ਇਸ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਹੀਂ ਦੇਖਦੇ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ ਤੁਰੰਤ ਹਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਪਰ ਜੇ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −2,−2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾ ਦੇਵਾਂਗੇ। ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਹਰ ਪਦ ਨੂੰ −2.−2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਕ ਵਿਰੋਧੀ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ x ਹਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪਾ ਕੇ ਬਾਕੀ ਅਣਜਾਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਤੇ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਉਸੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.9
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {2x+y=7x−2y=6.{2x+y=7x−2y=6.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.17
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x+y=52x−3y=7.{3x+y=52x−3y=7.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.18
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: { 4x+y=−5−2x−2y=−2.{ 4x+y=−5−2x−2y=−2.
ਸੌਖੀ ਰੈਫਰੈਂਸ ਲਈ ਇੱਥੇ ਕਦਮ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੁਣਾਂਕ ਭਿੰਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿਓ।
ਕਦਮ 2. ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਓ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਅਣਜਾਣ ਹਟਾਓਗੇ। ਉਸ ਅਣਜਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਲਈ ਕਦਮ 2 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਕਦਮ 4. ਬਾਕੀ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਕਦਮ 4 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 6. ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 7. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ ਦੋਵੇਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਉਦਾਹਰਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.10
ਐਲੀਮੀਨੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {4x−3y=97x+2y=−6.{4x−3y=97x+2y=−6.
ਹੱਲ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਅਪਣਾਵਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ। y ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਸਤਰ: x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: x=0 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਤਰ: y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। | ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (0,−3) ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਹੱਲ (0,−3) ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.19
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: { 3x−4y=−95x+3y=14.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.20
ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: { 7x+8y=43x−5y=27.
ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ LCD ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.11
ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x+12y=632x+23y=172.
ਹੱਲ
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਹਨ। ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ LCD ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਤਰ: ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਉੱਪਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ -4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ y ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਜੋੜੋ। x=3 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
row: Solve for yy.
row: Write the solution as an ordered pair. | The ordered pair is (3,6).(3,6).
row: Check that the ordered pair is a solution toboth original equations.
row: The solution is (3,6).(3,6).
Try It 4.21
Solve each system by elimination: { 13x−12y=134x−y=52 .{ 13x−12y=134x−y=52 .
Try It 4.22
Solve each system by elimination: { x+35y=−15 −12x−23y=56 .{ x+35y=−15 −12x−23y=56 .
When we solved the system by graphing, we saw that not all systems of linear equations have a single ordered pair as a solution. When the two equations were really the same line, there were infinitely many solutions. We called that a consistent system. When the two equations described parallel lines, there was no solution. We called that an inconsistent system.
The same is true using substitution or elimination. If the equation at the end of substitution or elimination is a true statement, we have a consistent but dependent system and the system of equations has infinitely many solutions. If the equation at the end of substitution or elimination is a false statement, we have an inconsistent system and the system of equations has no solution.
Example 4.12
Solve the system by elimination: {3x+4y=12y=3−34x.{3x+4y=12y=3−34x.
Solution
row: {3x+4y=12y=3−34x{3x+4y=12y=3−34x
row: Write the second equation in standard form. | {3x+4y=1234x+y=3{3x+4y=1234x+y=3
row: Clear the fractions by multiplying the second equation by 4. | {3x+4y=124(34x+y)=4(3){3x+4y=124(34x+y)=4(3)
row: Simplify. | {3x+4y=123x+4y=12{3x+4y=123x+4y=12
row: To eliminate a variable, we multiply the second equation by −1. Simplify and add. | {3x+4y=12−3x−4y=−12______________0=0{3x+4y=12−3x−4y=−12______________0=0
This is a true statement. The equations are consistent but dependent. Their graphs would be the same line. The system has infinitely many solutions.
After we cleared the fractions in the second equation, did you notice that the two equations were the same? That means we have coincident lines.
Try It 4.23
Solve the system by elimination: { 5x−3y=15y=−5+53x.{ 5x−3y=15y=−5+53x.
Try It 4.24
Solve the system by elimination: { x+2y=6y=−12x+3.{ x+2y=6y=−12x+3.
Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations
When you solve a system of linear equations in in an application, you will not be told which method to use. You will need to make that decision yourself. So you’ll want to choose the method that is easiest to do and minimizes your chance of making mistakes.
Example 4.13
For each system of linear equations, decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {3x+8y=407x−4y=−32{3x+8y=407x−4y=−32 ⓑ {5x+6y=12y=23x−1{5x+6y=12y=23x−1
Solution
ⓐ
Since both equations are in standard form, using elimination will be most convenient.
ⓑ
Since one equation is already solved for y, using substitution will be most convenient.
Try It 4.25
For each system of linear equations decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {4x−5y=−323x+2y=−1{4x−5y=−323x+2y=−1 ⓑ {x=2y−13x−5y=−7{x=2y−13x−5y=−7
Try It 4.26
For each system of linear equations decide whether it would be more convenient to solve it by substitution or elimination. Explain your answer.
ⓐ {y=2x−13x−4y=−6{y=2x−13x−4y=−6 ⓑ {6x−2y=123x+7y=−13{6x−2y=123x+7y=−13
Practice Makes Perfect
Determine Whether an Ordered Pair is a Solution of a System of Equations
In the following exercises, determine if the following points are solutions to the given system of equations.
{ 2 x − 6 y = 0 3 x − 4 y = 5 { 2 x − 6 y = 0 3 x − 4 y = 5
ⓐ (3,1)(3,1) ⓑ (−3,4)(−3,4)
{ − 3 x + y = 8 − x + 2 y = −9 { − 3 x + y = 8 − x + 2 y = −9
ⓐ (−5,−7)(−5,−7) ⓑ (−5,7)(−5,7)
{ x + y = 2 y = 3 4 x { x + y = 2 y = 3 4 x
ⓐ (87,67)(87,67) ⓑ (1,34)(1,34)
{2x+3y=6y=23x+2{2x+3y=6y=23x+2ⓐ (−6,2)(−6,2) ⓑ (−3,4)(−3,4)
Solve a System of Linear Equations by Graphing
In the following exercises, solve the following systems of equations by graphing.
{ 3 x + y = −3 2 x + 3 y = 5 { 3 x + y = −3 2 x + 3 y = 5
{ − x + y = 2 2 x + y = −4 { − x + y = 2 2 x + y = −4
{ y = x + 2 y = −2 x + 2 { y = x + 2 y = −2 x + 2
{ y = x − 2 y = −3 x + 2 { y = x − 2 y = −3 x + 2
{ y = 3 2 x + 1 y = − 1 2 x + 5 { y = 3 2 x + 1 y = − 1 2 x + 5
{ y = 2 3 x − 2 y = − 1 3 x − 5 { y = 2 3 x − 2 y = − 1 3 x − 5
{ x + y = −4 − x + 2 y = −2 { x + y = −4 − x + 2 y = −2
{ − x + 3 y = 3 x + 3 y = 3 { − x + 3 y = 3 x + 3 y = 3
{ − 2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12 { − 2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12
{ 2 x − y = 4 2 x + 3 y = 12 { 2 x − y = 4 2 x + 3 y = 12
{ x + 3 y = −6 y = − 4 3 x + 4 { x + 3 y = −6 y = − 4 3 x + 4
{ − x + 2 y = −6 y = − 1 2 x − 1 { − x + 2 y = −6 y = − 1 2 x − 1
{ − 2 x + 4 y = 4 y = 1 2 x { − 2 x + 4 y = 4 y = 1 2 x
{ 3 x + 5 y = 10 y = − 3 5 x + 1 { 3 x + 5 y = 10 y = − 3 5 x + 1
{ 4 x − 3 y = 8 8 x − 6 y = 14 { 4 x − 3 y = 8 8 x − 6 y = 14
{ x + 3 y = 4 − 2 x − 6 y = 3 { x + 3 y = 4 − 2 x − 6 y = 3
{ x = −3 y + 4 2 x + 6 y = 8 { x = −3 y + 4 2 x + 6 y = 8
{ 4 x = 3 y + 7 8 x − 6 y = 14 { 4 x = 3 y + 7 8 x − 6 y = 14
{ 2 x + y = 6 − 8 x − 4 y = −24 { 2 x + y = 6 − 8 x − 4 y = −24
{ 5 x + 2 y = 7 − 10 x − 4 y = −14 { 5 x + 2 y = 7 − 10 x − 4 y = −14
Without graphing, determine the number of solutions and then classify the system of equations.
{ y = 2 3 x + 1 − 2 x + 3 y = 5 { y = 2 3 x + 1 − 2 x + 3 y = 5
{ y = 3 2 x + 1 2 x − 3 y = 7 { y = 3 2 x + 1 2 x − 3 y = 7
{ 5 x + 3 y = 4 2 x − 3 y = 5 { 5 x + 3 y = 4 2 x − 3 y = 5
{ y = − 1 2 x + 5 x + 2 y = 10 { y = − 1 2 x + 5 x + 2 y = 10
{ 5 x − 2 y = 10 y = 5 2 x − 5 { 5 x − 2 y = 10 y = 5 2 x − 5
Solve a System of Equations by Substitution
In the following exercises, solve the systems of equations by substitution.
{ 2 x + y = −4 3 x − 2 y = −6 { 2 x + y = −4 3 x − 2 y = −6
{ 2 x + y = −2 3 x − y = 7 { 2 x + y = −2 3 x − y = 7
{ x − 2 y = −5 2 x − 3 y = −4 { x − 2 y = −5 2 x − 3 y = −4
{ x − 3 y = −9 2 x + 5 y = 4 { x − 3 y = −9 2 x + 5 y = 4
{ 5 x − 2 y = −6 y = 3 x + 3 { 5 x − 2 y = −6 y = 3 x + 3
{ − 2 x + 2 y = 6 y = −3 x + 1 { − 2 x + 2 y = 6 y = −3 x + 1
{ 2 x + 5 y = 1 y = 1 3 x − 2 { 2 x + 5 y = 1 y = 1 3 x − 2
{ 3 x + 4 y = 1 y = − 2 5 x + 2 { 3 x + 4 y = 1 y = − 2 5 x + 2
{ 2 x + y = 5 x − 2 y = −15 { 2 x + y = 5 x − 2 y = −15
{ 4 x + y = 10 x − 2 y = −20 { 4 x + y = 10 x − 2 y = −20
{ y = −2 x − 1 y = − 1 3 x + 4 { y = −2 x − 1 y = − 1 3 x + 4
{ y = x − 6 y = − 3 2 x + 4 { y = x − 6 y = − 3 2 x + 4
{ x = 2 y 4 x − 8 y = 0 { x = 2 y 4 x − 8 y = 0
{ 2 x − 16 y = 8 − x − 8 y = −4 { 2 x − 16 y = 8 − x − 8 y = −4
{ y = 7 8 x + 4 − 7 x + 8 y = 6 { y = 7 8 x + 4 − 7 x + 8 y = 6
{ y = − 2 3 x + 5 2 x + 3 y = 11 { y = − 2 3 x + 5 2 x + 3 y = 11
Solve a System of Equations by Elimination
In the following exercises, solve the systems of equations by elimination.
{ 5 x + 2 y = 2 − 3 x − y = 0 { 5 x + 2 y = 2 − 3 x − y = 0
{ 6 x − 5 y = −1 2 x + y = 13 { 6 x − 5 y = −1 2 x + y = 13
{ 2 x − 5 y = 7 3 x − y = 17 { 2 x − 5 y = 7 3 x − y = 17
{ 5 x − 3 y = −1 2 x − y = 2 { 5 x − 3 y = −1 2 x − y = 2
{ 3 x − 5 y = −9 5 x + 2 y = 16 { 3 x − 5 y = −9 5 x + 2 y = 16
{ 4 x − 3 y = 3 2 x + 5 y = −31 { 4 x − 3 y = 3 2 x + 5 y = −31
{ 3 x + 8 y = −3 2 x + 5 y = −3 { 3 x + 8 y = −3 2 x + 5 y = −3
{ 11 x + 9 y = −5 7 x + 5 y = −1 { 11 x + 9 y = −5 7 x + 5 y = −1
{ 3 x + 8 y = 67 5 x + 3 y = 60 { 3 x + 8 y = 67 5 x + 3 y = 60
{ 2 x + 9 y = −4 3 x + 13 y = −7 { 2 x + 9 y = −4 3 x + 13 y = −7
{ 1 3 x − y = −3 x + 5 2 y = 2 { 1 3 x − y = −3 x + 5 2 y = 2
{ x + 1 2 y = 3 2 1 5 x − 1 5 y = 3 { x + 1 2 y = 3 2 1 5 x − 1 5 y = 3
{ x + 1 3 y = −1 1 3 x + 1 2 y = 1 { x + 1 3 y = −1 1 3 x + 1 2 y = 1
{ 1 3 x − y = −3 2 3 x + 5 2 y = 3 { 1 3 x − y = −3 2 3 x + 5 2 y = 3
{ 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9 { 2 x + y = 3 6 x + 3 y = 9
{ x − 4 y = −1 − 3 x + 12 y = 3 { x − 4 y = −1 − 3 x + 12 y = 3
{ − 3 x − y = 8 6 x + 2 y = −16 { − 3 x − y = 8 6 x + 2 y = −16
{ 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 10 { 4 x + 3 y = 2 20 x + 15 y = 10
Choose the Most Convenient Method to Solve a System of Linear Equations
In the following exercises, decide whether it would be more convenient to solve the system of equations by substitution or elimination.
ⓐ {8x−15y=−326x+3y=−5{8x−15y=−326x+3y=−5ⓑ {x=4y−34x−2y=−6{x=4y−34x−2y=−6
ⓐ {y=7x−53x−2y=16{y=7x−53x−2y=16ⓑ {12x−5y=−423x+7y=−15{12x−5y=−423x+7y=−15
ⓐ {y=4x+95x−2y=−21{y=4x+95x−2y=−21ⓑ {9x−4y=243x+5y=−14{9x−4y=243x+5y=−14
ⓐ {14x−15y=−307x+2y=10{14x−15y=−307x+2y=10ⓑ {x=9y−112x−7y=−27{x=9y−112x−7y=−27
Writing Exercises
In a system of linear equations, the two equations have the same intercepts. Describe the possible solutions to the system.
Solve the system of equations by substitution and explain all your steps in words: {3x+y=12x=y−8.{3x+y=12x=y−8.
Solve the system of equations by elimination and explain all your steps in words: {5x+4y=102x=3y+27.{5x+4y=102x=3y+27.
Solve the system of equations {x+y=10x−y=6{x+y=10x−y=6
ⓐ by graphing ⓑ by substitutionⓒ Which method do you prefer? Why?
Self Check
After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
If most of your checks were:
…confidently. Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.
…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help?Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?
…no - I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.