ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 5.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: (−2)(−2)(−2).(−2)(−2)(−2). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.19 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 5.5
ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 8x24y.8x24y. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 5.6
ਦਸ਼ਮਲਵ (−2.6)(4.21).(−2.6)(4.21) ਦਾ ਨਾਮ ਦੱਸੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.36 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵਿਅੰਜਨ am,am ਵਿੱਚ, ਘਾਤ m ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ a ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਲਈ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ।
ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਇਹ a ਦੀ mਵੀਂ ਘਾਤ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਿਅੰਜਨ am,am ਵਿੱਚ, ਘਾਤ m ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ a ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਘਾਤ ਨਾਲ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਘਾਤਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਈ ਵਾਰ ਆਧਾਰ ਵੀ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ?
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 5 ਘਾਤਾਂ, 2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ x2·x3x2·x3 ਨੂੰ x2+3x2+3 ਜਾਂ x5.x5 ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਆਧਾਰ ਉਹੀ ਰਿਹਾ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ। ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ
If a is a real number and m and n are integers, then
To multiply with like bases, add the exponents.
Example 5.12
Simplify each expression: ⓐ y5·y6y5·y6 ⓑ 2x·23x2x·23x ⓒ 2a7·3a.2a7·3a. ⓓ d4⋅ d5⋅ d2 d4⋅ d5⋅ d2
Solution
ⓐ
row: Use the Product Property, am·an=am+n.am·an=am+n.
row: Simplify.
ⓑ
row: Use the Product Property, am·an=am+n.am·an=am+n.
row: Simplify.
ⓒ
row: Rewrite, a=a1.a=a1.
row: Use the Commutative Property anduse the Product Property, am·an=am+n.am·an=am+n.
row: Simplify.
ⓓ
row: Add the exponents, since bases are the same.
row: Simplify.
Try It 5.23
Simplify each expression:
ⓐ b9·b8b9·b8 ⓑ 42x·4x42x·4x ⓒ 3p5·4p3p5·4p ⓓ x6·x4·x8.x6·x4·x8.
Try It 5.24
Simplify each expression:
ⓐ x12·x4x12·x4 ⓑ 10·10x10·10x ⓒ 2z·6z72z·6z7 ⓓ b5·b9·b5.b5·b9·b5.
Now we will look at an exponent property for division. As before, we’ll try to discover a property by looking at some examples.
row: Consider | x5x2x5x2 | and | x2x3x2x3
row: What do they mean? | x·x·x·x·xx·xx·x·x·x·xx·x | x·xx·x·xx·xx·x·x
row: Use the Equivalent Fractions Property. | x·x·x·x·xx·xx·x·x·x·xx·x | x·x·1x·x·xx·x·1x·x·x
row: Simplify. | x3x3 | 1x1x
Notice, in each case the bases were the same and we subtracted exponents. We see x5x2x5x2 is x5−2x5−2 or x3x3. We see x2x3x2x3 is or 1x.1x. When the larger exponent was in the numerator, we were left with factors in the numerator. When the larger exponent was in the denominator, we were left with factors in the denominator--notice the numerator of 1. When all the factors in the numerator have been removed, remember this is really dividing the factors to one, and so we need a 1 in the numerator. xx=1xx=1. This leads to the Quotient Property for Exponents.
Quotient Property for Exponents
If a is a real number, a≠0,a≠0, and m and n are integers, then
Example 5.13
Simplify each expression: ⓐ x9x7x9x7 ⓑ 3103231032 ⓒ b8b12b8b12 ⓓ 7375.7375.
Solution
To simplify an expression with a quotient, we need to first compare the exponents in the numerator and denominator.
ⓐ
row: Since 9>7,9>7, there are more factors of xx in the numerator.
row: Use Quotient Property, aman=am−n.aman=am−n.
row: Simplify.
ⓑ
row: Since 10>2,10>2, there are more factors of 33 in the numerator.
row: Use Quotient Property, aman=am−n.aman=am−n.
row: Simplify.
Notice that when the larger exponent is in the numerator, we are left with factors in the numerator.
ⓒ
row: Since 12>8,12>8, there are more factors of bb in the denominator.
row: Use Quotient Property, aman=1an−m.aman=1an−m.
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓓ
ਸਾਰਣੀ: ਕਿਉਂਕਿ 5>3, 5>3, ਹਾਰ ਵਿੱਚ 33 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਧੇਰੇ ਹਨ।
ਭਾਗ ਗੁਣ, aman=1an−m.aman=1an−m. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੱਡਾ ਘਾਤ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਾਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ 5.25 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ x15x10x15x10 ⓑ 6146561465 ⓒ x18x22x18x22 ⓓ 12151230.12151230.
ਇਸਨੂੰ 5.26 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ y43y37y43y37 ⓑ 10151071015107 ⓒ m7m15m7m15 ⓓ 98919.98919.
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਾਰ ਦੇ ਘਾਤ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ amam.amam. ਵਰਗੀ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, xx=1,,xx=1, ਕਿਸੇ ਵੀ x(x≠0)x(x≠0) ਲਈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਭਾਗ ਹੋ ਕੇ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਭਾਗ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ amam.amam. ਨੂੰ m>nm>n ਅਤੇ ਜਦੋਂ n<mn<m ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਕਿਵੇਂ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਜੇ m=n?m=n? ਅਸੀਂ amamamamam ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, a≠0:a≠0 ਲਈ:
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ amamamam, a0a0 ਅਤੇ 1 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ a0=1.a0=1। ਸਿਫਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਆਧਾਰ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਗੁਣ
ਜੇ a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ a0=1.a0=1।
ਜੇ a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਫਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ a, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਸਿਫਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਸੰਖਿਆ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਚੱਲ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਿਫਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਫਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.14
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ 9090 ⓑ n0.n0.
ਹੱਲ
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਿਫਰ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫਰ ਸੰਖਿਆ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ⓐ 90 ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।1 90 ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।1
ਬੀਟਾ ਨੋ ਸ਼ੂਨਯ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸ਼ੂਨਯ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, n ਨੂੰ ਸ਼ੂਨਯ ਘਾਤ ਤੱਕ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਸ਼ੂਨਯ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜਾ 1 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.27
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ਏ 110110 ਬੀ q0.q0.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.28
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ਏ 230230 ਬੀ r0.r0.
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਘਾਤਾਂਕ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੇ ਦੋ ਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤਾਂਕ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਵੱਡਾ ਹੈ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ। ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਘਾਤਾਂਕ ਨੂੰ ਘਟਾ ਦੇਈਏ, ਭਾਵੇਂ ਕੋਈ ਵੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ?
ਆਓ x2x5.x2x5 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਹਰ ਦੇ ਘਾਤਾਂਕ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਘਾਤਾਂਕ ਤੋਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x2x5x2x5, x2−5x2−5 ਜਾਂ x−3.x−3 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ x2x5x2x5 ਨੂੰ ਵੀ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ x−3=1x3x−3=1x3 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ a≠0,a≠0, ਤਾਂ a−n=1an.a−n=1an।
ਆਓ ਹੁਣ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਨਾਲ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: 1a−n1a−n
ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, a−n=1an.a−n=1an. | 11an11an
ਕਤਾਰ: ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 1·an11·an1
ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | anan
ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 1a−n=an1a−n=an ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪ ਹੈ।
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮ
ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ a≠0,a≠0, ਤਾਂ a−n=1ana−n=1an ਜਾਂ 1a−n=an.1a−n=an।
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਧਾਰ ਦਾ ਉਲਟ ਲੈ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਹੋਰ ਗੁਣ ਧਰਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਧਨਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਨਾਲ ਲਿਖਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਅਸੀਂ x−3,x−3, 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਦਮ ਚੁੱਕਾਂਗੇ ਅਤੇ 1x3.1x3 ਲਿਖਾਂਗੇ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਦੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਧਨਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.15
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ਏ x−5x−5 ਬੀ 10−310−3 ਸੀ 1y−41y−4 ਡੀ 13−2.13−2.
1. ਹੱਲ
2. ⓐ
3. ਕਤਾਰ: x−5x−5
4. ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 1x51x5
5. ⓑ
6. ਕਤਾਰ: 10−310−3
7. ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 11031103
8. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 1100011000
9. ⓒ
10. ਕਤਾਰ: 1y−41y−4
11. ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਦੇ ਗੁਣ, 1a−n=an.1a−n=an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | y4y4
12. ⓓ
13. ਕਤਾਰ: 13−213−2
14. ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਦੇ ਗੁਣ, 1a−n=an.1a−n=an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 3232
15. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 99
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.29
17. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ z−3z−3 ⓑ 10−710−7 ⓒ 1p−81p−8 ⓓ 14−3.14−3.
18. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.30
19. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ n−2n−2 ⓑ 10−410−4 ⓒ 1q−71q−7 ⓓ 12−4.12−4.
20. ਮੰਨ ਲਓ ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣ ਲਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕਾਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ।
21. ਕਤਾਰ: (34)−2(34)−2
22. ਕਤਾਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 1(34)21(34)2
23. ਕਤਾਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 19161916
24. ਕਤਾਰ: ਜਟਿਲ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 169169
ਸਤਰ: ਪਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 169169 (43)2.(43)2 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ | (34)−2=(43)2(34)−2=(43)2
ਮੂਲ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਨਤੀਜੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬੇਸ—ਭਿੰਨ—ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਲਿਆ ਅਤੇ ਘਾਤ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣਧਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦਾ ਭਾਗ ਗੁਣਧਰਮ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, a≠0,b≠0a≠0,b≠0 ਅਤੇ n ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 5.16
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (57)−2(57)−2 ⓑ (−xy)−3.(−xy)−3.
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: (57)−2(57)−2
ਸਤਰ: ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣਧਰਮ, (ab)−n=(ba)n.(ab)−n=(ba)n. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਲਓ ਅਤੇ ਘਾਤ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (75)2(75)2
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 49254925
ⓑ
ਸਤਰ: (−xy)−3(−xy)−3
ਸਤਰ: ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗ ਗੁਣਧਰਮ, (ab)−n=(ba)n.(ab)−n=(ba)n. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਲਓ ਅਤੇ ਘਾਤ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (−yx)3(−yx)3
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | −y3x3−y3x3
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.31
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (23)−4(23)−4 ⓑ (−mn)−2.(−mn)−2.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.32
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (35)−3(35)−3 ⓑ (−ab)−4.(−ab)−4.
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.17
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ z−5·z−3z−5·z−3 ⓑ (m4n−3)(m−5n−2)(m4n−3)(m−5n−2) ⓒ (2x−6y8)(−5x5y−3).(2x−6y8)(−5x5y−3).
ਹੱਲ
ⓐ
ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਗੁਣਾ ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -3ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਗੁਣਾ ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -3
ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ। | ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਜੋੜ -3ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਜੋੜ -3
ਸਰਲ ਕਰੋ। | ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -8ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -8
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 1 ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ 81 ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ 8
ⓑ
(ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 4 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -3)(ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -2)(ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 4 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -3)(ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -5 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -2)
ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਮਵਿਨਿਯਮ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 4 ਗੁਣਾ ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -5 · ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -2 ਗੁਣਾ ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -3ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 4 ਗੁਣਾ ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -5 · ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -2 ਗੁਣਾ ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -3
ਹਰੇਕ ਆਧਾਰ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -1 · ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -5ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ -1 · ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ -5
ਵਿਉਤਕ੍ਰਮ ਲਓ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲੋ। | 1 ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 1 · 1 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ 51 ਐਮ ਦੀ ਘਾਤ 1 · 1 ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ 5
ਸਰਲ ਕਰੋ। | 1 ਐਮ ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ 51 ਐਮ ਐਨ ਦੀ ਘਾਤ 5
ⓒ
(2x ਦੀ ਘਾਤ -6 y ਦੀ ਘਾਤ 8)(−5x ਦੀ ਘਾਤ 5 y ਦੀ ਘਾਤ -3)(2x ਦੀ ਘਾਤ -6 y ਦੀ ਘਾਤ 8)(−5x ਦੀ ਘਾਤ 5 y ਦੀ ਘਾਤ -3)
ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। | 2(−5) · (x ਦੀ ਘਾਤ -6 x ਦੀ ਘਾਤ 5) · (y ਦੀ ਘਾਤ 8 y ਦੀ ਘਾਤ -3)2(−5) · (x ਦੀ ਘਾਤ -6 x ਦੀ ਘਾਤ 5) · (y ਦੀ ਘਾਤ 8 y ਦੀ ਘਾਤ -3)
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਚੱਲ ਦੀ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | −10 · x ਦੀ ਘਾਤ -1 · y ਦੀ ਘਾਤ 5−10 · x ਦੀ ਘਾਤ -1 · y ਦੀ ਘਾਤ 5
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | −10 · 1x · y ਦੀ ਘਾਤ 5−10 · 1x · y ਦੀ ਘਾਤ 5
ਸਰਲ ਕਰੋ। | −10y5x−10y5x
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.33
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ:
ⓐ ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -4 · ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -4 · ਜ਼ੇਡ ਦੀ ਘਾਤ -5 ⓑ (p ਦੀ ਘਾਤ 6 q ਦੀ ਘਾਤ -2)(p ਦੀ ਘਾਤ -9 q ਦੀ ਘਾਤ -1)(p ਦੀ ਘਾਤ 6 q ਦੀ ਘਾਤ -2)(p ਦੀ ਘਾਤ -9 q ਦੀ ਘਾਤ -1) ⓒ (3u ਦੀ ਘਾਤ -5 v ਦੀ ਘਾਤ 7)(−4u ਦੀ ਘਾਤ 4 v ਦੀ ਘਾਤ -2).(3u ਦੀ ਘਾਤ -5 v ਦੀ ਘਾਤ 7)(−4u ਦੀ ਘਾਤ 4 v ਦੀ ਘਾਤ -2).
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 5.34
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ:
ⓐ ਸੀ ਦੀ ਘਾਤ -8 · ਸੀ ਦੀ ਘਾਤ -7ਸੀ ਦੀ ਘਾਤ -8 · ਸੀ ਦੀ ਘਾਤ -7 ⓑ (r ਦੀ ਘਾਤ 5 s ਦੀ ਘਾਤ -3)(r ਦੀ ਘਾਤ -7 s ਦੀ ਘਾਤ -5)(r ਦੀ ਘਾਤ 5 s ਦੀ ਘਾਤ -3)(r ਦੀ ਘਾਤ -7 s ਦੀ ਘਾਤ -5) ⓒ (−6c ਦੀ ਘਾਤ -6 d ਦੀ ਘਾਤ 4)(−5c ਦੀ ਘਾਤ -2 d ਦੀ ਘਾਤ -1).(−6c ਦੀ ਘਾਤ -6 d ਦੀ ਘਾਤ 4)(−5c ਦੀ ਘਾਤ -2 d ਦੀ ਘਾਤ -1).
1. ਹੁਣ ਆਓ ਆਪਾਂ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵੇਖੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਹੋਵੇ। ਕੋਈ ਆਮ ਗੁਣ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
2. (x2)3 ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? x2·x2·x2
3. ਕਤਾਰ: ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਕ ਹਨ?
4. ਕਤਾਰ: ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
5. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 6 ਘਾਤਾਂ, 2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (x2)3 (x2)3, x2·3 x2·3 ਜਾਂ x6 ਹੈ। x6।
6. ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਗੁਣ
8. ਜੇਕਰ 'a' ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 'm' ਅਤੇ 'n' ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ, ਤਾਂ
9. ਘਾਤ ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 5.18
11. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (y5)9 (y5)9 ⓑ (44)7 (44)7 ⓒ (y3)6 (y5)4. (y3)6 (y5)4.
12. ਹੱਲ
13. ⓐ
14. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (am)n=am·n. (am)n=am·n.
15. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
16. ⓑ
17. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
19. ⓒ
20. ਕਤਾਰ: (y3)6 (y5)4 (y3)6 (y5)4
21. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | y18·y20 y18·y20
22. ਕਤਾਰ: ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | y38 y38
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.35
24. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (b7)5 (b7)5 ⓑ (54)3 (54)3 ⓒ (a4)5 (a7)4. (a4)5 (a7)4.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.36
2. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (z6)9(z6)9 ⓑ (37)7(37)7 ⓒ (q4)5(q3)3.(q4)5(q3)3.
3. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ?
4. ਕਤਾਰ: (2x)3(2x)3
5. ਕਤਾਰ: ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? | 2x·2x·2x2x·2x·2x
6. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। | 2·2·2·x·x·x2·2·2·x·x·x
7. ਕਤਾਰ: 2 ਅਤੇ xx ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ? | 23·x323·x3
8. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ (2x)3(2x)3, 23·x3.23·x3 ਹੈ।
9. ਘਾਤ ਅੰਕ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ! ਇਹ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
10. ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ
11. ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ m ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ
12. ਕਿਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਉਸ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 5.19
14. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: ⓐ (−3mn)3(−3mn)3 ⓑ (−4a2b)0(−4a2b)0 ⓒ (6k3)−2(6k3)−2 ⓓ (5x−3)2.(5x−3)2.
15. ਹੱਲ
16. ⓐ
17. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm.
18. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
19. ⓑ
20. ਕਤਾਰ: (−4a2b)0(−4a2b)0
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | (−4)0(a2)0(b)0(−4)0(a2)0(b)0
22. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 1·1·11·1·1
23. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 11
24. ⓒ
1. ਸਤਰ: (6k3)−2(6k3)−2
2. ਸਤਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣ, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | (6)−2(k3)−2(6)−2(k3)−2
3. ਸਤਰ: ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਗੁਣ, (am)n=am·n.(am)n=am·n. | 6−2k−66−2k−6
4. ਸਤਰ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, a−n=1an.a−n=1an. | 162·1k6162·1k6
5. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 136k6136k6
6. ⓓ
7. ਸਤਰ: (5x−3)2(5x−3)2
8. ਸਤਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣ, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | 52(x−3)252(x−3)2
9. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 25·x−625·x−6
10. ਸਤਰ: x−6x−6 ਨੂੰ, a−n=1an.a−n=1an. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 25·1x625·1x6
11. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 25x625x6
12. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.37
13. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (2wx)5(2wx)5 ⓑ (−11pq3)0(−11pq3)0 ⓒ (2b3)−4(2b3)−4 ⓓ (8a−4)2.(8a−4)2.
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.38
15. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: ⓐ (−3y)3(−3y)3 ⓑ (−8m2n3)0(−8m2n3)0 ⓒ (−4x4)−2(−4x4)−2 ⓓ (2c−4)3.(2c−4)3.
16. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਵੇਗੀ।
17. ਸਤਰ: (xy)3(xy)3
18. ਸਤਰ: ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ | xy·xy·xyxy·xy·xy
19. ਸਤਰ: ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | x·x·xy·y·yx·x·xy·y·y
20. ਸਤਰ: ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖੋ। | x3y3x3y3
21. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
22. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (xy)3(xy)3, x3y3.x3y3 ਹੈ।
23. ਇਹ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਗੁਣ
1. ਜੇਕਰ 'ਆ' ਅਤੇ 'ਬੀ' ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ, ਬੀ≠0, ਅਤੇ 'ਐਮ' ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ
2. ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਉਸ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5.20
4. ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ:
5. ⓐ (ਬੀ3)4 ⓑ (ਕੀਜੇ)−3 ⓒ (2ਐਕਸਵਾਈ2ਜ਼ੈਡ)3 ⓓ (4ਪੀ−3ਕਿਊ2)2.
6. ਹੱਲ
7. ⓐ
8. ਕਤਾਰ: ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ਅਬ)ਐਮ=ਅਐਮਬੀਐਮ।
9. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
10. ⓑ
11. ਕਤਾਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ।
12. ਕਤਾਰ: ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
14. ⓒ
15. ਕਤਾਰ: (2ਐਕਸਵਾਈ2ਜ਼ੈਡ)3
16. ਕਤਾਰ: ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ਅਬ)ਐਮ=ਅਐਮਬੀਐਮ। | (2ਐਕਸਵਾਈ2)3ਜ਼ੈਡ3
17. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ਅਬ)ਐਮ=ਅਐਮਬੀਐਮ। | 8ਐਕਸ3ਵਾਈ6ਜ਼ੈਡ3
18. ⓓ
19. ਕਤਾਰ: (4ਪੀ−3ਕਿਊ2)2
20. ਕਤਾਰ: ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ਅਬ)ਐਮ=ਅਐਮਬੀਐਮ। | (4ਪੀ−3)2(ਕਿਊ2)2
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (ਅਬ)ਐਮ=ਅਐਮਬੀਐਮ। | 42(ਪੀ−3)2(ਕਿਊ2)2
22. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ, (ਅਐਮ)ਐਨ=ਅਐਮ·ਐਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 16ਪੀ−6ਕਿਊ4
23. ਕਤਾਰ: ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 16ਕਿਊ4·1ਪੀ6
24. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 16ਪੀ6ਕਿਊ4
Try It 5.39
Simplify each expression:
ⓐ (p10)4(p10)4 ⓑ (mn)−7(mn)−7 ⓒ (3ab3c2)4(3ab3c2)4 ⓓ (3x−2y3)3.(3x−2y3)3.
Try It 5.40
Simplify each expression:
ⓐ (−2q)3(−2q)3 ⓑ (wx)−4(wx)−4 ⓒ (xy33z2)2(xy33z2)2 ⓓ (2m−2n−2)3.(2m−2n−2)3.
We now have several properties for exponents. Let’s summarize them and then we’ll do some more examples that use more than one of the properties.
Summary of Exponent Properties
If a and b are real numbers, and m and n are integers, then
row: Property | Description
row: Product Property | am·an=am+nam·an=am+n
row: Power Property | (am)n=am·n(am)n=am·n
row: Product to a Power | (ab)m=ambm(ab)m=ambm
row: Quotient Property | aman=am−n,a≠0aman=am−n,a≠0
row: Zero Exponent Property | a0=1,a≠0a0=1,a≠0
row: Quotient to a Power Property | (ab)m=ambm,b≠0(ab)m=ambm,b≠0
row: Properties of Negative Exponents | a−n=1ana−n=1an and 1a−n=an1a−n=an
row: Quotient to a Negative Exponent | (ab)−n=(ba)n(ab)−n=(ba)n
Example 5.21
Simplify each expression by applying several properties:
ⓐ (3x2y)4(2xy2)3(3x2y)4(2xy2)3 ⓑ (x3)4(x−2)5(x6)5(x3)4(x−2)5(x6)5 ⓒ (2xy2x3y−2)2(12xy3x3y−1)−1.(2xy2x3y−2)2(12xy3x3y−1)−1.
Solution
ⓐ
row: (3x2y)4(2xy2)3(3x2y)4(2xy2)3
row: Use the Product to a Power Property, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | (34x8y4)(23x3y6)(34x8y4)(23x3y6)
row: Simplify. | (81x8y4)(8x3y6)(81x8y4)(8x3y6)
row: Use the Commutative Property. | 81·8·x8·x3·y4·y681·8·x8·x3·y4·y6
row: Multiply the constants and add the exponents. | 648x11y10648x11y10
ⓑ
row: (x3)4(x−2)5(x6)5(x3)4(x−2)5(x6)5
row: Use the Power Property, (am)n=am·n.(am)n=am·n. | (x12)(x−10)(x30)(x12)(x−10)(x30)
row: Add the exponents in the numerator. | x2x30x2x30
row: Use the Quotient Property, aman=1an−m.aman=1an−m. | 1x281x28
ⓒ
row: (2xy2x3y−2)2(12xy3x3y−1)−1(2xy2x3y−2)2(12xy3x3y−1)−1
row: Simplify inside the parentheses first. | (2y4x2)2(12y4x2)−1(2y4x2)2(12y4x2)−1
row: Use the Quotient to a Power Property, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | (2y4)2(x2)2(12y4)−1(x2)−1(2y4)2(x2)2(12y4)−1(x2)−1
row: Use the Product to a Power Property, (ab)m=ambm.(ab)m=ambm. | 4y8x4·12−1y−4x−24y8x4·12−1y−4x−2
row: Simplify. | 4y412x24y412x2
row: Simplify. | y43x2y43x2
Try It 5.41
Simplify each expression:
ⓐ (c4d2)5(3cd5)4(c4d2)5(3cd5)4 ⓑ (a−2)3(a2)4(a4)5(a−2)3(a2)4(a4)5 ⓒ (3xy2x2y−3)2(9xy−3x3y2)−1.(3xy2x2y−3)2(9xy−3x3y2)−1.
Try It 5.42
Simplify each expression:
ⓐ (a3b2)6(4ab3)4(a3b2)6(4ab3)4 ⓑ (p−3)4(p5)3(p7)6(p−3)4(p5)3(p7)6 ⓒ (4x3y2x2y−1)2(8xy−3x2y)−1.(4x3y2x2y−1)2(8xy−3x2y)−1.
Use Scientific Notation
Working with very large or very small numbers can be awkward. Since our number system is base ten we can use powers of ten to rewrite very large or very small numbers to make them easier to work with. Consider the numbers 4,000 and 0.004.
ਸਥਾਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 4,000 ਅਤੇ 0.004 ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 4,000 ਦਾ ਮਤਲਬ 4×1,000 ਹੈ ਅਤੇ 0.004 ਦਾ ਮਤਲਬ 4×1/1,000 ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 1,000 ਨੂੰ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਤਰ: 4,000 | 4×1,000 | 4×10³
ਸਤਰ: 0.004 | 4×1/1,000 | 4×1/10³ | 4×10⁻³
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਕ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ ਦਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਗੁਣਕ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
ਇਹ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ × ਗੁਣਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਰਿਵਾਜ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਹੋਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਕੀ ਹੋਇਆ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ 1 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਸਥਾਨ ਹਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ।
ਜਦੋਂ ਸੰਖਿਆ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: 4,000 = 4×10³
ਜਦੋਂ ਸੰਖਿਆ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: 0.004 = 4×10⁻³
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ।
ਕਦਮ 1. ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਿਲਾਓ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਕ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ ਦਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ।
ਕਦਮ 2. ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, n, ਜੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਗਿਣੋ।
ਕਦਮ 3. ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ 10ⁿ ਹੋਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਸ ਦੀ ਘਾਤ 10⁻ⁿ ਹੋਵੇਗੀ।
ਕਦਮ 4. ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.22
ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ 37,000 ⓑ 0.0052।
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ, 37,000, 1 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦਸ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਹੋਵੇਗੀ। | 37,000
ਸਤਰ: ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 3.7, ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜੋ 1 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਿਲਾਓ।
1. ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਹਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ।
2. 10 ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ਜਾਂਚ ਕਰੋ: 3.7×1043.7×10,00037,0003.7×1043.7×10,00037,000
4. ⓑ
5. ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ, 0.0052, 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 10 ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਹੋਵੇਗੀ। | 0.0052
6. ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 5.2 ਤੱਕ ਲਿਜਾਓ, ਜੋ ਕਿ 1 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
7. ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਹਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ।
8. 10 ਦੀ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9. ਜਾਂਚ ਕਰੋ:5.2×10−35.2×11035.2×110005.2×0.0010.0052ਜਾਂਚ ਕਰੋ:5.2×10−35.2×11035.2×110005.2×0.0010.0052
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.43
11. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ 96,000 ⓑ 0.0078।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.44
13. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ 48,300 ⓑ 0.0129।
14. ਅਸੀਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਤੋਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਆਓ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਅਤੇ ਸਮਝੀਏ।
15. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਤੋਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ 4 ਸਥਾਨ ਹਿੱਲਿਆ। ਜਦੋਂ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੀ, ਤਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਿੱਲਿਆ। ਜਦੋਂ ਘਾਤ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੀ, ਤਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹਿੱਲਿਆ।
17. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
18. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
19. ਕਦਮ 1. 10 ਦੇ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਘਾਤ, n, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
20. ਕਦਮ 2. ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ n ਸਥਾਨ ਹਿਲਾਓ, ਲੋੜ ਪੈਣ 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਜੋੜੋ। ਜੇਕਰ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ n ਸਥਾਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਿਲਾਓ। ਜੇਕਰ ਘਾਤ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ |n||n| ਸਥਾਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹਿਲਾਓ।
21. ਕਦਮ 3. ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 5.23
23. ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: ⓐ 6.2×1036.2×103 ⓑ −8.9×10−2.−8.9×10−2।
24. ਹੱਲ
1. ⓐ
2. ਕਤਾਰ: 10 ਦੇ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ, n, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਅੰਕ 3 ਹੈ।
4. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕ ਧਨ ਹੈ, ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 3 ਸਥਾਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ।
5. ਕਤਾਰ: ਸਥਾਨ-ਧਾਰਕਾਂ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋੜੋ।
6. ⓑ
7. ਕਤਾਰ: 10 ਦੇ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ, n, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। | ਘਾਤ ਅੰਕ −2 ਹੈ।
8. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕ ਰਿਣ ਹੈ, ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 2 ਸਥਾਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਓ।
9. ਕਤਾਰ: ਸਥਾਨ-ਧਾਰਕਾਂ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋੜੋ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.45
11. ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: ⓐ 1.3×103 1.3×103 ⓑ −1.2×10−4 −1.2×10−4.
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.46
13. ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ: ⓐ −9.5×104 −9.5×104 ⓑ 7.5×10−2 7.5×10−2.
14. ਜਦੋਂ ਵਿਗਿਆਨੀ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਿਖੇ ਬਿਨਾਂ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 5.24
16. ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ (−4×105)(2×10−7) (−4×105)(2×10−7) ⓑ 9×1033×10−2. 9×1033×10−2.
17. ਹੱਲ
18. ⓐ
19. ਕਤਾਰ: (−4×105)(2×10−7) (−4×105)(2×10−7)
20. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | −4·2·105·10−7 −4·2·105·10−7
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | −8×10−2 −8×10−2
22. ਕਤਾਰ: ਦਸ਼ਮਲਵ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੋ ਸਥਾਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾ ਕੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | −0.08 −0.08
23. ⓑ
24. ਕਤਾਰ: 9×1033×10−2 9×1033×10−2
1. ਪੰਗਤੀ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ, ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 93×10310−293×10310−2
1. ਕਤਾਰ: ਵੰਡੋ। | 3×1053×105
1. ਦਸਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਦਸਮਲਵ ਨੂੰ ਪੰਜ ਸਥਾਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲਿਜਾਓ। | 300,000300,000
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.47
1. ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਵਾਬ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:
1. ⓐ (9×1010) ⓑ 6.4×104
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
1. ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਵਾਬ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:
1. ⓐ (−0.03)(0.3)(−0.03)(0.3) ⓑ (8×10⁴)(2×10⁻¹) (8×10⁴)(2×10⁻¹)
1. ਘਾਤਾਂੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
1. ਨੈਗੇਟਿਵ ਘਾਤ
1. ਵਿਗਿਆਨਕ ਸੰਕੇਤ
1. ਅਭਿਆਸ ਪਰਿਪੂਰਨਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
1. ⓐ ਦ੍ਰਿੜਤਾ ⓑ ਅਨੁਭੂਤੀ ⓒ ਸਥਿਤੀ ⓓ ਵਿਸ਼ਵਾਸ
1. ⓐ ਚਾਰ ਵਾਰ ਦੋ ਵਾਰ ਚਾਰ ਵਾਰ ਦੋ ⓑ ਨੌਂ ਸੌ ਤਿੰਨ ਨੌਂ ਸੌ ਤਿੰਨ ⓒ ਤਿੰਨ ਸੌ ਪੰਜ ਸੌ ਤਿੰਨ ਸੌ ਪੰਜ ⓓ ਵਾਈ ਵਾਈ ਤਿੰਨ ਵਾਈ ਪੰਜ ਵਾਈ ਤਿੰਨ ਵਾਈ ਪੰਜ
1. ⓐ ਅਨੰਤ ਅਨੰਤ ⓑ ਤਿੰਨ ਤਿੰਨ ਤਿੰਨ ⓒ ਸੱਤ ਪੰਜ ਅੱਠ ਪੰਜ ਅੱਠ ⓓ ਅੱਖਰ ਅੱਖਰ ਅੱਖਰ ਅੱਖਰ
1. ⓐ ਸਤਿਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਸੈਤਾਨੁ ਵਸੈ ਮਨਿ, ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਪਾਪ ਕਮਾਵੈ। ⓑ ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਧਰਮੁ ਨ ਹੋਵੈ, ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਸੰਸਾਰੁ ਭ੍ਰਮਾਵੈ। ⓒ ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਗਿਆਨੁ ਨ ਪਾਈਐ, ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਮੁਕਤਿ ਨ ਪਾਵੈ। ⓓ ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਮਨੁ ਨ ਸੰਤੋਖੀਐ, ਗੁਰੂ ਬਿਨੁ ਮਰਿ ਮਰਿ ਜਾਵੈ।
ਮੈਂ ਹਾਂ, ਮੈਂ ਹਾਂ, ਮੈਂ ਹਾਂ।
1. ਨਯ · ਨ 2 ਨਯ · ਨ 2
1. ਯਾ · ਯਬ ਯਾ · ਯਬ
x ਪ · x ਕ · x ਪ · x ਕ
੧੮੩੧੮੩ ੫੧੨੫੩੫੧੨੫੩ ੧੮੩੬੧੮੩੬ ੧੦੨੧੦੩੧੦੨੧੦੩
੨੦੧੦੨੦੧੦ ੭੧੬੭੨੭੧੬੭੨ ੧੦੪੦੧੦੪੦ ੮੩੮੫੮੩੮੫
੨੧੭੨੧੭ ੪੧੬੪੪੪੧੬੪੪ ੮੮੯੯ ੪੪੬੪੪੬
੨੪੩੨੪੩ ੯੫੯੫੯੫੯੫ ੭੭੭੭ ੧੦੧੦੩੧੦੧੦੩
੨੦੦੨੦੦ ੦੦੦੦
੧੩੦੧੩੦ ੦੦੦੦
−੨੭੦−੨੭੦ −(੨੭੦)−(੨੭੦)
−੧੫੦−੧੫੦ −(੧੫੦)−(੧੫੦)
ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
a−੨a−੨ ੧੦−੩੧੦−੩ ੧c−੫੧c−੫ ੧੩−੨੧੩−੨
b−੪b−੪ ੧੦−੨੧੦−੨ ੧b−੩੧b−੩ ੧੫−੨੧੫−੨
r−੩r−੩ ੧੦−੫੧੦−੫ ੧q−੧੦੧q−੧੦ ੧੧੦−੩੧੧੦−੩
s−੮s−੮ ੧੦−੨੧੦−੨ ੧t−੯੧t−੯ ੧੧੦−੪੧੧੦−੪
(੫੮)−੨(੫੮)−੨ (−ba)−੨(−ba)−੨
(੩੧੦)−੨(੩੧੦)−੨ (−੨z)−੩(−੨z)−੩
(੪੯)−੩(੪੯)−੩ (−uv)−੫(−uv)−੫
(੭੨)−੩(੭੨)−੩ (−੩x)−੩(−੩x)−੩
(−੫)−੨(−੫)−੨ −੫−੨−੫−੨ (−੧੫)−੨(−੧੫)−੨ −(੧੫)−੨−(੧੫)−੨
−੫−੩−੫−੩ (−੧੫)−੩(−੧੫)−੩ −(੧੫)−੩−(੧੫)−੩ (−੫)−੩(−੫)−੩
੩·੫−੧੩·੫−੧ (੩·੫)−੧(੩·੫)−੧
੩·੪−੨੩·੪−੨ (੩·੪)−੨(੩·੪)−੨
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
b੪b−੮b੪b−੮ (w੪x−੫)(w−੨x−੪)(w੪x−੫)(w−੨x−੪) (−੬c−੩d੯)(੨c੪d−੫)(−੬c−੩d੯)(੨c੪d−੫)
1. ⓐ ਸ³·ਸ³ ⓑ (ਮਨ)(ਮਨ)(ਮਨ)(ਮਨ) ⓒ (ਕਜ)(ਕਜ)(ਕਜ)(ਕਜ)
2. ⓐ ਏ³·ਏ³ ⓑ (ਉਵ)(ਉਵ)(ਉਵ)(ਉਵ) ⓒ (ਰਸ)(ਰਸ)(ਰਸ)(ਰਸ)
3. ⓐ ਵਾਈ³·ਵਾਈ³ ⓑ (ਪਕ)(ਪਕ)(ਪਕ)(ਪਕ) ⓒ (ਮਨ)(ਮਨ)(ਮਨ)(ਮਨ)
4. ਪ³·ਪ⁻²·ਪ⁻⁴ ਪ³·ਪ⁻²·ਪ⁻⁴
5. ਐਕਸ⁴·ਐਕਸ⁻²·ਐਕਸ⁻³ ਐਕਸ⁴·ਐਕਸ⁻²·ਐਕਸ⁻³
6. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
7. ⓐ (ਮ⁴)²(ਮ⁴)² ⓑ (10³)⁶(10³)⁶ ⓒ (ਐਕਸ³)⁻⁴(ਐਕਸ³)⁻⁴
8. ⓐ (ਬੀ²)⁷(ਬੀ²)⁷ ⓑ (3⁸)²(3⁸)² ⓒ (ਕੇ²)⁻⁵(ਕੇ²)⁻⁵
9. ⓐ (ਵਾਈ³)ˣ(ਵਾਈ³)ˣ ⓑ (5ਐਕਸ)ʸ(5ਐਕਸ)ʸ ⓒ (ਕਿਊ⁶)⁻⁸(ਕਿਊ⁶)⁻⁸
10. ⓐ (ਐਕਸ²)ʸ(ਐਕਸ²)ʸ ⓑ (7ਏ)ᵇ(7ਏ)ᵇ ⓒ (ਏ⁹)⁻¹⁰(ਏ⁹)⁻¹⁰
11. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
12. ⓐ (−3ਐਕਸਵਾਈ)²(−3ਐਕਸਵਾਈ)² ⓑ (6ਏ)⁰(6ਏ)⁰ ⓒ (5ਐਕਸ²)⁻²(5ਐਕਸ²)⁻² ⓓ (−4ਵਾਈ⁻³) ²(−4ਵਾਈ⁻³) ²
13. ⓐ (−4ਏਬੀ)²(−4ਏਬੀ)² ⓑ (5ਐਕਸ)⁰(5ਐਕਸ)⁰ ⓒ (4ਵਾਈ³)⁻³(4ਵਾਈ³)⁻³ ⓓ (−7ਵਾਈ⁻³) ²(−7ਵਾਈ⁻³) ²
14. ⓐ (−5ਏਬੀ)³(−5ਏਬੀ)³ ⓑ (−4ਪੀਕਿਊ)⁰(−4ਪੀਕਿਊ)⁰ ⓒ (−6ਐਕਸ³)⁻²(−6ਐਕਸ³)⁻² ⓓ (3ਵਾਈ⁻⁴)²(3ਵਾਈ⁻⁴)²
15. ⓐ (−3ਐਕਸਵਾਈਜ਼)⁴(−3ਐਕਸਵਾਈਜ਼)⁴ ⓑ (−7ਐਮਐਨ)⁰(−7ਐਮਐਨ)⁰ ⓒ (−3ਐਕਸ³)⁻²(−3ਐਕਸ³)⁻² ⓓ (2ਵਾਈ⁻⁵)²(2ਵਾਈ⁻⁵)²
16. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
17. ⓐ (ਪੀ²)⁵(ਪੀ²)⁵ ⓑ (ਐਕਸਵਾਈ)⁻⁶(ਐਕਸਵਾਈ)⁻⁶ ⓒ (2ਐਕਸਵਾਈ²ਜ਼)³(2ਐਕਸਵਾਈ²ਜ਼)³ ⓓ (4ਪੀ⁻³ਕਿਊ²)²(4ਪੀ⁻³ਕਿਊ²)²
18. ⓐ (ਐਕਸ³)⁴(ਐਕਸ³)⁴ ⓑ (ਏਬੀ)⁻⁵(ਏਬੀ)⁻⁵ ⓒ (2ਐਕਸ²ਵਾਈ³ਜ਼²)²(2ਐਕਸ²ਵਾਈ³ਜ਼²)² ⓓ (ਐਕਸ³ਵਾਈਜ਼⁴)²(ਐਕਸ³ਵਾਈਜ਼⁴)²
19. ⓐ (ਏ³ਬੀ)⁴(ਏ³ਬੀ)⁴ ⓑ (5⁴ਐਮ)⁻²(5⁴ਐਮ)⁻² ⓒ (3ਏ⁻²ਬੀ³ਸੀ²)⁻²(3ਏ⁻²ਬੀ³ਸੀ²)⁻² ⓓ (ਪੀ⁻¹ਕਿਊ⁴ਆਰ⁻⁴)²(ਪੀ⁻¹ਕਿਊ⁴ਆਰ⁻⁴)²
20. ⓐ (ਐਕਸ²ਵਾਈ)³(ਐਕਸ²ਵਾਈ)³ ⓑ (10³ਕਿਊ)⁻⁴(10³ਕਿਊ)⁻⁴ ⓒ (2ਐਕਸ³ਵਾਈ⁴³ਜ਼²)⁵(2ਐਕਸ³ਵਾਈ⁴³ਜ਼²)⁵ ⓓ (5ਏ³ਬੀ⁻¹²ਸੀ⁴)⁻³(5ਏ³ਬੀ⁻¹²ਸੀ⁴)⁻³
21. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
22. ⓐ (5ਟੀ²)³(3ਟੀ)²(5ਟੀ²)³(3ਟੀ)² ⓑ (ਟੀ²)⁵(ਟੀ⁻⁴)²(ਟੀ³)⁷(ਟੀ²)⁵(ਟੀ⁻⁴)²(ਟੀ³)⁷ ⓒ (2ਐਕਸਵਾਈ²ਐਕਸ³ਵਾਈ⁻²)²(12ਐਕਸਵਾਈ³ਐਕਸ³ਵਾਈ⁻¹)⁻¹(2ਐਕਸਵਾਈ²ਐਕਸ³ਵਾਈ⁻²)²(12ਐਕਸਵਾਈ³ਐਕਸ³ਵਾਈ⁻¹)⁻¹
23. ⓐ (10ਕੇ⁴)³(5ਕੇ⁶)²(10ਕੇ⁴)³(5ਕੇ⁶)² ⓑ (ਕਿਊ³)⁶(ਕਿਊ⁻²)³(ਕਿਊ⁴)⁸(ਕਿਊ³)⁶(ਕਿਊ⁻²)³(ਕਿਊ⁴)⁸
24. ⓐ (ਮ²ਨ)²(2ਮਨ⁵)⁴(ਮ²ਨ)²(2ਮਨ⁵)⁴ ⓑ (−2ਪੀ⁻²)⁴(3ਪੀ⁴)²(−6ਪੀ³) ²(−2ਪੀ⁻²)⁴(3ਪੀ⁴)²(−6ਪੀ³) ²
ⓐ (3pq4)2(6p6q)2(3pq4)2(6p6q)2 ⓑ (−2k−3)2(6k2)4(9k4)2(−2k−3)2(6k2)4(9k4)2
Mixed Practice
In the following exercises, simplify each expression.
ⓐ 7n−17n−1 ⓑ (7n)−1(7n)−1 ⓒ (−7n)−1(−7n)−1
ⓐ 6r−16r−1 ⓑ (6r)−1(6r)−1 ⓒ (−6r)−1(−6r)−1
ⓐ (3p)−2(3p)−2 ⓑ 3p−23p−2 ⓒ −3p−2−3p−2
ⓐ (2q)−4(2q)−4 ⓑ 2q−42q−4 ⓒ −2q−4−2q−4
( x 2 ) 4 · ( x 3 ) 2 ( x 2 ) 4 · ( x 3 ) 2
( y 4 ) 3 · ( y 5 ) 2 ( y 4 ) 3 · ( y 5 ) 2
( a 2 ) 6 · ( a 3 ) 8 ( a 2 ) 6 · ( a 3 ) 8
( b 7 ) 5 · ( b 2 ) 6 ( b 7 ) 5 · ( b 2 ) 6
( 2 m 6 ) 3 ( 2 m 6 ) 3
( 3 y 2 ) 4 ( 3 y 2 ) 4
( 10 x 2 y ) 3 ( 10 x 2 y ) 3
( 2 m n 4 ) 5 ( 2 m n 4 ) 5
( −2 a 3 b 2 ) 4 ( −2 a 3 b 2 ) 4
( −10 u 2 v 4 ) 3 ( −10 u 2 v 4 ) 3
( 2 3 x 2 y ) 3 ( 2 3 x 2 y ) 3
( 7 9 p q 4 ) 2 ( 7 9 p q 4 ) 2
( 8 a 3 ) 2 ( 2 a ) 4 ( 8 a 3 ) 2 ( 2 a ) 4
( 5 r 2 ) 3 ( 3 r ) 2 ( 5 r 2 ) 3 ( 3 r ) 2
( 10 p 4 ) 3 ( 5 p 6 ) 2 ( 10 p 4 ) 3 ( 5 p 6 ) 2
( 4 x 3 ) 3 ( 2 x 5 ) 4 ( 4 x 3 ) 3 ( 2 x 5 ) 4
( 1 2 x 2 y 3 ) 4 ( 4 x 5 y 3 ) 2 ( 1 2 x 2 y 3 ) 4 ( 4 x 5 y 3 ) 2
( 1 3 m 3 n 2 ) 4 ( 9 m 8 n 3 ) 2 ( 1 3 m 3 n 2 ) 4 ( 9 m 8 n 3 ) 2
( 3 m 2 n ) 2 ( 2 m n 5 ) 4 ( 3 m 2 n ) 2 ( 2 m n 5 ) 4
( 2 p q 4 ) 3 ( 5 p 6 q ) 2 ( 2 p q 4 ) 3 ( 5 p 6 q ) 2
ⓐ (3x)2(5x)(3x)2(5x) ⓑ (2y)3(6y)(2y)3(6y)
ⓐ (12y2)3(23y)2(12y2)3(23y)2 ⓑ (12j2)5(25j3)2(12j2)5(25j3)2
ⓐ (2r−2)3(4−1r)2(2r−2)3(4−1r)2 ⓑ (3x−3)3(3−1x5)4(3x−3)3(3−1x5)4
( k −2 k 8 k 3 ) 2 ( k −2 k 8 k 3 ) 2
( j −2 j 5 j 4 ) 3 ( j −2 j 5 j 4 ) 3
( −4 m −3 ) 2 ( 5 m 4 ) 3 ( −10 m 6 ) 3 ( −4 m −3 ) 2 ( 5 m 4 ) 3 ( −10 m 6 ) 3
( −10 n −2 ) 3 ( 4 n 5 ) 2 ( 2 n 8 ) 2 ( −10 n −2 ) 3 ( 4 n 5 ) 2 ( 2 n 8 ) 2
Use Scientific Notation
In the following exercises, write each number in scientific notation.
ⓐ 57,000 ⓑ 0.026
ⓐ 340,000 ⓑ 0.041
ⓐ 8,750,000 ⓑ 0.00000871
ⓐ 1,290,000 ⓑ 0.00000103
In the following exercises, convert each number to decimal form.
ⓐ 5.2×1025.2×102 ⓑ 2.5×10−22.5×10−2
ⓐ −8.3×102−8.3×102 ⓑ 3.8×10−23.8×10−2
ⓐ 7.5×1067.5×106 ⓑ −4.13×10−5−4.13×10−5
ⓐ 1.6×10101.6×1010 ⓑ 8.43×10−68.43×10−6
In the following exercises, multiply or divide as indicated. Write your answer in decimal form.
ⓐ (3×10−5)(3×109)(3×10−5)(3×109) ⓑ 7×10−31×10−77×10−31×10−7
ⓐ (2×102)(1×10−4)(2×102)(1×10−4) ⓑ 5×10−21×10−105×10−21×10−10
1. ⓐ (7.1×10−2)(2.4×10−4)(7.1×10−2)(2.4×10−4) ⓑ 6×1043×10−26×1043×10−2
2. ⓐ (3.5×10−4)(1.6×10−2)(3.5×10−4)(1.6×10−2) ⓑ 8×1064×10−18×1064×10−1
3. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
4. ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ x·x=x2 ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਜੈਨੀਫ਼ਰ ਸੋਚਦੀ ਹੈ ਕਿ ਭਾਗਫਲ a24a6, a4 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਤਰਕ ਵਿੱਚ ਕੀ ਗਲਤੀ ਹੈ?
6. ਸਮਝਾਓ ਕਿ −53=(−5)3 ਕਿਉਂ ਹੈ ਪਰ −54≠(−5)4।
7. ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ?
8. ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
9. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਟੀਚਿਆਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?