Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Multiply monomials
Multiply a polynomial by a monomial
Multiply a binomial by a binomial
Multiply a polynomial by a polynomial
Multiply special products
Multiply polynomial functions
Be Prepared 5.7
Before you get started, take this readiness quiz.
Distribute: 2(x+3).2(x+3). If you missed this problem, review Example 1.50.
Be Prepared 5.8
Simplify: ⓐ 9292 ⓑ (−9)2(−9)2 ⓒ −92.−92. If you missed this problem, review Example 1.19.
Be Prepared 5.9
Evaluate: 2x2−5x+32x2−5x+3 for x=−2.x=−2. If you missed this problem, review Example 1.21.
Multiply Monomials
We are ready to perform operations on polynomials. Since monomials are algebraic expressions, we can use the properties of exponents to multiply monomials.
Example 5.25
Multiply: ⓐ (3x2)(−4x3)(3x2)(−4x3) ⓑ (56x3y)(12xy2).(56x3y)(12xy2).
Solution
ⓐ
row: (3x2)(−4x3)(3x2)(−4x3)
row: Use the Commutative Property to rearrange the terms. | 3·(−4)·x2·x33·(−4)·x2·x3
row: Multiply. | −12x5−12x5
ⓐ
56·12·x³·x·y·y²
56·12·x³·x·y·y²
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | 10x⁴y³
Try It 5.49
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ (5y⁷)(−7y⁴) ⓑ (25a⁴b³)(15ab³).
Try It 5.50
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ (−6b⁴)(−9b⁵) ⓑ (23r⁵s)(12r⁶s⁷).
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ (Distributive Property) ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
Example 5.26
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ −2y(4y²+3y−5) ⓑ 3x³y(x²−8xy+y²).
ਹੱਲ
ⓐ
ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ
3x³y(x²−8xy+y²)
ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। | 3x³y·x²+(3x³y)·(−8xy)+(3x³y)·y²
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | 3x⁵y−24x⁴y²+3x³y³
Try It 5.51
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ −3y(5y²+8y−7) ⓑ 4x²y²(3x²−5xy+3y²).
Try It 5.52
ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ 4x²(2x²−3x+5) ⓑ −6a³b(3a²−2ab+6b²).
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ (Distributive Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.27
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ (y+5)(y+8) ⓑ (4y+3)(2y−5).
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: (y+8) ਨੂੰ ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ⓑ
ਸਤਰ: ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.53
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ (x+8)(x+9) ⓑ (3c+4)(5c−2).
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.54
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ (5x+9)(4x+3) ⓑ (5y+2)(6y−3).
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਕਾਫ਼ੀ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹਰੇਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਪਦ ਬਾਹਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹਨ। ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਦੋ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ "ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ" ਨੂੰ FOIL ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੱਖਰ 'ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ' ਲਈ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਸ਼ਬਦ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੀਏ।
ਆਓ (x+3)(x+7) ਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਵਿਧੀਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ FOIL ਵਿਧੀ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਵਿਧੀ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹੋਰ ਬਹੁ-ਪਦੀਆਂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ!
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ FOIL ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਲਾਈਨਾਂ ਖਿੱਚਣ ਨਾਲ ਤੁਹਾਡੇ ਦਿਮਾਗ ਨੂੰ ਪੈਟਰਨ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
Now we will do an example where we use the FOIL pattern to multiply two binomials.
Example 5.28
Multiply: ⓐ (y−7)(y+4)(y−7)(y+4) ⓑ (4x+3)(2x−5).(4x+3)(2x−5).
Solution
ⓐ
ⓑ
Try It 5.55
Multiply: ⓐ (x−7)(x+5)(x−7)(x+5) ⓑ (3x+7)(5x−2).(3x+7)(5x−2).
Try It 5.56
Multiply: ⓐ (b−3)(b+6)(b−3)(b+6) ⓑ (4y+5)(4y−10).(4y+5)(4y−10).
The final products in the last example were trinomials because we could combine the two middle terms. This is not always the case.
Example 5.29
Multiply: ⓐ (n2+4)(n−1)(n2+4)(n−1) ⓑ (3pq+5)(6pq−11).(3pq+5)(6pq−11).
Solution
ⓐ
row: Step 1. Multiply the First terms.
row: Step 2. Multiply the Outer terms.
row: Step 3. Multiply the Inner terms.
row: Step 4. Multiply the Last terms.
row: Step 5. Combine like terms—there are none.
ⓑ
row: Step 1. Multiply the First terms.
row: Step 2. Multiply the Outer terms.
row: Step 3. Multiply the Inner terms.
row: Step 4. Multiply the Last terms.
row: Step 5. Combine like terms.
Try It 5.57
Multiply: ⓐ (x2+6)(x−8)(x2+6)(x−8) ⓑ (2ab+5)(4ab−4).(2ab+5)(4ab−4).
Try It 5.58
Multiply: ⓐ (y2+7)(y−9)(y2+7)(y−9) ⓑ (2xy+3)(4xy−5).(2xy+3)(4xy−5).
The FOIL method is usually the quickest method for multiplying two binomials, but it only works for binomials. You can use the Distributive Property to find the product of any two polynomials. Another method that works for all polynomials is the Vertical Method. It is very much like the method you use to multiply whole numbers. Look carefully at this example of multiplying two-digit numbers.
Now we’ll apply this same method to multiply two binomials.
Example 5.30
Multiply using the Vertical Method: (3y−1)(2y−6).(3y−1)(2y−6).
Solution
It does not matter which binomial goes on the top.
row: Multiply 3y−1by−6.3y−1by−6.Multiply 3y−1by2y.3y−1by2y.Add like terms. | 3y−1 ×2y−6___________ −18y+6 6y2−2y___________ 6y2−20y+63y−1 ×2y−6___________ −18y+6 6y2−2y___________ 6y2−20y+6 | partial productpartial productproduct
Notice the partial products are the same as the terms in the FOIL method.
Try It 5.59
Multiply using the Vertical Method: (5m−7)(3m−6).(5m−7)(3m−6).
Try It 5.60
Multiply using the Vertical Method: (6b−5)(7b−3).(6b−5)(7b−3).
We have now used three methods for multiplying binomials. Be sure to practice each method, and try to decide which one you prefer. The methods are listed here all together, to help you remember them.
Multiplying Two Binomials
To multiply binomials, use the:
Distributive Property
FOIL Method
Vertical Method
Multiply a Polynomial by a Polynomial
ਅਸੀਂ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ, ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ, ਅਤੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, FOIL ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਜਾਂ ਵਰਟੀਕਲ ਮੈਥਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.31
(b+3)(2b2−5b+8)(b+3)(2b2−5b+8) ਨੂੰ ⓐ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਅਤੇ ⓑ ਵਰਟੀਕਲ ਮੈਥਡ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ
ਸਤਰ: ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ⓑ ਘੱਟ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਘੱਟ ਅੰਸ਼ਕ ਗੁਣਨਫਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਸਤਰ: (2b2−5b+8)(2b2−5b+8) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (2b2−5b+8)(2b2−5b+8) ਨੂੰ b ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.61
(y−3)(y2−5y+2)(y−3)(y2−5y+2) ਨੂੰ ⓐ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਅਤੇ ⓑ ਵਰਟੀਕਲ ਮੈਥਡ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.62
(x+4)(2x2−3x+5)(x+4)(2x2−3x+5) ਨੂੰ ⓐ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਅਤੇ ⓑ ਵਰਟੀਕਲ ਮੈਥਡ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਦੇਖੇ ਹਨ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਹਰੇਕ ਤਰੀਕੇ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦਿਓਗੇ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਤਰੀਕੇ ਇੱਥੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹਨ, ਆਸਾਨ ਸੰਦਰਭ ਲਈ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ
ਵਰਟੀਕਲ ਮੈਥਡ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਉਦਾਹਰਨ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਘੱਟ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਤਿੰਨ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ?
ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਹਰੇਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੀ।
1. ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਇਹ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ?
2. ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੀ ਹੈ!
3. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
4. ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ? ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੋ ਅਤੇ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭੋ।
5. ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
6. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
7. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ "ਬਾਹਰੀ" ਅਤੇ "ਅੰਦਰੂਨੀ" ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ—ਜੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ! ਇਸ ਲਈ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ।
8. ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
9. ਸਭ ਕੁਝ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ:
10. ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ
11. ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
12. ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 5.32
14. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ (x+5)2(x+5)2 ⓑ (2x−3y)2.(2x−3y)2.
15. ਹੱਲ
16. ⓐ
17. ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
18. ਸਤਰ: ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
19. ਸਤਰ: ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰੋ।
20. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
21. ⓑ
22. ਸਤਰ: ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 5.63
ⓐ (x+9)⁴ ⓑ (2c−d)⁴
5.64
ⓐ (y+11)⁴ ⓑ (4x−5y)⁴
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਹੈ। ਪਰ ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਘਟਾਓ ਹੈ, ਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ (a−b),(a+b) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜੀ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜੀ (a−b),(a+b) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਘਟਾਓ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਨਮੂਨਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ FOIL ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤੁਹਾਡਾ ਕੰਮ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਕੁਝ ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੀਏ।
ਤੁਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?
ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਹੈ! FOIL ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਰਹੇ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਆਖਰੀ ਪਦ ਆਖਰੀ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਆਇਆ, ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ।
ਆਖਰੀ ਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਮੱਧ ਪਦ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ? FOIL ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਦੋ ਮੱਧ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਹਰ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 0 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਇੱਕ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਤੀਜਾ।
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹਮੇਸ਼ਾ a²−b² ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨਮੂਨੇ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਮੂਨਾ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਆਖਰੀ ਪਦ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ, ਇਸਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.33
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ⓐ (2x+5)(2x−5) ⓑ (5m−9n)(5m+9n)।
Solution
ⓐ
row: Are the binomials conjugates?
row: It is the product of conjugates.
row: Square the first term, 2x.2x.
row: Square the last term, 5.5.
row: Simplify. The product is a difference of squares.
ⓑ
row: This fits the pattern.
row: Use the pattern.
row: Simplify.
Try It 5.65
Multiply: ⓐ (6x+5)(6x−5)(6x+5)(6x−5) ⓑ (4p−7q)(4p+7q).(4p−7q)(4p+7q).
Try It 5.66
Multiply: ⓐ (2x+7)(2x−7)(2x+7)(2x−7) ⓑ (3x−y)(3x+y).(3x−y)(3x+y).
We just developed special product patterns for Binomial Squares and for the Product of Conjugates. The products look similar, so it is important to recognize when it is appropriate to use each of these patterns and to notice how they differ. Look at the two patterns together and note their similarities and differences.
Comparing the Special Product Patterns
row: Binomial Squares | Product of Conjugates
row: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2 | (a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a+b)=a2−b2
row: (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2
row: • Squaring a binomial | • Multiplying conjugates
row: • Product is a trinomial | • Product is a binomial.
row: • Inner and outer terms with FOIL are the same. | • Inner and outer terms with FOIL are opposites.
row: • Middle term is double the product of the terms | • There is no middle term.
Example 5.34
Choose the appropriate pattern and use it to find the product:
ⓐ (2x−3)(2x+3)(2x−3)(2x+3) ⓑ (8x−5)2(8x−5)2 ⓒ (6m+7)2(6m+7)2 ⓓ (5x−6)(6x+5).(5x−6)(6x+5).
Solution
ⓐ (2x−3)(2x+3)(2x−3)(2x+3)
These are conjugates. They have the same first numbers, and the same last numbers, and one binomial is a sum and the other is a difference. It fits the Product of Conjugates pattern.
row: Use the pattern.
row: Simplify.
ⓑ (8x−5)2(8x−5)2
We are asked to square a binomial. It fits the binomial squares pattern.
row: Use the pattern.
row: Simplify.
ⓒ (6m+7)2(6m+7)2
Again, we will square a binomial so we use the binomial squares pattern.
row: Use the pattern.
row: Simplify.
ⓓ (5x−6)(6x+5)(5x−6)(6x+5)
This product does not fit the patterns, so we will use FOIL.
(5x−6)(6x+5) Use FOIL.30x2+25x−36x−30 Simplify.30x2−11x−30 (5x−6)(6x+5) Use FOIL.30x2+25x−36x−30 Simplify.30x2−11x−30
Try It 5.67
Choose the appropriate pattern and use it to find the product:
ⓐ (9b−2)(2b+9)(9b−2)(2b+9) ⓑ (9p−4)2(9p−4)2 ⓒ (7y+1)2(7y+1)2 ⓓ (4r−3)(4r+3).(4r−3)(4r+3).
Try It 5.68
Choose the appropriate pattern and use it to find the product:
ⓐ (6x+7)2(6x+7)2 ⓑ (3x−4)(3x+4)(3x−4)(3x+4) ⓒ (2x−5)(5x−2)(2x−5)(5x−2) ⓓ (6n−1)2.(6n−1)2.
Multiply Polynomial Functions
Just as polynomials can be multiplied, polynomial functions can also be multiplied.
Multiplication of Polynomial Functions
For functions f(x)f(x) and g(x),g(x),
Example 5.35
For functions f(x)=x+2f(x)=x+2 and g(x)=x2−3x−4,g(x)=x2−3x−4, find: ⓐ (f·g)(x)(f·g)(x) ⓑ (f·g)(2).(f·g)(2).
Solution
ⓐ
row: (f·g)(x)=f(x)·g(x)(f·g)(x)=f(x)·g(x)
row: Substitute for f(x)andg(x).f(x)andg(x). | (f·g)(x)=(x+2)(x2−3x−4)(f·g)(x)=(x+2)(x2−3x−4)
row: Multiply the polynomials. | (f·g)(x)=x(x2−3x−4)+2(x2−3x−4)(f·g)(x)=x(x2−3x−4)+2(x2−3x−4)
row: Distribute. | (f·g)(x)=x3−3x2−4x+2x2−6x−8(f·g)(x)=x3−3x2−4x+2x2−6x−8
row: Combine like terms. | (f·g)(x)=x3−x2−10x−8(f·g)(x)=x3−x2−10x−8
ⓑ In part ⓐ we found (f·g)(x)(f·g)(x) and now are asked to find (f·g)(2).(f·g)(2).
row: (f·g)(x)=x3−x2−10x−8(f·g)(x)=x3−x2−10x−8
row: To find (f·g)(2),(f·g)(2), substitute x=2.x=2. | (f·g)(2)=23−22−10·2−8(f·g)(2)=23−22−10·2−8
row: (f·g)(2)=8−4−20−8(f·g)(2)=8−4−20−8
row: (f·g)(2)=−24(f·g)(2)=−24
Try It 5.69
For functions f(x)=x−5f(x)=x−5 and g(x)=x2−2x+3,g(x)=x2−2x+3, find ⓐ (f·g)(x)(f·g)(x) ⓑ (f·g)(2).(f·g)(2).
Try It 5.70
For functions f(x)=x−7f(x)=x−7 and g(x)=x2+8x+4,g(x)=x2+8x+4, find ⓐ (f·g)(x)(f·g)(x) ⓑ (f·g)(2).(f·g)(2).
Media
Access this online resource for additional instruction and practice with multiplying polynomials.
Introduction to special products of binomials
Practice Makes Perfect
Multiply Monomials
In the following exercises, multiply the monomials.
ⓐ (6y7)(−3y4)(6y7)(−3y4)ⓑ (47rs2)(14rs3)(47rs2)(14rs3)
ⓐ (−10x5)(−3x3)(−10x5)(−3x3)ⓑ (58x3y)(24x5y)(58x3y)(24x5y)
ⓐ (−8u6)(−9u)(−8u6)(−9u)ⓑ (23x2y)(34xy2)(23x2y)(34xy2)
ⓐ (−6c4)(−12c)(−6c4)(−12c)ⓑ (35m3n2)(59m2n3)(35m3n2)(59m2n3)
Multiply a Polynomial by a Monomial
In the following exercises, multiply.
ⓐ −8x(x2+2x−15)−8x(x2+2x−15)ⓑ 5pq3(p2−2pq+6q2)5pq3(p2−2pq+6q2)
ⓐ −5t(t2+3t−18);−5t(t2+3t−18);ⓑ 9r3s(r2−3rs+5s2)9r3s(r2−3rs+5s2)
ⓐ −8y(y2+2y−15)−8y(y2+2y−15)ⓑ −4y2z2(3y2+12yz−z2)−4y2z2(3y2+12yz−z2)
ⓐ −5m(m2+3m−18)−5m(m2+3m−18)ⓑ −3x2y2(7x2+10xy−y2)−3x2y2(7x2+10xy−y2)
Multiply a Binomial by a Binomial
In the following exercises, multiply the binomials using ⓐ the Distributive Property; ⓑ the FOIL method; ⓒ the Vertical Method.
( w + 5 ) ( w + 7 ) ( w + 5 ) ( w + 7 )
( y + 9 ) ( y + 3 ) ( y + 9 ) ( y + 3 )
( 4 p + 11 ) ( 5 p − 4 ) ( 4 p + 11 ) ( 5 p − 4 )
( 7 q + 4 ) ( 3 q − 8 ) ( 7 q + 4 ) ( 3 q − 8 )
In the following exercises, multiply the binomials. Use any method.
( x + 8 ) ( x + 3 ) ( x + 8 ) ( x + 3 )
( y − 6 ) ( y − 2 ) ( y − 6 ) ( y − 2 )
( 2 t − 9 ) ( 10 t + 1 ) ( 2 t − 9 ) ( 10 t + 1 )
( 6 p + 5 ) ( p + 1 ) ( 6 p + 5 ) ( p + 1 )
( q − 5 ) ( q + 8 ) ( q − 5 ) ( q + 8 )
( m + 11 ) ( m − 4 ) ( m + 11 ) ( m − 4 )
( 7 m + 1 ) ( m − 3 ) ( 7 m + 1 ) ( m − 3 )
( 3 r − 8 ) ( 11 r + 1 ) ( 3 r − 8 ) ( 11 r + 1 )
( x 2 + 3 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 3 ) ( x + 2 )
( y 2 − 4 ) ( y + 3 ) ( y 2 − 4 ) ( y + 3 )
( 5 a b − 1 ) ( 2 a b + 3 ) ( 5 a b − 1 ) ( 2 a b + 3 )
( 2 x y + 3 ) ( 3 x y + 2 ) ( 2 x y + 3 ) ( 3 x y + 2 )
( x 2 + 8 ) ( x 2 − 5 ) ( x 2 + 8 ) ( x 2 − 5 )
( y 2 − 7 ) ( y 2 − 4 ) ( y 2 − 7 ) ( y 2 − 4 )
( 6 p q − 3 ) ( 4 p q − 5 ) ( 6 p q − 3 ) ( 4 p q − 5 )
( 3 r s − 7 ) ( 3 r s − 4 ) ( 3 r s − 7 ) ( 3 r s − 4 )
Multiply a Polynomial by a Polynomial
In the following exercises, multiply using ⓐ the Distributive Property; ⓑ the Vertical Method.
( x + 5 ) ( x 2 + 4 x + 3 ) ( x + 5 ) ( x 2 + 4 x + 3 )
( u + 4 ) ( u 2 + 3 u + 2 ) ( u + 4 ) ( u 2 + 3 u + 2 )
( y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 ) ( y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 )
( a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 ) ( a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 )
( y 2 − 3 y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 ) ( y 2 − 3 y + 8 ) ( 4 y 2 + y − 7 )
( 2 a 2 − 5 a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 ) ( 2 a 2 − 5 a + 10 ) ( 3 a 2 + a − 5 )
Multiply Special Products
In the following exercises, multiply. Use either method.
( w − 7 ) ( w 2 − 9 w + 10 ) ( w − 7 ) ( w 2 − 9 w + 10 )
( p − 4 ) ( p 2 − 6 p + 9 ) ( p − 4 ) ( p 2 − 6 p + 9 )
( 3 q + 1 ) ( q 2 − 4 q − 5 ) ( 3 q + 1 ) ( q 2 − 4 q − 5 )
( 6 r + 1 ) ( r 2 − 7 r − 9 ) ( 6 r + 1 ) ( r 2 − 7 r − 9 )
In the following exercises, square each binomial using the Binomial Squares Pattern.
( w + 4 ) 2 ( w + 4 ) 2
( q + 12 ) 2 ( q + 12 ) 2
( 3 x − y ) 2 ( 3 x − y ) 2
( 2 y − 3 z ) 2 ( 2 y − 3 z ) 2
( y + 1 4 ) 2 ( y + 1 4 ) 2
( x + 2 3 ) 2 ( x + 2 3 ) 2
( 1 5 x − 1 7 y ) 2 ( 1 5 x − 1 7 y ) 2
( 1 8 x − 1 9 y ) 2 ( 1 8 x − 1 9 y ) 2
( 3 x 2 + 2 ) 2 ( 3 x 2 + 2 ) 2
( 5 u 2 + 9 ) 2 ( 5 u 2 + 9 ) 2
( 4 y 3 − 2 ) 2 ( 4 y 3 − 2 ) 2
( 8 p 3 − 3 ) 2 ( 8 p 3 − 3 ) 2
In the following exercises, multiply each pair of conjugates using the Product of Conjugates Pattern.
( 5 k + 6 ) ( 5 k − 6 ) ( 5 k + 6 ) ( 5 k − 6 )
( 8 j + 4 ) ( 8 j − 4 ) ( 8 j + 4 ) ( 8 j − 4 )
( 11 k + 4 ) ( 11 k − 4 ) ( 11 k + 4 ) ( 11 k − 4 )
( 9 c + 5 ) ( 9 c − 5 ) ( 9 c + 5 ) ( 9 c − 5 )
( 9 c − 2 d ) ( 9 c + 2 d ) ( 9 c − 2 d ) ( 9 c + 2 d )
( 7 w + 10 x ) ( 7 w − 10 x ) ( 7 w + 10 x ) ( 7 w − 10 x )
( m + 2 3 n ) ( m − 2 3 n ) ( m + 2 3 n ) ( m − 2 3 n )
( p + 4 5 q ) ( p − 4 5 q ) ( p + 4 5 q ) ( p − 4 5 q )
( a b − 4 ) ( a b + 4 ) ( a b − 4 ) ( a b + 4 )
( x y − 9 ) ( x y + 9 ) ( x y − 9 ) ( x y + 9 )
( 12 p 3 − 11 q 2 ) ( 12 p 3 + 11 q 2 ) ( 12 p 3 − 11 q 2 ) ( 12 p 3 + 11 q 2 )
( 15 m 2 − 8 n 4 ) ( 15 m 2 + 8 n 4 ) ( 15 m 2 − 8 n 4 ) ( 15 m 2 + 8 n 4 )
In the following exercises, find each product.
( p − 3 ) ( p + 3 ) ( p − 3 ) ( p + 3 )
( t − 9 ) 2 ( t − 9 ) 2
( m + n ) 2 ( m + n ) 2
( 2 x + y ) ( x − 2 y ) ( 2 x + y ) ( x − 2 y )
( 2 r + 12 ) 2 ( 2 r + 12 ) 2
( 3 p + 8 ) ( 3 p − 8 ) ( 3 p + 8 ) ( 3 p − 8 )
( 7 a + b ) ( a − 7 b ) ( 7 a + b ) ( a − 7 b )
( k − 6 ) 2 ( k − 6 ) 2
( a 5 − 7 b ) 2 ( a 5 − 7 b ) 2
( x 2 + 8 y ) ( 8 x − y 2 ) ( x 2 + 8 y ) ( 8 x − y 2 )
( r 6 + s 6 ) ( r 6 − s 6 ) ( r 6 + s 6 ) ( r 6 − s 6 )
( y 4 + 2 z ) 2 ( y 4 + 2 z ) 2
( x 5 + y 5 ) ( x 5 − y 5 ) ( x 5 + y 5 ) ( x 5 − y 5 )
( m 3 − 8 n ) 2 ( m 3 − 8 n ) 2
( 9 p + 8 q ) 2 ( 9 p + 8 q ) 2
( r 2 − s 3 ) ( r 3 + s 2 ) ( r 2 − s 3 ) ( r 3 + s 2 )
Mixed Practice
(10y − 6) + (4y − 7)
(15p − 4) + (3p − 5)
(x² − 4x − 34) − (x² + 7x − 6)
(j² − 8j − 27) − (j² + 2j − 12)
(15f⁸)(20f³)
(14d⁵)(36d²)
(4a³b)(9a²b⁶)
(6m⁴n³)(7mn⁵)
−5m(m² + 3m − 18)
5q³(q² − 2q + 6)
(s − 7)(s + 9)
(y² − 2y)(y + 1)
(5x − y)(x − 4)
(6k − 1)(k² + 2k − 4)
(3x − 11y)(3x − 11y)
(11 − b)(11 + b)
(rs − 27)(rs + 27)
(2x² − 3y⁴)(2x² + 3y⁴)
(m − 15)²
(3d + 1)²
(4a + 10)²
(3z + 15)²
ਬਹੁਪਦ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ
ਜੇਕਰ ਫਲਨ f(x)=x+2 ਅਤੇ g(x)=3x²−2x+4 ਹੋਣ, ਤਾਂ ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. f(x)=x−1 ਅਤੇ g(x)=4x2+3x−5 ਲਈ, ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(−2) ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. f(x)=2x−7 ਅਤੇ g(x)=2x+7 ਲਈ, ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(−3) ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. f(x)=7x−8 ਅਤੇ g(x)=7x+8 ਲਈ, ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(−2) ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. f(x)=x2−5x+2 ਅਤੇ g(x)=x2−3x−1 ਲਈ, ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. f(x)=x2+4x−3 ਅਤੇ g(x)=x2+2x+4 ਲਈ, ⓐ (f·g)(x) ਅਤੇ ⓑ (f·g)(1) ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
7. ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹੋ: ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਜਾਂ FOIL ਵਿਧੀ? ਕਿਉਂ? ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਬਹੁ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹੋ: ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਜਾਂ ਵਰਟੀਕਲ ਵਿਧੀ? ਕਿਉਂ?
8. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
9. ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( y + 7 ) ( y − 7 ) ( w + 5 ) ( w − 5 )
10. ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਉਸਨੂੰ ਸਮਝਾਓ।
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
12. ( p + 3 ) ( p + 3 ) ( q + 6 ) ( q + 6 ) ( r + 1 ) ( r + 1 )
13. ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਉਸਨੂੰ ਸਮਝਾਓ।
14. (a+b)2 ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਕਿਉਂ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਪਰ (a−b)(a+b) ਦੋ-ਪਦੀ ਕਿਉਂ ਬਣਦਾ ਹੈ?
15. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
16. ⓐ ਅਭਿਆਸ ਪੂਰੇ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?