ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਤਿਆਰ ਹੋਵੋ 7.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 35910.35910। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.27 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਹੋਵੋ 7.8
ਸਰਲ ਕਰੋ: 1−1342+4·5। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.31 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਹੋਵੋ 7.9
ਹੱਲ ਕਰੋ: 12x+14=18। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.9 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਟਿਲ ਭਿੰਨ ਉਹ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹੋ ਜਿਹੀਆਂ ਜਟਿਲ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਹੈ:
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ।
ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ:
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਕਿ ਭਿੰਨ ਬਾਰ ਸਾਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਭਾਗ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਈਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.24
6x−4 ਨੂੰ 3x^2−16 ਨਾਲ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 6x−43x^2−16
ਸਤਰ: ਜਟਿਲ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 6x−4÷3x^2−16
ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 6x−4·x^2−163
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 3·2x−4·(x−4)(x+4)3
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 3·2(x−4)(x+4)3(x−4)
ਸਤਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਟਾਓ। | 3·2(x−4)(x+4)3(x−4)
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 2(x+4)
ਕੀ x ਦੇ ਕੋਈ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ? ਮੂਲ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰ x−4 ਅਤੇ x^2−16 ਸਨ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ x=4 ਜਾਂ x=−4 ਹੋਵੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.47
6x−4 ਨੂੰ 3x^2−16 ਨਾਲ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.48
1x^2−7x+12 ਨੂੰ 2x−4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਭਿੰਨ ਬਾਰ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.25
13+16 ਨੂੰ 12−13 ਨਾਲ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ LCD ਲੱਭੋ। ਹਰ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ LCD ਲੱਭੋ।
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਜਟਿਲ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਪਹਿਲੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 3
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.49
੧੨+੨੩੫੬+੧੧੨.੨੩੫੬+੧੧੨.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ ੭.੫੦
ਸਰਲ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ: ੩੪−੧੩੧੮+੫੬.੩੪−੧੩੧੮+੫੬.
ਜਦੋਂ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਚਲ (variable) ਹੋਣ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਓਹੀ ਵਿਧੀ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਣ ੭.੨੬
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਸਰਲ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ: ੧x+੧yxy−yx.੧x+੧yxy−yx.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ ੭.੫੧
ਸਰਲ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ: ੧x+੧y੧x−੧y.੧x+੧y੧x−੧y.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ ੭.੫੨
ਸਰਲ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ: ੧a+੧b੧a^੨−੧b^੨.
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰੰਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ ੧. ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ ੨. ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ ੩. ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਉਦਾਹਰਣ ੭.੨੭
ਸਰਲ ਕਰੋ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ: n−੪nn+੫੧n+੫+੧n−੫.n−੪nn+੫੧n+੫+੧n−੫.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (common denominators) ਲੱਭੋ।
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ। (ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ।)
ਭਿੰਨ ਵੰਡ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਪਹਿਲੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਸਾਂਝੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.53
ਇਸਨੂੰ ਵੰਡ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: b−3bb+52b+5+1b−5.b−3bb+52b+5+1b−5.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.54
ਇਸਨੂੰ ਵੰਡ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: 1−3c+41c+4+c3.1−3c+41c+4+c3.
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ "ਸਾਫ਼" ਕੀਤਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ। ਅਸੀਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ LCD ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਆਓ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.25 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ LCDLCDLCDLCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.28
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: 13+1612−13.13+1612−13.
ਹੱਲ
ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਲਈ LCD ਪੂਰੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ 6 ਹੈ।
ਉਸ LCD ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਵੰਡੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.55
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: 12+15110+15.12+15110+15.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 7.56
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ: 14+3812−516.14+3812−516.
ਅਸੀਂ ਉਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਰਤਾਂਗੇ ਜੋ ਉਦਾਹਰਨ 7.26 ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਬਿਹਤਰ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.29
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 1x+1yxy−yx.1x+1yxy−yx.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.57
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 1a+1bab+ba.1a+1bab+ba.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.58
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 1x2−1y21x+1y.1x2−1y21x+1y.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 1. ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ LCD ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 2. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ LCD ਲੱਭ ਸਕੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.30
LCD ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ: 2x+64x−6−4x2−36.2x+64x−6−4x2−36.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ LCD ਲੱਭੋ। LCD x2−36=(x+6)(x−6)x2−36=(x+6)(x−6) ਹੈ।
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
row: To simplify the denominator, distributeand combine like terms.
row: Factor the denominator.
row: Remove common factors.
row: Simplify.
row: Notice that there are no more factorscommon to the numerator and denominator.
Try It 7.59
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 3x+25x−2−3x2−4.3x+25x−2−3x2−4.
Try It 7.60
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 2x−7−1x+76x+7−1x2−49.2x−7−1x+76x+7−1x2−49.
Be sure to factor the denominators first. Proceed carefully as the math can get messy!
Example 7.31
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 4m2−7m+123m−3−2m−4.4m2−7m+123m−3−2m−4.
Solution
row: Find the LCD of all fractions in thecomplex rational expression.
row: The LCD is (m−3)(m−4).(m−3)(m−4).
row: Multiply the numerator anddenominator by the LCD.
row: Simplify.
row: Simplify.
row: Distribute.
row: Combine like terms.
Try It 7.61
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 3x2+7x+104x+2+1x+5.3x2+7x+104x+2+1x+5.
Try It 7.62
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 4yy+5+2y+63yy2+11y+30.4yy+5+2y+63yy2+11y+30.
Example 7.32
Simplify the complex rational expression by using the LCD: yy+11+1y−1.yy+11+1y−1.
Solution
row: Find the LCD of all fractions in the complex rational expression.
row: The LCD is (y+1)(y−1).(y+1)(y−1).
row: Multiply the numerator and denominator by the LCD.
row: Distribute in the denominator and simplify.
row: Simplify.
row: Simplify the denominator and leave thenumerator factored.
row: Factor the denominator and remove factorscommon with the numerator.
row: Simplify.
Try It 7.63
Simplify the complex rational expression by using the LCD: xx+31+1x+3.xx+31+1x+3.
Try It 7.64
Simplify the complex rational expression by using the LCD: 1+1x−13x+1.1+1x−13x+1.
Media
Access this online resource for additional instruction and practice with complex fractions.
Complex Fractions
Practice Makes Perfect
Simplify a Complex Rational Expression by Writing it as Division
In the following exercises, simplify each complex rational expression by writing it as division.
2 a a + 4 4 a 2 a 2 − 16 2 a a + 4 4 a 2 a 2 − 16
3 b b − 5 b 2 b 2 − 25 3 b b − 5 b 2 b 2 − 25
5 c 2 + 5 c − 14 10 c + 7 5 c 2 + 5 c − 14 10 c + 7
8 d 2 + 9 d + 18 12 d + 6 8 d 2 + 9 d + 18 12 d + 6
1 2 + 5 6 2 3 + 7 9 1 2 + 5 6 2 3 + 7 9
1 2 + 3 4 3 5 + 7 10 1 2 + 3 4 3 5 + 7 10
2 3 − 1 9 3 4 + 5 6 2 3 − 1 9 3 4 + 5 6
1 2 − 1 6 2 3 + 3 4 1 2 − 1 6 2 3 + 3 4
n m + 1 n 1 n − n m n m + 1 n 1 n − n m
1 p + p q q p − 1 q 1 p + p q q p − 1 q
1 r + 1 t 1 r 2 − 1 t 2 1 r + 1 t 1 r 2 − 1 t 2
2 v + 2 w 1 v 2 − 1 w 2 2 v + 2 w 1 v 2 − 1 w 2
x − 2 x x + 3 1 x + 3 + 1 x − 3 x − 2 x x + 3 1 x + 3 + 1 x − 3
y − 2 y y − 4 2 y − 4 + 2 y + 4 y − 2 y y − 4 2 y − 4 + 2 y + 4
2 − 2 a + 3 1 a + 3 + a 2 2 − 2 a + 3 1 a + 3 + a 2
4 + 4 b − 5 1 b − 5 + b 4 4 + 4 b − 5 1 b − 5 + b 4
Simplify a Complex Rational Expression by Using the LCD
In the following exercises, simplify each complex rational expression by using the LCD.
1 3 + 1 8 1 4 + 1 12 1 3 + 1 8 1 4 + 1 12
1 4 + 1 9 1 6 + 1 12 1 4 + 1 9 1 6 + 1 12
5 6 + 2 9 7 18 − 1 3 5 6 + 2 9 7 18 − 1 3
1 6 + 4 15 3 5 − 1 2 1 6 + 4 15 3 5 − 1 2
c d + 1 d 1 d − d c c d + 1 d 1 d − d c
1 m + m n n m − 1 n 1 m + m n n m − 1 n
1 p + 1 q 1 p 2 − 1 q 2 1 p + 1 q 1 p 2 − 1 q 2
2 r + 2 t 1 r 2 − 1 t 2 2 r + 2 t 1 r 2 − 1 t 2
2 x + 5 3 x − 5 + 1 x 2 − 25 2 x + 5 3 x − 5 + 1 x 2 − 25
5 y − 4 3 y + 4 + 2 y 2 − 16 5 y − 4 3 y + 4 + 2 y 2 − 16
5 z 2 − 64 + 3 z + 8 1 z + 8 + 2 z − 8 5 z 2 − 64 + 3 z + 8 1 z + 8 + 2 z − 8
3 s + 6 + 5 s − 6 1 s 2 − 36 + 4 s + 6 3 s + 6 + 5 s − 6 1 s 2 − 36 + 4 s + 6
4 a 2 − 2 a − 15 1 a − 5 + 2 a + 3 4 a 2 − 2 a − 15 1 a − 5 + 2 a + 3
5 b 2 − 6 b − 27 3 b − 9 + 1 b + 3 5 b 2 − 6 b − 27 3 b − 9 + 1 b + 3
5 c + 2 − 3 c + 7 5 c c 2 + 9 c + 14 5 c + 2 − 3 c + 7 5 c c 2 + 9 c + 14
6 d − 4 − 2 d + 7 2 d d 2 + 3 d − 28 6 d − 4 − 2 d + 7 2 d d 2 + 3 d − 28
2 + 1 p − 3 5 p − 3 2 + 1 p − 3 5 p − 3
n n − 2 3 + 5 n − 2 n n − 2 3 + 5 n − 2
m m + 5 4 + 1 m − 5 m m + 5 4 + 1 m − 5
7 + 2 q − 2 1 q + 2 7 + 2 q − 2 1 q + 2
In the following exercises, simplify each complex rational expression using either method.
3 4 − 2 7 1 2 + 5 14 3 4 − 2 7 1 2 + 5 14
v w + 1 v 1 v − v w v w + 1 v 1 v − v w
2 a + 4 1 a 2 − 16 2 a + 4 1 a 2 − 16
3 b 2 − 3 b − 40 5 b + 5 − 2 b − 8 3 b 2 − 3 b − 40 5 b + 5 − 2 b − 8
3 m + 3 n 1 m 2 − 1 n 2 3 m + 3 n 1 m 2 − 1 n 2
2 r − 9 1 r + 9 + 3 r 2 − 81 2 r − 9 1 r + 9 + 3 r 2 − 81
x − 3 x x + 2 3 x + 2 + 3 x − 2 x − 3 x x + 2 3 x + 2 + 3 x − 2
y y + 3 2 + 1 y − 3 y y + 3 2 + 1 y − 3
Writing Exercises
In this section, you learned to simplify the complex fraction 3x+2xx2−43x+2xx2−4 two ways: rewriting it as a division problem or multiplying the numerator and denominator by the LCD. Which method do you prefer? Why?
Efraim wants to start simplifying the complex fraction 1a+1b1a−1b1a+1b1a−1b by cancelling the variables from the numerator and denominator, 1a+1b1a−1b.1a+1b1a−1b. Explain what is wrong with Efraim’s plan.
Self Check
ⓐ ਅਭਿਆਸ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨ ਉਪਰੰਤ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਉਪਰੰਤ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?