ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.22
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2x−3=0. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.23
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2y2+y=15. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.45 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 9.24
ਹੱਲ ਕਰੋ 1x2+2x−8>0 ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.56 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖੀ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਸਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਨ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ—ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾਈਕਲੀ।
ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ax2 + bx + c = 0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਅਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ
ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਬਲ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ax2 + bx + c < 0 ਕਦੋਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) < 0 ਕਦੋਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਬਲ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਕਦੋਂ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ax2 + bx + c > 0 ਕਦੋਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) > 0 ਕਦੋਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਬਲ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਕਦੋਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.64
ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
x2−6x+8<0 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.127
3. ⓐ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ x2+2x−8<0x2+2x−8<0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ⓑ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.128
5. ⓐ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ x2−8x+12≥0x2−8x+12≥0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ⓑ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
6. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਕਦਮ 1. ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
10. ਕਦਮ 2. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=ax2+bx+c.f(x)=ax2+bx+c ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11. ਕਦਮ 3. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਹੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
12. ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਸੀ ਅਤੇ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਉਸ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ ਪਰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਾਲੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 9.65
14. −x2−8x−12≤0−x2−8x−12≤0 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
15. ਹੱਲ
16. ਕਤਾਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ। | −x2−8x−12≤0−x2−8x−12≤0
17. ਕਤਾਰ: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−x2−8x−12f(x)=−x2−8x−12 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। | ਪਰਵਾਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਰੇਖਾ ਲੱਭੋ। | x=−b2ax=−b2a x=−−82(−1)x=−−82(−1) x=−4x=−4
19. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ। | f(x)=−x2−8x−12f(x)=−x2−8x−12 f(−4)=−(−4)2−8(−4)−12f(−4)=−(−4)2−8(−4)−12 f(−4)=−16+32−12f(−4)=−16+32−12 f(−4)=4f(−4)=4 ਸਿਖਰ (−4,4)(−4,4)
20. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)=0f(x)=0 ਮੰਨੋ। | f(x)=−x2−8x−12f(x)=−x2−8x−12 0=−x2−8x−120=−x2−8x−12
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋ। | 0=−1(x+6)(x+2)0=−1(x+6)(x+2) x=−6x=−2x=−6x=−2
22. ਕਤਾਰ: ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। | x-ਅੰਤਰਖੰਡ (−6,0),(−2,0)(−6,0),(−2,0)
23. ਕਤਾਰ: ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਹੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਮਾਨਤਾ "ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" ਹੈ। | (−∞,−6]∪[−2,∞)(−∞,−6]∪[−2,∞)
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 9.129
ⓐ −x²−6x−5>0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ⓑ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9.130 ਅਜ਼ਮਾਓ
ⓐ −x²+10x−16≤0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ⓑ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਜੋ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਧੀ ਵਰਤਾਂਗੇ, ਉਹ ਤਰਕਹੀਣ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਵਿਧੀ ਵਰਗੀ ਹੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਅਸਮਾਨਤਾ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸਿਰਫ ਉੱਥੇ ਹੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਵੇ।
ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗੀ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅਸਮਾਨਤਾ ਲਈ ਹੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 9.66
ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
x²−x−12≥0 ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
9.131 ਅਜ਼ਮਾਓ
x²+2x−8≥0 ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9.132 ਅਜ਼ਮਾਓ
x²−2x−15≤0 ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ x²−x−12 ਸਮੀਕਰਨ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਤਰਕਹੀਣ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ। ਸਾਡੀ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗੀ:
ਨਤੀਜਾ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਸੀ।
ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ
ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ—ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ।
ਕਦਮ 3. ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਜਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
ਕਦਮ 4. ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ, ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਟੈਸਟ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਹਰੇਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਿਖਾਓ।
ਕਦਮ 5. ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਹੀ ਹੈ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9.67 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
−x² + 6x − 7 ≥ 0 ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
row: ਦੁਖਾਂਤਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | −x² + 6x − 7 ≥ 0
row: ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਅਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ। | x² − 6x + 7 ≤ 0
row: ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਗ ਨੰਬਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। | x² − 6x + 7 = 0
row: ਦੁਖਾਂਤਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। | x = −b ± √b² − 4ac / 2a
row: ਫਿਰ a, b, c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | x = −(−6) ± (−6)² − 4⋅1⋅(7) / 2⋅1
row: ਸਰਲ ਕਰੋ। | x = 6 ± √8 / 2
row: ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | x = 6 ± 2√2 / 2
row: ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ, 2, ਹਟਾਓ। | x = 2(3 ± √2) / 2 x = 3 ± √2 x = 3 + √2 x = 3 − √2 x ≈ 1.6 x ≈ 4.4
row: ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਗ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਅਸਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
row: ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਹੀ ਹੈ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | −x² + 6x − 7 ≥ 0 ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਅੰਤਰਾਲ [3 − √2, 3 + √2] ਵਿੱਚ
9.133 ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ
−x² + 2x + 1 ≥ 0 ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
9.134 ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ
−x² + 8x − 14 < 0 ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁਖਾਂਤਕ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਜਾਂ ਦੋ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਸਨ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਸੀ ਕਿ, ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ax² + bx + c = 0 ਦੇ ਦੋ ਹੱਲ ਲੱਭੇ। ਇਹ ਦੋ ਹੱਲ ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਦੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਜਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ ਦੋ ਜ਼ੀਰੋ ਭਾਗ ਨੰਬਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਿਸਮ ਬਾਰੇ ਸਾਡੀ ਪਿਛਲੀ ਚਰਚਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ।
ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਆਖਰੀ ਕਤਾਰ ਸਾਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਦੋਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਕਦੇ ਵੀ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ। ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੁਖਾਂਤਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੱਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਦੁਖਾਂਤਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਹੱਲ ਦੁਖਾਂਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੋਣ ਤੋਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋਣਗੇ।
9.68 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਹੱਲ ਕਰੋ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ:
1. ⓐ x2−3x+4>0 ⓑ x2−3x+4≤0
2. ਹੱਲ
3. ⓐ
4. ਕਤਾਰ: ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | x2−3x+4>0
5. ਕਤਾਰ: ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸਿਫ਼ਰ ਵੰਡ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। | x2−3x+4=0
6. ਕਤਾਰ: ਵਰਗਾਤਮਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। | x=−b±b2−4ac2a
7. ਕਤਾਰ: ਫਿਰ a,b,c ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | x=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅(4)2⋅1
8. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | x=3±−72
9. ਕਤਾਰ: ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | x=3±7i2
10. ਕਤਾਰ: ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪਰਬਲ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ। ਨਾਲ ਹੀ, ਪਰਬਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਰਬਲ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ। | ਜਟਿਲ ਹੱਲ
11. ਅਸੀਂ x2−3x+4>0 ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ, x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ (−∞,∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
12. ⓑ
13. ਕਤਾਰ: ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | x2−3x+4≤0
14. ਕਤਾਰ: ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸਿਫ਼ਰ ਵੰਡ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। | x2−3x+4=0
15. ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਭਾਗ (a) ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ, ਪਰਬਲ ਵੀ ਉਹੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਪਰਬਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਉੱਪਰ ਹੈ—ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਹਿੱਸਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
16. ਅਸੀਂ x2−3x+4≤0 ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ, x ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.135
18. ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ −x2+2x−4≤0 ⓑ −x2+2x−4≥0
19. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 9.136
20. ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: ⓐ x2+3x+3<0 ⓑ x2+3x+3>0
21. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
22. ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ⓑ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
24. x 2 + 6 x + 5 > 0
x^2 + 4x - 12 < 0
x^2 + 4x + 3 ≤ 0
x^2 - 6x + 8 ≥ 0
-x^2 - 3x + 18 ≤ 0
-x^2 + 2x + 24 < 0
-x^2 + x + 12 ≥ 0
-x^2 + 2x + 15 > 0
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
x^2 + 3x - 4 ≥ 0
x^2 + x - 6 ≤ 0
x^2 - 7x + 10 < 0
x^2 - 4x + 3 > 0
x^2 + 8x > -15
x^2 + 8x < -12
x^2 - 4x + 2 ≤ 0
-x^2 + 8x - 11 < 0
x^2 - 10x > -19
x^2 + 6x < -3
-6x^2 + 19x - 10 ≥ 0
-3x^2 - 4x + 4 ≤ 0
-2x^2 + 7x + 4 ≥ 0
2x^2 + 5x - 12 > 0
x^2 + 3x + 5 > 0
x^2 - 3x + 6 ≤ 0
− x^2 + x − 7 > 0
− x^2 − 4 x − 5 < 0
−2 x^2 + 8 x − 10 < 0
− x^2 + 2 x − 7 ≥ 0
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਸਿਫ਼ਰ ਵੰਡ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
x^2+2x≥8 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਕਿਉਂ?
ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਵਰਗਾਤਮਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਈਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ 'ਤੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੱਦੇਨਜ਼ਰ, 1-10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਦਰਜਾ ਦਿਓਗੇ? ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਸੁਧਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?