ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਤਿਆਰੀ 10.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਜੇਕਰ f(x)=2x−3 ਅਤੇ g(x)=x^2+2x−3, ਤਾਂ f(4) ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 10.2
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, 3x+2y=12। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.31 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 10.3
ਸਰਲ ਕਰੋ: 5(x+4)5−4। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.25 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਨਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫਲਨ, ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫਲਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਫਲਨ ਕਾਰੋਬਾਰ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਾਰਵਾਈ ਵੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਯੋਜਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਯੋਜਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੂਜੇ ਫਲਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਲਨਾਂ f ਅਤੇ g ਲਈ, ਸੰਯੋਜਨ f∘g ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ (f∘g)(x)=f(g(x)) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ f(g(x)) ਨੂੰ "f, g of x" ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
ਸੰਯੋਜਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਫਲਨ, g(x) ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਦੂਜੇ ਫਲਨ, f ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ
ਫਲਨਾਂ f ਅਤੇ g ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ f∘g ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ f(g(x)) ਨੂੰ f, g of x ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਸੰਯੋਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਨੁਵਾਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਇਆ, ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ g(x)=x^2 ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਬੋਲਾ ਵਜੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਚਾਰ ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ (f∘g)(x)=f(g(x)) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸੰਯੋਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ ਜਿੱਥੇ f(x)=x−4।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇਹ ਦਰਸਾਏਗੀ ਕਿ (f∘g)(x), (g∘f)(x) ਅਤੇ (f·g)(x) ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.1
ਫਲਨਾਂ f(x)=4x−5 ਅਤੇ g(x)=2x+3 ਲਈ, ਲੱਭੋ: ⓐ (f∘g)(x), ⓑ (g∘f)(x), ਅਤੇ ⓒ (f·g)(x)।
Solution
ⓐ
row: Use the definition of (f∘g)(x).(f∘g)(x).
row: Distribute.
row: Simplify.
ⓑ
row: Use the definition of (f∘g)(x).(f∘g)(x).
row: Distribute.
row: Simplify.
Notice the difference in the result in part ⓐ and part ⓑ.
ⓒ Notice that (f·g)(x)(f·g)(x) is different than (f∘g)(x).(f∘g)(x). In part ⓐ we did the composition of the functions. Now in part ⓒ we are not composing them, we are multiplying them. Use the definition of(f·g)(x).(f·g)(x)=f(x)·g(x)Substitutef(x)=4x−5andg(x)=2x+3.(f·g)(x)=(4x−5)·(2x+3)Multiply.(f·g)(x)=8x2+2x−15Use the definition of(f·g)(x).(f·g)(x)=f(x)·g(x)Substitutef(x)=4x−5andg(x)=2x+3.(f·g)(x)=(4x−5)·(2x+3)Multiply.(f·g)(x)=8x2+2x−15
Try It 10.1
For functions f(x)=3x−2f(x)=3x−2 and g(x)=5x+1,g(x)=5x+1, find ⓐ (f∘g)(x)(f∘g)(x) ⓑ (g∘f)(x)(g∘f)(x) ⓒ (f·g)(x)(f·g)(x).
Try It 10.2
For functions f(x)=4x−3,f(x)=4x−3, and g(x)=6x−5,g(x)=6x−5, find ⓐ (f∘g)(x),(f∘g)(x), ⓑ (g∘f)(x),(g∘f)(x), and ⓒ (f·g)(x).(f·g)(x).
In the next example we will evaluate a composition for a specific value.
Example 10.2
For functions f(x)=x2−4,f(x)=x2−4, and g(x)=3x+2,g(x)=3x+2, find: ⓐ (f∘g)(−3),(f∘g)(−3), ⓑ (g∘f)(−1),(g∘f)(−1), and ⓒ (f∘f)(2).(f∘f)(2).
Solution
ⓐ
row: Use the definition of (f∘g)(−3).(f∘g)(−3).
row: Simplify.
row: Simplify.
ⓑ
row: Use the definition of (g∘f)(−1).(g∘f)(−1).
row: Simplify.
row: Simplify.
ⓒ
row: Use the definition of (f∘f)(2).(f∘f)(2).
row: Simplify.
row: Simplify.
Try It 10.3
For functions f(x)=x2−9,f(x)=x2−9, and g(x)=2x+5,g(x)=2x+5, find ⓐ (f∘g)(−2),(f∘g)(−2), ⓑ (g∘f)(−3),(g∘f)(−3), and ⓒ (f∘f)(4).(f∘f)(4).
Try It 10.4
For functions f(x)=x2+1,f(x)=x2+1, and g(x)=3x−5,g(x)=3x−5, find ⓐ (f∘g)(−1),(f∘g)(−1), ⓑ (g∘f)(2),(g∘f)(2), and ⓒ (f∘f)(−1).(f∘f)(−1).
Determine Whether a Function is One-to-One
When we first introduced functions, we said a function is a relation that assigns to each element in its domain exactly one element in the range. For each ordered pair in the relation, each x-value is matched with only one y-value.
We used the birthday example to help us understand the definition. Every person has a birthday, but no one has two birthdays and it is okay for two people to share a birthday. Since each person has exactly one birthday, that relation is a function.
A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-value.
Our example of the birthday relation is not a one-to-one function. Two people can share the same birthday. The range value August 2 is the birthday of Liz and June, and so one range value has two domain values. Therefore, the function is not one-to-one.
One-to-One Function
A function is one-to-one if each value in the range corresponds to one element in the domain. For each ordered pair in the function, each y-value is matched with only one x-value. There are no repeated y-values.
Example 10.3
For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.
ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)} and ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}.
Solution
ⓐ {(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}
Each x-value is matched with only one y-value. So this relation is a function.
ਪਰ ਹਰੇਕ y-ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ (−3,27) ਅਤੇ (3,27)। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓑ {(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)}
ਹਰੇਕ x-ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ y-ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਬੰਧ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ y-ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.5
ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ⓐ {(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)} ⓑ {(−4,8),(−2,4),(−1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)}
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.6
ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ⓐ {(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)} ⓑ {(7,−3),(−5,−4),(8,0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਸਬੰਧ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ y-ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਇੱਕ y-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ
ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਕਿਸੇ ਸਬੰਧ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.4
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ⓐ ਕੀ ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ⓑ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਹੱਲ
ⓐ
ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ।
ⓑ
ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.7
Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.
Try It 10.8
Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.
Find the Inverse of a Function
Let’s look at a one-to one function, ff, represented by the ordered pairs {(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)}.{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)}. For each xx-value, ff adds 5 to get the yy-value. To ‘undo’ the addition of 5, we subtract 5 from each yy-value and get back to the original xx-value. We can call this “taking the inverse of ff” and name the function f−1.f−1.
Notice that that the ordered pairs of ff and f−1f−1 have their xx-values and yy-values reversed. The domain of ff is the range of f−1f−1 and the domain of f−1f−1 is the range of f.f.
Inverse of a Function Defined by Ordered Pairs
If f(x)f(x) is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form (x,y),(x,y), then its inverse function f−1(x)f−1(x) is the set of ordered pairs (y,x).(y,x).
In the next example we will find the inverse of a function defined by ordered pairs.
Example 10.5
Find the inverse of the function {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}.{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}. Determine the domain and range of the inverse function.
Solution
This function is one-to-one since every xx-value is paired with exactly one yy-value.
To find the inverse we reverse the xx-values and yy-values in the ordered pairs of the function.
row: Function | {(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)}
row: Inverse Function | {(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)}{(3,0),(5,1),(7,2),(9,3)}
row: Domain of Inverse Function | {3,5,7,9}{3,5,7,9}
row: Range of Inverse Function | {0,1,2,3}{0,1,2,3}
Try It 10.9
Find the inverse of {(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)}.{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)}. Determine the domain and range of the inverse function.
Try It 10.10
Find the inverse of {(−1,4),(−2,1),(−3,0),(−4,2)}.{(−1,4),(−2,1),(−3,0),(−4,2)}. Determine the domain and range of the inverse function.
We just noted that if f(x)f(x) is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form (x,y),(x,y), then its inverse function f−1(x)f−1(x) is the set of ordered pairs (y,x).(y,x).
So if a point (a,b)(a,b) is on the graph of a function f(x),f(x), then the ordered pair (b,a)(b,a) is on the graph of f−1(x).f−1(x). See Figure 10.2.
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਜੋੜਿਆਂ (a,b)(a,b) ਅਤੇ (b,a)(b,a) ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ y=x.y=x ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅੱਧੀ ਕੱਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ y=x.y=x ਰੇਖਾ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ f−1(x),f−1(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ y=x.y=x ਰੇਖਾ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.6
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ, ਜੋ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਹਨ: (−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)(−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)।
ਇਸ ਲਈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ: (−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)(−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y=x.y=x ਰੇਖਾ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਵੇਂ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.11
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ, ਉਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.12
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ, ਉਸੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਚਰਚਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੇ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਉਸਨੂੰ 'ਅਨਡੂ' (undo) ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸਲ x-ਮੁੱਲ ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਗੁਣ ਵਰਤ ਕੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.7
ਤਸਦੀਕ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=5x−1f(x)=5x−1 ਅਤੇ g(x)=x+15g(x)=x+15 ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ g(f(x))=xg(f(x))=x ਅਤੇ f(g(x))=x.f(g(x))=x।
ਰੋ: f(x).f(x) ਲਈ 5x−15x−1 ਬਦਲੋ।
ਰੋ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਰੋ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਰੋ: g(x).g(x) ਲਈ x+15x+15 ਬਦਲੋ।
ਰੋ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
row: Simplify.
Since both g(f(x))=xg(f(x))=x and f(g(x))=xf(g(x))=x are true, the functions f(x)=5x−1f(x)=5x−1 and g(x)=x+15g(x)=x+15 are inverse functions. That is, they are inverses of each other.
Try It 10.13
Verify that the functions are inverse functions.
f(x)=4x−3f(x)=4x−3 and g(x)=x+34.g(x)=x+34.
Try It 10.14
Verify that the functions are inverse functions.
f(x)=2x+6f(x)=2x+6 and g(x)=x−62.g(x)=x−62.
We have found inverses of function defined by ordered pairs and from a graph. We will now look at how to find an inverse using an algebraic equation. The method uses the idea that if f(x)f(x) is a one-to-one function with ordered pairs (x,y),(x,y), then its inverse function f−1(x)f−1(x) is the set of ordered pairs (y,x).(y,x).
If we reverse the x and y in the function and then solve for y, we get our inverse function.
Example 10.8
How to Find the inverse of a One-to-One Function
Find the inverse of f(x)=4x+7.f(x)=4x+7.
Solution
Try It 10.15
Find the inverse of the function f(x)=5x−3.f(x)=5x−3.
Try It 10.16
Find the inverse of the function f(x)=8x+5.f(x)=8x+5.
We summarize the steps below.
How To
How to Find the inverse of a One-to-One Function
Step 1. Substitute y for f(x).f(x).
Step 2. Interchange the variables x and y.
Step 3. Solve for y.
Step 4. Substitute f−1(x)f−1(x) for y.
Step 5. Verify that the functions are inverses.
Example 10.9
How to Find the Inverse of a One-to-One Function
Find the inverse of f(x)=2x−35.f(x)=2x−35.
Solution
row: f(x)=2x−35f(x)=2x−35
row: Substitute yy for f(x)f(x). | y=2x−35y=2x−35
row: Interchange the variables xx and yy. | x=2y−35x=2y−35
row: Solve for yy. | (x)5=(2y−35)5(x)5=(2y−35)5
row: x5=2y−3x5=2y−3
row: x5+3=2yx5+3=2y
row: x5+32=yx5+32=y
row: Substitute f−1(x)f−1(x) for yy. | f−1(x)=x5+32f−1(x)=x5+32
row: Verify that the functions are inverses.
row: f−1(f(x))=?xf−1(f(x))=?x | f(f−1(x))=?xf(f−1(x))=?x
row: f−1(2x−35)=?xf−1(2x−35)=?x | f(x5+32)=?xf(x5+32)=?x
row: (2x−35)5+32=?x(2x−35)5+32=?x | 2(x5+32)−35=?x2(x5+32)−35=?x
row: 2x−3+32=?x2x−3+32=?x | x5+3−35=?xx5+3−35=?x
row: 2x2=?x2x2=?x | x55=?xx55=?x
row: x=x✓x=x✓ | x=x✓x=x✓
Try It 10.17
Find the inverse of the function f(x)=3x−25.f(x)=3x−25.
Try It 10.18
Find the inverse of the function f(x)=6x−74.f(x)=6x−74.
Practice Makes Perfect
Find and Evaluate Composite Functions
In the following exercises, find ⓐ (f ∘ g)(x), ⓑ (g ∘ f)(x), and ⓒ (f · g)(x).
f(x)=4x+3f(x)=4x+3 and g(x)=2x+5g(x)=2x+5
f(x)=3x−1f(x)=3x−1 and g(x)=5x−3g(x)=5x−3
f(x)=6x−5f(x)=6x−5 and g(x)=4x+1g(x)=4x+1
f(x)=2x+7f(x)=2x+7 and g(x)=3x−4g(x)=3x−4
f(x)=3xf(x)=3x and g(x)=2x2−3xg(x)=2x2−3x
f(x)=2xf(x)=2x and g(x)=3x2−1g(x)=3x2−1
f(x)=2x−1f(x)=2x−1 and g(x)=x2+2g(x)=x2+2
f(x)=4x+3f(x)=4x+3 and g(x)=x2−4g(x)=x2−4
In the following exercises, find the values described.
For functions f(x)=2x2+3f(x)=2x2+3 and g(x)=5x−1,g(x)=5x−1, find ⓐ (f∘g)(−2)(f∘g)(−2) ⓑ (g∘f)(−3)(g∘f)(−3) ⓒ (f∘f)(−1)(f∘f)(−1)
For functions f(x)=5x2−1f(x)=5x2−1 and g(x)=4x−1,g(x)=4x−1, find ⓐ (f∘g)(1)(f∘g)(1) ⓑ (g∘f)(−1)(g∘f)(−1) ⓒ (f∘f)(2)(f∘f)(2)
For functions f(x)=2x3f(x)=2x3 and g(x)=3x2+2,g(x)=3x2+2, find ⓐ (f∘g)(−1)(f∘g)(−1) ⓑ (g∘f)(1)(g∘f)(1) ⓒ (g∘g)(1)(g∘g)(1)
For functions f(x)=3x3+1f(x)=3x3+1 and g(x)=2x2−3,g(x)=2x2−3, find ⓐ (f∘g)(−2)(f∘g)(−2) ⓑ (g∘f)(−1)(g∘f)(−1) ⓒ (g∘g)(1)(g∘g)(1)
Determine Whether a Function is One-to-One
In the following exercises, determine if the set of ordered pairs represents a function and if so, is the function one-to-one.
{(−3,9),(−2,4),(−1,1),(0,0){(−3,9),(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)}(1,1),(2,4),(3,9)}
{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0){(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}(1,1),(4,2),(9,3)}
{(−3,−5),(−2,−3),(−1,−1){(−3,−5),(−2,−3),(−1,−1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)}(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)}
{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0){(5,3),(4,2),(3,1),(2,0),(1,−1),(0,−2),(−1,−3)}(1,−1),(0,−2),(−1,−3)}
In the following exercises, determine whether each graph is the graph of a function and if so, is it one-to-one.
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
In the following exercises, find the inverse of each function. Determine the domain and range of the inverse function.
{ ( 2 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 8 , 4 ) } { ( 2 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 8 , 4 ) }
{ ( 6 , 2 ) , ( 9 , 5 ) , ( 12 , 8 ) , ( 15 , 11 ) } { ( 6 , 2 ) , ( 9 , 5 ) , ( 12 , 8 ) , ( 15 , 11 ) }
{ ( 0 , −2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 12 ) } { ( 0 , −2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 12 ) }
{ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 9 ) } { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 9 ) }
{ ( −2 , −3 ) , ( −1 , −1 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 3 ) } { ( −2 , −3 ) , ( −1 , −1 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 3 ) }
{ ( 5 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 2 , 0 ) } { ( 5 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 2 , 0 ) }
In the following exercises, graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to-one function shown.
In the following exercises, determine whether or not the given functions are inverses.
f(x)=x+8f(x)=x+8 and g(x)=x−8g(x)=x−8
f(x)=x−9f(x)=x−9 and g(x)=x+9g(x)=x+9
f(x)=7xf(x)=7x and g(x)=x7g(x)=x7
f(x)=x11f(x)=x11 and g(x)=11xg(x)=11x
f(x)=7x+3f(x)=7x+3 and g(x)=x−37g(x)=x−37
f(x)=5x−4f(x)=5x−4 and g(x)=x−45g(x)=x−45
f(x)=x+2f(x)=x+2 and g(x)=x2−2(x>0)g(x)=x2−2(x>0)
f(x)=x−43f(x)=x−43 and g(x)=x3+4g(x)=x3+4
In the following exercises, find the inverse of each function.
f ( x ) = x − 12 f ( x ) = x − 12
f ( x ) = x + 17 f ( x ) = x + 17
f ( x ) = 9 x f ( x ) = 9 x
f ( x ) = 8 x f ( x ) = 8 x
f ( x ) = x 6 f ( x ) = x 6
f ( x ) = x 4 f ( x ) = x 4
f ( x ) = 6 x − 7 f ( x ) = 6 x − 7
f ( x ) = 7 x − 1 f ( x ) = 7 x − 1
f ( x ) = −2 x + 5 f ( x ) = −2 x + 5
f ( x ) = −5 x − 4 f ( x ) = −5 x − 4
f(x)=x2+6,f(x)=x2+6, x≥0x≥0
f(x)=x2−9,f(x)=x2−9, x≥0x≥0
f ( x ) = x 3 − 4 f ( x ) = x 3 − 4
f ( x ) = x 3 + 6 f ( x ) = x 3 + 6
f ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = 1 x + 2
f ( x ) = 1 x − 6 f ( x ) = 1 x − 6
f(x)=x−2,f(x)=x−2, x≥2x≥2
f(x)=x+8,f(x)=x+8, x≥−8x≥−8
f ( x ) = x − 3 3 f ( x ) = x − 3 3
f ( x ) = x + 5 3 f ( x ) = x + 5 3
f(x)=9x−54,f(x)=9x−54, x≥59x≥59
f(x)=8x−34,f(x)=8x−34, x≥38x≥38
f ( x ) = −3 x + 5 5
f ( x ) = −4 x − 3 5
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਗ੍ਰਾਫ਼, ਉਸ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ (equation) ਤੋਂ ਉਸ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸ ਪੂਰੇ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
…ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ। ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਬਣੋ।
…ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
…ਨਹੀਂ—ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।