ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: (x3x2).(x3x2)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.5
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ 2020 ⓑ (13)0.(13)0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.14 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.6
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ 2−12−1 ⓑ (13)−1.(13)−1। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.15 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਹੜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਾਪਰਨ ਵਾਲੇ ਵਰਤਾਰਿਆਂ ਲਈ ਕੋਈ ਮਾਡਲ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਵਾਇਰਸਾਂ ਦੇ ਫੈਲਣ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡਿਕੇਅ ਅਤੇ ਕੰਪਾਊਂਡਿੰਗ ਵਿਆਜ ਤੱਕ, ਮਾਡਲ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮਾਡਲਾਂ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ f(x)=axf(x)=ax ਹੈ ਜਿੱਥੇ a>0a>0 ਅਤੇ a≠1.a≠1।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿੱਥੇ a>0a>0 ਅਤੇ a≠1,a≠1, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਘਾਤ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਬੇਸ ਸਨ।
ਸਾਡੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ a≠1.a≠1। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ a=1,a=1 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ f(x)=axf(x)=ax ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ f(x)=1x.f(x)=1x। ਕਿਉਂਕਿ 1x=11x=1 ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਲਈ ਹੈ, f(x)=1.f(x)=1। ਇਹ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਸਾਡੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ a>0.a>0। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬੇਸ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ −4,−4, ਤਾਂ f(x)=(−4)xf(x)=(−4)x ਇੱਕ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਦੋਂ x=12.x=12।
ਦਰਅਸਲ, f(x)=(−4)xf(x)=(−4)x ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ xx ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਸਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ a>0.a>0 ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਕੁਝ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.10
ਇੱਕੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ f(x)=2xf(x)=2x ਅਤੇ g(x)=3x.g(x)=3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਹੱਲ
2. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਪਲੌਟਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.19
4. ਗ੍ਰਾਫ਼: f(x)=4x.f(x)=4x.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.20
6. ਗ੍ਰਾਫ਼: g(x)=5x.g(x)=5x.
7. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਅਤੇ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. f(x)=2xf(x)=2x ਅਤੇ g(x)=3x,g(x)=3x, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ f(x)=4xf(x)=4x ਅਤੇ g(x)=5x,g(x)=5x, ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹ ਆਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਜਿੱਥੇ a>1.a>1.
9. ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (0,1).(0,1) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ a ਲਈ a0=1a0=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=axf(x)=ax ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (1,a).(1,a) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x)=2xf(x)=2x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (1,2)(1,2) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਸੀ ਅਤੇ g(x)=3xg(x)=3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (1,3).(1,3) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ a1=a.a1=a.
11. ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=axf(x)=ax ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (−1,1a).(−1,1a) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x)=2xf(x)=2x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (−1,12)(−1,12) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਸੀ ਅਤੇ g(x)=3xg(x)=3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (−1,13).(−1,13) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ a−1=1a.a−1=1a.
12. ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ (−∞,∞).(−∞,∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
13. ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ ਕੀ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂੰਹਦਾ। ਰੇਂਜ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ (0,∞).(0,∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
14. ਜਦੋਂ ਵੀ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਉਸਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂੰਹਦਾ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਅਸੀਮਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਉਸਦੇ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਉਸਨੂੰ ਪਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ y=0,y=0, x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
15. f ( x ) = a x f ( x ) = a x ਜਦੋਂ a > 1 a > 1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਗੁਣ
16. ਕਤਾਰ: ਡੋਮੇਨ | (−∞,∞)(−∞,∞)
17. ਕਤਾਰ: ਰੇਂਜ | (0,∞)(0,∞)
18. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ | ਕੋਈ ਨਹੀਂ
19. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ | (0,1)(0,1)
20. ਕਤਾਰ: ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ | (1,a),(−1,1a)(1,a),(−1,1a)
21. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਮਤ | x-ਧੁਰਾ, ਰੇਖਾ y=0y=0
22. ਸਾਡੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=axf(x)=ax ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ a>0,a>0, ਪਰ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਰਹੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ a>1.a>1. ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 0<a<10<a<1? ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਪੜਤਾਲ ਕਰੇਗੀ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 10.11
24. ਇੱਕੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ, f(x)=(12)xf(x)=(12)x ਅਤੇ g(x)=(13)x.g(x)=(13)x ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਪਲੌਟਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.21
4. ਗ੍ਰਾਫ਼: f(x)=(14)x.f(x)=(14)x.
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.22
6. ਗ੍ਰਾਫ਼: g(x)=(15)x.g(x)=(15)x.
7. ਹੁਣ ਆਓ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਅਤੇ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕੀਏ ਜਿੱਥੇ 0<a<1.0<a<1.
8. f(x)=(12)xf(x)=(12)x ਅਤੇ g(x)=(13)xg(x)=(13)x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਨਾਲ ਹੀ f(x)=(14)xf(x)=(14)x ਅਤੇ g(x)=(15)xg(x)=(15)x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਸਾਰਿਆਂ ਦਾ ਬੁਨਿਆਦੀ ਆਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਹ ਉਹ ਆਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਤੋਂ ਜਿੱਥੇ 0<a<1,0<a<1, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜਦੋਂ a>1,a>1, ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦੇ ਸਨ।
9. ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (0, 1) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ a0=1a0=1 ਕਿਸੇ ਵੀ a ਲਈ।
10. ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=ax,f(x)=ax, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (1,a).(1,a) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x)=(12)xf(x)=(12)x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (1,12)(1,12) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ g(x)=(13)xg(x)=(13)x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (1,13).(1,13) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ a1=a.a1=a.
11. ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=ax,f(x)=ax, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (−1,1a).(−1,1a) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x)=(12)xf(x)=(12)x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (−1,2)(−1,2) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ g(x)=(13)xg(x)=(13)x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ (−1,3).(−1,3) ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ a−1=1a.a−1=1a.
12. ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕੀ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ (−∞,∞).(−∞,∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਦੁਬਾਰਾ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂੰਹਦਾ। ਰੇਂਜ ਸਾਰੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਨੰਬਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ (0,∞).(0,∞) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
13. ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਾਰਟ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਾਂਗੇ। ਜਿਸ ਵਿੱਚ a>1.a>1 ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
14. f ( x ) = a x f ( x ) = a x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਗੁਣ
15. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ a>1a>1 | ਜਦੋਂ 0<a<10<a<1
16. ਕਤਾਰ: ਡੋਮੇਨ | (−∞,∞)(−∞,∞) | ਡੋਮੇਨ | (−∞,∞)(−∞,∞)
17. ਕਤਾਰ: ਰੇਂਜ | (0,∞)(0,∞) | ਰੇਂਜ | (0,∞)(0,∞)
18. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ | ਕੋਈ ਨਹੀਂ | x-ਅੰਤਰਖੰਡ | ਕੋਈ ਨਹੀਂ
19. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ | (0,1)(0,1) | y-ਅੰਤਰਖੰਡ | (0,1)(0,1)
20. ਕਤਾਰ: ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ | (1,a),(−1,1a)(1,a),(−1,1a) | ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ | (1,a),(−1,1a)(1,a),(−1,1a)
21. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਮਟੋਟ | x-ਧੁਰਾ, ਲਾਈਨ y=0y=0 | ਅਸੀਮਟੋਟ | x-ਧੁਰਾ, ਲਾਈਨ y=0y=0
22. ਕਤਾਰ: ਬੁਨਿਆਦੀ ਆਕਾਰ | ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ | ਬੁਨਿਆਦੀ ਆਕਾਰ | ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ
23. ਇਹ ਸਾਡੇ ਲਈ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ-ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਦੋਵੇਂ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
24. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੌਟ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਨੁਵਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਏ। ਕੀ ਇਹ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ?
10.12 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ f(x)=2x ਅਤੇ g(x)=2x+1 ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂ-ਪਲੌਟਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.23
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਦਰਸਾਓ: f(x)=2x ਅਤੇ g(x)=2x−1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.24
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਦਰਸਾਓ: f(x)=3x ਅਤੇ g(x)=3x+1।
ਪਿਛਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਫਲਨਾਂ f(x)=2x ਅਤੇ g(x)=2x+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਈ। ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਾਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਨ ਪੈਟਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜਿਸਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦ ਦੁਆਰਾ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
10.13 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ f(x)=3x ਅਤੇ g(x)=3x−2 ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂ-ਪਲੌਟਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.25
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਦਰਸਾਓ: f(x)=3x ਅਤੇ g(x)=3x+2।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.26
ਇਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਦਰਸਾਓ: f(x)=4x ਅਤੇ g(x)=4x−2।
ਪਿਛਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਫਲਨਾਂ f(x)=3x ਅਤੇ g(x)=3x−2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2 ਘਟਾਉਣ ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਇਆ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ ਵੀ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਗਈ। ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਾਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਨ ਪੈਟਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਆਧਾਰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੀ ਘਾਤੀ ਫਲਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ, e ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਕਾਰੋਬਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ (1+1/n)^n ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ n ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ n ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ n ਦੇ ਕਈ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ (1+1/n)^n ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: n | (1+1/n)^n
ਸਾਰਣੀ: 1 | 2
ਸਾਰਣੀ: 2 | 2.25
ਕਤਾਰ: 5 | 2.48832
ਕਤਾਰ: 10 | 2.59374246
ਕਤਾਰ: 100 | 2.704813829…
ਕਤਾਰ: 1,000 | 2.716923932…
ਕਤਾਰ: 10,000 | 2.718145927…
ਕਤਾਰ: 100,000 | 2.718268237…
ਕਤਾਰ: 1,000,000 | 2.718280469…
ਕਤਾਰ: 1,000,000,000 | 2.718281827…
ਜੇਕਰ n ਦੇ ਹੋਰ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਲਿਜਾਇਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਅੰਕ e, ਅੰਕ π ਵਾਂਗ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਕਦੇ ਵੀ ਰੁਕਦਾ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ। ਅਪਰਿਮੇਯ ਅੰਕ e ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਆਧਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੁਦਰਤੀ ਆਧਾਰ e
ਅੰਕ e ਨੂੰ (1+1n)n, ਜਿਵੇਂ n ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ n ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ,
e ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਲੈਣ ਵਾਲਾ ਘਾਤੀ ਫਲਨ, f(x)=ex, ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤੀ ਫਲਨ
ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ee ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ।
ਆਓ ਅਸੀਂ ਫਲਨ f(x)=ex ਨੂੰ g(x)=2x ਅਤੇ h(x)=3x ਦੇ ਸਮਾਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੀਏ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ f(x)=ex ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ g(x)=2x ਅਤੇ h(x)=3x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ "ਵਿੱਚ" ਹੈ। ਕੀ ਇਹ 2<e<3 ਹੋਣ ਕਰਕੇ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ?
ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ax ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੱਕ a>0 ਅਤੇ a≠1 ਹੈ, ਜੇ ax=ay ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿ x=y। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜੇ ਆਧਾਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਤਾਂ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ
a>0 ਅਤੇ a≠1 ਲਈ,
ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਯਕੀਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.14
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ
32x = 32 x = 1
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.27
33x = 83 x = 83/33
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.28
7x - 3 = 7
1. ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਲਿਖੋ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ।
2. ਨਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਲਿਖੋ।
3. ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ।
4. ਕਦਮ 4. ਹੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਉੱਤੇ ਆਪਣੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
1. ਦਸਾਂ ਨਹੁੰਆਂ ਦੀ ਕਮਾਈ
1. e2x e3 = e2x
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਸਤਰ: ਦੁਖਾਂਤਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ: ਦੁਖਾਂਤਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ: ਦੁਖਾਂਤਕ
1. ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: $a^m a^n = a^{m+n}$। $a^m / a^n = a^{m-n}$। $e^{2x-3} = e^{2x}e^{-3}$।
1. x2−3=2x | x²−3=2x
1. ਸਾਰਣੀ: ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x2−2x−3=0x2−2x−3=0
੧. ਕਤਾਰ: (x−3)(x+1)=0(x−3)(x+1)=0
1. ਕਤਾਰ: x=3, x=−1
row: Check the solutions.
Try It 10.29
Solve: ex2ex=e2.ex2ex=e2.
Try It 10.30
Solve: ex2ex=e6.ex2ex=e6.
Use Exponential Models in Applications
Exponential functions model many situations. If you own a bank account, you have experienced the use of an exponential function. There are two formulas that are used to determine the balance in the account when interest is earned. If a principal, P, is invested at an interest rate, r, for t years, the new balance, A, will depend on how often the interest is compounded. If the interest is compounded n times a year we use the formula A=P(1+rn)nt.A=P(1+rn)nt. If the interest is compounded continuously, we use the formula A=Pert.A=Pert. These are the formulas for compound interest.
Compound Interest
For a principal, P, invested at an interest rate, r, for t years, the new balance, A, is:
As you work with the Interest formulas, it is often helpful to identify the values of the variables first and then substitute them into the formula.
Example 10.16
A total of $10,000$10,000 was invested in a college fund for a new grandchild. If the interest rate is 5%,5%, how much will be in the account in 18 years by each method of compounding?
ⓐ compound quarterly
ⓑ compound monthly
ⓒ compound continuously
Solution
row: A=?A=?
row: Identify the values of each variable in the formulas. | P=$10,000P=$10,000
row: Remember to express the percent as a decimal. | r=0.05r=0.05
row: t=18yearst=18years
ⓐ
row: For quarterly compounding, n=4n=4. There are 4 quarters in a year. | A=P(1+rn)ntA=P(1+rn)nt
row: Substitute the values in the formula. | A=10,000(1+0.054)4·18A=10,000(1+0.054)4·18
row: Compute the amount. Be careful to consider the order of operations as you enter the expression into your calculator. | A=$24,459.20A=$24,459.20
ⓑ
ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਬਾਰਾਂ ਮਹੀਨੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। | A=P(1+rn)ntA=P(1+rn)nt
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਭਰੋ। | A=10,000(1+0.0512)12·18A=10,000(1+0.0512)12·18
ਰਾਸ਼ੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। | A=$24,550.08A=$24,550.08
ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਲਈ, | A=PertA=Pert
ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਭਰੋ। | A=10,000e0.05·18A=10,000e0.05·18
ਰਾਸ਼ੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। | A=$24,596.03A=$24,596.03
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.31
ਐਂਜੇਲਾ ਨੇ ਇੱਕ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $15,000$15,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 4%4% ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
ⓐ ਤਿਮਾਹੀ ਮਿਸ਼ਰਣ
ⓑ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਮਿਸ਼ਰਣ
ⓒ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਣ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.32
ਐਲਨ ਨੇ ਇੱਕ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡ ਵਿੱਚ $10,000$ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 5%5% ਹੈ, ਤਾਂ 15 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਮਿਸ਼ਰਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
ⓐ ਤਿਮਾਹੀ ਮਿਸ਼ਰਣ
ⓑ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਮਿਸ਼ਰਣ
ⓒ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਣ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇ ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਪੈਸੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸੂਤਰ A=PertA=Pert ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਲਈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ, P, ਕਹਿਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ ਵਜੋਂ A0,A0, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਗਿਰਾਵਟ ਵਿੱਚ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ
ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ, A0,A0, ਲਈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ, t, ਲਈ ਇੱਕ ਦਰ, r, 'ਤੇ ਵਧਦੀ ਜਾਂ ਘਟਦੀ ਹੈ, ਅੰਤਿਮ ਰਕਮ, A, ਇਹ ਹੈ:
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਿਕਾਸ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਨੁੱਖਾਂ ਜਾਂ ਜਾਨਵਰਾਂ ਜਾਂ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀਆਂ ਆਬਾਦੀਆਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਵਾਇਰਸ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਵੇਖਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.17
ਕ੍ਰਿਸ ਸੈਂਟਰ ਫਾਰ ਡਿਜ਼ੀਜ਼ ਕੰਟਰੋਲ ਐਂਡ ਪ੍ਰੀਵੈਂਸ਼ਨ ਵਿਖੇ ਇੱਕ ਖੋਜਕਰਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਅਤੇ ਖਤਰਨਾਕ ਵਾਇਰਸ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 100 ਵਾਇਰਸਾਂ ਨਾਲ ਆਪਣਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 25% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਉਹ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਵਾਇਰਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੇਗਾ। ਉਸਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਵਾਇਰਸ ਮਿਲਣਗੇ?
ਹੱਲ
NONE
row: Identify the values of each variable in the formulas. | A=?A=?
row: Be sure to put the percent in decimal form. | A0=100A0=100
row: Be sure the units match—the rate is per hour and the time is in hours. | r=0.25/hourr=0.25/hour
row: t=24hourst=24hours
row: Substitute the values in the formula: A=A0ertA=A0ert. | A=100e0.25·24A=100e0.25·24
row: Compute the amount. | A=40,342.88A=40,342.88
row: Round to the nearest whole virus. | A=40,343A=40,343
row: The researcher will find 40,343 viruses.
Try It 10.33
Another researcher at the Center for Disease Control and Prevention, Lisa, is studying the growth of a bacteria. She starts her experiment with 50 of the bacteria that grows at a rate of 15%15% per hour. She will check on the bacteria every 8 hours. How many bacteria will she find in 8 hours?
Try It 10.34
Milan, a biologist is observing the growth pattern of a virus. They start with 100 of the virus that grows at a rate of 10%10% per hour. They will check on the virus in 24 hours. How many viruses will they find?
Access these online resources for additional instruction and practice with evaluating and graphing exponential functions.
Graphing Exponential Functions
Solving Exponential Equations
Applications of Exponential Functions
Continuously Compound Interest
Radioactive Decay and Exponential Growth
Practice Makes Perfect
Graph Exponential Functions
In the following exercises, graph each exponential function.
f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x
g ( x ) = 3 x g ( x ) = 3 x
f ( x ) = 6 x f ( x ) = 6 x
g ( x ) = 7 x g ( x ) = 7 x
f ( x ) = ( 1.5 ) x f ( x ) = ( 1.5 ) x
g ( x ) = ( 2.5 ) x g ( x ) = ( 2.5 ) x
f ( x ) = ( 1 2 ) x f ( x ) = ( 1 2 ) x
g ( x ) = ( 1 3 ) x g ( x ) = ( 1 3 ) x
f ( x ) = ( 1 6 ) x f ( x ) = ( 1 6 ) x
g ( x ) = ( 1 7 ) x g ( x ) = ( 1 7 ) x
f ( x ) = ( 0.4 ) x f ( x ) = ( 0.4 ) x
g ( x ) = ( 0.6 ) x g ( x ) = ( 0.6 ) x
In the following exercises, graph each function in the same coordinate system.
f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x − 1 f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x − 1
f ( x ) = 3 x , g ( x ) = 3 x − 1 f ( x ) = 3 x , g ( x ) = 3 x − 1
f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x − 2 f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x − 2
f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x + 2 f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x + 2
f ( x ) = 3 x , g ( x ) = 3 x + 2 f ( x ) = 3 x , g ( x ) = 3 x + 2
f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x + 2 f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x + 2
f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x + 1
f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x − 1 f ( x ) = 2 x , g ( x ) = 2 x − 1
In the following exercises, graph each exponential function.
f ( x ) = 3 x + 2 f ( x ) = 3 x + 2
f ( x ) = 3 x − 2 f ( x ) = 3 x − 2
f ( x ) = 2 x + 3 f ( x ) = 2 x + 3
f ( x ) = 2 x − 3 f ( x ) = 2 x − 3
f ( x ) = ( 1 2 ) x − 4 f ( x ) = ( 1 2 ) x − 4
f ( x ) = ( 1 2 ) x − 3
f ( x ) = e x + 1
f ( x ) = e x − 2
f ( x ) = − 2 x
f ( x ) = 2 − x − 1 −1
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2 3 x − 8 = 16
2 2 x − 3 = 32
3 x + 3 = 9
3 x 2 = 81
4 x 2 = 4
4 x = 32
4 x + 2 = 64
4 x + 3 = 16
2 x 2 + 2 x = 1 2
3 x 2 − 2 x = 1 3
e 3 x · e 4 = e 10
e 2 x · e 3 = e 9
e x 2 e 2 = e x
e x 2 e 3 = e 2 x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰੋ: ⓐ 2x2x ⓑ 2x+12x+1 ⓒ 2x−12x−1 ⓓ 2x+22x+2 ⓔ 2x−22x−2 ⓕ 3x3x
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰੋ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਐਡਗਰ ਨੇ ਕ੍ਰੈਡਿਟ ਕਾਰਡ ਕਰਜ਼ੇ ਵਿੱਚ $5,000$ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੇ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 20% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ 2 ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਭੁਗਤਾਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਤਾਂ ਉਹ 2 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਯੋਜਨ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਕਿੰਨਾ ਕਰਜ਼ਾ ਅਦਾ ਕਰੇਗਾ? ⓐ ਤਿਮਾਹੀ ਸੰਯੋਜਨ ⓑ ਮਾਸਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ⓒ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ
ਸਿੰਥੀਆ ਨੇ ਇੱਕ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $12,000$ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 6% ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਯੋਜਨ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ? ⓐ ਤਿਮਾਹੀ ਸੰਯੋਜਨ ⓑ ਮਾਸਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ⓒ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਨ
ਰੋਸ਼ੇਲ ਨੇ ਇੱਕ IRA ਵਿੱਚ $5,000$ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੇ। ਜੇਕਰ ਨਿਵੇਸ਼ 8% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕਮਾ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਯੋਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 25 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਨਜ਼ਰਹੀ ਨੇ ਇੱਕ ਸਰਟੀਫਿਕੇਟ ਆਫ਼ ਡਿਪਾਜ਼ਿਟ ਵਿੱਚ $8,000$ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕੀਤੇ। ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ 6% ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਤਿਮਾਹੀ ਸੰਯੋਜਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ। 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਰਟੀਫਿਕੇਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਡਿਸੀਜ਼ ਕੰਟਰੋਲ ਐਂਡ ਪ੍ਰੀਵੈਨਸ਼ਨ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਖੋਜਕਰਤਾ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੇ 100 ਨਾਲ ਆਪਣਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 6% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਹਰ 8 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੇਗਾ। 8 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਉਸਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਮਿਲਣਗੇ?
ਇੱਕ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇੱਕ ਵਾਇਰਸ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਹ 50 ਵਾਇਰਸ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 20% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਉਹ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਵਾਇਰਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੇਗੀ। ਉਸਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਵਾਇਰਸ ਮਿਲਣਗੇ?
ਪਿਛਲੇ ਦਸ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੰਡੋਨੇਸ਼ੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 1.12% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਕੇ 258,316,051 ਹੋ ਗਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਦਰ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਪਿਛਲੇ ਦਸ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬ੍ਰਾਜ਼ੀਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 0.9% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਕੇ 205,823,665 ਹੋ ਗਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਦਰ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਅੰਤਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
y=x² ਅਤੇ y=2x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਵਿਪਰੀਤ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਘਟਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਕੀ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ? ਸਮਝਾਓ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?