ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਘਾਤ ਰੂਪ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਰੂਪ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲਘੂਗਣਕ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: x2=81. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.46 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.8
ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ: 3−2. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.15 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.9
ਹੱਲ ਕਰੋ: 24=3x−5. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਕਾਰਵਾਈ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਕਾਰਵਾਈ ਨਾਲ 'ਅਨਡੂ' ਕਰਨ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਘਟਾਉ ਜੋੜ ਨੂੰ 'ਅਨਡੂ' ਕਰਦਾ ਹੈ, ਗੁਣਾ ਭਾਗ ਨੂੰ 'ਅਨਡੂ' ਕਰਦਾ ਹੈ, ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਨੂੰ 'ਅਨਡੂ' ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਪਣੀ ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਆਉਂਦੀ ਹੈ।
y=f(x) ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਚਲਾਂ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਬਦਲੋ। f(x)=ay x=ay y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਓਪਸ! ਸਾਡੇ ਕੋਲ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ! y=f(x) ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਚਲਾਂ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਬਦਲੋ। f(x)=ay x=ay y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਓਪਸ! ਸਾਡੇ ਕੋਲ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ!
ਇਸ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਬੇਸ a ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=ax ਦੇ ਉਲਟੇ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ f−1(x)=logax ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=logax ਬੇਸ aa ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>0, x>0, ਅਤੇ a≠1।
ਘਾਤ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਰੂਪ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲੋ
ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y=logax ਅਤੇ x=ay ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਕਸਰ ਕੁਝ ਘਾਤ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਬਦਲਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਆਓ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖੀਏ। ਚਿੱਤਰ 10.3 ਦੇਖੋ। ਘਾਤ ਅਤੇ ਬੇਸ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਘਾਤ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਦੁਹਰਾਉਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹੋ, "ਬੇਸ ਤੋਂ ਘਾਤ ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।"
ਉਦਾਹਰਨ 10.18
Convert to logarithmic form: ⓐ 23=8,23=8, ⓑ 512=5,512=5, and ⓒ (12)4=116.(12)4=116.
Solution
Try It 10.35
Convert to logarithmic form: ⓐ 32=932=9 ⓑ 712=7712=7 ⓒ (13)x=127(13)x=127
Try It 10.36
Convert to logarithmic form: ⓐ 43=6443=64 ⓑ 413=43413=43 ⓒ (12)x=132(12)x=132
In the next example we do the reverse—convert logarithmic form to exponential form.
Example 10.19
Convert to exponential form: ⓐ 2=log864,2=log864, ⓑ 0=log41,0=log41, and ⓒ −3=log1011000.−3=log1011000.
Solution
Try It 10.37
Convert to exponential form: ⓐ 3=log4643=log464 ⓑ 0=logx10=logx1 ⓒ −2=log101100−2=log101100
Try It 10.38
Convert to exponential form: ⓐ 3=log3273=log327 ⓑ 0=log310=log31 ⓒ −1=log10110−1=log10110
Evaluate Logarithmic Functions
We can solve and evaluate logarithmic equations by using the technique of converting the equation to its equivalent exponential equation.
Example 10.20
Find the value of x: ⓐ logx36=2,logx36=2, ⓑ log4x=3,log4x=3, and ⓒ log1218=x.log1218=x.
Solution
ⓐ
row: logx36=2logx36=2
row: Convert to exponential form. | x2=36x2=36
row: Solve the quadratic. | x=6,x=−6x=6,x=−6
row: The base of a logarithmic function must be positive, so we eliminate x=−6x=−6. | x=6Therefore,log636=2.x=6Therefore,log636=2.
1. ⓑ
1. ਕਤਾਰ: ਲੌਗ4x=3ਲੌਗ4x=3
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 43=x43=x
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | x=64 ਇਸ ਲਈ, ਲੋਗ4(64) = 3। x=64 ਇਸ ਲਈ, ਲੋਗ4(64) = 3।
1. ਠੀਕ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਲਾਗ(1218)=x ਲਾਗ(1218)=x
1. ਘਾਤੰਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | (12)x=18(12)x=18
1. ਕਤਾਰ: 1818 ਨੂੰ (12)3(12)3 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (12)x=(12)3(12)x=(12)3
1. ਅਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੋਣ 'ਤੇ ਘਾਤਾਂ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲੌਗ1218 = 3
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.39
1. x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ logₓ64 = 2 ⓑ log₅x = 3 ⓒ log₁₂14 = x
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.40
1. x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ logₓ81 = 2 ⓑ log₃x = 5 ⓒ log₁₃127 = x
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ log₃27, log₃27 ਵਰਗਾ ਕੋਈ ਅਭਿਅਕਤੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨਿਰੀਖਣ ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ "3 ਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਘਾਤ 'ਤੇ 27 ਹੋਵੇਗਾ"? ਕਿਉਂਕਿ 3³=27, 3³=27, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ log₃27=3। log₃27=3। ਇੱਕ ਬਦਲਵਾਂ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਭਿਅਕਤੀ ਨੂੰ x ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਈਏ।
1. ਦਸਾਂ ਦੁਆਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦਸਾਂ ਹੀ ਦੁਆਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਜੋ ਸੱਚਾ ਸੁਖ ਪਾਵੇ, ਉਹ ਸੱਚੇ ਸੁਖ ਦਾ ਸਵਾਦ ਚੱਖਦਾ ਹੈ। ਗੁਰੂ ਨਾਨਕ ਜੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸੱਚਾ ਸੁਖ ਸਿਰਫ ਉਸੇ ਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਮਨ ਨੂੰ ਕਾਬੂ ਕਰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਸ ਨੇ ਆਪਣੇ ਮਨ ਨੂੰ ਜਿੱਤ ਲਿਆ, ਉਸ ਨੇ ਸਾਰੀ ਦੁਨੀਆ ਜਿੱਤ ਲਈ।
੧. ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ: ⓐ log525, ⓑ log93, ਅਤੇ ⓒ log2116.
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਕੁਝ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਧਨ ਹੋਵੇ, ਪਿਆਰ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਚੀਜ਼, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਾਡਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਰਜ਼ਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਜੀਵਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਾਪਸ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
1. ਕਤਾਰ: ਲੌਗ525ਲੌਗ525
1. 5 ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਘਾਤ 25 ਹੋਵੇਗੀ? | 5^x = 25, x = 2
1. ਕਤਾਰ: ਜਾਂ
1. ਸਤਰ: ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ xx ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। | ਲੌਗ525=xਲੌਗ525=x
1. ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 5x=255x=25
1. ਪੰਕਤੀ: 25 ਨੂੰ 5252 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 5x=525x=52
ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। | x=2ਇਸ ਲਈ, log525=2।x=2ਇਸ ਲਈ, log525=2।
ⓑ
log93log93
ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ xx ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। | log93=xlog93=x
ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 9x=39x=3
9 ਨੂੰ 3232 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | (32)x=31(32)x=31
ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | 32x=3132x=31
ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। | 2x=12x=1
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | x=12ਇਸ ਲਈ, log93=12।x=12ਇਸ ਲਈ, log93=12।
ⓒ
log2116log2116
ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ xx ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। | log2116=xlog2116=x
ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | 2x=1162x=116
16 ਨੂੰ 2424 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 2x=1242x=124
2x=2−42x=2−4
ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। | x=−4ਇਸ ਲਈ, log2116=−4।x=−4ਇਸ ਲਈ, log2116=−4।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.41
ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ: ⓐ log12144log12144 ⓑ log42log42 ⓒ log2132log2132
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.42
ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ: ⓐ log981log981 ⓑ log82log82 ⓒ log319log319
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=logax,y=logax, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਘਾਤ ਰੂਪ, x=ay.x=ay, ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਨੂੰ y-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.22
y=log2x.y=log2x. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
Solution
To graph the function, we will first rewrite the logarithmic equation, y=log2x,y=log2x, in exponential form, 2y=x.2y=x.
We will use point plotting to graph the function. It will be easier to start with values of y and then get x.
row: yy | 2y=x2y=x | (x,y)(x,y)
row: −2−2 | 2−2=122=142−2=122=14 | (14,-2)(14,-2)
row: −1−1 | 2−1=121=122−1=121=12 | (12,−1)(12,−1)
row: 0 | 20=120=1 | (1,0)(1,0)
row: 1 | 21=221=2 | (2,1)(2,1)
row: 2 | 22=422=4 | (4,2)(4,2)
row: 3 | 23=823=8 | (8,3)(8,3)
Try It 10.43
Graph: y=log3x.y=log3x.
Try It 10.44
Graph: y=log5x.y=log5x.
The graphs of y=log2x,y=log2x,y=log3x,y=log3x, and y=log5xy=log5x are the shape we expect from a logarithmic function where a>1.a>1.
We notice that for each function the graph contains the point (1,0).(1,0). This make sense because 0=loga10=loga1 means a0=1a0=1 which is true for any a.
The graph of each function, also contains the point (a,1).(a,1). This makes sense as 1=logaa1=logaa means a1=a.a1=a. which is true for any a.
Notice too, the graph of each function y=logaxy=logax also contains the point (1a,−1).(1a,−1). This makes sense as −1=loga1a−1=loga1a means a−1=1a,a−1=1a, which is true for any a.
Look at each graph again. Now we will see that many characteristics of the logarithm function are simply ’mirror images’ of the characteristics of the corresponding exponential function.
What is the domain of the function? The graph never hits the y-axis. The domain is all positive numbers. We write the domain in interval notation as (0,∞).(0,∞).
What is the range for each function? From the graphs we can see that the range is the set of all real numbers. There is no restriction on the range. We write the range in interval notation as (−∞,∞).(−∞,∞).
When the graph approaches the y-axis so very closely but will never cross it, we call the line x=0,x=0, the y-axis, a vertical asymptote.
Properties of the Graph of y = log a x y = log a x when a > 1 a > 1
row: Domain | (0,∞)(0,∞)
row: Range | (−∞,∞)(−∞,∞)
row: x-interceptx-intercept | (1,0)(1,0)
row: y-intercepty-intercept | None
row: Contains | (a,1),(a,1),(1a,−1)(1a,−1)
row: Asymptote | y-axisy-axis
Our next example looks at the graph of y=logaxy=logax when 0<a<1.0<a<1.
Example 10.23
Graph y=log13x.y=log13x.
Solution
To graph the function, we will first rewrite the logarithmic equation, y=log13x,y=log13x, in exponential form, (13)y=x.(13)y=x.
We will use point plotting to graph the function. It will be easier to start with values of y and then get x.
row: yy | (13)y=x(13)y=x | (x,y)(x,y)
row: −2−2 | (13)−2=32=9(13)−2=32=9 | (9,−2)(9,−2)
row: −1−1 | (13)−1=31=3(13)−1=31=3 | (3,−1)(3,−1)
row: 0 | (13)0=1(13)0=1 | (1,0)(1,0)
row: 1 | (13)1=13(13)1=13 | (13,1)(13,1)
row: 2 | (13)2=19(13)2=19 | (19,2)(19,2)
row: 3 | (13)3=127(13)3=127 | (127,3)(127,3)
Try It 10.45
Graph: y=log12x.y=log12x.
Try It 10.46
Graph: y=log14x.y=log14x.
Now, let’s look at the graphs y=log12x,y=log13xy=log12x,y=log13x and y=log14xy=log14x, so we can identify some of the properties of logarithmic functions where 0<a<1.0<a<1.
The graphs of all have the same basic shape. While this is the shape we expect from a logarithmic function where 0<a<1.0<a<1.
We notice, that for each function again, the graph contains the points,(1,0),(1,0),(a,1),(a,1),(1a,−1).(1a,−1). This make sense for the same reasons we argued above.
We notice the domain and range are also the same—the domain is (0,∞)(0,∞) and the range is (−∞,∞).(−∞,∞). The yy-axis is again the vertical asymptote.
We will summarize these properties in the chart below. Which also include when a>1.a>1.
Properties of the Graph of y = log a x y = log a x
row: when a>1a>1 | when 0<a<10<a<1
row: Domain | (0,∞)(0,∞) | Domain | (0,∞)(0,∞)
row: Range | (−∞,∞)(−∞,∞) | Range | (−∞,∞)(−∞,∞)
row: xx-intercept | (1,0)(1,0) | xx-intercept | (1,0)(1,0)
row: yy-intercept | none | yy-intercept | None
row: Contains | (a,1),(a,1),(1a,−1)(1a,−1) | Contains | (a,1),(a,1),(1a,−1)(1a,−1)
row: Asymptote | yy-axis | Asymptote | yy-axis
row: Basic shape | increasing | Basic shape | Decreasing
We talked earlier about how the logarithmic function f−1(x)=logaxf−1(x)=logax is the inverse of the exponential function f(x)=ax.f(x)=ax. The graphs in Figure 10.4 show both the exponential (blue) and logarithmic (red) functions on the same graph for both a>1a>1 and 0<a<1.0<a<1.
Notice how the graphs are reflections of each other through the line y=x.y=x. We know this is true of inverse functions. Keeping a visual in your mind of these graphs will help you remember the domain and range of each function. Notice the x-axis is the horizontal asymptote for the exponential functions and the y-axis is the vertical asymptote for the logarithmic functions.
Solve Logarithmic Equations
When we talked about exponential functions, we introduced the number e. Just as e was a base for an exponential function, it can be used a base for logarithmic functions too. The logarithmic function with base e is called the natural logarithmic function. The function f(x)=logexf(x)=logex is generally written f(x)=lnxf(x)=lnx and we read it as “el en of x.”x.”
Natural Logarithmic Function
The function f(x)=lnxf(x)=lnx is the natural logarithmic function with base e,e, where x>0.x>0.
When the base of the logarithm function is 10, we call it the common logarithmic function and the base is not shown. If the base a of a logarithm is not shown, we assume it is 10.
Common Logarithmic Function
The function f(x)=logxf(x)=logx is the common logarithmic function with base1010, where x>0.x>0.
To solve logarithmic equations, one strategy is to change the equation to exponential form and then solve the exponential equation as we did before. As we solve logarithmic equations, y=logaxy=logax, we need to remember that for the base a, a>0a>0 and a≠1.a≠1. Also, the domain is x>0.x>0. Just as with radical equations, we must check our solutions to eliminate any extraneous solutions.
Example 10.24
Solve: ⓐ loga49=2loga49=2 and ⓑ lnx=3.lnx=3.
Solution
ⓐ
row: loga49=2loga49=2
row: Rewrite in exponential form. | a2=49a2=49
row: Solve the equation using the square root property. | a=±7a=±7
row: The base cannot be negative, so we eliminate a=−7.a=−7. | a=7,a=−7a=7,a=−7
row: Check.
row: a=7loga49=2log749=?272=?4949=49✓a=7loga49=2log749=?272=?4949=49✓
ⓑ
row: lnx=3lnx=3
row: Rewrite in exponential form. | e3=xe3=x
row: Check.
row: x=e3lnx=3lne3=?3e3=e3✓x=e3lnx=3lne3=?3e3=e3✓
Try It 10.47
Solve: ⓐ loga121=2loga121=2 ⓑ lnx=7lnx=7
Try It 10.48
Solve: ⓐ loga64=3loga64=3 ⓑ lnx=9lnx=9
Example 10.25
Solve: ⓐ log2(3x−5)=4log2(3x−5)=4 and ⓑ lne2x=4.lne2x=4.
Solution
ⓐ
row: log2(3x−5)=4log2(3x−5)=4
row: Rewrite in exponential form. | 24=3x−524=3x−5
row: Simplify. | 16=3x−516=3x−5
row: Solve the equation. | 21=3x21=3x
row: 7=x7=x
row: Check.
row: x=7log2(3x−5)=4log2(3⋅7−5)=?4log2(16)=?424=?1616=16✓x=7log2(3x−5)=4log2(3⋅7−5)=?4log2(16)=?424=?1616=16✓
ⓑ
row: lne2x=4lne2x=4
row: Rewrite in exponential form. | e4=e2xe4=e2x
row: Since the bases are the same the exponents are equal. | 4=2x4=2x
row: Solve the equation. | 2=x2=x
row: Check.
row: x=2lne2x=4 lne2·2=?4 lne4=?4 e4=e4✓x=2lne2x=4 lne2·2=?4 lne4=?4 e4=e4✓
Try It 10.49
Solve: ⓐ log2(5x−1)=6log2(5x−1)=6 ⓑ lne3x=6lne3x=6
Try It 10.50
Solve: ⓐ log3(4x+3)=3log3(4x+3)=3 ⓑ lne4x=4lne4x=4
Use Logarithmic Models in Applications
There are many applications that are modeled by logarithmic equations. We will first look at the logarithmic equation that gives the decibel (dB) level of sound. Decibels range from 0, which is barely audible to 160, which can rupture an eardrum. The 10−1210−12 in the formula represents the intensity of sound that is barely audible.
Decibel Level of Sound
The loudness level, D, measured in decibels, of a sound of intensity, I, measured in watts per square inch is
Example 10.26
Extended exposure to noise that measures 85 dB can cause permanent damage to the inner ear which will result in hearing loss. What is the decibel level of music coming through ear phones with intensity 10−210−2 watts per square inch?
Solution
row: Substitute in the intensity level, I.
row: Simplify.
1. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ log₁₀10 = 10.
2. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
3. ਕਤਾਰ: ਈਅਰਫੋਨ ਰਾਹੀਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਸੰਗੀਤ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ 100 dB ਹੈ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.51
5. ਨਵੇਂ ਸ਼ਾਂਤ ਡਿਸ਼ਵਾਸ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10⁻⁷ ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.52
7. ਭਾਰੀ ਸ਼ਹਿਰੀ ਆਵਾਜਾਈ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10⁻³ ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
8. ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਮਾਪ RR ਰਿਕਟਰ ਸਕੇਲ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਕੇਲ ਦੁਆਰਾ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਾਡਲ R=logI ਹੈ, ਜਿੱਥੇ I ਝਟਕੇ ਦੀ ਤਰੰਗ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਾਡਲ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
9. ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ
10. ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਮਾਪ R, R=logI ਦੁਆਰਾ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ I ਉਸਦੀ ਝਟਕੇ ਦੀ ਤਰੰਗ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 10.27
12. 1906 ਵਿੱਚ, ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਨੇ ਰਿਕਟਰ ਸਕੇਲ 'ਤੇ 7.8 ਦੇ ਮਾਪ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤੀਬਰ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ। ਸ਼ਹਿਰ ਦਾ 80% ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਿੱਸਾ ਇਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੱਗੀ ਅੱਗ ਕਾਰਨ ਤਬਾਹ ਹੋ ਗਿਆ। 2014 ਵਿੱਚ, ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਨੇ ਰਿਕਟਰ ਸਕੇਲ 'ਤੇ 5.1 ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਦਰਮਿਆਨਾ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਇਸ ਨਾਲ 108 ਮਿਲੀਅਨ ਡਾਲਰ ਦਾ ਨੁਕਸਾਨ ਹੋਇਆ। ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਤੀਬਰਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਾਂਗੇ।
15. ਕਤਾਰ: ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਤੀਬਰਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | R=logI
16. ਕਤਾਰ: 1906 ਦਾ ਭੂਚਾਲ | 7.8=logI
17. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | I=10⁷·⁸
18. ਕਤਾਰ: 2014 ਦਾ ਭੂਚਾਲ | 5.1=logI
19. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | I=10⁵·¹
20. ਕਤਾਰ: ਤੀਬਰਤਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਬਣਾਓ। | 1906 ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ/2014 ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ
21. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | 10⁷·⁸/10⁵·¹
22. ਕਤਾਰ: ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਭਾਗ ਕਰੋ। | 10²·⁷
23. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | 501
24. ਕਤਾਰ: 1906 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 2014 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 501 ਗੁਣਾ ਸੀ।
1. ਇਸਨੂੰ 10.53 ਅਜ਼ਮਾਓ
2. 1906 ਵਿੱਚ, ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਨੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 7.8 ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਭਿਆਨਕ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ। 1989 ਵਿੱਚ, ਲੋਮਾ ਪ੍ਰੀਤਾ ਭੂਚਾਲ ਨੇ ਵੀ ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 6.9 ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ। ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀਆਂ ਤੀਬਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
3. ਇਸਨੂੰ 10.54 ਅਜ਼ਮਾਓ
4. 2014 ਵਿੱਚ, ਚਿਲੀ ਨੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 8.2 ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਭਿਆਨਕ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ। 2014 ਵਿੱਚ, ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਨੇ ਵੀ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 5.1 ਸੀ। ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀਆਂ ਤੀਬਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
5. ਮੀਡੀਆ
6. ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
7. ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖਣਾ
8. ਲਘੂਗਣਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
9. ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
10. ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
11. ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਪਰਪੱਕਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
12. ਘਾਤ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲੋ
13. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਰੂਪ ਤੋਂ ਲਘੂਗਣਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
14. 4^2 = 16
15. 2^5 = 32
16. 3^3 = 27
17. 5^3 = 125
18. 10^3 = 1000
19. 10^-2 = 1/100
20. x^(1/2) = 3
21. x^(1/3) = 6
22. 32^x = 32^4
23. 17^x = 17^5
24. (1/4)^2 = 1/16
( 1 3 ) 4 = 1 81 ( 1 3 ) 4 = 1 81
3 −2 = 1 9 3 −2 = 1 9
4 −3 = 1 64 4 −3 = 1 64
e x = 6 e x = 6
e 3 = x e 3 = x
In the following exercises, convert each logarithmic equation to exponential form.
3 = log 4 64 3 = log 4 64
6 = log 2 64 6 = log 2 64
4 = log x 81 4 = log x 81
5 = log x 32 5 = log x 32
0 = log 12 1 0 = log 12 1
0 = log 7 1 0 = log 7 1
1 = log 3 3 1 = log 3 3
1 = log 9 9 1 = log 9 9
−4 = log 10 1 10,000 −4 = log 10 1 10,000
3 = log 10 1,000 3 = log 10 1,000
5 = log e x 5 = log e x
x = log e 43 x = log e 43
Evaluate Logarithmic Functions
In the following exercises, find the value of xx in each logarithmic equation.
log x 49 = 2 log x 49 = 2
log x 121 = 2 log x 121 = 2
log x 27 = 3 log x 27 = 3
log x 64 = 3 log x 64 = 3
ਲੌਗ 3 x = 4
ਲੌਗ 5 x = 3
ਲੌਗ 2 x = −6
ਲੌਗ 3 x = −5
ਲੌਗ 1/4 (1/16) = x
ਲੌਗ 1/3 (1/9) = x
ਲੌਗ 1/4 64 = x
ਲੌਗ 1/9 81 = x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੌਗ 7 49
ਲੌਗ 6 36
ਲੌਗ 4 1
ਲੌਗ 5 1
ਲੌਗ 16 4
ਲੌਗ 27 3
ਲੌਗ 1/2 2
ਲੌਗ 1/2 4
ਲੌਗ 2 (1/16)
ਲੌਗ 3 (1/27)
ਲੌਗ 4 (1/16)
ਲੌਗ 9 (1/81)
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y = ਲੌਗ 2 x
y = ਲੋਗ 4 x
y = ਲੋਗ 6 x
y = ਲੋਗ 7 x
y = ਲੋਗ 1.5 x
y = ਲੋਗ 2.5 x
y = ਲੋਗ 1 3 x
y = ਲੋਗ 1 5 x
y = ਲੋਗ 0.4 x
y = ਲੋਗ 0.6 x
ਲਘੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਰਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਲੋਗ a 16 = 2
ਲੋਗ a 81 = 2
ਲੋਗ a 8 = 3
ਲੋਗ a 27 = 3
ਲੋਗ a 32 = 2
ਲੋਗ a 24 = 3
ln x = 5
ln x = 4
ਲੋਗ 2 ( 5 x + 1 ) = 4
ਲੋਗ 2 ( 6 x + 2 ) = 5
ਲੋਗ 3 ( 4 x − 3 ) = 2
ਲੋਗ 3 ( 5 x − 4 ) = 4
ਲੋਗ 4 ( 5 x + 6 ) = 3
1. ਲੌਗ 4 ( 3 x − 2 ) = 2
2. ln e 4 x = 8
3. ln e 2 x = 6
4. ਲੌਗ x 2 = 2
5. ਲੌਗ ( x 2 − 25 ) = 2
6. ਲੌਗ 2 ( x 2 − 4 ) = 5
7. ਲੌਗ 3 ( x 2 + 2 ) = 3
8. ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਲਘੂਰਣਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਰਣਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਆਮ ਗੱਲਬਾਤ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10−610−6 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
11. ਇੱਕ ਚੁੱਪੀ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10−1010−10 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
12. ਇੱਕ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਦੇ ਸ਼ੋਰ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10−210−2 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
13. ਇੱਕ ਕੂੜਾ ਨਿਪਟਾਰੇ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਦਾ ਡੇਸੀਬਲ ਪੱਧਰ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਤੀਬਰਤਾ 10−210−2 ਵਾਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ?
14. 2014 ਵਿੱਚ, ਚਿਲੀ ਨੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 8.28.2 ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਭਿਆਨਕ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ। 2010 ਵਿੱਚ, ਹੈਤੀ ਨੇ ਵੀ ਇੱਕ ਭਿਆਨਕ ਭੂਚਾਲ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 7.07.0 ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਸੀ। ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀਆਂ ਤੀਬਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
15. ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਭੂਚਾਲ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। 1994 ਵਿੱਚ, ਨੌਰਥਰਿਜ ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 6.76.7 ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। 2014 ਵਿੱਚ, ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਨੇ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਵੀ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤਾ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 5.15.1 ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਸੀ। ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀਆਂ ਤੀਬਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
16. ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
17. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲਘੂਰਣਕ ਰੂਪ ਤੋਂ ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਵੇ।
18. ਆਮ ਲਘੂਰਣਕ ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਣਕ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਸਮਝਾਓ।
19. ਸਮਝਾਓ ਕਿ logaax=x ਕਿਉਂ ਹੈ।
20. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ log732log732 ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ।
21. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
22. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
23. ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?