Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Solve logarithmic equations using the properties of logarithms
Solve exponential equations using logarithms
Use exponential models in applications
Be Prepared 10.13
Before you get started, take this readiness quiz.
Solve: x2=16.x2=16. If you missed this problem, review Example 6.46.
Be Prepared 10.14
Solve: x2−5x+6=0.x2−5x+6=0. If you missed this problem, review Example 6.45.
Be Prepared 10.15
Solve: x(x+6)=2x+5.x(x+6)=2x+5. If you missed this problem, review Example 6.47.
Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms
In the section on logarithmic functions, we solved some equations by rewriting the equation in exponential form. Now that we have the properties of logarithms, we have additional methods we can use to solve logarithmic equations.
If our equation has two logarithms we can use a property that says that if logaM=logaNlogaM=logaN then it is true that M=N.M=N. This is the One-to-One Property of Logarithmic Equations.
One-to-One Property of Logarithmic Equations
For M>0,N>0,a>0,M>0,N>0,a>0, and a≠1a≠1 is any real number:
To use this property, we must be certain that both sides of the equation are written with the same base.
Remember that logarithms are defined only for positive real numbers. Check your results in the original equation. You may have obtained a result that gives a logarithm of zero or a negative number.
Example 10.38
Solve: 2log5x=log581.2log5x=log581.
Solution
row: 2log5x=log5812log5x=log581
row: Use the Power Property. | log5x2=log581log5x2=log581
row: Use the One-to-One Property, if logaM=logaNlogaM=logaN, then M=NM=N | x2=81x2=81.
row: Solve using the Square Root Property. | x=±9x=±9
row: We eliminate x=−9x=−9 as we cannot take the logarithm of a negative number. | x=9,x=−9x=9,x=−9
row: Check.
row: x=92log5x=log5812log59=?log581log592=?log581log581=log581✓x=92log5x=log5812log59=?log581log592=?log581log581=log581✓
Try It 10.75
Solve: 2log3x=log3362log3x=log336
Try It 10.76
Solve: 3logx=log643logx=log64
Another strategy to use to solve logarithmic equations is to condense sums or differences into a single logarithm.
Example 10.39
Solve: log3x+log3(x−8)=2.log3x+log3(x−8)=2.
Solution
row: log3x+log3(x−8)=2log3x+log3(x−8)=2
row: Use the Product Property, logaM+logaN=logaM⋅NlogaM+logaN=logaM⋅N. | log3x(x−8)=2log3x(x−8)=2
row: Rewrite in exponential form. | 32=x(x−8)32=x(x−8)
row: Simplify. | 9=x2−8x9=x2−8x
row: Subtract 9 from each side. | 0=x2−8x−90=x2−8x−9
row: Factor. | 0=(x−9)(x+1)0=(x−9)(x+1)
row: Use the Zero-Product Property. | x−9=0,x+1=0x−9=0,x+1=0
row: Solve each equation. | x=9,x=−1x=9,x=−1
row: Check.
row: x=−1log3x+log3(x−8)=2log3(−1)+log3(−1−8)=?2x=−1log3x+log3(x−8)=2log3(−1)+log3(−1−8)=?2
row: We cannot take the log of a negative number.
row: x=9log3x+log3(x−8)=2log39+log3(9−8)=?22+0=?22=2✓x=9log3x+log3(x−8)=2log39+log3(9−8)=?22+0=?22=2✓
Try It 10.77
Solve: log2x+log2(x−2)=3log2x+log2(x−2)=3
Try It 10.78
Solve: log2x+log2(x−6)=4log2x+log2(x−6)=4
When there are logarithms on both sides, we condense each side into a single logarithm. Remember to use the Power Property as needed.
Example 10.40
Solve: log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x.log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x.
Solution
row: log4(x+6)−log4(2x+5)=−log4xlog4(x+6)−log4(2x+5)=−log4x
row: Use the Quotient Property on the left side and the Power Property on the right. | log4(x+62x+5)=log4x−1log4(x+62x+5)=log4x−1
row: Rewrite x−1=1xx−1=1x. | log4(x+62x+5)=log41xlog4(x+62x+5)=log41x
row: Use the One-to-One Property, if logaM=logaNlogaM=logaN, then M=NM=N. | x+62x+5=1xx+62x+5=1x
row: Solve the rational equation. | x(x+6)=2x+5x(x+6)=2x+5
row: Distribute. | x2+6x=2x+5x2+6x=2x+5
row: Write in standard form. | x2+4x−5=0x2+4x−5=0
row: Factor. | (x+5)(x−1)=0(x+5)(x−1)=0
row: Use the Zero-Product Property. | x+5=0,x−1=0x+5=0,x−1=0
row: Solve each equation. | x=−5,x=1x=−5,x=1
row: Check.
row: We leave the check for you.
Try It 10.79
Solve: log(x+2)−log(4x+3)=−logx.log(x+2)−log(4x+3)=−logx.
Try It 10.80
1. ਹੱਲ ਕਰੋ: ਲੋਗ(x−2)−ਲੋਗ(4x+16)=ਲੋਗ1x। ਲੋਗ(x−2)−ਲੋਗ(4x+16)=ਲੋਗ1x।
ਲਘੂਰਿਥਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ
1. ਘਾਤੀ ਫਲਨ (exponential functions) ਦੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ (base) ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ (exponents) ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੀ।
1. ਹਰ ਵੇਲੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ (base) ਲਿਖਣਾ ਸੰਭਵ ਜਾਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਜਿਹੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਘਾਤ (exponential) ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਲਘੂਗਣਕ (common logarithm) ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਲੈ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 10.41
5x = 11.5x = 11. ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ x ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਲਗਭਗ ਕਰੋ।
1. ਨਿਜ-ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: 5x=115x=11
1. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅਲੱਗ ਹੈ, ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਓ। ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ xx ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ, ਨਾ ਕਿ ਘਾਤ ਵਜੋਂ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x. ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਲੱਭੋ। ਉੱਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। | log5x=log11xlog5=log11 x=log11log5 x≈1.490log5x=log11xlog5=log11 x=log11log5 x≈1.490
1. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ 51=551=5 ਅਤੇ 52=25,52=25, ਕੀ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ 51.490≈11?51.490≈11?
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.81
7x = 43 x = 43/7 x ≈ 6.142857 x ≈ 6.143
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.82
8x = 98.8x = 98 x = 98 / 8 x = 12.25
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲੇਗਾ ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ (ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਿਆ?) ਜਦੋਂ ਘਾਤ ਦਾ ਆਧਾਰ 'e' ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਦੂਰਦਰਸ਼ਨ | ਦੂਰਦਰਸ਼ਨ | fusion | far-seeing
3ex+2=24
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਸਤਰ: 3ex+2=243ex+2=24
1. ਦੋਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਘਾਤਾਂਕ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ। | ex+2=8ex+2=8
ਲੌਗ-ਅਧਾਰ-ਈ (e) ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਓ। ln(x+2) = ln8
1. ਘਾਤ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ xx ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੀ ਥਾਂ ਗੁਣਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। | (x+2)lne=ln8(x+2)lne=ln8
1. ਕਤਾਰ: ਲਾਈਨ lne=1lne=1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | x+2=ln8x+2=ln8
1. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਲੱਭੋ। | x=ln8−2x=ln8−2
row: Approximate the answer. | x≈0.079x≈0.079
Try It 10.83
Solve 2ex−2=18.2ex−2=18. Find the exact answer and then approximate it to three decimal places.
Try It 10.84
Solve 5e2x=25.5e2x=25. Find the exact answer and then approximate it to three decimal places.
Use Exponential Models in Applications
In previous sections we were able to solve some applications that were modeled with exponential equations. Now that we have so many more options to solve these equations, we are able to solve more applications.
We will again use the Compound Interest Formulas and so we list them here for reference.
Compound Interest
For a principal, P, invested at an interest rate, r, for t years, the new balance, A is:
Example 10.43
Jermael’s parents put $10,000 in investments for his college expenses on his first birthday. They hope the investments will be worth $50,000 when he turns 18. If the interest compounds continuously, approximately what rate of growth will they need to achieve their goal?
Solution
row: A=$50,000A=$50,000
row: P=$10,000P=$10,000
row: Identify the variables in the formula | r=?r=?
row: t=17yearst=17years
row: A=PertA=Pert
row: Substitute the values into the formula. | 50,000=10,000er·1750,000=10,000er·17
row: Solve for r.r. Divide each side by 10,000. | 5=e17r5=e17r
row: Take the natural log of each side. | ln5=lne17rln5=lne17r
row: Use the Power Property. | ln5=17rlneln5=17rlne
row: Simplify. | ln5=17rln5=17r
row: Divide each side by 17. | ln517=rln517=r
row: Approximate the answer. | r≈0.095r≈0.095
row: Convert to a percentage. | r≈9.5%r≈9.5%
1. ਕਤਾਰ: ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਲਗਭਗ 9.5%9.5% ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.85
1. ਹекਟਰ 21 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ $10,000$ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਉਮੀਦ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਉਹ 50 ਸਾਲ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ ਤਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ $150,000$ ਦਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ
ਰਾਚਲ 25 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ 15,000 ਡਾਲਰ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਉਮੀਦ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਉਹ 40 ਸਾਲ ਦੀ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ 90,000 ਡਾਲਰ ਦਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਅਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟਾ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਟੇ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ A=A0ekt.A=A0ekt. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਜਾਂ ਵਾਧਾ ਸਥਿਰਾਂਕ, kk, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟੇ ਵਿੱਚ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਜਾਂ ਘਾਟਾ ਸਥਿਰਾਂਕ, k, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤਕ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ
1. ਮੂਲ ਰਕਮ, A0, ਲਈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ, t, ਦੌਰਾਨ, k ਦਰ 'ਤੇ ਵਧਦੀ ਜਾਂ ਘਟਦੀ ਹੈ, ਅੰਤਿਮ ਰਕਮ, A, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਉਦਾਹਰਣ 10.44
ਖੋਜੀਆਂ ਨੇ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 100 ਤੋਂ 300 ਤੱਕ ਵਧੀ। ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਇਸ ਦਰ 'ਤੇ, ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹੋਣਗੇ?
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਦੋ ਮੁੱਖ ਕਦਮ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਅਣਜਾਣ ਦਰ, k, ਲੱਭਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ k ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਣਜਾਣ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
1. ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | A=300A0=100k=?t=3hoursA=A0ektA=300A0=100k=?t=3hoursA=A0ekt
1. ਸੂਤ੍ਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਭਰੋ। | 300=100ek·3300=100ek·3
1. ਕਤਾਰ: kk ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 100 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। | 3=e3k3=e3k
1. ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲਓ।
1. ਸੱਤ: ਸ਼ਕਤੀ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | ln3=3kln3=3k
1. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਵੰਡੋ। | ln33=kln33=k
1. ਕਤਾਰ: ਉੱਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ। | k≈0.366k≈0.366
1. ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲ ਪਾਓ। | ਏ=100ਈਐਲਐਨ33·24ਏ=100ਈਐਲਐਨ33·24
1. ਕਤਾਰ: ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ। | A≈656,100A≈656,100
ਇਸ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ 'ਤੇ, ਉਹ 656,100 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
10.87 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਖੋਜੀਆਂ ਨੇ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 100 ਤੋਂ 500 ਤੱਕ ਵਧ ਗਈ। ਵਾਧੇ ਦੀ ਇਸ ਦਰ 'ਤੇ, ਪ੍ਰਯੋਗ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਤੋਂ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹੋਣਗੇ?
10.88 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਖੋਜੀਆਂ ਨੇ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਕਿ ਦਵਾਈ ਦੇਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ 5 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 700,000 ਤੋਂ 400,000 ਤੱਕ ਘੱਟ ਗਈ। ਕਮੀ ਦੀ ਇਸ ਦਰ 'ਤੇ, ਪ੍ਰਯੋਗ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਤੋਂ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹੋਣਗੇ?
ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਘਟਣ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂ ਵਿਘਟਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਅਸਲ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅੱਧੇ ਤੱਕ ਘਟਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਦੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਉਸ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10.45 ਉਦਾਹਰਨ
ਰੇਡੀਅਮ-226 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 1,590 ਸਾਲ ਹੈ। 500 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ 100 mg ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਦੋ ਮੁੱਖ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਘਾਤ ਸਥਿਰਾਂਕ k ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 100-mg ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ 'ਤੇ 50-mg ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ। ਅਸੀਂ k ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ 500 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਚੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸ k ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਛਾਣੋ। | A=50A0=100k=?t=1590 ਸਾਲA=A0ekt
ਸਤਰ: ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ। | 50=100ek·1590
ਸਤਰ: k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 100 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। | 0.5=e1590k
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਦਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲਾਗ ਲਓ। | ln0.5=lne1590k
ਸਤਰ: ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | ln0.5=1590klne
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | ln0.5=1590k
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 1590 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। | ln0.51590=k ਸਹੀ ਜਵਾਬ
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ 500 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਚੇ ਹੋਏ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। | A=?A0=100k=ln0.51590t=500 ਸਾਲA=A0ekt
ਸਤਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | A=100eln0.51590·500
ਸਤਰ: ਮੁੱਲਯੰਕਣ ਕਰੋ। | A≈80.4mg
500 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 80.4 mg ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ।
10.89 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਮੈਗਨੀਸ਼ੀਅਮ-27 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 9.45 ਮਿੰਟ ਹੈ। 6 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ 10-mg ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ?
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.90
2. ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਇਓਡੀਨ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 60 ਦਿਨ ਹੈ। 50 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ 40 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ?
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
6. ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
7. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਜਾਂ ਕਮੀ ਬਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਰ ਜਾਂ ਸਮਾਂ ਲੱਭਣਾ
8. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਜਾਂ ਕਮੀ ਬਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਰ ਜਾਂ ਸਮਾਂ ਲੱਭਣਾ
9. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
10. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਲਘੂ 4 64 = 2 ਲਘੂ 4 x ਲਘੂ 4 64 = 2 ਲਘੂ 4 x
13. ਲਘੂ 49 = 2 ਲਘੂ x ਲਘੂ 49 = 2 ਲਘੂ x
14. 3 ਲਘੂ 3 x = ਲਘੂ 3 27 3 ਲਘੂ 3 x = ਲਘੂ 3 27
15. 3 ਲਘੂ 6 x = ਲਘੂ 6 64 3 ਲਘੂ 6 x = ਲਘੂ 6 64
16. ਲਘੂ 5 ( 4 x − 2 ) = ਲਘੂ 5 10 ਲਘੂ 5 ( 4 x − 2 ) = ਲਘੂ 5 10
17. ਲਘੂ 3 ( x 2 + 3 ) = ਲਘੂ 3 4 x ਲਘੂ 3 ( x 2 + 3 ) = ਲਘੂ 3 4 x
18. ਲਘੂ 3 x + ਲਘੂ 3 x = 2 ਲਘੂ 3 x + ਲਘੂ 3 x = 2
19. ਲਘੂ 4 x + ਲਘੂ 4 x = 3 ਲਘੂ 4 x + ਲਘੂ 4 x = 3
20. ਲਘੂ 2 x + ਲਘੂ 2 ( x − 3 ) = 2 ਲਘੂ 2 x + ਲਘੂ 2 ( x − 3 ) = 2
21. ਲਘੂ 3 x + ਲਘੂ 3 ( x + 6 ) = 3 ਲਘੂ 3 x + ਲਘੂ 3 ( x + 6 ) = 3
22. ਲਘੂ x + ਲਘੂ ( x + 3 ) = 1 ਲਘੂ x + ਲਘੂ ( x + 3 ) = 1
23. ਲਘੂ x + ਲਘੂ ( x − 15 ) = 2 ਲਘੂ x + ਲਘੂ ( x − 15 ) = 2
24. ਲਘੂ ( x + 4 ) − ਲਘੂ ( 5 x + 12 ) = − ਲਘੂ x ਲਘੂ ( x + 4 ) − ਲਘੂ ( 5 x + 12 ) = − ਲਘੂ x
ਲੌਗ ( x − 1 ) − ਲੌਗ ( x + 3 ) = ਲੌਗ 1 x
ਲੌਗ 5 ( x + 3 ) + ਲੌਗ 5 ( x − 6 ) = ਲੌਗ 5 10
ਲੌਗ 5 ( x + 1 ) + ਲੌਗ 5 ( x − 5 ) = ਲੌਗ 5 7
ਲੌਗ 3 ( 2 x − 1 ) = ਲੌਗ 3 ( x + 3 ) + ਲੌਗ 3 3
ਲੌਗ ( 5 x + 1 ) = ਲੌਗ ( x + 3 ) + ਲੌਗ 2
ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਰੋ।
3 x = 89
2 x = 74
5 x = 110
4 x = 112
e x = 16
e x = 8
( 1 2 ) x = 6
( 1 3 ) x = 8
4 e x + 1 = 16
3 e x + 2 = 9
6 e 2 x = 24
2 e 3 x = 32
1 4 e x = 3
1 3 e x = 2
e x + 1 + 2 = 16
e x − 1 + 4 = 12
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3 3 x + 1 = 81 3 3 x + 1 = 81
6 4 x − 17 = 216 6 4 x − 17 = 216
e x 2 e 14 = e 5 x e x 2 e 14 = e 5 x
e x 2 e x = e 20 e x 2 e x = e 20
log a 64 = 2 log a 64 = 2
log a 81 = 4 log a 81 = 4
ln x = −8 ln x = −8
ln x = 9 ln x = 9
log 5 ( 3 x − 8 ) = 2 log 5 ( 3 x − 8 ) = 2
log 4 ( 7 x + 15 ) = 3 log 4 ( 7 x + 15 ) = 3
ln e 5 x = 30 ln e 5 x = 30
ln e 6 x = 18 ln e 6 x = 18
3 log x = log 125 3 log x = log 125
7 log 3 x = log 3 128 7 log 3 x = log 3 128
log 6 x + log 6 ( x − 5 ) = log 6 24 log 6 x + log 6 ( x − 5 ) = log 6 24
log 9 x + log 9 ( x − 4 ) = log 9 12 log 9 x + log 9 ( x − 4 ) = log 9 12
log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( 2 x + 9 ) = − log 2 x log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( 2 x + 9 ) = − log 2 x
log 6 ( x + 1 ) − log 6 ( 4 x + 10 ) = log 6 1 x log 6 ( x + 1 ) − log 6 ( 4 x + 10 ) = log 6 1 x
In the following exercises, solve for x, giving an exact answer as well as an approximation to three decimal places.
6 x = 91 6 x = 91
( 1 2 ) x = 10 ( 1 2 ) x = 10
7 e x − 3 = 35 7 e x − 3 = 35
8 e x + 5 = 56 8 e x + 5 = 56
Use Exponential Models in Applications
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਸੰਗ ਲੀ 18 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ $5,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਉਮੀਦ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਉਹ 25 ਸਾਲ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ ਤਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ $10,000 ਦਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ? ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਉਮੀਦ ਹੈ?
3. ਐਲਿਸ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਨੌਕਰੀ ਦੇ ਸਾਈਨਿੰਗ ਬੋਨਸ ਤੋਂ 30 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ $15,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ ਉਮੀਦ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਉਹ 40 ਸਾਲ ਦੀ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ $30,000 ਦਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
4. ਕੋਰਾਲੀ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $5,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਮਹੀਨੇਵਾਰ ਵਿਆਜ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 7% ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਪੈਸੇ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
5. ਸਿਮੋਨ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $8,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤਿਮਾਹੀ ਵਿਆਜ ਚੱਕਰਵૃਧੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 5% ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਪੈਸੇ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
6. ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 100,000 ਤੋਂ ਘਟ ਕੇ 100 ਹੋ ਗਈ। ਇਸ ਗਿਰਾਵਟ ਦੀ ਦਰ 'ਤੇ, 16 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹੋਣਗੇ?
7. ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਕਿ ਦਵਾਈ ਦੇਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ 6 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 800,000 ਤੋਂ ਘਟ ਕੇ 500,000 ਹੋ ਗਈ। ਇਸ ਗਿਰਾਵਟ ਦੀ ਦਰ 'ਤੇ, 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹੋਣਗੇ?
8. ਇੱਕ ਵਾਇਰਸ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ 6 ਦਿਨ ਲੈਂਦਾ ਹੈ (A=2A0)। ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
9. ਇੱਕ ਬੈਕਟੀਰੀਆ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (A=2A0)। 72 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਵੱਡੀ ਹੋਵੇਗੀ?
10. ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5,730 ਸਾਲ ਹੈ। 1000 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੇ 100-ਗ੍ਰਾਮ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ ਬਚਿਆ ਰਹੇਗਾ?
11. ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਟੈਕਨੀਸ਼ੀਅਮ-99m ਅਕਸਰ ਡਾਇਗਨੌਸਟਿਕ ਦਵਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਮਰੀਜ਼ 'ਤੇ ਲੋੜੀਂਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਮਾਂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 6 ਘੰਟੇ ਹੈ, ਤਾਂ 0.5 ਮਿ.ਲੀ. ਟੀਕੇ ਦੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਕਿੰਨਾ ਹਿੱਸਾ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਰਹੇਗਾ?
12. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
13. ਉਹ ਵਿਧੀ ਦੱਸੋ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋਗੇ: 3x+1=81, 3x+1=75। ਕੀ ਤੁਹਾਡੀ ਵਿਧੀ ਲਈ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ (logarithms) ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
14. ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ (exponential growth) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਗਿਰਾਵਟ (exponential decay) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
15. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
16. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?